Урок 2. Комбинаторные задачи. Перестановки

Урок 2.
Комбинаторные задачи. Перестановки
Цель: закрепить правило умножения при решении комбинаторных задач;
повторить другие способы решения задач, провести самостоятельную работу,
ввести понятие «перестановка» и решать задачи, решаемые с помощью этой
простейшей комбинацией.
I. Организационный момент.
II. Устный счёт.
Вопрос 1: Сколько флагов получится, если для их создания использовать цвета белый,
синий, красный, зелёный?
(24)
Вопрос 2: Сколькими способами можно поставить на полке рядом 5 разных книг?
(120)
Вопрос 3: У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько
различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы?
(15)
Вопрос 4: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5?
(6 )
При решении этих задач мы использовали правило умножения. Напомните его
(учащиеся формулируют его). Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один
за другим к элементов. Если первый элемент m1выбрать n1 способами, после чего второй
элемент m2 выбрать n2 способами из оставшихся, затем третий элемент m3 выбрать n3
способами из оставшихся и т.д., то число способов могут быть выбраны все к элементов,
равно произведению n1  n2  n3  ...  nk .
III. Изучение новой темы:
Сегодня на уроке и на последующих уроках мы пытаемся классифицировать, разбить
на типы те комбинации, с которыми вы уже сталкивались при решении задач. Обратимся к
последней задаче: в ней даны 3 объекта, нужно составить из них все возможные
комбинации, переставляя их между собой. Такие комбинации называются перестановками
из n элементов.
Итак, перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в
определённом порядке (т.е. перестановки отличаются друг от друга только порядком
расположения элементов)
Для 3-х элементов (n=3) мы получили 6 перестановок, т.е. 3  2  1  6
А если объектов 4? (n=4). То 4  3  2 1  24
А если объектов 5? (n=5). То 5· 4  3  2 1  120
А если n? То n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1.
Это произведение выражает количество перестановок из n элементов и обозначают Pn.
Pn=1·2·3·(n-2)·(n-1)· n.
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n, т.е. 1·2·3·(n-2)·(n-1)· n обозначают n!
(читают эн факториал)
Например: 1!=1
2!=1·2=2
6!=1·2·3·4·5·6=720
Следовательно, число перестановок n предметов равно n!
Примеры разобрать из учебника №1-3 (с177), с комментариями.
Пример 1. Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на 8
беговых дорожках?
Решение: Число способов равно числу перестановок из 8 элементов. По формуле числа
перестановок находим, что P8  8! 1 2  3  4  5  6  7  8  40320 . Значит существует 40 320
способов расстановки участниц забега на 8 беговых дорожках.
Пример 2. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются,
можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?
Решение: Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить P4 перестановок. Из них надо исключить те
перестановки, которые начинаются с 0, так как натуральное число не может начинаться с
цифры 0. Число таких перестановок равно P3 . Значит, искомое число четырехзначных
чисел равно
P P
4
3
. Получаем
P P
4
3
=4! – 3! = 24 – 6 = 18.
Пример 3. Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими
способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?
Решение: Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо
расставить не девять а шесть книг. Это можно сделать P6 способами. В каждой из
полученных комбинаций можно выполнить
P
4
перестановок учебников. Значит, искомое
число способов расположения книг на полке равно произведению
Получаем
P P
6
4
=6!  4! = 720  24 = 17 280.
P P
6
4
.
IV. Закрепление.
№738(б), №740(б), 741
№738. Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без их
повторения), таких, которые: а) начинаются с цифры 3; б) кратны 15?
Решение:а) Из цифр 3, 5, 7, 9 составляем четырёхзначные числа, начинающиеся с цифры 3.
Фиксируем цифру 3 на первом месте; тогда на трёх оставшихся местах в произвольном
порядке могут располагаться цифры 5, 7, 9. Общее количество вариантов их расположения
равно Р 3 =3!=6. Столько и будет различных четырехзначных чисел, составленных из данных
цифр и начинающихся с цифры 3.
б) Заметим, сумма данных цифр 3+5+7+9= 24 делится на 3, следовательно, любое
четырёхзначное число, составленное из этих цифр, делится на 3. Для того чтобы некоторые
из этих чисел делились на 15, необходимо, чтобы они заканчивались цифрой 5.
Фиксируем цифру 5 на последнем месте; остальные 3 цифры можно разместить на трёх
местах перед 5 Р 3 =3!=6 различными способами. Столько и будет различных
четырёхзначных чисел, составленных из данных цифр, которые делятся на 15.
Ответ: а) 6 чисел; б) 6 чисел.
№740.Сколько чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 (без их повторения), таких,
которые: а) больше 3000; б) больше 2000?
Решение: а) Среди чисел составленных, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 (без повторения),
больше 3000 будут четырёхзначные числа, начинающиеся с цифр 3 или 4. Фиксируем на
первом месте 3, количество чисел равно Р 3 =3!=6.
Фиксируем на первом месте 4, количество чисел равно Р 3 =3!=6.
Таким образом, среди чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, есть 6+6=12 чисел больше 3000.
б) Среди чисел составленных, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 (без повторения), больше 2000
будут четырёхзначные числа, начинающиеся с цифр 2, 3 или 4. Количество таких чисел
равно 6 (фиксирована 2)+6(фиксирована 3)+ (фиксирована 4)=18. Можно применить метод
исключения ненужных вариантов:Р 4 - Р 3 (фиксирована 1) =4!-3!=24-6=18.Ответ: а) 12 чисел;
б) 18 чисел.
№ 741.Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите
число возможных комбинаций, если:
а) Олег должен находиться в конце ряда;
б) Олег должен находиться в начале ряда, а Игорь — в конце ряда;
в) Олег и Игорь должны стоять рядом.
Решение:
а) Всего 7 мальчиков на 7 местах, но один элемент фиксирован, не переставляется (Олег
находится в конце ряда). Число возможных комбинаций равно числу перестановок 6
мальчиков, стоящих перед Олегом: Р 6 =6!=720.
б) Два элемента фиксированы. Число возможных комбинаций равно числу перестановок 5
мальчиков, стоящих между Олегом и Игорем: Р 5 = 5!= 120.
в) Воспользуемся приёмом «склеивания» элементов. Пусть Олег и Игорь стоят рядом в
порядке ОИ. Будем рассматривать эту пару как единый элемент, переставляемый с другими
пятью элементами. Число возможных комбинаций будет равно Р 6 =6!=720 Пусть Олег и
Игорь стоят рядом в порядке ИО. Тогда получим ещё Р 6 =6!=720 других комбинаций.
Общее число комбинаций, в которых Олег и Игорь стоят рядом (любом порядке) равно
720+720=1 440.
Ответ: а) 720; б) 120; в) 1 440 комбинаций.
V. Обучающая самостоятельная работа:
I вариант
№ 732.
Сколькими способами
четыре человека могут разместиться
на четырехместной скамейке?
Решение:
Количество
человек
равно
количеству мест на скамейке, по
этому
количество
способов
размещения
равно
числу
перестановок из 4 элементов:
Р𝟒 =4!=24.
Можно рассуждать по правилу
произведения: для первого человека
можно выбрать любое из четырех
мест, для второго – любое из трех
оставшихся, для третьего – любое из
двух оставшихся, последний займет
последнее оставшееся место; всего
есть 4*3*2*1=24 различных способов
размещения
4
человек
на
четырехместной скамейке.
Ответ: 24 способа.
II вариант
№
735.
Сколько
существует
выражений, тождественно равных
произведению
abcde,
которые
получаются из него перестановкой
множителей?
Решение:
Дано произведение пяти различных
сомножителей, порядок которых
может меняться, (при перестановке
множителей
произведение
не
меняется).
Всего существует Р 5 = 5!= 120
различных способов расположения
пяти множителей; один из которых
будем считать исходным, остальные
119 тождественно равны данному.
Ответ: 119 выражений.
№ 737(а). Сколько шестизначных
чисел, в записи которых каждая
цифра используется только один
раз, можно составить из цифр:
а) 1, 2, 5, 6, 7, 8;
№ 739. Найдите сумму цифр всех
четырехзначных чисел, которые
можно составить из цифр 1, 3, 5, 7
(без их повторения).
Решение:
Каждое четырёхзначное число,
составленное из цифр 1, 3, 5, 7 (без
повторения) имеет сумму цифр
равную 1+3+ 5+ 7=16.
Из этих цифр можно составить Р 4 =
а) Дано 6 цифр: 1, 2, 5, 6, 7, 8 из них
можно
составить
разные
шестизначные
числа,
только
переставляя эти числа местами.
Количество
различных
шестизначных чисел при этом равно
Решение:
4!=24
различных
отличающихся только
числа,
порядком
Р 6 =6!=720.
цифр. Сумма цифр всех этих чисел
равна 16•24=384.
Ответ: 384.
VI. Д/з №734;№737(б);№738(а);№740(а);№742.
№734. Сколькими способами 9 человек могут, встать в очередь в театральную кассу?
Решение: Присвоим каждому человеку номер 9 (от 1 до 9). Тогда каждый способ
расположения этих людей в очереди будет представлять собой последовательность из 9
цифр, порядок которых может меняться.
Количество способов, которыми 9 человек могут встать в очередь, равно Р 9 = 9!=362 880.
Ответ: 362 880 способов.
№737(б) Сколько шестизначных чисел, в записи которых каждая цифра используется
только один раз, можно составить из цифр:
б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?
Решение:б) Дано 6 цифр 0, 2, 5, 6, 7, 8, из них нужно составить различные шестизначные
числа. Отличие от предыдущей задачи состоит в том, что 0 не может стоять на первом месте.
Можно напрямую применить правило произведения на первое место можно выбрать
любую из 5 цифр (кроме нуля); на второе-любую из пяти оставшихся цифр ( 4 «нулевые» и
теперь считаем ноль); на третье место- любую из 4 оставшихся после двух первых выборов
цифр, и т. д. Общее количество вариантов равно: 5•5•4•3•2•1=600.
Можно применить метод исключения лишних вариантов. 6 цифр можно переставить Р 6 =
6!=720 различными способами. Среди этих способов будут и такие, в которых на первом
месте стоит ноль, что не допустимо. Подсчитаем количество этих недопустимых вариантов.
Если на первом месте стоит ноль, он (фиксирован), то на последующих пяти местах могут
стоять в произвольном порядке «ненулевые» цифры 2, 5, 6, 7, 8. Количество разных
способов, которыми можно разместить 5 цифр на пяти местах, равно Р 5 =5!=120, т. е.
количество перестановок чисел, начинающихся с нуля, равно120.
Искомое количество различных шестизначных чисел в этом случае равно: Р 6 - Р 5 =720120=600.
Ответ: а) 720; б) 600 чисел.
№738(а) Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без их
повторения), таких, которые: а) начинаются с цифры 3; б) кратны 15?
Решение:а) Из цифр 3, 5, 7, 9 составляем четырёхзначные числа, начинающиеся с цифры 3.
Фиксируем цифру 3 на первом месте; тогда на трёх оставшихся местах в произвольном
порядке могут располагаться цифры 5, 7, 9. Общее количество вариантов их расположения
равно Р 3 =3!=6. Столько и будет различных четырехзначных чисел, составленных из данных
цифр и начинающихся с цифры 3.
№740(а) Сколько чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 (без их повторения), таких,
которые: а) больше 3000; б) больше 2000?
Решение:а) Среди чисел составленных, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 (без повторения),
больше 3000 будут четырёхзначные числа, начинающиеся с цифр 3 или 4. Фиксируем на
первом месте 3, количество чисел равно Р 3 =3!=6.
Фиксируем на первом месте 4, количество чисел равно Р 3 =3!=6.
Таким образом, среди чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, есть 6+6=12 чисел больше 3000.
№742. В расписании на понедельник шесть уроков: русский язык, алгебра, геометрия,
биология, история, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание уроков
на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?
Решение: Всего 6 уроков из них два урока должны стоять рядом.
«Склеиваем» два элемента (алгебра и геометрия) сначала в порядке АГ, затем в порядке ГА.
При каждом варианте «склеивания» получаем Р 5 = 5!= 120 различных вариантов
расписания. Общее количество способов составить расписание равно 120+120=240.
Ответ: 240 способов.
VII. Итог.