УДК 539.124.6:539.189.2:541.6:621.382 СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ ПОЗИТРОНАМИ И ЭЛЕКТРОНАМИ. I. ПОЗИТРОНЫ И ПОЗИТРОНИЙ, ПОЗИТРОННЫЕ И ПОЗИТРОНИЕВЫЕ КОМПЛЕКСЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ Е.П.Прокопьев Федеральное Государственное Унитарное Предприятие «Государственный Научный центр Российской Федерации- Институт теоретической и Экспериментальной Физики им. А.И.Алиханова», ФГУП ГНЦ РФ – ИТЭФ, 117218 Россия, Москва, ул. Б.Черемушкинская, 25 2 Московский Государственный Институт Электронной техники (технический университет), МИЭТ, 124498 Россия, Москва, г.Зеленоград, проезд 4806, д.5 1 Введение 1. Квантовополевая теория систем многих электронов и позитронов в твердом теле 2. Электроны и позитроны в кристаллической решетке: формулировка проблемы многих тел. Приближение Хартри-Фока 3. Электроны и позитроны в кристаллической решетке. Теорема Блоха 4. Метод эффективной массы 5. Функции Ванье: волновые пакеты из функций Блоха электронов и позитронов 6. Электроны, позитроны, дырки в кристалле 6.1 Электронные дырки в кристалле 6.2 Взаимодействие между электронами, дырками и позитронами 7. Экситоны, атом Ps и позитрон-экситонные комплексы 8. Модель Френкеля атома позитрония малого радиуса Важнейшей проблемой физики медленных позитронов является построение строгой теории аннигиляции в кристаллических твердых телах (см., например, [1]). Поэтому в данном исследовании сформулируем проблему многих электронов и позитронов в твердом теле с помощью перехода от вторичного квантования к конфигурационному представлению по методу Фока [2], использованного работах [3-7]. Вначале приведем методы расчетов стационарных состояний систем из n электронов и m позитронов во внешнем поле и поле кристаллической решетки [4] и вероятностей аннигиляционных переходов в этих внешних полях [3,8]. Квантовополевая теория систем многих электронов и позитронов в твердом теле. Известно, что связь между конфигурационным пространством и вторичным квантованием по Фоку [2] дается следующим образом. Гамильтониан с неопределенным числом частиц в рамках метода вторичного квантования имеет вид [4] 1 H ( x ) H ( x ) ( x )dx 1 ( x ) ( x )G( x, x ) ( x ) ( x )dxdx , 2 (1) где ( x ) и ( x ) - операторы уничтожения и рождения фермиевского поля. Они удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x x ) (2) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) 0 Здесь 1 соответствует случаю бозонов, а 1 - фермионов. В том случае, если оператор числа частиц nˆ ( x) ( x)dx (3) диагонален, то операторы и имеют не равные нулю матричные элементы (n | | n 1) и ( n 1 | | n) , где 0...(0 | | 1)..........0.............0........ ( x) 0.........0...........(1 | | 2) 0.........0................0.......(2 | | 3)... (4) 0.........0................0.............0.......... ......0...................0...............0..............0. (1 | | 0)...........0...............0..............0. ( x ) ......0............(2 | | 1)........0...............0 .. (5) .......0...................0.......(3 | | 2).......0 . Вектор состояния по Фоку, на который действуют операторы рождения и уничтожения частиц и имеет вид 2 const ( x ) 1 ( x1 , x 2 ) , ( x1 ,... x n ...) (6) где каждый элемент столбца представляет собой волновую функцию Шредингера в пространстве с определенным числом частиц Выпишем действие операторов (n | | n 1) и (n 1 | | n) по Фоку на волновую функцию ( x1 , x 2 ..., x n ) ( n 1 | | n) ( x1 ,..., xn ) n ( x1 ,..., xn1 ) , ( n 1 | | n ) ( x1 ,..., x n ) n 1 n 1 n 1 ( x k x ) ( x1 ,..., x k 1 , x k 1 ,... x n ) , (6) (7) k 1 ( n | ( x ) ( x ) | n) ( x1 ,..., x n ) n ( x k x ) ( x1 ,..., x k 1 , x , x k 1 ,... x n ) , (8) k 1 ( n | ( x ) ( x ) | n) ( x1 ,..., x n ) ( x x ) ( x1 ,..., x n ) n ( x k x ) ( x1 ,..., x k 1 , x , x k 1 ,... x n ) , (9) k 1 Квантованное уравнение движения имеет вид H ( x ) ( x ) [ H 0 ( x) V ( x )] ( x ) i t (10) Здесь H ( x ) H 0 ( x ) V ( x ). Именно из этого уравнения можем получить уравнение Шредингера в конфигурационном пространстве для системы с определенным числом частиц. Гамильтониан взаимодействия электронов во внешнем поле равен H ( x )H ( x ) ( x )dx e2 2 ( x ) ( x ) 1 ( x ) ( x )dxdx | r r| (11) Из выражения (11) находим энергию системы с определенным числом частиц n . W Wn | H | Wn ( x1 ,..., xn )(n | H | n) ( x1 ,..., xn )dx1 ...dxn (12) 3 1 ( x1 )... 1 ( x 2 )... 1 ( x3 )... 1 2 ( x1 )... 2 ( x 2 )... 2 ( x 3 )... 1 ( x1 , x 2 ,... x n ) i ( xk ) n! 3 ( x1 )... 3 ( x 2 )... 3 ( x3 )... n! i ,k 1, 2... n (13) ........................................ Таким образом W n i H ( x)dx i 1 e 2 ( x, x ) ( x , x ) | ( x, x ) |2 dxdx 2 | r r | (14) Минимизируя функционал W 0 с учетом ортонормированности i ( x) j ( x)dx ij (15) получаем уравнения Фока 2 H ( x) e 1 j ( x ) j ( x )dx i ( x ) j 1 | r r | n n e | r r | 1 2 j 1 j ( x ) i ( x )dx j ( x) (16) n ij j ( x ), j 1,2...n j 1 Выражение (16) и есть уравнения Фока в конфигурационном пространстве в произвольном внешнем поле. Использование этих уравнений (наиболее строгих) в проблеме твердого тела чрезвычайно затруднено. Полезно изложить основные черты математического формализма получения этих уравнений для систем со многими позитронами и электронами в конденсированных средах и твердом теле в приближении метода Хартри-Фока [5]. Для этого изложим формализм вторичного квантования, обычно проводимый в два этапа. Для этого вначале рассмотрим «классическое поле», а затеи его квантование. В качестве классического волнового уравнения выбираем уравнение Шредингера 2 2 V ( x ) i t 2m (17) 4 и комплексно сопряженное ему уравнение 2 2 * * V ( x ) i t 2m (18) Выпишем функцию Лагранжа, а также уравнение Лагранжа, которые приводят к уравнениям (17) и (18) 2 2 L * i V ( x ) dx 2m t (19) Отсюда следует d L L 2 2 i V ( x ) 0, dt * * 2m (20) то есть это просто уравнения (17) и (18). Канонически сопряженный импульс введем как произвольную функцию Лагранжа L * , i (21) Таким образом, получаем функцию Гамильтона из функции Лагранжа посредством соотношения 2 2 H ( L)d 3 x i * i * * *V d 3 x 2m (22) Отсюда находим явный вид первично квантованной функции Гамильтона 2 2 H ( x ) V ( x ) ( x )d 3 x , 2m (23) Заметим, что в данном случае волновые функции и * представляют собой «классические поля». Разложим амплитуду поля по собственным функциям волнового уравнения Шредингера 5 2 2 V i t 2m (24) i (25 Эти функции записываются в виде exp( E t ) ( x ) Отметим, потенциал V не зависит от времени. Разложим теперь волновую функцию ( x ) по этим собственным функциям . Запишем временной множитель в виде i a (t ) a (0) exp t (26) Отсюда разложение волновых функций и * принимают следующие значения ( x ) b ( x ) , (27) * ( x ) b * ( x ) , (28) Полезно напомнить, как получаются перестановочные соотношения для амплитуд a . Для этого введем вакуумное состояние 0 и a - оператор рождения. Тогда формально можно создать две частицы в одном и том же состоянии через a a 0 . Естественно, что a a 0 0 (29) Требование (29) должно соблюдаться не только для 0 , но и для любого , так что a a 0 (30) Отсюда легко постулируются перестановочные соотношения для ферми-частиц для амплитуд поля 6 a a a a 0 , (31) a a a a , (32) a a a a , (33) Так как полевые операторы ( x ) и ( x ) связаны с операторами a и a через разложения (27), (28), то перестановочные соотношения (31)-(33) имеют своим следствием перестановочные соотношения для и * вида (2) и наоборот. Таким образом, оператор Гамильтона оказывается равным 2 2 H V ( x )d 3 x 2m E a a (34) При этом уравнение Шредингера для квантованного состояния имеет вид H E , (35) a 0 0 (36) причем и ( n ) ( a ) n (37) Энергия E дается выражением E E n , где n 0 или 1 (38) Полное число частиц равно 7 N n (39) Далее рассмотрим наиболее общее одночастичное состояние, задаваемое суперпозицией одночастичных состояний причем C a (40) 0 | C | 1 является еще произвольным. Перейдем вновь к представлению состояния . 2 Очевидно, что a ( x ) ( x )d 3 x (41) Подставляя (41) в (40), получаем Функция f (x ) C ( x ) ( x )d 3 x f ( x) ( x )d 3 x 0 (42) удовлетворяет обычному одночастичному уравнению Шредингера. Далее подставим одночастичные функции (42) во вторично квантованное уравнение Шредингера (35). Имеем 2 2 H ( x ) V ( x )) ( x ) f ( x ) ( x )d 3 x 0 2m (43) С учетом перестановочных соотношений ( x ) ( x ) 0 ( x) ( x x ) 0 ( x ) ( x x ) 0 получаем из (43) H 2 2 f ( x ) ( x ) V ( x )) ( x ) ( x x )d 3 xd 3 x 0 2m (44) 8 Это выражение преобразуется к виду 2 2 H ( x ) 0 V ( x )) f ( x )d 3 x 2m (45) 2 2 V ( x )) f ( x ) Ef ( x ) 2m (46) Легко видеть, что Теперь рассмотрим наиболее общее состояние двух частиц C C a a 1 2 1 2 (47) 0 1 2 Как и ранее C C ( x ) ( x ) 1 2 1 2 ( x ) ( x ) 0 d 3 xd 3 x f ( x, x ) ( x ) ( x )d 3 xd 3 x 0 (48) 1 2 Причем f ( x, x ) f ( x , x ) (49) Выберем 2 2 1 H ( x ) V ( x )) ( x ) ( x )d 3 x 2 m 2 ( x) ( x ) e2 ( x ) ( x )d 3 xd 3 x | x x | (50) Тогда нетрудно показать, что функция f ( x, x ) удовлетворяет уравнению Шредингера для двух частиц 2 2 2 2 e2 x1 x2 V ( x1 ) V ( x2 ) 2m | x1 x2 2m f ( x, x ) Ef ( x, x ) | (51) 9 Можно легко обобщить этот результат для n частиц n 2 2m j 1 2 xj 2 2 e2 x2 V ( x j ) V ( x2 ) 2m i j | xi x j f ( x1 , x2 ,... x n ) Ef ( x1 , x2 ,... x n ) | (52) Развитый выше формализм позволяет нам сформулировать задачу и для системы m нерелятивистских позитронов. Рассмотрим теперь систему из n электронов и m позитронов в кристаллической решетке твердого тела в приближении Хартри-Фока. 2. Электроны и позитроны в кристаллической решетке: формулировка проблемы многих тел. Приближение Хартри-Фока Сформулируем проблему многих электронов и позитронов в твердом теле с помощью метода вторичного квантования. Представим себе следующую картину: электроны и позитроны движутся в строго периодической решетке, ионы которой имеют бесконечно тяжелые массы. Иными словами можно считать, что они находятся в состоянии покоя. Принимаем далее, что электроны внутренних атомных оболочек учитываются в целом тем, что они вместе с положительно заряженными атомными ядрами создают эффективный, периодический с периодом решетки потенциал V . Естественно, что позитроны в основном движутся по периферии атомов кристалла в силу электростатического отталкивания ядер. Оператор Гамильтона для электронов и позитронов состоит из четырех частей: кинетической энергии электронов (позитронов), потенциальной энергии взаимодействия между электронами (позитронами), кулоновской энергии взаимодействия между электронами (позитронами) и кулоновского взаимодействия электронов с позитронами. Соответствующее уравнение Шредингера будет иметь вид 2 2 1 e2 V p ( x )) ( x )d 3 x ( x ) ( x ) ( x ) ( x )d 3 xd 3 x ( x ) 2 | x x | 2m E 2 e ( x ) ( x )d 3 xd 3 x ( x ) ( x ) | x x | (53) 10 2 2 1 e2 V p ( x )) ( x )d 3 x ( x ) ( x ) ( x ) ( x )d 3 xd 3 x ( x ) 2 | x x | 2m E 2 e ( x ) ( x )d 3 xd 3 x ( x ) ( x ) | x x | (54) Причем функции ( x ), ( x ), ( x ), ( x ) являются операторами, удовлетворяющими фермиперестановочным соотношениям типа (31)-(33). Разложим эти операторы по собственным функциям k , k* , k , k* ( x) a k k ( x); ( x) a k k ( x ) k (55) k ( x) a k k* ( x ); ( x ) a k k* ( x) k Принимаем, что собственные функции (56) k k , k* , k , k* образуют полный набор ортонормированных функций, но их следует оптимизировать так, чтобы они являлись решениями уравнения Щредингера. Для этого используем метод Хартри-Фока, уже описанный выше. Создадим некоторое состояние электронов и позитронов кристалла. Для этого следует расположить электроны и позитроны один за другим по состояниям k 1 , k 2 , k 3 ...k n и k 1 , k 2 , k 3 ...k m . Таким образом ak1 ak2 ...akm ak1 ak2 ...akn 0 (57) Используем эту функцию для построения среднего значения оператора Гамильтона H H H (см.(53) и (54)) с дополнительным условием, что функция состояния нормирована. Далее требуем условия | H | | H H | min (58) с дополнительным условием 1 (59) 11 и вычислим выражение (58) как функционал k , k . Затем определяем k , k с помощью варьирования. Для этого подставим (55) и (56) в (53) и (54). Поскольку операторы a и a не зависят от интегрирования, волновые функции k , k коммутируют с операторами, то операторы можно вынести за знак интеграла. Тогда выражение для оператора Гамильтона принимает вид H 2 2 a l a m l* ( x ) V p ( x ) m ( x )d 3 x 2m l m 1 e2 a l a m a m a l l* ( x ) m* ( x ) m ( x ) l ( x )d 3 xd 3 x 2 l m ,l m |xx | a l a m a l a m l m ,l m * l ( x ) m ( x ) m ( x ) m ( x ) e2 l* ( x ) m ( x )d 3 xd 3 x | x x | 2 2 a l a m l* ( x ) V p ( x ) m ( x )d 3 x 2m l m 1 e2 a l a m a m a l l* ( x ) m* ( x ) m ( x ) l ( x )d 3 xd 3 x 2 l m ,l m | x x | a l a m a l a m l* ( x ) m ( x ) l m ,l m (60) 2 2 V p ( x ) k ( x ) 2m k j * k j e2 l ( x ) m ( x )d 3 xd 3 x |xx | ( x ) k* j ( x ) k j e2 k ( x )d 3 x k ( x ) | x x | j e2 k j ( x )d 3 x k ( x ) | x x | * k j ( x ) k j e2 k j ( x )d 3 x k ( x ) E k ( x ), | x x | Далее следует построить среднее значение этого Гамильтониана на функциях состояния (55), (56). Используя метод Хакена [4], сразу же получаем 12 | H | 2 2 V p ( x ) k j ( x )d 3 x 2m k* j ( x) k j * * k j ( x) ki ( x ) e2 ki ( x ) k j ( x )d 3 xd 3 x |xx | * * k j ( x) ki ( x ) e2 k ( x ) k j ( x )d 3 xd 3 x | x x | i 1 2 k j ,k i 1 2 k j ,k i k j ,k i * * k j ( x) ki ( x ) 2 2 V p ( x ) k j ( x )d 3 x 2m k* j ( x) k j ( x ) k*i ( x ) e2 ki ( x ) k j ( x )d 3 xd 3 x |xx | * * k j ( x) ki ( x ) e2 k ( x ) k j ( x )d 3 xd 3 x | x x | i 1 2 k j ,k i 1 2 k j ,k i k i ,k j Здесь e2 k ( x ) k j ( x )d 3 xd 3 x | x x | i * k j * * ki ( x) ki ( x ) суммирование распространяется (61) e2 k j ( x ) k j ( x )d 3 xd 3 x |xx | только на занятые состояния k 1 , k 2 , k 3 ...k n и k 1 , k 2 , k 3 ...k m . Условие нормировки используется, как обычно, в качестве дополнительного условия * k k d 3 x 1 ; * k kd 3 x 1 (62) Для этого применим обычным образом параметр Лагранжа, который обозначим через E . Проведение варьирования / k* и / k* приводит сразу же к уравнениям 2 2 V p ( x ) k ( x ) 2m k j 2 * k j k* j ( x ) k j e2 k ( x )d 3 x k ( x ) | x x | j e ( x ) k j ( x )d 3 x k ( x ) |xx | k j * k j e2 ( x ) k j ( x )d 3 x k ( x ) E k ( x ), |xx | (63) 13 2 2 V p ( x ) k ( x ) 2m k j k* j ( x ) k j e2 k ( x )d 3 x k ( x ) | x x | j 2 * k j e ( x ) k ( x )d 3 x k ( x ) | x x | j * k j k j e2 ( x ) k ( x )d 3 x k ( x ) E k ( x ), | x x | j (64) Для интерпретации уравнений самосогласованного поля (63) и (64) рассмотрим входящие в него отдельные члены. Первые члены в фигурных скобках в уравнениях (63), (64) представляют потенциальную и кинетическую энергию электронов и позитронов в периодической решетке кристалла соответственно. Следующие выражения в уравнениях (63), (64) представляют представляют произведения искомых функций k , k и сумм по k j , k j ~ ~ k ( x) V ( x), k V ( x) (65) Здесь V ( x ) | k j ( x ) |2 | k j ( x ) |2 k j V ( x ) k j e2 d 3 x | x x | e2 d 3 x | x x | | k j ( x ) |2 e2 d 3 x | x x | (66) | k j ( x ) |2 e2 d 3 x | x x | (67) k j k j Так как | k j ( x) |2 и | k j ( x) |2 имеют смысл плотности заряда для электронов и позитронов, то суммы по k j , k j имеют смысл электростатических потенциалов электронов и позитронов в состояниях k j , k j . Предпоследние члены в уравнениях (63), (64) имеют вид V ( x ) k j ( x ) Ak j ,k ( x ) (68) k j ( x ) Ak j ,k ( x ) (69) k j V ( x ) k j где 14 e2 k j ( x )d 3 x , | x x | (70) e2 k ( x )d 3 x | x x | j (71) Ak j ,k ( x ) k* j ( x ) Ak j ,k ( x ) k* j ( x ) Выражения (68)-(71) характеризуют так называемое обменное кулоновское взаимодействие . Таким образом, можем записать уравнения (63), (64) в виде 2 2 ~ V p ( x ) V ( x ) k ( x ) 2m A 2 2 ~ V p ( x ) V ( x ) k ( x ) 2m A k j ,k k j ( x ) E k ( x ) (72) k j ( x ) E k ( x ) (73) k j k j ,k k j В реальных условиях экспериментов концентрация позитронов составляет величину ~ 1 см-3, поэтому уравнение (73) существенно упрощается 2 2 ~ V p ( x ) V ( x ) k ( x ) E k ( x ) 2m (74) Здесь ~ V ( x ) k j | k j ( x ) |2 e2 d 3 x | x x | (75) Уравнение Шредингера вида (72) и (73) можно записать в краткой форме 2 2 H eff k ( x ) Veff ( x ) k ( x ) E k ( x ) 2m (76) 2 2 H eff k ( x ) Veff ( x ) k ( x ) E k _ ( x ) 2m (77) 15 В общем случае можно утверждать, что потенциалы Veff (x ) и Veff (x ) являются функциями, периодическими с периодом решетки кристалла. Выше мы никак не уточняли, насколько заполнены получившиеся электронная и позитронная зоны. Приведенный формализм может быть применен для случая полностью заполненной валентной зоны и соседней зоны проводимости с одним электроном или позитроном. Например, для функции избыточного электрона имеем ak L {ak L (ak1V ak2V ...aknV 0 )} ak L V (78) Функция избыточного позитрона в свою очередь имеет вид a k L V (79) Здесь L , L ,V индексы, относящиеся к электронной и позитронной зонам проводимости и валентной зоны соответственно. Принимаем, что ak L ak L V V ak L ak L V . Из этого уравнения следует вывод о том, что электронная дырка в твердом теле (или просто дырка) никоим образом не идентична позитрону, как реальной частице. 3. Электроны и позитроны в кристаллической решетке. Теорема Блоха В выражениях (76) и (77) введем обозначения Veff ( x) V ( x); Veff ( x V ( x), H eff H , H eff H . Тогда V ( x l ) V ( x ) , где l - один из векторов решетки, т.е. вектор, проведенный из одной точки решетки к следующей. Имеем 2 2 H k V ( x ) k ( x ) E k ( x ) 2m (80) 2 2 H k V ( x ) k ( x ) E k ( x ) 2m Далее k ( x l ) exp(ik l ) k ( x ); H ( x l ) H ( x ) (81) k ( x l ) exp(ik l ) k ( x ); H ( x l ) H ( x ) 16 Отсюда k ( x) exp(ik l )uk ( x); k ( x) exp(ik l )uk ( x) (82) Подстановка (83) в (82) дает u k ( x l ) u k ( x ) (83) Соотношения (82) и (83) и представляют собой теорему Блоха. Подставляя (82) в уравнения (80), получаем 2 2 ( k 2ik grad ) V ( x )u k ( x ) E k , j u k ( x ) 2m (84) Энергию E на краю зон можно разложить по k и при малых k представить в виде E k , j E 0 , j 2 k 2 2m* (85) 4. Метод эффективной массы 2 2 V ( x ) k ( x ) E k k ( x ) 2m (86) Здесь k exp(ik l ) 1 N u k ( x ) Так как E k , j E 0 , j 2 k 2 + (члены высокого порядка, которыми пренебрегаем), уравнение 2m* Тогда уравнение типа (86) 17 2 2 V ( x ) W ( x ) ( x ) E k ( x ) 2m сводится к более простой проблеме 2 2 E V ( x ) W ( x ) ( x ) E ( x ) 0 * 2m С учетом сдвига по энергии это уравнение переходит в 2 2 W ( x ) ( x ) E ( x ) * 2m (87) 5. Функции Ванье: волновые пакеты из функций Блоха электронов и позитронов Согласно [5], функции Ванье строятся из блоховских волн ( x l ) 1 N exp(ik l ) exp(ik l ))u k ( x) (88) k Здесь суммирование распространяется на все значения k внутри данной энергетической зоны, N - число элементарных ячеек. Функции Ванье обладают рядом важных свойств: 1. Функции Ванье описывают, например, локализацию позитрона в окрестности точки l на протяжении примерно одной постоянной решетки. Докажем это, приняв, что u k ( x ) не зависит от k , то есть uk ( x ) u0 ( x ) . В данном случае суммирование и (88) сразу же выполняется для всего кристалла (с точностью до фазового множителя) ( x l ) 1 N sin( x l x ) u0 ( x ) a sin( y l y ) a sin( z l z ) a sin( x l x ) sin( y l y ) sin( z l z ) L L L Здесь a - постоянная решетки кристалла, L - линейный размер кристалла. В знаменателе синусы можно замнить на их аргументы. Тогда 18 ( x l ) a u0 ( x ) N 1 3 sin ( x l x ) sin ( y l y ) sin ( z l z ) a a a (x lx ) (y ly ) (z lz ) (89) Из этого выражения легко видеть, что функция (89) действительно локализована в области пространства с размером a . 2. Важным свойством функций Ванье является их ортогональность, т.е. функции Ванье, локализованные в различных точках l , l или принадлежащих разным значениям , взаимно ортогональны. ( x l ) ( x l )d * * 3 x ll (90) 6. Электроны, позитроны, дырки в кристалле 6.1 Электронные дырки в кристалле Формализм вторичного квантования позволяет очень элегантным образом ввести понятие дырки как квазичастицы и описать ее свойства. Исходя из заполненной валентной зоны, из которой удален электрон в состоянии k . Это незаполненное состояние ведет себя как частица, но уже с положительным зарядом. Этот процесс математически выглядит следующим образом k a k v v (91) Здесь v - волновая функция заполненной валентной зоны, a k v - оператор уничтожения, а k волновая функция дырки. Вводим a kv d k , a k d k (92) Причем d k v a k v 0 (93) Таким образом состояние v для оператора d k представляет вакуумное состояние. С учетом (31)(33) имеем d l d m lm d m d l (94) 19 В свою очередь повторное применение этих перестановочных соотношений дает нам d l d m lm d m d l d m d l d m mm ll mm d l d l (95) ml ml ml d ml ml d l d m d m d m d m d l d l d m Подставляя (94) и (95) в электронную часть Гамильтониана, соответствующую электронам (индексы l и m ), получаем последовательно. Во-первых, у нас появляются члены, которые не зависят от операторов дырок, а именно символы Кронекера lm . Отсюда для энергии имеем некоторое постоянное значение Ev l 1 2 2 2 1 a l a m l* ( x ) V p ( x ) l ( x )d 3 x 2 2m lm l* ( x) m* ( x ) lm e2 m ( x ) l ( x )d 3 xd 3 x | x x | (96) e2 l* ( x ) m* ( x ) l ( x ) m ( x )d 3 xd 3 x | x x | Здесь E v - энергия электронов валентной зоны кристаллов. Во-вторых, рассмотрим члены в (60), содержащие пары операторов d m d l . Имеем d m d l lm 2 2 V ( x ) m ( x )d 3 x 2m * l ( x ) (97) * * m ( x ) m ( x ) m 2 e m ( x )d 3 x m ( x ) | x x | * * m ( x ) m ( x ) m e m ( x )d 3 x m ( x ) d 3 x | x x | 2 Здесь суммы по индексам l , m, m относятся ко всей валентной зоне. Можем записать (97) в виде d d m l * l ( x ) H eff m ( x )d 3 x (98) (99) l ,m или иначе d l ,m m d l Em * 3 l ( x ) m ( x )d x 20 В виду ортогональности волновых функций выражение (97) приводится к виду d k d k E k ,v (100) k В третьих, как следует из (95), имеются еще операторы, содержащие производные четырех операторов дырок, соответствующие кулоновскому взаимодействию между дырками H g g 1 d m d l d l d mW (l , m | ml ) , 2 lm,l m (101) где W (l , m | ml ) l* ( x ) m* ( x ) e2 m ( x ) l ( x )d 3 xd 3 x | x x | (102) Теперь, объединяя (96), (100) и (101), получаем оператор Гамильтона дырок H Ev d k d k E k ,v k 1 d k ,d k d k d k W ( k 3 , k 4 | k 1 , k 2 ) 2 k1 ,k 2 ,k3 ,k41 2 3 4 (103) Опуская кулоновское взаимодействие между дырками и производя разложение энергии вблизи точки k 0 в ряд, получаем E k ,v E 0 ,v 2 k 2 , mv 0 2 mv (104) Таким образом, оператор Гамильтона для дырок имеет вид H k d k d k 2 k 2 E 0 , v 2m v (105) Отсюда следует, что дырки ведут себя как частицы с положительной эффективной массой m v . 6.2 Взаимодействие между электронами, дырками и позитронами Рассмотрим полупроводниковый кристалл, в основном состоянии которого валентная зона полностью занята электронами, а зона проводимости пустая. Исследуем вопрос о том, какие 21 эффективные взаимодействия следует учитывать, если удалить некоторые электроны из валентной зоны, то есть создать в ней дырки, в зону проводимости. Причем не обязательно число дырок равно числу электронов в зоне проводимости. Их число при комнатной температуре может быть значительно больше за счет ионизации мелких примесных центров. Позитрон вводится в кристалл, например, из - радиоактивного источника – изотопа 22 Na и образует в кристалле позитронную зону проводимости. Пусть такого рода систему описывает уравнение Шредингера H E (106) с оператором Гамильтона 2 2 1 H ( x ) V p ( x ) ( x )d 3 x 2 2m 2 2 ( x ) V p ( x ) ( x )d 3 x 2m ( x) ( x ) e2 ( x ) ( x )d 3 xd 3 x | x x | e2 ( x ) ( x ) ( x ) ( x )d 3 xd 3 x | x x | (107) Так как мы хотим рассмотреть состояния в валентной зоне и электроны и позитрон в зонах проводимости в явном виде, разложим операторы поля по собственным функциям валентной зоны и зон проводимости ( x) a k ,v k* ,v ( x ) a k ,L k ,L ( x ) k ( x) a k ,v k ,v ( x) a k ,L k ,L ( x) k (108) k (109) k ( x) a k ,L k* ,L ( x) (110) k ( x ) a k ,L k ,L ( x ) (111) k При этом предполагаем, что волновые функции L,v , L определяются с помощью эффективных Гамильтонианов 22 H eff ( x) E ( x); H eff ( x ) E ( x ) , (112) где H eff 2 2 Veff 2m (113) Условия ортонормированности имеют вид * ( x) k , j ( x)d 3 x k ,i k k ij ; k* ,i ( x) k , j ( x)d 3 x k k ; (114) В соответствии со слагаемыми, входящими в (107), разложим оператор Гамильтона на отдельные части H H 0 H 0 H int H int (115) Подставляя разложения (108)-(111) в соответствующие разложения, получаем выражения для H 0 , H 0 H 0 2 2 a k ,i a k , j k* ,i ( x ) V p ( x ) k , j ( x )d 3 x, 2m k ,k ,i , j (116) H 0 k ,k , L , L a k ,i a k , j k 2 2 ( x ) V p ( x ) k ,L ( x )d 3 x ,, L 2m Заметим, что ввиду трансляционной симметрии задачи, двойное суммирование по k , k переходит в однократное. Третье слагаемое, стоящее в (115), после подстановки разложений (108)-(111) принимает вид H int 1 a a a a 2 k1k 2 k 3k 4 k1, j1 k 2 , j2 k 3, j3 k 4 , j4 * * k1,, j1 ( x ) k2,, j2 ( x ) e2 * ( x ) k* 4 ,, j4 ( x )d 3 xd 3 x , | x x | k 3,, j3 (117) H int 1 a a a a 2 k1k 2 k 1k 2 k1, L k 2 , L k1 j1 k 2 j2 * k 1,, L ( x ) k 2 , , L ( x ) 2 e * ( x ) k 2 ,, j2 ( x )d 3 xd 3 x | x x | k1,, j1 23 В дальнейшем вместо электронных операторов валентной зоны вводим операторы дырок ak ,v d k , a k ,v d k (118) Далее несколько упростим наши обозначения, а именно, опустим у операторов, относящихся к электронам проводимости и позитрону, индексы L и L : ak , L a k ; a k ,L a k ; a k , L a k ; a k ,L a k Сделаем необходимое допущение о сохранении количества дырок, электронов и позитронов, то есть рассмотрим стационарные состояния системы. Акты аннигиляции позитронов и дырок на начальном этапе не учитываем. К тому же пренебрегаем виртуальными переходами, обусловленными перекрыванием волновых функций валентной зоны и зоны проводимости (так называемые поляризационные эффекты). Дальнейший формализм расчета состоит в том, что согласно (118), вводятся операторы дырок, затем оператор Гамильтона преобразуется таким образом, чтобы операторы уничтожения стояли справа. Проведем в H 0 , H 0 следующие опрощения и преобразования: для i j L : a k ,L a k ,L a k a k (119) для i j v : a k ,v a k ,v 1 d k d k (120) для i j v : a k ,L a k ,L a k a k (121) В H int необходимо учесть все возможные комбинации индексов, таких как , H int 1. Все индексы принадлежат электронной зоне проводимости j1 j2 j3 j4 L (122) 2. Все индексы принадлежат валентной зоне j1 j2 j3 j4 v (123) 24 3. Все индексы принадлежат валентной зоне и два – зоне проводимости, то есть j1 j4 v ; j1 j4 L ; j2 j3 L ; j2 j3 v , (124) а также следующие комбинации индексов j1 j3 v ; j1 j3 L ; j2 j4 L ; j2 j4 v , (125) которые дают равным образом одинаковые вклады. Введем краткое обозначение матричного элемента, описывающего кулоновское взаимодействие * ( x ) k* j k 1,, j1 2 ,, 2 e2 ( x ) k j ( x ) k j ( x )d 3 xd 3 x W 4 ,, 4 | x x | 3 ,, 3 k 1 k 2 k 3 k 4 (126) j1 j2 j3 j 4 Верхний ряд индексов в W и W относятся к векторам k , а нижний ряд W к индексам зоны проводимости или валентной зоны. Индексы j1 , j2 принимают естественно значения L , L , либо v, v . Рассмотрим матричный элемент кулоновского взаимодействия для позитрона * k 1,, L e2 ( x ) k L ( x ) ( x ) k j ( x )d 3 xd 3 x W 1,, 4 ,, 4 | x x | k3,, j3 k 1 k 2 k 3 k 4 (127) j3 j4 Опять-таки индексы j3 , j4 принимают естественно значения L , L , либо v, v . Согласно комбинации индексов имеются разные вклады в операторы взаимодействия H int , , H int а именно: взаимодействия в зоне проводимости и взаимодействия между зоной проводимости и валентной зоной H int H L L H L L H Lv H vv H int H L L H Lv (128) (129) 25 Итак, в соответствии с (128) и (129) получаем следующие вклады: 1. Взаимодействие между электронами проводимости H L L 1 a a a a W 2 k1...k 4 k1 k2 k3 k4 k 1 k 2 k 3 k 4 (130) L L L L 2. Взаимодействие между электронами проводимости и позитроном H L L 1 a k a k a k a k W 2 k1...k 2 k #..k 4 1 2 # 4 k 1 k 2 k 3 k 4 (131) L L L L 3. Взаимодействие между дырками в валентной зоне H vv 1 d d d d W 2 k1...k 2 k3k 4 k1 k 2 k3 k 4 k 1 k 2 k 3 k 4 (132) vv vv Перенесем в данном выражении операторы уничтожения направо и проведем соответствующие преобразования. Тогда H vv можно представить в виде H vv 1 ( k k k k k k k k k k d k d k k k d k d k k k d k d k k k d k d k 1 3 4 2 3 4 3 1 1 4 3 2 2 k1..k 2 k 3k 4 2 3 1 4 1 3 2 4 2 3 4 1 (133) k 1 k 2 k 3 k 4 d k d k d k d k W 3 4 1 2 vv vv Рассмотрим отдельные члены в выражении (133) от A до G, причем для этого необходимо вычислить множитель W в (133). Член А дает кулоновское взаимодействие в заполненной валентной зоне и экспериментально не наблюдаем. Член В характеризует кулоновское обменное взаимодействие в заполненной валентной зоне, в то время как член С дает взаимодействие дырок с валентными электронами, а Д представляет соответствующее кулоновское обменной взаимодействие. Последние члены совпадают с предыдущими: Е=Д и F=C. Члены С и Д, как видели ранее, участвуют в определении волновых функций зоны с помощью метода 26 самосогласованного поля, т.е. в данном случае они для нас не интересны, за исключением члена G. Тогда имеем H vv k 1 k 2 k 3 k 4 1 d k d k d k d k W 2 k1..k 2 k 3k 4 3 4 1 2 VV (134) VV 4. Взаимодействие между электронами проводимости и дырками Согласно табличкам 128) и (129) в них присутствуют два разнородных члена. Исследуем выражение, H LV 1 2 a k 1 k 2 k 3 k 4 k 1 j1 ak 2 j2 ak 3 j3 ak 4 j4 , W j1 j2 (135) j3 j1 где на индексы j1 ... j4 наложены ограничения (128) и (129). Рассмотрим вклады по следующей схеме LVVL a k a k d k d k ;VL LV a k a k d k d k (136) LVLV - a k a k d k d k ;VLVL a k a k d k d k (137) 1 1 4 3 2 3 3 1 4 2 4 4 2 1 3 3 Можно легко показать, что вклады в (135) от комбинаций (136) и (137) идентичны внутри себя. Для этого надо изменить в сумме (135) следующим образом: k 1 заменим на k 2 , k 2 на k 1 , k 3 на k 4 и k 4 на k 3 . Тем самым вторая строка в (135) переходит в новый матричный элемент k 1 k 2 k 3 k 4 k 2 k 1 k 4 k 3 W W LV VL , VL (138) LV причем в явном выражении для матричного элемента следует поменять координаты x x . Таким образом, матричные элементы в (138) равны друг другу. То же самое относится и к (137). Таким образом для дальнейшего, если ограничиться первыми членами в (136) и (137), а оставшие комбинации учтем просто введением в сумме (135) множителя 2. Выражение для 27 взаимодействия согласно первой строке (136) можно преобразовать с помощью перестановочных соотношений для дырок. При этом получаем H L(1V) k 1 k 2 k 3 k 4 a k a k 1 4 k 2 k3 W k 1 ... k 4 LV k 1 k 2 k 3 k 4 a k a k d k d k 1 4 3 2 k 2 k3 W k 1 ... k 4 VL , LV (139) VL Первая сумма в (139) описывает взаимодействие электронов в зоне проводимости с заполненной валентной зоной. Это видно, если несколько преобразовать это выражение, используя стоящие в них символы Кронекера. Тогда для первой части выражения (139) получаем H L(1)V a k a k 1 4 W K k 1k 4 k 1 k k k 4 , (140) LV VL Для того, чтобы сделать это выражение физически ясным, воспользуемся видом W , представленным в (126). После чего получаем W K k 1 k 2 k 3 k 4 ( x ) , L k* LV VL k ( x ) ,V K 2 e2 2 2 d 3 x V p ( x ) k ,L ( x )d 3 x , | x x | 2m (141) Как раз это выражение в (135) и определяет собой энергию взаимодействия электронов проводимости с заполненной валентной зоной. Второе выражение в (136), относящееся к (135), описывает уничтожение и последующее рождение дырки и одновременно тем самым уничтожение и последующее рождение электрона и одновременно тем самым уничтожение и последующее рождение электрона. Это выражение таким образом описывает рассеяние электрона на дырке, которое обусловлено кулоновским взаимодействием. Это рассеяние в рамках нашего формализма заключено в выражении W . Аналогичным образом опишем взаимодействие в (135), которое обусловлено (137). Отсюда сразу получаем H L( 2)V k 1 ... k 4 k 1 k 2 k 3 k 4 a k a k 2 4 k1k3W VL VL k 1 ... k 4 k 1 k 2 k 3 k 4 a k a k d k d k W 2 4 3 4 , VL (142) VL Первую сумму в этом выражении можно интерпретировать как обменное взаимодействие электронов в зоне проводимости с заполненной валентной зоной, а вторя сумма (наиболее важная) 28 описывает кулоновское взаимодействие (обменное) между электронами в зоне проводимости и дыркой. То, что здесь действительно речь идет об обменном взаимодействии, становится ясным, если исследовать явное выражение для W . При этом следует, что для равных значений k в зоне проводимости, т.е. для k 2 k 4 , появляется смешанная зарядовая плотность. 5. Взаимодействие позитрона с электронами проводимости и электронами полностью заполненной валентной зоны Сразу же можем записать H L L k 1 k 2 k 3 k 4 a k a k a k a k W 1 2 # 4 k 1...k 2 k #..k 4 ; L L L L (143) k 1 k 2 k 3 k 4 H LV a k a k a k a k W 1 2 # 4 k 1...k 2 k #..k 4 L L VV k 1 k 2 k 3 k 4 a k a k d k d k W 1 2 3 $ k 1...k 2 k #..k 4 L L VV В выражении (143) первый член соответствует кулоновскому взаимодействию позитрона в зоне проводимости с электронами полностью заполненной валентной зоны, а второй член отвечает кулоновскому взаимодействию позитрона с дырками в валентной зоне. Для полной ясности объединим полученные выше результаты в общий оператор Гамильтона для электронов, дырок и позитрона в кристалле H H 0 H int H e H p H h H eh H ep H ph H ee H hh WF (144) Рассмотрим вклады, соответствующие (144) He k a k a k * 2 2 ( x ) V p ( x ) k ,L ( x )d 3 x k ,L 2m k k k k k W LV VL k k k k W , (145) VL VL Этот член описывает энергию электронов в зоне проводимости (однако без учета взаимодействия электронов с электронами, дырками и позитроном). Это выражение обсуждалось уже ранее. Для позитрона имеем 29 Hp k 2 2 a k a k k* ,L ( x ) V p ( x ) k ,L ( x )d 3 x 2 m (146) Этот член описывает энергию позитрона в позитронной зоне проводимости. Для дырок получаем Hh k d k d k * 2 2 ( x ) V p ( x ) k ,V ( x )d 3 x k ,V 2m k k k k k W VV VV k k k k W , (147) VV VV И это выражение мы уже рассматривали ранее. Взаимодействие между электронами и дырками описывается выражением H e h k 1 k 2 k 3 k 4 ( 1)a k a k d k d k W 1 4 3 2 k 1 ...k 4 LV VL k 1k 2 k 3 k 4 a k a k d k d k W 2 4 3 1 k 1 ...k 4 , VL VL (148) В свою очередь взаимодействие между электронами и позитроном определяется выражением H e p a k a k a k a k 1 2 # 4 k 1...k 2 k #..k 4 k 1k 2 k 3 k 4 k 1k 2 k 3 k 4 W W L L L L L L L L (149) Взаимодействие между позитроном и дырками описывается выражением k 1 k 2 k 3 k 4 H p h a k a k d k d k W 1 2 # 4 k 1...k 2 k #..k 4 (150) L L VV Три последних члена в (144) интерпретируются следующим образом. Во-первых, это электрон-электронное взаимодействие в зоне проводимости H ee 1 a k a k a k a k W 2 k1...k 4 1 2 3 4 k 1 k 2 k 3 k 4 (151) L L VV 30 Во-вторых, это взаимодействие между дырками в валентной зоне H hh 1 d k d k d k d k W 2 k1...k 4 3 4 1 2 k 1 k 2 k 3 k 4 (152) VV VV В- третьих, это постоянный член, который не содержит никаких операторов WF k k k k * 1 2 2 3 V p ( x ) k ,V ( x )d x k ,V ( x ) W 2 m 2 k ,k VV VV k k k k k W , VV VV (153) который описывает энергию валентной зоны. Отметим, что записанные выше выражения (145), (146) и (147) представляют средние значения энергий электронов, позитрона и дырок: E k ,L , E k ,L , E k ,V . Можно принять для реальных условий экспериментов, что электроны, позитрон и дырки находятся вблизи краев зон. Поэтому используем разложения Ek Ek 2 k 2 , 2mL (154) , L E0,L , L E0,L 2 k 2 , 2mL (155) E 0,V 2 k 2 , 2mV (156) Ek ,V В рамках рассмотренной задачи решим проблему экситона, атома позитрония ( Ps ) и позитронэкситонного комплекса. 7. Экситоны, атом Ps и позитрон-экситонные комплексы Рассмотрим вначале проблему позитрон-экситонного комплекса в кристалле, т.е. систему, сосоящую из взаимодействующих между собой электрона, позитрона и дырки. Будем исходить из оператора Гамильтона системы электронов, позитрона и дырок в обозначениях Хакена [5] 31 H tot W F k 2 2 E0,L k 2mL a k a k d k a k 1 4 # 4 k ... k 4 k 2 2 E 0,L k 2mL a a k k k 2 k 1 k 3 k 4 W VV VV L L k d k d k k 1 k 2 k 3 k 4 1 d d d d W 2 k1 ... k 4 k3 k 4 k1 k 2 k 1k 2 k 3k 4 2 k 2 E 0,V 2mV k 1 k 2 k 3 k 4 W LV VL 1 a k a k a k a k W 2 k1 ... k 4 1 2 # 4 a a k k L L k 1 k 2 k 3 k 4 VV VV k 1k 2 k 3k 4 k 1 k 2 k 3 k 4 a k a k a k a k W 1 4 # 2 LV VL k 1 k 2 k 3 k 4 a k a k a k a k W 1 4 # 2 k 1k 2 k 3k 4 L L L L k 1 k 2 k 3 k 4 (157) a k a k d k d k W 1 4 # 2 LV VL В этом выражении первый член представляет собой энергию полностью заполненной зоны, второй член представляет кинетическую энергию электрона (индекс L ), третий член – кинетическую энергию дырок в валентной зоне (индекс V ), четвертый - кинетическую энергию позитрона в позитронной зоне проводимости (индекс L ), пятый член описывает взаимодействие между дырками и электронами, шестой член – взаимодействие между электронами в зоне проводимости, седьмой член – взаимодействие между дыркам в валентной зоне, восьмой член описывает взаимодействие электронов проводимости (индекс L ) и позитроном в позитронной зоне проводимости (индекс L ) и, наконец, девятый представляет энергию взаимодействия позитрона позитронной зоны проводимости (индекс L ) и дырками в валентной зоне (индекс V ). Следовательно задача позитрон-экситонного комплекса заключается в решении уравнения Шредингера H tot E (158) Приведем это решение в явном виде для случая одного электрона, позитрона и дырки. Волновые функции электрона в состоянии k 1 , позитрона в состоянии k 1 и дырки в состоянии k 2 можно получить из состояния, описывающего полностью заполненную валентную зону, последовательным действием операторов рождения a k1 , a k1 , d k2 на функцию заполненной зоны V 32 a k a k d k V 1 1 (159) 2 Следует отметить, что в общем случае k 1 k 1 . Из выражения (159) следует, что электрон, дырка и позитрон, пролетая друг относительно друга, испытывают естественно взаимное рассеяние, в результате чего попадают во все возможные различные конечные состояния k 1 , k 1 . Поэтому следует образовать сумму по всем состояниям k 1 , k 1 электрона, позитрона и дырки. Исходя из этого соображения, подход к системе позитрон-экситонного комплекса будет основан на волновой функции Ck 1 ,k 2 ,k 1 k1 ,k 2 ,k1 Теперь Гамильтониан (157) упрощается, a k a k d k V 1 т.к. 1 (160) 2 отсутствуют члены, соответствующие взаимодействию электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне. H tot WF k a k a k d k d k 1 4 2 3 k ... k 4 2 2 E0,L k 2mL k 1k 2 k 3k 4 a a k k k 2 k 2 E0,V 2mV k 1 k 2 k 3 k 4 W LV VL L L L L k 2 2 E0,L k 2mL a a k k k 2 k 1 k 3 k 4 W VL VL k 1 k 2 k 3 k 4 a k a k a k a k W 1 4 # 2 d k d k k 1k 2 k 3k 4 (161) k 1 k 2 k 3 k 4 a k a k a k a k W 1 2 3 4 LV VL Оператор (161) разложим, как обычно, на две части: кинетическую энергию электрона, позитрона и дырки и взаимодействия между ними (при этом, чтобы опустить член W F в (161) сдвинем соответствующим образом энергию E ). H tot H k H eh H ep H ph (162) Учитывая явный вид H k в (161) и волновой функции (160), получаем 33 2 k 21 2 k 21 2 k 22 consta k a k d k V , , k , k 1 1 2 1 1 2 2mv 2mL 2mL E0,L E0,v Ck k 1 ,k 1 ,k 2 const E0,L (163) В свою очередь запишем правую часть выражения (158) в явном виде E E Ck 1 ,k 1 ,k 2 V , k 1 ,k 1 ,k 2 (164) H e h k 1 k 2 k 3 k 4 W k 1 ... k 4 LV VL k 2 k 1 k 3 k 4 W C k ,k ,k ,k a k a k d k d k a k a k a k a k V 1 1 1 2 3 4 k ,k1 ,k1 ,k VL VL С помощью фермиевских перестановочных соотношений можем значительно упростить выражение (164), перетащив все операторы уничтожения направо и учтя также, что действие на V электронных, позитронных и дырочных операторов дает нуль. Поменяв индексы 3,2,4 местами (2 на 4, 3 на 2, и 4 на 3 – во втором члене (163), можем записать выражение (164) в виде H eh k ,k 2 ,k 3 ,k 4 C k ,k ,k ,k a k a k d k V 1 31 4 1 1 2 k 1 k 2 k 3 k 4 k 2 k 1 k 3 k 4 W W k 1 ... k 4 LV VL VL VL (165) Далее k 1 k 2 k 3 k 4 H p h W k 1 ,k 2 ,k 3 ,k 4 L L VL C k ,k ,k a k a k d k d k a k a k a k a k V 1 1 4 2 3 k ,k ,,k 4 (166) k 1k 1k 2 k 3k 4 k 4 k 1 k 2 k 3 k 4 Ck 4 ,k 3 ,k 4 L L L L И, наконец 34 k 1 k 2 k 3 k 4 H p h W k 1 ,k 2 ,k 3 ,k 4 LV VL C k k k a k a k d k d k a k a k a k a k V 1 4 2 3 k ,k ,k (167) k 1 k 4 k 2 k 3 C k ,k ,k a k a k d k V 4 3 4 1 1 2 k 1k 1k 2 k 3k 4 k 4 LV VL Можно видеть, что в выражениях (164), (165)-(167) появились линейные комбинации волновых функций, которые имеют вид (159). Причем известно, что функции вида (159) взаимно ортогональны для различных векторов k 1 , k 1 . Тогда уравнение (158), в левой части которого стоят выражения (163), (165)-(167) может быть удовлетворено, если равны между собой коэффициенты функций (160). Сравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений для коэффициентов C k1 ,k1 ,k 2 Ck 2 k 21 2 k 21 2 k 22 const , k , k 1 1 2 2mL 2 mv 2mL C k ,k k a k a k d k 3 4 4 1 1 2 k 3 ,k 4 k 4 k 1 k 2 k 3 k 4 W k 1 ... k 4 LV VL k 1 k 4 k 2 k 3 Ck 3 ,k 4 k 4 W k 3 ,k 4 k 4 L L VL k 2 k 1 k 3 k 4 W VL VL (168) k 1 k 4 k 2 k 3 Ck k 3 ,k 4 k 4 3 ,k 4 k 4 W EC k LV 1 ,k 1 ,k 2 VL Можно показать, что система уравнений (168) эквивалентна полностью обычному трехчастичному уравнению Шредингера, причем между электроном, позитроном и дыркой существует кулоновское взаимодействие. Упростим для этого матричные элементы, входящие в (168) k 1 k 4 k 2 k 3 W L L VL * * k ,L ( x) k4 ,V ( x ) e2 ( x ) k ,L ( x )d 3 xd 3 x 3 | x x | k 2 ,V (169) Используем в (169) для волновых функций в зонах явный вид блоховской волны 35 k , j ( x ) e ik x u k , j ( x ) (170) Разложим функции u , зависящие от x, k в ряд Тейлора по k (то есть для малых k ). Имеем в этом случае k 1 k 4 k 2 k 3 W e ik1 x e ik 4 x L L VL k 1 ( *k u k* 1 1 , L e2 e ik 2 x e ik3 x {| u0,L ( x ) |2 | u0,V ( x ) |2 | x x | (171) ( x )) k 1 0 u0,L ( x ) | u0,V ( x ) |2 ...}d 3 xd 3 x Далее делаем следующие предположения: во-первых, играющая заметную роль значения k настолько малы, что из всего ряда Тейлора сохраним лишь первый член. Таким образом в фигурных скобках выражения (171) оставляем лишь член | u0,L ( x) |2 | u0,V ( x) |2 . Эта функция периодична с периодом решетки, однако внутри элементарной ячейки она может быстро осциллировать. Так мы приняли, что важны только малые значения k (то есть | k | / l0 , l0 постоянная решетки), то экспоненциальные функции в (171) можно вычислить, усреднив его по отдельным элементарным ячейкам. Заметим, что блоховские функции должны быть нормированы в объеме V на единицу. Таким образом, при усреднении появляется множитель 1 / V 2 . После этого выражение (171) запишем в виде W e ik1x ik2 x e2 e ik3 x ik2 x e ik4 x d 3 xd 3 x | x x | (172) Вторым выражением во втором члене формулы (168) пренебрегаем, который описывает обменной взаимодействие. Рассмотри далее матричный элемент W в третьем члене выражения (168) k 1 k 4 k 2 k 3 W L L L L * * k1 ,L ( x) k4 ,L ( x ) e2 k2 ,L ( x ) k3 ,L ( x )d 3 xd 3 x , |xx | (173) где 36 k ,L ( x ) e ik x u k ,L ( x ) (174) k ,L ( x ) e ik x u k ,L ( x ) После преобразований, описанных выше, для выражения (169) получаем k 1 k 4 k 2 k 3 W L L L L 1 V2 e ik1 x ik 2 x e2 e ik 3 x ik 4 x d 3 xd 3 x | x x | (175) Матричный элемент, входящий в четвертый член выражения (168), равен k 1 k 4 k 2 k 3 W LV VL 1 V2 e ik1 x ik 2 x e2 e ik 3 x ik 4 x d 3 xd 3 x | x x | (176) Можно утверждать, что система уравнений (168) с упрощениями (172), (175) и (176) эквивалентна следующему трехчастичному уравнению 2 2 2 e2 e2 e2 const 12 22 32 2mL 2mL 2mv | x1 x2 | | x1 x3 | | x2 x3 E1 ( x1 , x 2 , x3 ) ( x1 , x 2 , x3 ) | (177) Для доказательства этого утверждения следует представить волновую функцию ( x1 , x 2 , x3 ) в виде ( x1 , x1 , x1 ) k 1 ,k 1k 2 Ck 1 ,k 1k 2 1 exp(ik 1 x 2 ik 1 x1 ik 2 x3 ) V (178) Умножим (168) на выражение 1 exp(ik 1 x2 ik 1 x1 ik 2 x3 ) V (179) и просуммируем по k 1 , k 2 , k 1 . Вначале рассмотрим члены, относящиеся к кинетической энергии 37 k 1 ,k 1k 2 Ck 2 k 21 2 k 21 2 k 22 2 1 exp( i k x i k x i k x ) const 3 1 2 1 1 2 3 1 ,k 1k 2 V 2 m 2 m 2 m L L v (180) Так как k 2 exp(ik x ) можно представить в виде 2 2 2 2 2 2 y z x exp(ik x ) 2 exp(ik x ) , (181) то (180) переходит в следующее выражение 2 2 2 2 1 12 22 3 C k ,k k exp(ik 1 x2 ik 1 x1 ik 2 x3 1 1 2 2mL 2mL 2mv V k1 ,k1k 2 (182) Согласно (178) это выражение эквивалентно выражению 2 2 2 2 12 22 3 ( x1 , x2 , x3 ) 2mL 2mL 2mv (183) Часть, описывающая электрон-дырочное взаимодействие (168) с использованием (172) после умножения на (179) принимает вид Ck 1 ,k 1k 2 k 1 ,k 1k 2 1 1 exp(ik 1 x1 ik 1 x 2 ik 2 x3 ) C k ,k k 3 4 4 V V2 k 3 ,k 1k 2 (184) exp(ik 1 x ik 2 x ) 2 e exp(ik 3 x ik 1 x1 ik 4 x )d 3 xd 3 x | x x | Теперь соберем вместе все экспоненциальные функции, содержащие k 1 , k 1 , k 2 , и воспользуемся соотношением 1 exp ik ( x1 x ) ( x1 x ) ( x2 x ) ( x3 x ) V (185) 38 Ввиду появления - функций интегртрование в (184) пропадает и выражение (184) переходит (при x x1 , x x 2 ) в выражение 1 e2 C k ,k k exp(ik 3 x1 ik 4 x2 ik 4 x3 )d 3 xd 3 x V k 4 ,k 4 k 3 4 4 3 | x1 x2 | (186) Но это выражение тождественно совпадает с выражением e2 ( x1 , x 2 , x3 ) | x1 x3 | (187) Аналогично получаем выражения, входящие в уравнение (177) e2 ( x1 , x 2 , x3 ) | x1 x 2 | (188) e2 ( x1 , x 2 , x3 ) | x 2 x3 | (189) Заметим далее, что в поляризуемой среде закон Кулона модифицируется с учетом диэлектрической проницаемости. Следовательно, в выражении (177) в феноменологическом приближении надо заменить e2 | xi x j | на e2 . То обстоятельство, что в нашем | xi x j | рассмотрении не появилось связано со значительным упрощением Гамильтониана, где мы пренебрегли виртуальными переходами. Тогда трехчастичное уравнение Шредингера с учетом вышесказанного запишется в виде 2 2 2 2 e2 e2 e2 12 22 3 2mL 2mL 2 mv | x1 x 2 | | x1 x3 | | x 2 x3 ( x1 , x 2 , x3 ) E1 ( x1 , x 2 , x3 ) (190) | Уравнение Шредингера представляет собой описание позитрон экситонного комплекса Ванье большого радиуса. Такого рода система является аналогом систем (комплексов) Уилера [9,10] (ионы позитрония). Он был открыт в блестящих экспериментах Миллса [11] относительно недавно. Обзоры теоретических расчетов такого рода систем был дан ранее в работах [12-20]. 39 Сродство к позитрону (электрону) для таких систем составляет величины не менее 0,1 эВ, время жизни относительно двухквантовой аннигиляции - 5,02 10 10 с. Заметим, что уравнение (190) для атома Ps большого радиуса в кристалле принимает вид 2 2 e2 12 22 2m L 2mL | x1 x 2 ( x1 , x 2 ) E1 ( x1 , x 2 ) | (191) Его решение подробно анализируется в монографиях по квантовой электродинамике (см., например, [8]) и в ряде конкретных работ [12-20]. Наряду с приближением (191) представляет большой интерес проблема атома Ps малого радиуса в кристалле, которую рассмотрим ниже. 8. Модель Френкеля атома Ps малого радиуса в кристалле В разделе 7 постулировалось утверждение о том, что расстояние между электроном, позитроном, дыркой велики, так что вполне разумным было разложение операторов поля ( x ) и (x ) по блоховским функциям (волнам). В данном разделе рассмотрим противоположный случай, когда позитрон и электрон находятся на одном и том же атоме. При этом разложение будем проводить ьне блоховским волнам, а по атомным функциям, или по функциям Ванье, свойства которых обсуждались нами ранее. Так мы имеем две зоны – позитронную и электронную зону проводимости, то введем следующие функции Ванье l ,L ( x) L ( x l ) (позитронная зона проводимости), (192) l ,L ( x) L ( x l ) (электронная зона проводимости), (193) где l - радиус-вектор точки локализации частиц. Разложение электронных и позитронных полевых операторов ( x ) , ( x ) и ( x ) , ( x ) по функциям Ванье записывется в виде ( x ) a l ,L L ( x l ); ( x ) a l,L L ( x l ) l ( x ) a l ,L L ( x l ); ( x ) a l,L L ( x l ) l (194) l (195) l Операторы al,L и al,L рождают электрон и позитрон в электронной и позитронной зонах проводимости, а операторы al ,L и al ,L уничтожают их в тех же зонах соответственно. 40 Так как функции Ванье представляют собой ортогональную систему функций, то согласно выше изложенному al ,L и al ,L удовлетворяют перестановочным соотношениям a l ,L a l ,L a l ,L a l ,L 0; a l,L a l,L a l,L a l,L 0 , (196) a l ,L a l,L a l,L a l ,L ll L L и a l ,L a l ,L a l ,L a l ,L 0; a l,L a l,L a l,L a l,L 0 (197) a l ,L a l,L a l,L a l ,L ll L L Теперь следует выразить оператор Гамильтона H , как уже делали ранее в п. 7, через операторы рождения и уничтожения a , a . Разложим H на два члена H 0 - операторы кинетической энергии электрона и позитрона в поле заданного атома и H int - кулоновское взаимодействие между электроном и позитроном. Итак, получаем 2 2 2 2 H H 0 H 0 ( x ) V p ( x ) ( x )d 3 x ( x ) V p ( x ) ( x )d 3 x 2m 2m (198) a l,L a m ,L H l ,m,L l ,m a l,L a m ,L H l ,m,L l ,m Здесь использованы сокращенные обозначения 2 2 H l ,m,L L* ( x l ) V p ( x ) L ( x m )d 3 x 2m (199) 2 2 H l ,m,L L* ( x l ) V p ( x ) L ( x m )d 3 x 2m (200) Если сделать предположение о том, что операторы в фигурных скобках (198) не приводят к переходам между электронной и позитронной зонам, то преобразовывая соответствующим образом выражение H int ( x) ( x ) e2 ( x ) ( x )d 3 xd 3 x , | x x | (201) 41 получаем H int l1l 2 l 3l 4 , L L L L a l1 ,L a l2 ,L a l3 ,L al4 ,L W L L L L ,l1l2l3l4 (202) где l1l 2 l 3l 4 e2 * W ( x l ) ( x l ) L* ( x l 3 ) L ( x l 4 )d 3 xd 3 x , L 1 L 2 | x x | L L L L (203) Сделаем упрощения, согласно которым можно пренебречь перекрыванием волновых функций. В этом случае примем, что l1 l 4 l , а l 2 l 3 l . При этом уравнение (202) может быть записано в виде H int ll ll l l L L L L a l,L a l ,L a l,L a l ,L W ll ll l l , L L L L a l,L a l ,L a l,L a l ,L W (204) где ll l l e2 * W ( x l ) ( x l ) L* ( x l ) L ( x l )d 3 xd 3 x , L L | x x | L L L L (205) Таким образом, полный Гамильтониан френкелевской модели атома Ps имеет вид H a l, L a m, L H l ,m, L l ,m a l, L a m, L l ,m H l ,m, L l ,l ll l l L L L L a l, L a l , L a l , L a l, L a l , L W (206) l ,l ll l l L L L L a l, L a l , L a l, L a l , L W 42 Каждый член Гамильтониана имеет очень наглядный физический смысл: в первой сумме с членами al,L a m,L один электрон в точке m электронной зоны проводимости уничтожается, а в точке l вновь рождается; во второй сумме с членами al,L a m,L один позитрон в точке m позитронной зоны проводимости уничтожается, а в точке l вновь рождается. Эти части Гамильтониана, следовательно, описывают движение электрона (позитрона) и дырки. Третий член Гамильтониана (206) не описывает никакого переноса, позитрон остается в точке l , а электрон в точке - l . Этот член описывает кулоновское взаимодействие электрона и позитрона в атоме Ps . Четвертый член с членами al,L al ,L al,L al ,L al,L al ,L al,L al ,L описывает уничтожение электронно-дырочной пары в точке l и последующее рождение в точке l или наоборот, т.е. описывает совместный перенос позитрона и электрона. Введем теперь явный вид функции состояния полностью заполненной валентной зоны g . В точке l рождается одновременно электрон и позитрон. В силу трансляционной симметрии нашей задачи должны провести суммирование по всем точкам локализации l с множителем exp(ik l ) . Волновая функции таким образом запишется в виде exp(ik l )a N 1 l , L a l , L g (207) l Здесь Bl al,L al,L (208) есть оператор рождения локализованного в точке l атома Ps . Соответствующий оператор уничтожения атома Ps есть al,L al ,L Bl (209) Выразим полный Гамильтониан (206) через операторы Bl и B l . Стоящие в последнем члене операторы выражаются через оператор Ps следующим образом al,L al ,L al,L al ,L (al,L al,L )(al ,L al ,L ) Bl Bl (210) 43 Таким образом, выражение, описывающее уничтожение Ps в точке l и рождение его в точке l описывается выражением l ,l ll l l L L L L a l,L a l ,L a l ,L a l,L a l ,L Wˆ l ,l ll l l L L L L Bl Bl Wˆ (211) Теперь рассмотрим, какой вклад дает третий член в (206). Рассмотрим действие стоящих в нем операторов на локализованное состояние позитрониевое состояние. Получаем al,L al ,L al ,L al,L al ,L | am ,L am ,L g 0 , (212) т.е. при l m, l m, l l . При использовании волновой функции (207) из третьего слагаемого (206) следует сохранить лишь те члены, для которых индексы l и l равны llll L L L L a l,L a l ,L a l ,L a l,L a l ,L Wˆ l l ,l llll L L L L a l,L a l,L a l ,L a l,L a l ,L Wˆ l ,l llll (213) L L L L Bl BlWˆ Это выражение приводит лишь к изменению энергии локализованного состояния Ps и не может приводить к переходам между различными точками в кристалле. Теперь рассмотрим два первых члена в (206). Рассмотрим действие типичных операторов из первой суммы на локализованной состояние al,L al ,L am ,L al ,L g al,L am ,L l m g (214) Учтем лишь члены с l m , так как в противном случае позитрон и электрон далеко уходят друг от друга. Следовательно полагаем H l ,l ,L E0,L , (215) H l ,l ,L E0,L , (216) 44 Тогда H l ,l , L a l , L a l , L E0,L B l l Bl (217) l H l ,l , L a l , L a l , L E0,L B l Bl l (218) l Таким образом, выражение (206) может быть записано в виде H B l Bl E 0 ,tot B ˆ l Bl W (l l ) (219) l ,l l Здесь введены обозначения E 0,tot E 0,L E 0,L Wˆ 0 , llll Wˆ 0 Wˆ , L L L L ll l l Wˆ (l l ) Wˆ L L L L Покажем теперь, что (220) функция состояния (207) является решением соответствующего Гамильтониана (219) уравнения Шредингера, и определим собственные значения энергии этого уравнения. Так как exp(ik l )B N 1 l Bl g l Тогда 45 Wˆ (l l )B N 1 H E0,tot l l exp(ik l ) g (221) l Второй член в (221) преобразуем так exp(ikl )B Wˆ (l l ) exp(ik (l l ) N 1 l l l g 1 N W (k ) (222) Таким образом E ( k ) E0,tot W ( k ) (223) Если разложить E по волновому вектору k , то, как обычно получаем E ( k ) E (0) 2k 2 2m * (224) Таким образом мы рассмотрели состояния электронов, дырок, экситонов и атома Ps малого и большого радиуса. Приступим в следующем разделе к рассмотрению расчетных методов аннигиляционных характеристик этих состояний различных средах (например, в пылевой космической плазме и гидридах щелочных металлов). 46 Список литературы 1. PHYSICS WITH MANY POSITRONS”. INTERNATIONAL SCHOOL OF PHYSICS ENRICO FERMI. 7-17 July – VARENNA –ITALY. Directors: A. P. Mills, A. Dupasquier. 2009. 2. V.A.Fock // Zs. f. Phys. 1932. Vol.75. P.622. 3. Чжан Ли // Диссертация. Л.: ЛГУ, 1956. 4. Г. Хакен. Квантовополевая теория твердого тела. М.: ГИФМЛ, 1980. 5. Прокопьев Е.П. Введение в теорию позитронных процессов в полупроводниках и ионных кристаллах. М., 1979. 384 с. - Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-2837. МРС ВИМИ “Техника, технология, экономика”. №27. 1980. Сер.”ЭР” 6. Прокопьев Е.П. Позитроны и позитроний в кристаллах. М., 1982. 138 с. - Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-3475. МРС ВИМИ “Техника, технология, экономика”. №8. 1983. Сер.”ЭР”. 7. Прокопьев Е.П. Исследования позитронных процессов в кристаллах. М., 1982. 60 с. Деп. в ЦНИИ”Электроника”. Р-3556. МРС ВИМИ “Техника, технология, экономика”. 1983. Сер.”ЭР”. 8. Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1969. 9. J.Wheeler // Ann. N. Y. Acad. Sci, 1946. Vol,48. P.219. 10. Прокопьев Е.П. Комплексы Уилера в полупроводниках. - М., 1979. - 12 с. - Деп. в ЦНИИ "Электроника". Р-2757. МРС ВИМИ "Техника, технология, экономика". - № 28. 1979. - Сер. "ЭР". 11. Mills A.P. Observation of the Positronium Negative Ion. Phys. Rev. Letters. 1981. Vol. 46, Number 11. P.717-720. 12. Прокопьев Е.П., Кузнецов Ю.Н., Хашимов Ф.Р. Основы позитроники полупроводников. М.,1976. 343 с. - Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-2073. РИ.77.06.3412. 13. Арефьев К.П., Воробьев С.А., Прокопьев Е.П. Позитроника в радиационном материаловедении ионных структур и полупроводников. М.: Энергоатомиздат, 1983. 88 с. 14. Е.П.Прокопьев, С.П.Тимошенков, В.И.Графутин, Г.Г.Мясищева, Ю.В.Фунтиков. Позитроника ионных кристаллов, полупроводников и металлов. М.: Ред.-изд. отдел МИЭТ (ТУ), 1999. 176 с. 15. В.И.Гольданский. Физическая химия позитронов и позитрония. М.: Наука, 1968. 16. Прокопьев Е.П. Об аномальных свойствах атома позитрония (Ps) в ионных кристаллах и полупроводниках // Физика твердого тела. 1977. Т.19. Вып.2. С.472-475. 17. Прокопьев Е.П. Позитроний и его свойства в полупроводниках и щелочно-галоидных кристаллах // Химия высоких энергий. 1978. Т.12. Вып.2. С.172-174. 47 18. Кузнецов Ю.Н., Прокопьев Е.П., Варисов А.З. Основы теории позитронных состояний в ионных кристаллах. - М., 1978. - 292 с. - Деп. в ЦНИИ "Электроника”, Р-2382. Сб. ВИМИ "Военная техника и экономика". Сер. общетехническая. - № 14. - 1978. 19. Варисов А.З., Арефьев К.П., Воробьев А.А., Кузнецов Ю.Н., Прокопьев Е.П. Позитроны в конденсированных средах. - М., 1977. - 489 с. - Деп. в ЦНИИ "Электроника". Р-2317. Сб. ВИМИ "Военная техника и экономика". Сер. общетехническая. - № 9. - 1978. 20. Прокопьев Е.П. Исследования в области физики медленных позитронов. Позитронная аннигиляция - новый метод изучения строения вещества. - М., 1986. - 86 с. - Деп. в ЦНИИ "Электроника". Р-4367. Сб. реф. НИОКР, обзоров, переводов и деп. рукописей. Сер. "ИМ". - №12. - 1987. 48