КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ ПО ПОКАЗАТЕЛЯМ СПЕКТРА ДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ Введение.
реклама
КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ ПО ПОКАЗАТЕЛЯМ СПЕКТРА ДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ А.С.Епифанов Саратовский государственный университет им.Н.Г.Чернышевского, Саратов, Россия Введение. В работе осуществляется анализ свойств и классификация функций алгебры логики на основе спектра динамических параметров, разработанного Твердохлебовым В.А. в работе [1]. Специфика функции алгебры логики f(x1,x2,…,xn) от n переменных при зафиксированной области определения может быть задана столбцом из 2n значений (последовательностью значений a (1), a (2), ..., a (2 n ) длины 2n). Число т функций алгебры логики от n переменных равно 22 . Исследование свойств функций алгебры логики в данной работе сведено к исследованию свойств числовых последовательностей на основе спектра динамических параметров. Для этого каждому из рассматриваемых классов функций алгебры логики сопоставляется равномощный класс последовательностей. Такое задание класса ФАЛ справедливо при зафиксированной области определения. Проведенное исследование включило построение и анализ спектров для классов функций алгебры логики при двух способах задания области определения. Рассмотрены классы функций алгебры логики от 3,4 переменных при двух способах задания области определения: классическом способе, когда двоичные векторы упорядочены лексикографически, и способе, основанном на использовании компактной последовательности (см.[2]). Для каждой функции построен спектр последовательности, определяющей ее специфику при обоих способах задания области определения функции. Внутри каждого класса функций алгебры логики на основе показателей спектра выделены подклассы эквивалентных функций. Анализ классов функций алгебры логики при классическом упорядочивании двоичных векторов области определения Одним из классических способов полного задания функции алгебры логики, зависящей от n переменных, является табличный способ, когда явно задаются значения функции на каждом из 2n наборов аргументов. При таком способе задания функции для достижения однозначности необходимо зафиксировать порядок двоичных векторов области определения функции. Порядок на множестве из 2n двоичных наборов аргументов может быть выбран по ряду критериев, зависящих, например, от области приложения. Данная часть статьи посвящена исследованию свойств функций алгебры логики при классическом лексикографическом упорядочивании двоичных наборов аргументов. Исследование функций алгебры логики от n переменных сводится к исследованию свойств последовательности, первый элемент которой является значением функции на наборе аргументов 0000…00, второй элемент – значением на наборе 0000…01 и т.д., последний 2n-ый элемент последовательности является значением функции на наборе 1111…11. Исследуемому классу функций алгебры логики от 3 переменных сопоставляется множество последовательностей Ξ3, состоящее из 256 двоичных последовательностей длины 8. Для каждой последовательности 3 вычисляются количественные значения показателей спектра на уровнях Ω0 - Ω3 и на основе совпадения показателей спектра осуществляется построение разбиений P0, P1, P2, P3 множества последовательностей Ξ3 на классы эквивалентных последовательностей. Информация о разбиениях P0, P1, P2, P3 представлена в таблице 1. Таблица 1. Информация о разбиениях P0 , P1 , P2 , P3 множества последовательностей Ξ3 по показателям спектра Ω на уровнях Ω0 – Ω3 Характеристика Число подклассов в разбиении Максимальная мощность подкласса Минимальная мощность подкласса P0 7 106 2 P1 26 26 2 P2 70 16 2 P3 81 8 2 Кроме того, для элементов множества Ξ3 вычислены значения характеm k ристики m0 1 , где k – число знаков в последовательности, порожn 0 денных применением рекуррентной формы F . По совпадению значения характеристики θ построено разбиение Pθ множества Ξ3 на классы эквивалентных по сложности последовательностей. В предположении, что |W| =1 только для двух последовательностей (00000000 и 11111111) разбиение Pθ множества Ξ3 содержит 6 классов эквивалентных последовательностей, минимальное значение мощности – 2, максимальное -106. В предположении, что |W| =2 для всех последовательностей (включая 00000000 и 11111111) , разбиение Pθ множества Ξ3 не изменяет своей структуры ввиду того, что значение характери- стики θ при m0=1 не зависит от величины n=|W| , т.к. при m0=1 m k знаменатель в выражении m0 1 обращается в 1 при любом n . n 0 Исследуемому классу функций алгебры логики от 4 переменных сопоставляется класс последовательностей Ξ 4 , состоящий из 65536 двоичных последовательностей длины 16. Для каждой последовательности вычисляются 4 количественные значения показателей спектра на уровнях Ω0 - Ω3 и на основе совпадения показателей спектра осуществляется построение разбиений P0, P1, P2, P3 множества последовательностей Ξ4 на классы эквивалентных последовательностей. Информация о разбиениях P0, P1, P2, P3 множества последовательностей Ξ4 представлена в таблице 2. Таблица 2. Информация о разбиениях P0 , P1 , P2 , P3 множества последовательностей Ξ4 по показателям спектра Ω на уровнях Ω0 – Ω3 Характеристика P0 P1 P2 P3 Число подклассов в разбиении 15 1634 12568 19086 Максимальная мощность подкласса 22152 1188 132 132 Минимальная мощность подкласса 2 2 2 2 Анализ полученных результатов показывает, что существенное увеличение (на 2 порядка) числа классов эквивалентных последовательностей наблюдается при построении на базе разбиения P0 разбиения P1 (число классов увеличивается с 15 до 1634), при этом на 1 порядок уменьшается значение максимальной мощности класса в разбиении (с 22152 элементов в классе до 1188 элементов). Аналогичный скачок в числе классов наблюдается при построении на базе разбиения P1 разбиения P2 (число классов увеличивается на 1 порядок, а значение максимальной мощности класса в разбиении уменьшается на порядок). Для каждой последовательности вычислено значение 4 характеристики θ . По совпадению значения характеристики θ построено разбиение Pθ множества Ξ4 на классы эквивалентных по сложности последовательностей. Разбиение Pθ множества Ξ4 содержит 14 классов эквивалентных последовательностей, минимальное значение мощности 2, максимальное 22152. Для класса с максимальной мощностью 22152 значение характеристики θ = 3. Минимальное значение характеристики θmin = 0.0146484 (для класса с номером 2, состоящего из 2 элементов), максимальное значение θmax =16 (для класса с номером 1, состоящего из 26 элементов). Ниже приведены некоторые, отмеченные в результате проведенного исследования, свойства функций алгебры логики. Утверждение 1. Минимальное значение мощности класса эквивалентных последовательностей в разбиениях P0 , P1 , P2 , P3 множества последовательностей Ξn (соответствующего классу функций алгебры логики от n переменных) не может быть меньше 2. Доказательство. Данное утверждение справедливо ввиду того, что в 1 , 2 ,..., 2 , где множестве Ξn для любой последовательности i 0,1, 1 i 2 n обязательно существует последовательность представляющая собой поразрядное отрицание 1 , 2 ,..., 2 , n n последовательности . В множестве Ξn существует ровно 22 1 пар последовательностей, каждая компонента которой может быть получена из другой взаимно-однозначным переобозначением элементов (заменой всюду 0 на 1 и 1 на 0). Спектр динамических параметров инвариантен по отношению к взаимно-однозначному переобозначению элементов последовательности. Поэтому две последовательности 1 , 2 ,..., 2 и эквивалентны по сложности с точки зрения спектра. 1 , 2 ,..., 2 Значит в любом из разбиений P0 , P1 , P2 , P3 множества Ξn , где n=1,2,3,… минимально возможное значение мощности класса эквивалентных последовательностей не может быть меньше 2. Анализ полученных в результате исследования классов функций алгебры логики с использованием спектра Ω показывает, что в разбиении P3 множества Ξn , где n=1,2,3,… минимальное значение мощности класса эквивалентных последовательностей равно 2. Следствие 1. Значением мощности произвольного класса эквивалентных последовательностей в разбиениях P0 , P1 , P2 , P3 множества последовательностей Ξn , где n=1,2,3,… может являться только четное число k 2 . Спектр динамических параметров рекуррентного определения последовательностей характеризует структуру взаиморасположения элементов в последовательности. Спектр может быть использован для оценки сложности и классификации по сложности последовательностей. Для оценки сложности в работе используется m k характеристика m0 1 , где k – число знаков в последовательности, n 0 порожденных применением рекуррентной формы F, m0 - наименьший порядок рекуррентной формы, необходимый для определения всей n n n последовательности и n = |W|, где W - множество значений переменных ξi . Функция алгебры логики может быть задана формулой. Одной из классических оценок сложности функции алгебры логики является число вхождений переменных в минимальную формулу, задающую функцию. Для проверки предположения, что спектр Ω может быть использован для классификации функций алгебры логики проведено исследование, которое включило следующие этапы: 1. извлечение классов из разбиений P0, P1, P2, P3 множества последовательностей Ξ4 ; 2. построение для элементов извлеченных классов формул (в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы) ; 3. минимизация СДНФ табличным методом Квайна – МакКласки; 4. анализ функций, эквивалентных по показателям спектра на предмет совпадения или различия числа переменных в минимальных формулах, задающих эти функции. Вид СДНФ функции зависит от выбранного порядка на области определения функции. Существенным преимуществом использования компактной последовательности для задания области определения, по сравнению с классическим табличным способом , является значительное сокращение объема требуемой для хранения памяти. В данной работе исследование функций алгебры логики проводилось при 2 способах задания области определения функции. В таблице 3 приведены некоторые классы эквивалентных по спектру функций и минимальные формулы, задающие такие функции, при классическом лексикографическом упорядочивании двоичных наборов области определения функции. Класс Таблица 3. Классы эквивалентных последовательностей в разбиении P3 множества последовательностей Ξ4 (при классическом способе задания области определения) Число вхождений Номер Строка значений Минимальная формула, переменных в функции функции алгебры задающая функцию минимальную логики формулу f 21846 0101010101010101 f 21846 x4 1 f 43691 1010101010101010 f 43691 x4 1 f 32767 0111111111111110 f 32770 1000000000000001 K2 K7 f 32767 ( x1 x4 ) ( x2 x3 ) ( x2 x4 ) ( x1 x3 ) f 32770 ( x1 & x 2 & x3 & x 4 ) (x 1 x 2 x 3 x 4 ) 8 8 В таблице 4 приведены некоторые классы эквивалентных по спектру функций и число вхождений переменных в минимальные формулы, задающие такие функции, при задании области определения с использованием компактной последовательности. Таблица 4. Классы эквивалентных последовательностей в разбиении P3 множества последовательностей Ξ4 (при задании области определения с использованием компактной последовательности) Класс Номер функции Строка значений функции алгебры логики Число вхождений переменных в минимальную формулу f32767 0111111111111110 3 f32770 1000000000000001 3 f9 0000000000001000 4 f10 0000000000001001 8 f15 0000000000001110 7 f16 0000000000001111 6 f65521 1111111111110000 8 f65522 1111111111110001 8 f65527 1111111111110110 7 f65528 1111111111110111 4 f26213 0110011001100100 12 f26214 0110011001100101 7 f39323 1001100110011010 7 f39324 1001100110011011 12 K7 K17 K117 Подробное описание результатов проведенного исследования клас- сов функций алгебры логики с использованием спектра динамических параметров приведено в работе [3]. Краткие выводы. Изложенные в статье результаты показывают возможность практического использования спектра динамических параметров для определения свойств и классификации функций алгебры логики. Рассмотрены классы функций алгебры логики от 3 и 4 переменных при двух способах задания области определения: классическом способе, когда двоичные векторы упорядочены лексикографически, и способе, основанном на использовании компактной последовательности (см.[2]). Определены эквивалентные по показателям спектра функции алгебры логики. Функции, эквивалентные по спектру, минимизированы с использованием классического табличного метода Квайна – МакКласки. Отмечены подклассы ФАЛ от 3 и 4 переменных эквивалентных по спектру в которых функции имеют одинаковое число вхождений переменных в минимальную формулу, задающую функцию. Список литературы 1. Твердохлебов В.А. Геометрические образы образы законов функционирования автоматов. –Саратов: Изд-во «Научная книга»,2008.– 183с. 2. Гилл А. Введение в теорию конечных автоматов. –М.: Изд-во «Наука», 1966г. 3. Епифанов А.С. Анализ фазовых картин дискретных динамических систем. – Саратов: Изд-во «Научная книга»,2008. – 156с. 4. Епифанов А.С. Анализ геометрических образов законов функционирования автоматов / Управление большими системами. Выпуск 24. М.: ИПУ РАН, 2009. С.81-98. 5. Епифанов А.С. Анализ дискретных динамических систем, заданных в форме числовых структур.// «РАДIОЕЛЕКТРОННI I КОМП’ЮТЕРНI СИСТЕМИ», Харкiв,№6,2009.C.118-122.
