Теоремы теории вероятностей

К лекции № 2
Основные простейшие теоремы теории вероятностей
2.1. Теорема о вероятности суммы событий
Теорема. Вероятность суммы событий равна сумме вероятностей событий P(A) и P(B) минус вероятность произведения событий P(AB).
P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB ).
(1)
Докажем теорему для случая классической вероятности. Пусть у нас
имеется полная группа из n равновероятных событий. Из них
событию A благоприятствуют m событий,
событию B благоприятствуют l событий,
событию AB благоприятствуют r событий (rm, rl).
Изобразим события условно точками, расположенными на прямой.
B 


           



AB



A
Тогда событию A U B благоприятствуют m+l-r событий. Величина r вычитается потому, что в сумме m+l благоприятствующие события для AB учитывается дважды.
Вероятности равны
m
l
r
P(A)  ; P(B)  ; P(AB)  .
n
n
n
mlr m l r
P(A  B) 
   .
n
n n n
Откуда следует формула (1).
Следствие: если события A и B несовместны, то
P(A  B)  P(A)  P(B).
(2)
Для общего случая доказательство аналогично.
2.2. Теорема о произведении вероятностей. Условная вероятность.
Независимые события
Обозначим комплекс условий, осуществляемый при испытании, буквой
G. Если при проведении опыта известно лишь то, что осуществился комплекс условий G и никакой дополнительной информации о событиях у нас
нет, то вероятность события P(A) называется безусловной. Предположим,
что дополнительно известно, что вместе с тем произошло событие B, т. е. это
значит, что произошло событие AB. Это приведет к тому, что множество
элементарных событий, при которых может произойти A, уменьшится, так
как благоприятствуют событию A уже только те элементарные события, которые благоприятствуют и событию AB. В результате вероятность события
A при условии, что событие B произошло, может измениться.
Определение: вероятность события A при условии, что B произошло,
называется условной вероятностью и обозначается P(A / B).
Теорема. Вероятность P(AB) произведения событий A и B равна произведению вероятностей P(B) события B на вероятность события A при условии, что B произошло.
P(AB)  P(A)P(B / A)  P(B)P(A / B).
(3)
Доказательство. Пусть пространство элементарных событий состоит из
n равновероятных и попарно-несовместных событий. Пусть событию A благоприятствуют m событий, событию B - благоприятствуют l событий событию AB благоприятствуют r событий (rl, rm). Тогда
r
l
r
; P(B)  ; P(A / B)  ;
n
n
l
r l r
P(AB)  
 P(B)P(A / B);
n nl
P(AB) 
Теорема доказана. Для общего случая формулу (3) принимают без доказательства в качестве определения. Из доказанного следует, что если P(B)0,
то
P(A / B) 
P(AB)
P(AB)
;P(B / A) 
.
P(B)
P( A)
Если P(B)=0, то P(A/B) не определено.
Определение. Событие B называется независимым от A, если
P(B/A)=P(B).
Следствие 1. Если B не зависит от A, то
P(AB)=P(A)P(B).
(4)
Доказательство следует из формулы (3) и условия P(B/A)=P(B).
На практике независимость определяется из интуитивных соображений.
Так очевидно, что попадание в мишень у одного стрелка не зависит от попаданий другого.
2.3. Формула полной вероятности
Пусть имеется группа попарно-несовместных событий A1 , A2 ,..., An и событие B, которое может произойти с одним и только с одним из событий
Ak , k  1,2,..., n. Тогда
n
P(B)  P(A1 )P(B / A1 )  P(A 2 )P(B / A 2 )  ...  P(A n )P(B / A n )   P(A k )P(B / A k ).
k 1
(5)
Формула (5) называется формулой полной вероятности.
Доказательство: так как по условию
B  A1  A 2  ...  A n ,
B  B(A1  A 2  ...  A n )  BA1  BA 2  ...  BA n .
то
Тогда
n
P(B)   P(BA k ).
k 1
P(BA k )  P(A k )P(B / A k ).
n
P(B)   P(A k )P(B / A k ).
k 1
2.4. Формула Байеса
Пусть имеется группа попарно-несовместных событий A1 , A2 ,..., An и событие B, которое может произойти с одним и только с одним из событий
Ak , k  1,2,..., n. Тогда по формуле (3) имеем:
P(A k B)  P(A k )P(B / A k )  P(B)P(A k / B).
Откуда получим
P(A k B) 
P( A k ) P( B / A k )
P( A k ) P( B / A k )

.
n
P(B)
 P( A k ) P( B / A k )
k 1
(6)
Эта формула называется формулой Байеса. В отличие от формулы полной вероятности формула (6) используется для оценки вероятностей после
того, как некоторое событие произошло.
Рассмотренные нами теоремы позволяют определять вероятности различных сложных событий.