Точные решения обобщенных уравнений типа

Точные решения обобщенных уравнений типа K (m, n)
Н.А. КУДРЯШОВ, С.Г. ПРИЛИПКО
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА K (m, n)
Рассматривается класс уравнений типа K ( m, n ) . Используя переменную бегущей волны и метод простейших
уравнений, построены точные решения для данного класса уравнений.
Рассмотрим класс нелинейных дифференциальных уравнений, имеющий вид:
u
 2k 1u m
  k
 0
t k 0
x2k 1
N
N  1
(1)
С помощью переменных бегущей волны u ( x t )  y ( z ) z  x  C0t уравнение (1) приводим к
обыкновенным дифференциальным уравнениям. Постоянную интегрирования C1 полагаем равной
нулю:
N
d 2k y m
C0 y   k
 0 N  1
dz 2k
k 0
Используя логарифмическую производную w  (ln y ) z и учитывая, что для производной выполняются соотношения:
( y m ) z  mwy m 
( y m ) zz  (mwz  m2 w2 ) y m ,...,
перейдем к новым нелинейным уравнениям, решения которых имеют полюс первого порядка:
1)
E( N
[w]  C0  0
1
(2)
N
где
N
1)
E( N
[ w]    k y 1
1
N
k 0
d 2k y m
dz 2 k
 N  1
y z  wy
Используя метод простейших уравнений, решение уравнения (2) будем искать в виде
w( z )  A0  A1Y ( z )
где Y ( z ) удовлетворяет уравнению Риккати:
Yz  Y 2  b
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Y ( z ) , получаем систему алгебраических дифференциальных уравнений, из которой находим значения коэффициентов A0  A1  b и соотношения для параметров 1 , ...,  N . Решение исходного уравнения в переменных бегущей волны принимает вид:
1
2N
y ( z )  ( A) m 1 cos m 1 ( B( z  z0 )),
где коэффициенты A B зависят от C0   k  m и  k  m соответственно. Ниже представлены точные решения рассматриваемого класса уравнений для значений N  1, 2, 3, 4, 5 .
Уравнение K (m, n) . Рассматриваемый класс уравнений при значении N  1 совпадает с
известным уравнением K (m n ) при n  m [1]:
ut  (u m ) x  (u m ) xxx  0 0  1
1  1 .
В переменных бегущей волны уравнение принимает вид:
C0 y  ym  ( y m ) zz  0 .
Решая систему алгебраических уравнений для уравнения K (m n) , находим
(3)
(1  m)2
2
.

b
m 1
4m 2
Решение уравнения (3) представляется формулой:
A0  0
A1 
ISBN 978-5-7262-1280-7. НАУЧНАЯ СЕССИЯ НИЯУ МИФИ-2010. Том III
1
Точные решения обобщенных уравнений типа K (m, n)
1
2
C m m1
 1 ( z  z0 )  m  1 
y ( z )   2 0  cos m1 
1 m  3 .

m
 m 1
2

На рис. 1 приведены решения данного уравнения для значений m  2 и m  3 .
Рис. 1. Графики решений уравнения (3) для значений параметров С0  1, z0  0 :
а) для m  2; б) для m  3
Уравнение при N = 2. Для значения N  2 исходный класс уравнений принимает вид
ut  (u m ) x  (u m ) xxx  (u m ) xxxxx  0
, ,   0.
В переменных бегущей волны уравнение запишется в виде
C0 y  y m  ( y m ) zz  ( y m ) zzzz  0 .
Значения коэффициентов
A0  0
A1 
4

m 1

4  5 m2  2 m  1  b
1  2 m  m2

1    1  m 
.
8   m  1 m
Решение исходного уравнения в переменных бегущей волны представляется формулой:
b
2
1
1
4 
4  m  1 
8C0 m(m  1)  m 1
(
z

z
)
2


1
0
m 1 
.
y( z)   
cos

1
4

 (m  3)(3m  1) 
4
m(m  1) 


для значений m  1 0  1  1/ 3  3 .
Уравнение при N = 3. Класс уравнений для значения N  3 принимает вид
ut  (u m ) x  (u m ) xxx  (u m ) xxxxx  (u m ) xxxxxxx  0,
, , ,   0.
В переменных бегущей волны уравнение (17) запишется как:
C0 y  ym  ( ym ) zz  ( y m ) zzzz  ( y m ) zzzzzz  0 .
(4)
Используя предложенный метод, получим значения коэффициентов и соотношения между
параметрами:
2
6
1  m  2 m  1 
A0  0 A1 
 

m 1
4 14 m 2  8 m  5  b
49 m4  92 m3  78 m2  20 m  4   b

4
,
14 m4  20 m3  3 m2  2 m  5
2
2
1   14 m  8 m  5   m  1
b
.
12
  2 m  1 m  2  m
ISBN 978-5-7262-1280-7. НАУЧНАЯ СЕССИЯ НИЯУ МИФИ-2010. Том III
2
Точные решения обобщенных уравнений типа K (m, n)
Решение уравнения (4) для значений m  1 0,  5,  2, 1, 1/ 2, 1/ 3, 1/ 5 , ищется в виде
1
6  ( z  z ) 3  m  1 4 (14m 2  8m  5) 
 8C0 m(m  2)(2m  1)  m 1
1
0
.
y( z)   
cos m1 

1
6

 (m  1)(m  5)(5m  1) 
4
m(m  2)(2m  1) 


(5)
На рис. 2 представлены решения уравнения (5) для значений m  2 и m  3 .
Рис. 2. Графики решений уравнения (5) для значений параметров С0  1, z 0  0,   1,   1 :
а) для m = 1; б) для m = 3
Уравнение при N = 4. Для значения N  4 исходный класс уравнений принимает вид
ut  (u m ) x  (u m ) xxx  (u m ) xxxxx  (u m ) xxxxxxx  (u m ) xxxxxxxxx  0, , , , ,   0.
В переменных бегущей волны уравнение запишется в виде
C0 y  y m  ( y m ) zz  ( y m ) zzzz  ( y m ) zzzzzz  ( y m ) zzzzzzzz  0 .
(6)
Соотношения для коэффициентов рассматриваемого уравнения выражаются:
A0  0

A1 
8 15 m 2  10 m  7   b
8
 

m 1
 1  m  2
 m4  4 m3  6 m2  4 m  1 
1
,
16  273 m 4  508 m3  518 m 2  188 m  49  b 2
205 m6  830 m5  1423 m4  1108 m3  443 m2  78 m  9  b

  16
,
273 m6  38 m5  225 m4  340 m3  191m2  90 m  49
b
2
4
3
2
1    273 m  508 m  518 m  188 m  49   1  m 
.
32
  3 m  1 m  3 m  1 m
Решение уравнения (6) для значений m  1 0  7,  3,  5 / 3 1  3 / 5, 1/ 3 1/ 7 :
1
8
128C0 m  m  3 3 m  1 m  1  m1

y( z)   
 cos m1  B( z  z0 )  ,
   3 m  5  7 m  1 m  7  5 m  3 
где
B
1 2  m  1 4 (273m 4  508m3  518m 2  188m  49)
.
1
8
m(m  3)(m  1)(3m  1)  4
Уравнение при N = 5. Исходный класс рассматриваемых уравнений при N  5 имеет вид
ut  (u m ) x  (u m ) xxx  (u m ) xxxxx  (u m ) xxxxxxx  (u m ) xxxxxxxxx  (u m ) xxxxxxxxx  0,
где , , , , ,   0.
(7)
В переменных бегущей волны уравнение (7) выглядит следующим образом:
ISBN 978-5-7262-1280-7. НАУЧНАЯ СЕССИЯ НИЯУ МИФИ-2010. Том III
3
Точные решения обобщенных уравнений типа K (m, n)
C0 y  ym  ( ym ) zz  ( ym ) zzzz  ( ym ) zzzzzz  ( ym ) zzzzzzzz  ( ym ) zzzzzzzzzz  0 .
Значения коэффициентов:
10
.
m 1
Значения параметров , , ,  выражаются через m, , , b . Коэффициент b имеет вид
A0  0
b
A1 
5   1529 m6  5616 m5  9910 m4  8620 m3  4335 m2  1076 m  164   1  m  2
20  2 m  3 3 m  2  4 m  1 m  4  m
.
Для значений m  1 0  9,  4,  7 / 3  3 / 2 1  2 / 3,  3 / 7 1/ 4, 1/ 9 решение
данного уравнения принимает вид
1
10
 32C0 m  3 m  2  2 m  3 m  4  4 m  1  m1
y( z)   
 cos m1  B( z  z0 )  ,
   m  9  3 m  7  9 m  1 7 m  3 m  1 
где
3
5 4  m  1 4 (1529 m6  5616 m5  9910 m4  8620 m3  4335 m2  1076 m  164)
.
B
1
10
 4  2 m  3 3 m  2  4 m  1 m  4  m
В работе рассмотрен класс нелинейных дифференциальных уравнений (1). Получены точные решения для рассматриваемого класса уравнений в переменных бегущей волны для значений
N  1, 2, 3, 4, 5.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Rosenau P., Hyman J. // Phys. Lett. A. 1993. V. 70. P. 564.
2.
Кудряшов Н.А. Методы нелинейной математической физики: учебное пособие. М.:
МИФИ, 2008.
3.
Kudryashov N.A., Demina M.V. // Appl. Math. Comput. 2009. V. 210. P. 551.
ISBN 978-5-7262-1280-7. НАУЧНАЯ СЕССИЯ НИЯУ МИФИ-2010. Том III
4