Экспериментальные исследования в мехатронных системах Часть 2

1
Экспериментальные исследования в мехатронных системах
Часть 2
Овсянников Сергей Всеволодович, Бошляков Андрей Анатольевич,
Кузьмина Ангелина Олеговна
Введение
Настоящая работа является продолжением одноименного учебного пособия (Овсянников С.В., Бошляков А.А., Кузьмина А.О., Экспериментальные
исследования в мехатронных системах: - Учебное пособие. - Ч. 1. – М.: Издво МГТУ им Н.Э. Баумана, 2008.- 44 с.: ил.). Во второй части рассматриваются вопросы, связанные с обработкой экспериментальных данных, научным
планированием эксперимента и испытаниями.
В результате проведения эксперимента накапливается большой объем
разнообразных данных, которые на первый взгляд могут выглядеть весьма
хаотично. От их правильной обработки во многом зависит интерпретация результатов эксперимента. Поскольку эти результаты всегда содержат погрешности, обусловленные действием большого числа разнообразных и трудно
учитываемых факторов, то возникает необходимость в получении наилучших
в некотором смысле оценок параметров мехатронной системы. Помогает
экспериментатору в этом математическая статистика – наука, занимающаяся
применением вероятностных методов к решению задачи обработки результатов наблюдения.
Проведение эксперимента предполагает наличие плана по его проведению. Так как ошибки в выборе плана могут привести или к искажению результатов эксперимента или к перерасходу сил и средств на его проведение,
то возникает необходимость в построении оптимального плана эксперимента. Помогает экспериментатору в этом теория планирования эксперимента раздел математической статистики, изучающий рациональную организацию
измерений, подверженных случайным ошибкам.
2
Наконец, разновидностью экспериментов являются испытания, проводимые с целью контроля нахождения параметров объекта в допустимых пределах.
3. Обработка экспериментальных данных
Выбор типа математической модели исследуемого объекта существенно
влияет на весь процесс обработки экспериментальных данных.
3.1. Модели исследования
Построение модели является, в конечном счете, целью экспериментального исследования. Под математической моделью принято понимать представление исследуемого объекта в упрощенном виде, записанном в виде математических зависимостей. Модель должна отражать наиболее существенные закономерности реальных связей. На рис.12 представлена схема, иллюстрирующая возможную классификацию типов математических моделей, используемых при эксперименте.
Математические
модели
Детерминированные
Вероятностные
(стохастические)
Аналитические
(формальнологические)
Статистические
Модели законов
распределения
Модели
взаимосвязей
Рис. 12. Математические модели
Детерминированные модели используются тогда, когда в описании
объекта случайные факторы пренебрежимо малы. В противном случае используются вероятностные (стохастические) модели. Математическим аппаратом, используемым при исследовании вероятностных моделей, является
3
математическая статистика. В свою очередь вероятностные модели могут делиться на аналитические (формально-логические) и статистические модели.
Для аналитических моделей характерно проникновение в физическую сущность объекта, что требует значительных материальных затрат. Для статистических моделей таких затрат не требуется, так как объект рассматривается
в виде «черного ящика» (часть 1, раздел 1.4), в котором реальные связи аппроксимируются некоторыми относительно простыми зависимостями. Следует отметить, что в «чистом» виде та или иная модель встречается редко.
Статистические модели в свою очередь могут делиться на модели законов
распределения и модели взаимосвязей.
При исследовании мехатронных систем довольно часто используют статистические модели, которые и рассматриваются далее. Обработкой экспериментальных данных для статистических моделей занимается раздел прикладной математики – статистический анализ (анализ данных).
3.2. Статистический анализ
3.2.1. Этапы статистического анализа
На рис.13 представлена возможная последовательность этапов статистического анализа. На первом этапе производится анализ объекта эксперимента, суть которого сводится к разработке для него модели «черный
ящик», т.е. к определению набора входных и выходных параметров модели.
Второй этап представляет собой составление плана получения данных и состоит в расчете массива значений входных параметров X  ( X 1 , X 2 ,..., X n ) , которые будут использованы при проведении эксперимента (раздел 4.2). На
третьем этапе происходит получение экспериментальных данных, которые
сохраняются, как правило, в персональном компьютере. На четвертом этапе
производится первичная обработка экспериментальных данных с целью получения статистических оценок параметров модели и выдвижения гипотез о
параметрах их распределения и о законах распределения (раздел 3.2.2). На
4
пятом этапе осуществляется определение статистических зависимостей
между входными X и выходными Y  (Y1 , Y2 ,..., YS ) параметрами модели, что
предполагает проведение дисперсионного, корреляционного и регрессионного анализов. Дисперсионный анализ занимается оценкой влияния на выходные параметры модели Y неколичественных параметров Z  (Z1, Z2 ,..., Z K ) с
целью выбора среди них наиболее важных. Корреляционный анализ занимается оценкой значимости влияния на выходные параметры Y контролируемых параметров X  ( X 1 , X 2 ,..., X n ) . Регрессионный анализ определяет аналитическую зависимость между контролируемыми параметрами X и выходными параметрами Y (часть 1, раздел 2.1.1).
Этап 1
Анализ
объекта
эксперимента
Этап 2
Составление плана
получения
данных
Этап 3
Получение
данных
Определяется сколько и каких
опытов надо провести
Формируются массивы входных
и выходных данных
Этап 4
Первичная
статистическая
обработка
Этап 5
Построение
и анализ
статистических
зависимостей
Разрабатывается модель
"черный ящик"
Формируется статическое описание
рассматриваемых параметров
Дисперсионный
анализ
Корреляционный
анализ
Регрессионный
анализ
Этап 6
Интерпретация
результатов
Рис.13. Этапы обработки экспериментальных данных
5
3.2.2. Первичная статистическая обработка
Обработка экспериментальных данных обязательно начинается с первичной статической обработки, схема которой представлена на рис.14.
Совокупность всех возможных (мыслимых) результатов наблюдений в
данных условиях называется генеральной совокупностью. Выборкой называется конечный набор значений случайной величины в результате конкретного наблюдения: x1 , x2 ,..., x N , где N - объем выборки. Вариационным рядом
называется пронумерованная (ранжированная) выборка x(1)  x( 2)  ...  x( N ) .
Смысл статистических методов заключается в получении оценок параметров случайного процесса по выборке объема N , которые позволяет судить обо всей генеральной совокупности. В качестве оценки используют т.н.
статистики – некоторые функции от элементов выборки. Статистики бывают точечные, которые состоят из одного значения, и интервальные. Сами по
себе статистики являются случайными величинами, т.е. их значения различны от выборки к выборке.
Экспериментальные
данные (выборка)
Статистическое оценивание
Расчет точечных
статистик
Выдвижение и
О параметрах
распределения
На выполнение
дисперсионного
анализа
Расчет
интервальных
оценок
проверка гипотез
О законе
распределения
На выполнение
корреляционного
анализа
Рис.14. Схема первичной статистической обработки
6
Первичная статистическая обработка заключается в вычислении статистик, а также предполагает выдвижение и проверку гипотез о параметрах
распределений и законах распределений параметров модели.
Следует иметь в виду, что во многих практических случаях экспериментальные исследования мехатронных устройств ограничиваются именно
первичной статической обработкой в части определения статистик.
3.3. Точечные статистики
Различают несмещенные и смещенные оценки случайной величины.
Точечная оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание
равно оцениваемому параметру генеральной совокупности. В противном
случае оценка называется смещенной.
Все точечные оценки можно разделить на три группы - средние статистики, статистики рассеяния и статистики отклонения формы распределения.
3.3.1. Средние статистики
Средние статистики определяют центр распределения случайной величины, около которого группируется большая ее часть, т.е. измеряют центральную тенденцию выборки. Средние величины отражают закономерный
результат воздействия главных возмущающих факторов.
Выборочное среднее (среднее арифметическое). Оценка вычисляется как
x
1 N
 xi .
N i 1
(88)
Является наиболее часто употребляемой оценкой математического ожидания.
Среднее квадратическое. Оценка вычисляется как
xкв 
1 N
 xi .
N i 1
(89)
Среднее кубическое. Оценка вычисляется как
xкуб  3
1
N
N
x
i 1
i
.
Среднее геометрическое. Оценка вычисляется как
(90)
7
xгеом  N x1 * x2 * ... * xN .
(91)
Часто используется как мера центральной тенденции для распределений с
положительной асимметрией (скошенных вправо) (раздел 3.3.3.).
Медиана. Оценка вычисляется как среднее значение вариационного ряда
Me  x( k ) , N  2 * k  1
.
1
Me  * ( x( k )  x( k 1) ), N  2 * k
2
(92)
Медиана делит вариационный ряд на две части, равные по объему выборки, в
силу чего равновероятно, что случайная величина будет больше или меньше
значения медианы. Медиана представляет интерес для исследователя в том
случае, когда оправдано предположение о нормальном законе распределения.
Мода. Оценка Mo вычисляется как значение выборки, наблюдаемое
наибольшее число раз. На графике кривой функции плотности распределения
мода соответствует точке локального максимума.
3.3.2. Статистики рассеяния
Статистики рассеяния отражают результат воздействия второстепенных
возмущающих факторов.
Выборочная дисперсия. Оценка вычисляется как
S 02 
1
N
N
 (x  x)
i 1
2
i
.
(93)
Оценка (93) является смещенной. Для получения несмещенной оценки следует использовать выражение
S2 
1 N
( xi  x ) 2 .

N  1 i 1
(94)
Обычно при N  50 можно считать, что S0 2  S 2 .
Выборочное среднеквадратическое отклонение. Оценки вычисляется как
S0 
S
1 N
( xi  x ) 2

N i 1
1 N
( xi  x ) 2 .

N  1 i 1
(95)
(96)
8
Коэффициент вариации. Оценка вычисляется как
S
*100% .
x
V
(97)
Принято считать, что при значениях оценки V  40% разброс значений исследуемого параметра значителен, а при V  100% наблюдения неоднородны.
При значениях x , близких к 0, коэффициент не используют. Оценка используется обычно для сравнения двух выборок.
Размах варьирования. Оценка R вычисляется как разница между максимальным и минимальным значениями в выборке. Является упрощенной
оценкой рассеяния.
3.3.3. Статистики отклонения формы распределения
Коэффициент асимметрии. Оценка вычисляется как
3
A
S3
,
(98)
где 3 - центральный выборочный момент 3-го порядка
3 
1
N
N
 (x  x)
3
i
i 1
.
(99)
Коэффициент асимметрии характеризует отклонение функции плотности
распределения от симметричной формы относительно выборочного среднего
значения x . Если в вариационном ряду преобладают варианты, меньшие x ,
то асимметрия называется левосторонней, при этом A  0 , Mo  x , при значении A  0 асимметрия называется правосторонней, в этом случае справедливо соотношение Mo  x . Для симметричного распределения справедливо
x  Mo  Me .
Эксцесс (коэффициент крутости). Оценка вычисляется как
E
4
S4
3 ,
(100)
где 4 - центральный выборочный момент 4-го порядка
4 
1
N
N
 (x  x)
i 1
i
4
.
(101)
9
Эксцесс характеризует форму вершины кривой плотности распределения.
Эксцесс указывает, насколько плотность распределения более заострена, или
наоборот, приплюснута по сравнению с плотностью нормального распределения. Распределение считается близким к нормальному, если выборочные
значения удовлетворяют условию A , E  0.1 . Коэффициент асимметрии и эксцесс нормально распределённой случайной величины равны нулю.
3.4. Интервальные статистики
На практике параметры генеральной совокупности – математическое
ожидание и дисперсия – неизвестны. Их точечные оценки – выборочное
среднее и выборочная дисперсия – являются случайными величинами, причем при условии N  25 эти оценки считаются ненадежными. Поэтому часто
используют т.н. интервальные статистики.
3.4.1. Двухсторонний доверительный интервал
Суть данной оценки представлена на рис.15.




Рис. 15. Двухсторонний доверительный интервал
На числовой оси  в обе стороны от оценки  строится интервал с границами
 , в который оцениваемый параметр  попадет с заранее выбранной вероят-
ностью
P(      )  1   ,
(102)
где  - уровень значимости, обычно   0.1 , 0.05 или 0.01 . Часто  выражается в процентах. Интервал (   ,   ) называется двухсторонним доверительным интервалом, который покрывает параметр  с надежностью
(1   ) . Чем меньше значение интервала  для выбранной вероятности (1   ) ,
тем точнее оценка параметра  . Варианты вычисления доверительных ин-
10
тервалов для оценки математического ожидания и дисперсии рассмотрены в
разделе 3.4.3.
3.4.2. Функции распределения
Вычисление доверительных интервалов, проверка статистических гипотез (раздел 3.5) и построение модели объекта с помощью факторного эксперимента (раздел 4.3) опирается на знание различных законов распределения вероятности.
Общее распределение
Пусть проведено N измерений x1 , x2 ,..., xN . Вероятность того, что измеряемая случайная величина X лежит в пределах    X  z описывается
функцией распределения вероятности F ( z )  P(  X  z ) . По определению
F ()  0 , F ()  1 . Производная
f ( z) 
dF ( z )
.
dz
(103)
называется функцией плотности распределения вероятности.
Пусть справедливо соотношение P{x  x p }  F ( x p )  p , где 0  p  1 - значение вероятности. Тогда x p называется квантилем порядка p . Очевидно,
что квантиль x p  0.5 есть медиана случайной величины X .
Нормальное распределение
В инженерной практике при обработке экспериментальных данных
обычно предполагается нормальный закон распределения случайных погрешностей измерений. Нормальный закон всегда проявляется там, где
суммарная погрешность измерений есть результат совместного действия
множества факторов, каждый из которых дает свой незначительный вклад в
погрешность. При этом закон распределения каждого фактора в отдельности
не имеет значения.
Функция плотности для Гауссовского нормального распределения имеет вид
11
f ( x) 
1
( x   )2
exp( 
),
2 2
 2
(104)
где  - математическое ожидание,  - дисперсия.
Вероятность нахождения случайной величины в пределах интервала (a, b)
равна
1
P{a  X  b}  F (b)  F (a ) 
 2
Если произвести замену переменной u 
x

b
e

( x )2
2 2
dx .
(105)
a
, то выражение (105) приобре-
тает вид
P{a  X  b}  (
b

)  (
z
a

),
(106)
u2

1
( z ) 
e 2 du 
2 0
где
(107)
функция Лапласа (функция вероятности, интеграл вероятности), которая
хорошо табулирована и широко используется на практике. Очевидно, что при
этом можно пользоваться соотношениями
P{ x  c}  2(
c

) , P{ x  c}  1  2(
c

).
(108)
Замена переменной u означает переход от нормального распределения
N (  ,  ) к стандартному нормальному распределению N (0,1) с нулевым мате-
матическим ожиданием и единичной дисперсией. Примеры плотностей нормального распределения вероятностей представлены на рис. 16.
Рис. 16. Функции плотности нормального распределения
12
При обработке результатов эксперимента широко используется «правило 3 », или правило «трех стандартов». Суть его в том, что для нормального распределения справедливо соотношение
P{ X    3 }  2(3)  0.9973 .
(109)
Следовательно, можно считать, что практически все измеренные значения
будут лежать в интервале (   3  X    3 ) . Так как обычно реально известны только выборочное среднее X (88) и выборочное среднеквадратическое отклонение S (96), то можно считать, что все измеренные значения
должны лежать в интервале ( X  3S  X  X  3S ) и в этом случае следует говорить о «правиле 3S». С его помощью обычно оценивают возможный разброс
значений параметров мехатронной системы, например, коэффициентов усиления и постоянных времени.
Следует заметить, что если результат измерения отличается от выборочного среднего на величину, большую 3S , то необходимо более тщательно
повторить измерения. Возможно, что полученный результат измерения не
является промахом, а является выражением необычного поведения мехатронного устройства и не укладывается в рамки существующих представлений о нем (например, имеет место явление резонанса).
При обработке случайных данных, имеющих нормальное распределение, возникает несколько новых видов распределений, а именно:  2 - распределение, распределение Стьюдента и F - распределение, которые широко
используются в экспериментальных исследованиях.
2-распределенрие
Пусть имеется бесконечный ряд измерений  со стандартным нормальным распределением. Из этого ряда делается бесконечное число выборок
размером N элементов каждая. Из элементов каждой k -ой (k  1,..., ) выборки  k1 ,  k 2 ,...,  kN образуется функция вида
2
zk   k21   k22  ...   kN
.
(110)
13
В результате будет получен бесконечный ряд случайных значений
z1 , z 2 ,..., z k ,... . Он имеет распределение вероятности, называемое  2 -
распределением с N степенями свободы. Его функция плотности распределения вероятностей хорошо табулирована и имеет вид
0, x  0
N 2
x


1
2
2
f  2 ( N ) ( x)   N
*x
*e , x  0 ,
 2 2 * ( N )

2
(111)
где  - гамма функция. Примерный вид плотности  2 - распределения вероятностей представлен на рис. 17.
Рис. 17. Функции плотности  2 - распределения
При увеличении числа степеней свободы N данное распределение медленно
приближается к нормальному распределению. Область использования  2 распределения - вычисление доверительного интервала для дисперсии, проверка гипотезы о значении дисперсии и законах распределения.
Распределение Стьюдента (t-распределение)
Пусть имеется бесконечный ряд измерений  со стандартным нормальным распределением. Из этого ряда делается бесконечное число выборок
размером N 1 элементов каждая. Из элементов каждой k -ой (k  1,..., ) выборки  k 0 ,  k1 ,  K 2 ,...,  kN образуется функция вида
14
zk 
k 0
2
   k22  ...   kN
2
k1
.
(112)
N
В результате будет получен бесконечный ряд случайных значений
z1 , z 2 ,..., z k ,... . Он имеет распределение вероятности, называемое t -
распределением с N степенями свободы. Его функция плотности распределения вероятностей хорошо табулирована и имеет вид
N 1
N 1
)
2  2
 x 
2
,
f t ( N ) ( x) 
* 1  
N
N * ( )  N 
2
(
(113)
Примерный вид плотности t- распределения вероятностей представлен на
рис. 18.
Рис. 18. Функции плотности t- распределения
При увеличении числа степеней свободы N данное распределение быстро
приближается к нормальному распределению. Область использования t- распределения - вычисление доверительного интервала для математического
ожидания, проверка гипотезы о значении математического ожидания.
Распределение отношения дисперсий (F-распределение)
Пусть имеются две случайные величины с  2 - распределением и степенями свободы N1 и N 2
z1 
1 2
(11  122  ...  12N1 ) ,
N1
(114)
15
z2 
1
(112  122  ...  12N 2 ) ,
N2
(115)
причем все величины  ij в выражениях (114) и (115) являются взаимно не зависимыми. Случайная величина, равная их отношению,
v2 
z1
,
z2
(116)
имеет F - распределение с N1 и N 2 степенями свободы. Ее функция плотности
распределения вероятностей имеет вид
N  N2

( 1
)
N1
N2
N1  2
N  N2
 1

2
2
2
2
2
(
N
)
*
(
N
)
*
*
x
*
(
N

N
x
)
,x 0
 1
2
2
1
N1
N2
f F ( N1 , N 2 ) ( x)  
.
 ( ) ( )

2
2
0, x  0

(117)
Примерный вид плотности F-распределения вероятностей представлен на
рис. 19.
Рис. 19. Функция плотности F-распределения
3.4.3. Расчет доверительных интервалов
Доверительные интервалы дают больше информации о параметре, чем
точечная оценка, так как отграничивают сразу целую совокупность допустимых значений.
16
Доверительный интервал для математического ожидания нормального
распределения при известной дисперсии
Пусть каким-либо образом известна дисперсия  2 генеральной совокупности. Тогда доверительный интервал для математического ожидания 
определяется как
причем
где  x 

N
x     x  ,
(118)
  z1 * x ,
(119)
- стандартная ошибка, z1 - квантиль нормального распределе-
ния порядка (1   ) . Квантиль z1 есть решение уравнения
2( z1 )  1   ,
(120)
где  - функция Лапласа. Квантиль z1 может быть определен из таблиц
функции Лапласа. Таким образом, можно говорить, что математическое
ожидание  с вероятностью (1   ) *100 % лежит в доверительном интервале
(118).
Из анализа (118)-(120) следует, что:
 Чем больше объем выборки N , тем выше точность интервального оценивания, так как уменьшается значение интервала  ;
 Чем больше значение дисперсии  2 , тем ниже точность интервального
оценивания, так как увеличивается значение интервала  ;
 Чем больше значение надежности оценки (1   ) , тем ниже точность
интервального оценивания, так как увеличивается квантиль z1 и, соответственно, увеличивается значение интервала  .
Заметим, что правило «трех стандартов» для данного случая представляет
собой доверительную оценку истинного значения  измеряемой величины
x 
3
, например, коэффициента усиления мехатронной системы, с
N
надежностью 2(3)  0.9973 независимо от количества измерений.
17
Доверительный интервал для математического ожидания нормального
распределения при неизвестной дисперсии
В этом случае доверительный интервал для математического ожидания
 определяется в соответствии с (116), но значение интервала вычисляется
как
  t1 *
S
,
N
(121)
где S - выборочное среднеквадратическое отклонение, t1 - квантиль распределения Стьюдента порядка (1   ) и с числом степеней свободы ( N  1) .
При объемах выборки N  100 вместо квантиля t1 можно использовать
квантиль нормального распределения z1 , который не зависит от значения
объема выборки N .
Заметим, что правило «трех стандартов» для данного случая представляет собой доверительную оценку истинного значения  измеряемой величины   x 
3S
с надежностью (1   ) , зависящей от количества измерений.
N
Зависимость надежности от количества измерений N представлена в таблице 5.
Таблица 5
N
1 
5
0.960
10
0.985
20
0.993
30
0.995
150
0.997

0.9973
18
Доверительный интервал для дисперсии нормальной генеральной совокупности
Доверительный интервал для дисперсии нормальной генеральной совокупности вычисляется как
( N  1) S 2
2 
1
 2 
,
(122)
2
где S - выборочная дисперсия, 

ственно (1  ) и
2
2
 2
2
2

( N  1) S 2
2
1

2
,
 2 - квантили порядка соответ2
 2 -распределения с ( N  1) степенями свободы.
3.5. Проверка статистических гипотез
3.5.1. Постановка задачи
Статистической гипотезой называется некоторое предположение относительно свойств генеральной совокупности. Например:
 Математическое ожидание  равно конкретному числу 0 ;
 Дисперсия  2 равна конкретному числу  02 ;
 Генеральная совокупность распределена по нормальному закону;
и т.д.
Выдвинутая гипотеза называется нулевой и обозначается H 0 . Альтернативная гипотеза, которая противоречит нулевой, обозначается H1 . Проверка
статистической гипотезы состоит в том, чтобы проверить нулевую гипотезу
H 0 относительно альтернативной H1 . Критерием статистической гипотезы
называется правило, которое позволяет принять или отвергнуть нулевую гипотезу. При построении этого правила используют некоторую функцию (статистику) от результатов наблюдения
g  g ( x1 , x2 ,..., xN ) .
(123)
Область всех возможных значений статистики g условно разбивается
на область принятия решения и критическую область. Если значение статистики g попадает в область принятия решений, то гипотеза принимается, в
19
противном случае – отвергается. При принятии решения возможны варианты, представленные в таблице 6.
Таблица 6
Гипотеза
Верна
Неверна
Принимается
Правильное решение
Ошибка II рода
Отвергается
Ошибка I рода
Правильное решение
Наш выбор
Вероятность совершить ошибку I рода называется уровнем значимости критерия, и выбирается на уровне, например   0.01 (1%) или   0.05 (5%).
3.5.2. Проверка гипотез о параметрах распределения
Различные варианты проверки гипотез о параметрах распределения
представлены в таблице 7.
Таблица 7
№
Гипотеза
Дополнительная
информация
1 Математическое Дисперсия  2
ожидание равно известна
числу
H 0 :   0
H1 :    0
Уровень значимости 
2 Математическое Дисперсия не
ожидание равно известна
числу
H 0 :   m0
H1 :   m0
Уровень значи-
Статистика
g
g
x  0

N
Распределение
статистики g
при
справедливой
гипотезе
Нормальное
распределение
x - выборочное сред-
нее
g
Кри
об
отк
ги
g
где
кван
поря
(1  
x  0
S
N
S - выборочное сред-
неквадратическое отклонение
t - распределение с
  N 1
степенями
свободы
g t
где
кван
поря
(1  
20
 ст
мости 
своб
3 Дисперсия равна числу
H 0 :  2   02
Математическое
( N  1) S
g
ожидание
 02
не известно
2
 - распреде-
g
ление
где
кван
поря
2
H1 :  2   02
Уровень значимости 
(1  
 ст
своб
4 Равенство двух
центров нормального распределения
H0 : x   y
H1 :  x   y  0
Уровень значимости 
N X , NY -
g  x  y * A* B
объемы
выборок
A
1
a1  a2
a1  ( N X  1) S X2
a2  ( NY  1) SY2
t - распределение с
  N 1
степенями
свободы
g t
где
кван
поря
(1  
 ст
B  b( N X  NY  2)
своб
N X NY
b
N X  NY
x, y - выборочные
средние
5 Равенство двух
дисперсий нормального распределения
H 0 :  X2   Y2
H1 :  X2   Y2
g
S X2
SY2
F-распределение
S , S - выборочные
2
X
2
Y
среднеквадратические
отклонения
Уровень значимости 
gF
где F
кван
пор
(1  
NX ,
степ
своб
3.5.3. Проверка гипотезы о законе распределения
Проверка гипотезы о законе распределения проводится с использованием специально подобранной статистики. Обычно статистические критерии
для проверки таких гипотез называются критериями согласия.
Критерий согласия 2 Пирсона
Критерий является универсальным, т.к. применяется для различных
видов распределения. Сущность его состоит в сравнении эмпирических и
теоретических частот попадания значений случайной величины в различные
21
интервалы равной длины, на которые разбивается весь диапазон ее возможного изменения. В качестве примера рассмотрим критерий Пирсона о нормальном распределении.
Статистика критерия  2 согласия Пирсона имеет вид
2
 n  nˆ 
g    i i  ,
ni 
i 1 
k
(124)
где k - число одинаковых интервалов, на которые разбивается весь диапазон
выборки, ni - эмпирические частоты (число элементов выборки, попавших в
i  1,2,..., k интервал, причем
k
n
i 1
i
 N ), n̂i - выравнивающие частоты (теоре-
тические) для предполагаемого закона распределения, nˆi  N * pi , pi теоретическая вероятность попадания в i - ый интервал. Критическая область
для проверки гипотезы о нормальном распределении имеет вид
g   12 ,( k 1) ,
где  2
1 ,( k 1 )
(125)
- квантиль  2 - распределения порядка (1   ) с (k  1) степенями сво-
боды.
При использовании критерия обычно рекомендуют:
 Объем выборки N должен быть не менее 50;
 В каждый интервал должно попасть не менее 5-8 замеров.
Вычисление выравнивающих частот для нормального распределения
Процедура вычисления выравнивающих частот для нормального распределения следующая:
1. Определяются выборочное среднее x (88) и выборочное среднеквадратическое отклонение S (96);
2. Вычисляются нормированные значения концов всех интервалов
( zi , zi 1 ) : zi 
xi  x
x x
и zi 1  i 1
;
S
S
3. Так как для нормального закона значения случайной величины
X лежат в диапазоне от величины   до величины   , то край-
22
ний левый и крайний правый интервалы расширяют до значений z1   и zk 1   соответственно;
4. Вычисляются теоретические вероятности pi попадания случайной
величины X в каждый из интервалов ( xi , xi 1 ) через функцию
Лапласа pi  ( zi 1 )  ( zi ) ;
5. Вычисляются выравнивающие (теоретические) частоты nˆi  N * pi
для всех интервалов I  1,2,..., k
4. Основы планирование эксперимента
4.1. Основные понятия
Под планированием эксперимента принято понимать:
 Раздел математической статистики, изучающий рациональную
организацию измерений, подверженных случайным ошибкам;
 Процедуру выбора числа условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленных задач с заданной
точностью.
Планирование эксперимента предполагает, что эксперимент является активным (часть 1, раздел 1.2.4) и объект исследования представлен в виде модели
«черный ящик». При этом используются только группа входных контролируемых параметров X  ( X 1 , X 2 ,..., X n ) , называемых факторами, и один параметр Yi из группы выходных параметров Y  (Y1 , Y2 ,..., YS ) . Совокупность факторов образует факторное пространство, а зависимая переменная Y  f ( X ) ,
которую требуется оптимизировать по какому-либо критерию, называется
функций отклика. Геометрическое представление функции отклика в nмерном факторном пространстве образует т.н. поверхность отклика.
Типовой задачей экспериментального исследования мехатронной системы является необходимость оптимизировать функцию отклика, описание
которой неизвестно. Обычно уравнение объекта ищется в виде полинома вида
23
n
Y  b0   b j X j 
j 1
n
b
j ,l 1, j l
n
jl
X j X l   b jj X 2j  ... ,
(126)
j 1
где b0 , b j , b jl , b jj - коэффициенты регрессии. В каждом i - ом опыте факторы
представляются точкой факторного пространства X i  ( X 1i , X 2i ,..., X ni ) . При
этом целью планирования эксперимента является отыскание оценок коэффициентов уравнения модели (126) по результатам опытов в N точках факторного пространства.
Необходимыми условиями для успешного проведения планирования
эксперимента являются:
 Наблюдения отклика Yi (i  1,..., N ) в N точках факторного пространства должны быть независимыми нормально распределенными случайными величинами;
 Дисперсии откликов  2 [Yi ] должны быть равны между собой в
любой точке X i факторного пространства (воспроизводимость с
равной точностью);
 Факторы X 1 , X 2 ,..., X n должны быть независимыми величинами и
измеряться с пренебрежимо малыми ошибками по сравнению с
ошибками определения откликов Yi .
4.2. Полный и дробный факторные эксперименты
Исходная точка эксперимента в n - мерном факторном пространстве
называется базовой и соответствует некоторому набору значений входных
параметров X 0  ( X10 ,..., X j 0 ,..., X n0 ) , называемому базовым или нулевым уровнем. Обычно базовый уровень выбирается достаточно близко к центру факторного пространства. Вначале проведения эксперимента проверяют возможность использования аппроксимации функции отклика полиномом следующего вида
n
Y  b0   b j X j 
j 1
n
b
j ,l 1, j l
jl
X j Xl .
(127)
24
При этом, как правило, используют вариант, когда в окрестности базовой
точки X 0 каждый из факторов X j варьируется на двух уровнях, отличных от
базового X j 0 на величину интервала варьирования. Интервал варьирования
X j должен удовлетворять следующим требованиям:
 Быть больше ошибки, с которой выставляется уровень фактора;
 Быть в пределах области определения фактора.
Обычно выбирается X j  0.05  0.3 от значения области определения фактора.
Для упрощения обработки результатов эксперимента переходят от натуральных значений фактора X j к нормированным (безразмерным) значениям
Zj 
X j  X j0
X j
.
(128)
В новой системе координат верхнему и нижнему уровням фактора X j соответствуют значения Z j  1, Z j  1 .
При варьировании на двух уровнях требуется N  2 n опытов (точек факторного пространства), а в случае варьировании на  уровнях требуется уже
N   n опытов.
4.2.1. Полный факторный эксперимент
При полном факторном эксперименте (ПФЭ) реализуются все возможные неповторяющиеся комбинации n независимых факторов, которые варьируются обычно на двух уровнях. Планирование эксперимента сводится к
построению матрицы планирования (матрицы Адамара).
В таблице 8 представлен пример матрицы планирования полного факторного эксперимента для трехфакторной (n  3) модели вида
Y  b0  b1Z1  b2 Z 2  b3 Z3  b12 Z1Z 2  b13Z1Z3  b23Z 2 Z3  b123Z1Z 2 Z3 .
(129)
Всего модель (129) содержит 8 неизвестных коэффициентов bk . Факторы изменяются на двух уровнях. Число необходимых опытов ( N  23 ) определяет
размер матрицы планирования, которая называется матрицей ПФЭ 23 . Фак-
25
тор Z 0 является вспомогательным и вводится в рассмотрение для определения коэффициента b0 . Выделенная часть матрицы (с факторами) называется
матрицей спектра плана и представляет собой собственно план эксперимента.
Номер
опыта
Z0
i
1
2
3
4
5
6
7
8
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
Факторы
Произведения факторов
Z1
Z2
Z3
Z1Z 2
Z1Z 3
Z 2Z3
Z1Z 2 Z 3
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
-1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
Таблица 8
Отклик Yi
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
Правила построения матрицы планирования эксперимента в общем
случае имеют вид:
1. В первой строке (i  1) все факторы устанавливаются на нижнем уровне
Z j  1, j  1,..., N ;
2. Для остальных строк при последовательном переборе точек факторного пространства (строк матрицы) частота смены знака для каждого последующего фактора Z j 1 вдвое меньше, чем для предыдущего Z j ;
3. Все взаимодействия (произведения) факторов Z j для каждой точки
факторного пространства получаются перемножением нормированных
значений соответствующих факторов;
4. Вспомогательный фактор Z 0 всегда равен +1.
4.2.2. Дробный факторный эксперимент
Дробный факторный эксперимент (ДФЭ) соответствует случаю, когда
пропущены некоторые сочетания уровней факторов. Это позволяет или
26
уменьшить число опытов или исследовать при неизменном числе опытов
большее число факторов, чем в случае ПФЭ. Предполагается, что потерянная
в этих случаях информация несущественна. Наиболее часто переход от ПФЭ
к ДФЭ состоит в отбросе информации о взаимодействии изучаемых факторов. При исследовании дополнительных факторов при неизменном числе
опытов новому фактору присваивается вектор-столбец, принадлежащий тому
взаимодействию, которым пренебрегают.
В качестве иллюстрации уменьшения числа опытов за счет отказа от
взаимодействия факторов в таблице 9 представлен пример матрицы планирования дробного факторного эксперимента для трехфакторной (n  3) линейной модели вида
Y  b0  b1Z1  b2 Z 2  b3 Z3 .
Номер
опыта
i
1
2
3
4
Факторы
Z0
+1
+1
+1
+1
(130)
Новый фактор
Z1
Z2
Z3
-1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
+1
+1
-1
-1
+1
Таблица 9
Отклик Yi
Y1
Y2
Y3
Y4
Всего модель (130) содержит 4 неизвестных коэффициентов bk . Факторы изменяются на двух уровнях. Число необходимых опытов равно 4. Для составления матрицы планирования следует воспользоваться матрицей ПФЭ 2 2 для
двух факторов, а третий фактор принять равным эффекту взаимодействия
двух факторов.
В общем случае максимальное количество факторов линейной модели,
которое можно исследовать с помощью матрицы ПФЭ 2 n , составляет (2 n  1) .
Например, в примере с таблицей 8 матрице ПФЭ 2 3 будет соответствовать
максимальное количество факторов линейной модели, равное 2 3  1  7 . Новые факторы в этой модели приравниваются к эффектам взаимодействия
Z5  Z1Z3 , Z 6  Z 2 Z 3 , Z 7  Z1Z 2 Z3 .
27
4.3. Построение модели с помощью факторного эксперимента
Построение модели предполагает выполнение ряда последовательных
этапов, указанных на рис.20.
Этап 1
Проведение
опыта
Этап 2
Проверка
воспоизводимости
опыта
Заполнение матрицы планирования
эксперимента значениями функции
отклика в точках факторного
пространства
Оценка одиноковости дисперсий
значений функции отклика в точках
факторного пространства
Этап 3
Расчет
коэффициентов
модели
Вычисление оценок коэффициентов
модели
Этап 4
Оценка
значимости
коэффициентов
Проверка коэффициентов модели на
равенство их нулю
Этап 5
Проверка
адекватности
модели
Рис.20. Этапы построения модели
4.3.1. Проведение эксперимента на объекте
В общем случае отклик объекта является случайным, поэтому в каждой
точке факторного пространства выполняется m опытов, которые называются
параллельными. Дублирование опытов позволяет:
 Проверить воспроизводимость эксперимента;
 Проверить адекватность модели и исследуемого процесса.
В качестве отклика принимается среднее арифметическое из m измерений.
Матрица планирования эксперимента приобретает вид согласно таблице 10.
Таблица 10
Z1
Факторы
Z2
..…
Zn
Параллельные опыты
1
2
……
m
1
-1
-1
..…
-1
Y11
Y12
……
Y1m
Y1
2
+1
-1
-1
-1
Y21
Y22
……
Y2 m
Y2
……
……
……
……
……
28
Номер
опыта
Отклик
+1
+1
Yi
N
…..
+1
YN 1
YN 2
……
……
……
……
……
……
i
YNm
YN
Всего матрица планирования описывает N * m опытов.
Выполнение опыта в j - ой точке факторного пространства производится следующим образом:
1. По нормированным значениям факторов Z j для i - ой строки спектра
плана определяются натуральные значения координаты
X i  ( x1i , x2i ,..., x ji ,..., xni ) ;
2. Факторы устанавливаются на уровни, соответствующие координатам
точки X i ;
3. Измеряется отклик Yi . После проведения всех m опытов производится
оценка выборочной дисперсии каждого отклика
2
Si 
где Yi 
1 m
 (Yik  Yi ) ,
m  1 k 1
(131)
1 m
 Yik .
m k 1
4.3.2. Проверка воспроизводимости опыта
Удачный эксперимент предполагает воспроизводимость, что означает
одинаковость дисперсий функции отклика в каждой точке опыта.
Проверка воспроизводимости проводится по критерию Кохрэна (Кокрена) об однородности дисперсий, который основан на законе распределе-
29
ния отношения максимальной оценки дисперсии к сумме всех сравниваемых
оценок дисперсий.
Процедура проверки следующая:
1. Среди всех дисперсий множества откликов (131) определяется
максимальное значение max S i2 ;
2. Вычисляется отношение G 
 , i  1,..., N ;
max S i2
N
S
i 1
(132)
2
i
3. Определяется число степеней свободы 1  m 1, 2  N ;
4. Выбирается уровень значимости q для G - распределения. Обычно это q  0.05 ;
5. По таблице G - распределения Кохрэна определяется критическое
значение GCr ;
6. Сравнивается значение G (132) с критическим значением GCr .
Если G  GCr , то дисперсии однородны и эксперимент обладает
воспроизводимостью. Если G  GCr , то эксперимент повторяют по
возможным вариантам:
 Увеличивают число параллельных опытов m ;
 Отбрасывают резко выделяющиеся значения отклика.
4.3.3. Получение оценок коэффициентов модели
Коэффициенты b j находятся методом наименьших квадратов в соответствии с методикой, рассмотренной в разделе 2.1.2, часть 1.
4.3.4. Проверка значимости коэффициентов модели
Некоторые коэффициенты модели b j могут не иметь значимости, т.е.
быть равны нулю. Поэтому проверка значимости коэффициентов модели
производится на основе проверки статистической нулевой гипотезы H 0 о ра-
30
венстве математического ожидания случайной величины b j нулю. Проверка
гипотезы проводится с помощью критерия Стьюдента. Процедура проверки
следующая:
1. Определяется оценка дисперсии воспроизводимости
S R2 
1
N
N
S
i 1
i
,
(133)
где Si - выборочная дисперсия для каждого i -го отклика согласно
выражения (131);
2. Определяется дисперсия ошибки в оценке каждого коэффициента
Sb2j 
1
S R2 ;
N m
(134)
3. Определяется статистика для каждого коэффициента
gj 
bj
Sb j
;
4. Определяется число степеней свободы
(135)
  N (m  1) ;
5. Выбирается уровень значимости  . Обычно это   0.05 ;
6. По таблице t - распределения Стьюдента для  степеней свободы
и коэффициента значимости  определяется критическое значение
квантиля t1 ,( ) ;
7. Если g j  t1 ,( ) , то нулевая гипотеза отвергается и коэффициент b j
признается значимым, в противном случае он признается равным
нулю.
Обычно отсутствие значимости коэффициента b j может быть обусловлено
следующими причинами:
 соответствующий фактор (или взаимодействие) не имеет функциональной связи с откликом Y ;
 интервал варьирования соответствующего фактора слишком мал;
 дисперсия воспроизводимости S R2 слишком велика, т.е. на фоне
помех выделить влияние данного фактора невозможно.
31
4.3.5. Проверка адекватности модели
Проверка адекватности модели сводится к проверке гипотезы об однородности оценок дисперсии воспроизводимости S R2 и дисперсии адекватности S A2 с помощью критерия Фишера. Процедура проверки следующая:
1. Определяется дисперсия адекватности
2
m N
S 
 Yi  f ( x1i ,..., xni ) ,
N  l i 1
2
A
(136)
где l - число значимых коэффициентов;
Дисперсия воспроизводимости S R2 вычисляется согласно (133) на
этапе проверки значимости коэффициентов модели;
2. Определяется значение F - критерия Фишера (дисперсионное отношение)
F
S A2
;
S R2
3. Определяется число степеней свободы
(137)
1  N  l ,  2  N (m  1) ;
4. Выбирается уровень значимости  . Обычно это   0.05 ;
5. По таблице F - критерия Фишера для  1 , 2 степеней свободы и
коэффициента значимости  определяется критическое значение
квантиля F1 ,( , ) ;
1
2
6. Если F  F1 ,( , ) , то модель признается адекватной, в противном
1
2
случае необходимо повторить эксперимент с учетом следующих рекомендаций:
 Перейти к более «сложному» описанию модели согласно выражению (126);
 Уменьшить интервалы варьирования факторов X j .
4.4. Экспериментальная оптимизация
Задача экспериментальной оптимизации заключается в нахождении
экстремума функции отклика в области допустимых значений параметров
32
путем эксперимента. Наиболее распространенными методами поиска экстремума являются:
 Метод Гаусса-Зайделя
 Градиентный.
4.4.1. Метод Гаусса-Зайделя
Суть метода заключается в поочередном нахождении локального экстремума функции отклика Y  f ( X ) по каждому фактору X i (i  1,..., n) . В соответствии с этим поиск разбивается на последовательность этапов, в каждом
из которых локальный экстремум функции отклика Y определяется при изменении только одного фактора X j (1  j  n) , в то время как значения остальных (n  1) факторов неизменны. Процесс выполнения всех этапов для n факторов составляет один цикл поиска экстремума.
В целом процедура поиска экстремума следующая:
Первый этап:
1. Выбирается базовая точка M 0 с координатами n факторов
X ( M 0 )  ( x10 , x20 ,..., xn 0 ) , которая обычно соответствует номинально-
му состоянию мехатронной системы;
2. Выбирается интервал варьирования X 1 по фактору X 1 ; значение
интервала должно обеспечивать возможность фиксации изменения функции отклика Y на фоне помех;
3. Определяются координаты пробных точек M 1 и M 2 :
X ( M 1 )  ( x10  x1 , x20 ,..., xn 0 ) и X ( M 2 )  ( x10  x1 , x20 ,..., xn 0 ) ;
4. В точках M 1 и M 2 ставятся пробные опыты (в том числе параллельные) и определяются функции отклика Y (M 1 ) и Y (M 2 ) ;
5. Сравниваются значения полученных откликов, и выбирается
направление движения поиска, например, при поиске максимума:
Y (M 2 )  Y (M1 ) - рабочее движение в сторону точки M 2 ,
Y (M 2 )  Y (M1 ) - рабочее движение в сторону точки M1
33
6. Движение в выбранном направлении продолжается до момента
фиксации экстремума, например, при поиске максимума
Y (M k )  Y (M k 1 ) ; точка M k 1 принимается за локальный экстремум.
Второй этап:
Повторяется первый этап, но для фактора X 2 . За базовую точку
принимается точка M k 1 : X ( M k 1 )  ( x10  x1 * (k  2), x20 ,..., xn 0 ) .
…………….
Последний n -ый этап:
Повторяется первый этап, но для фактора X n .
Продолжение процедуры:
Циклы, состоящие каждый из 1  n этапов, повторяются необходимое число раз.
……………
Завершение процедуры:
За факт достижения точки экстремума выбирается достижение такого положения в факторном пространстве, в котором значение функции отклика оказывается большим (при поиске максимума) или
меньшим (при поиске минимума), чем значения в точках, соответствующих движению в любую сторону по всем n факторным осям.
Метод Гаусса-Зайделя является наиболее простым из всех известных методов. Однако он обладает рядом существенных недостатков:
 Требуется большее число опытов по сравнению с другими методами, причем их число растет с увеличением числа факторов
 Не всегда возможно зафиксировать одновременно (n  1) факторов на необходимое для поиска время, например, в случае промышленных мехатронных систем
 Возможно попадание в «ложный» экстремум.
4.4.2. Метод градиента
Вектор градиента в n - факторном пространстве определяется как
34
gradY 
 
Y  0 Y  0
Y  0
x1 
x2  ... 
xn ,
X 1
X 2
X n
(138)

где x10 , x210 ,..., xn0 - единичные направляющие орты факторных осей.
Процедура поиска экстремума следующая:
1. Выбирается базовая точка L0 с координатами n факторов
X ( L0 )  ( x10 , x20 ,..., xn 0 ) ;
2. Выбираются интервалы варьирования X i для каждого фактора
X i (i  1,..., n) ;
3. Выбираются координаты пробных точек для каждого фактора, причем
каждый раз варьируется один фактор X i (1  i  n) при стабилизации
остальных факторов на базовом уровне: X ( L01) X  ( x10 ,..., xi  xi ,..., xn0 )
i
и X ( L02 ) X  ( x10 ,..., xi  xi ,..., xn0 ) ;
i
4. По результатам пробных опытов вычисляются оценки составляющих
вектора градиента в точке L0 для каждого i - го фактора:
gradY ( L0 ) X i 
Y Y ( L02 ) X i  Y ( L01 ) X i

 ai 0 ;
X i
2xi
(139)
5. Определяются координаты 1-ой рабочей точки L1 в направлении градиента:
- выбирается рабочий шаг  ;
- вычисляется координата точки L1 по всем факторам
xi1  xi 0   * ai 0 (здесь индекс 0 соответствует базовой точке, 1 – 1-ой
точке);
6. 1-ая рабочая точка принимается за новую базовую точку, и повторяются шаги по пунктам 3 – 5 для получения 2-ой рабочей точки и т.д.; в
общем случае в каждой k - ой рабочей точке по результатам пробных
опытов вокруг нее получается оценка составляющих градиента aik и
совершается k  1 шаг (k  0,1,...) в точку с координатами
xi ( k 1)  xik   * aik , (i  1,2,...n) .
35
7. Движение продолжается до момента, когда все составляющие градиента станут пренебрежимо малы aik  0 .
Достоинствами метода градиента являются:
 Достаточно простая стратегия
 Повышенная (по сравнению с методом Гаусса-Зайделя) скорость
движения к экстремуму.
Недостатками метода градиента являются:
 Большая чувствительность к помехам при выборе направления движения
 Возможность попадания в «ложный» экстремум.
4. Испытания мехатронных систем
Основной целью испытаний является определение соответствия изделия (мехатронной системы) и его составных частей требованиям технических
условий (ТУ). Общие требования к качеству и надежности изделия данного
класса установлены в Государственных стандартах, где определены также
общие правила приемки и методы испытаний. В ТУ оговариваются конкретные условия работы изделия и требования к нему. Технические условия составляются предприятием-разработчиком и согласуются с заказчиком и являются основным документом для проведения испытаний. Документами для
проведения испытаний служат ТУ и комплект конструкторской документации на изделие. При оформлении документов на испытания следует руковод-
36
ствоваться ГОСТ 3.1507-84 «Правила оформления документов на испытания».
5.1. Классификация и виды испытаний
Испытания можно классифицировать по месту проведения и по виду.
5.1.1. Классификация испытаний по месту проведения
Обычно различают следующие испытания:
 Лабораторные (предварительные, исследовательские)
 Полигонные
 Заводские
Лабораторные испытания. Целью лабораторных испытаний являются, как
правило, проверка правильности принципиальных схем, конструкторских и
технологических решений.
Полигонные испытания. Проводятся совместно с заказчиком для проверки
работы изделия в реальных условиях эксплуатации.
Заводские испытания. Проводятся на заводе-изготовителе с целью контроля
правильности ведения технологического процесса и определения параметров
и качества готового изделия. Можно выделить 5 типов заводских испытаний:
1. Испытания при входном контроле
Проводятся для выявления дефектов комплектации.
2. Технологические (операционные) испытания
Проводятся для контроля обработки деталей, сборки узлов.
3. Приемо-сдаточные испытания
Проводятся для контроля на соответствие требованиям ТУ каждого готового
изделия. Примерный перечень операций контроля для приемо-сдаточных испытаний следующий:
 Контроль внешнего вида
 Контроль основных размеров
 Контроль фактической массы
 Контроль комплектующих элементов и материалов
37
 Контроль электромонтажа
 Контроль электрической прочности изоляции
 Контроль электрического сопротивления изоляции
 Контроль сопротивления между контактами заземления соединителей
 Контроль целостности цепей
 Контроль функционирования изделия при номинальном напряжении
 Контроль функционирования изделия при минимальном и максимальном напряжениях
 Контроль соответствия изделия своему функциональному назначению
 Контроль комплектности
 Контроль маркировки
 Контроль транспортной тары.
4. Периодические
Проводятся для оценки эффективности и целесообразности предлагаемых изменений в изделии или технологии его изготовления 1 раз в год
или 1 раз в 2 года в зависимости от объема годовой программы выпуска
изделия.
5. Типовые
Проводятся для оценки эффективности и целесообразности предлагаемых изменений в изделии или технологии его изготовления.
5.1.2. Классификация испытаний по виду
Существует следующие виды испытаний, указанные согласно рекомендуемому порядку их проведения:
 Электрические испытания изоляции
 Механические
 Климатические
38
Следует отметить, что согласно ГОСТ 30630.0.0-99 предпочтителен следующий порядок испытаний:
- механические испытания;
- испытания на воздействие изменения температуры;
- испытания на воздействие верхнего значения температуры;
- испытания на воздействия влажности;
- испытания на воздействие нижнего значения температуры.
5.2. Электрические испытания изоляции
Электрические испытания изоляции состоят в проверке изделия на соответствие ТУ в отношении электрического сопротивления и прочности изоляции. Порядок проведения испытаний следующий:
 Проверка электрической прочности изоляции
 Измерение электрического сопротивления.
Обычно местами, к которым согласно ТУ подключают испытательные приборы, являются:
 Соседние электрически не связанные токоведущие цепи
 Токоведущие цепи и корпус.
5.2.1. Проверка электрической прочности изоляции
При испытании используют тот вид напряжения (постоянный или переменный), который соответствует рабочему напряжению U work . В качестве
испытательного прибора используют пробойную установку, которая обеспечивает выработку испытательного напряжения и фиксацию возможного пробоя. Процедура испытаний следующая:
 Повышают испытательное напряжение до максимального значения U max плавно или ступенчато в течение 5-10 сек
 Выдерживают значение U max около 1 минуты
 Фиксируют наличие или отсутствие пробоя.
39
Рекомендуемые значения U max в зависимости от значения рабочего напряжения U work представлены в таблице 11.
Таблица 11
U work , в
U max , в
Нормальные условия
Повышенная влажность
500
250
 100
 100
2U work  1000 
2
75000 U work

U work 50000
1.5U work  500 
2
40000 U work

U work 150000
Примечание. Нормальными климатическими условиями при испытаниях
принято считать:
 Температура воздуха - 2510 град С
 Относительная влажность 65  15%
 Атмосферное давление 645 795 мм.рт.ст.
5.2.2. Проверка электрического сопротивления изоляции
В качестве испытательного прибора используют мегомметр, а сопротивление изоляции определяют по истечении приблизительно 1 минуты после подачи напряжения. Рекомендуемые величины сопротивления изоляции
представлены в таблице 12.
Таблица 12
Условия
Нормальные
Повышенная
Повышенная
испытаний
условия
влажность 98%
температура
при  25 C
 70 C
1
5
Сопротивление
 20
изоляции, Мом
5.3. Механические испытания
Общие требования к проведению механических испытаний изложены в
целом ряде стандартов, например, в ГОСТ 30630.0.0.0-99, ГОСТ 30631-99,
40
ГОСТ 26883-86, ГОСТ 21964-76, ГОСТ 28198-89. Обычно механические испытания проводятся при нормальных климатических условиях.
Рекомендуемый порядок проведения механических испытаний следующий:
 Испытания на вибропрочность
 Испытания на виброустойчивость
 Испытания на ударную прочность
 Испытания на устойчивость к воздействию центробежного ускорения
 Испытания на прочность при падении
 Испытания на ветроустойчивость
 Испытания транспортировкой.
5.3.1. Испытания на вибропрочность
Под вибропрочностью понимается свойство аппаратуры противостоять
разрушающему действию вибрационных нагрузок.
Требования к виброиспытаниям изложены в ряде стандартов, например, в ГОСТ 24346-80, ГОСТ 30630.1.2.-99, ГОСТ 28203-89, в серии ГОСТов
с номера 28220-89 по номер 28223-89.
Существует два вида виброиспытаний:
 Испытания на одной частоте – для выявления грубых дефектов
изготовления
 Испытания в диапазоне частот – для проверки прочности в условиях эксплуатации.
Второй вид испытаний имеет подвиды:
 Метод качающейся частоты синусоидальной вибрации – частоту
плавно изменяют в заданном диапазоне от высшей до низшей и
обратно; скорость изменения - 1  2 октавы в мин
 Метод набора фиксированных частот синусоидальной вибрации
41
 Метод широкополосной случайной вибрации – задается значение
спектральной плотности ускорения вибрации и ширина ее спектра.
Испытания проводятся с выключенным изделием на вибростенде и характеризуются:
 Видом испытаний (смотри выше)
 Диапазоном частот (20-50 Гц для испытания на одной частоте
и 20-2000 Гц для испытания в диапазоне частот)
 Ускорением вибрации (1.5-6 g)
 Амплитудой вибрации (0.03-2.2 мм)
 Продолжительностью (0.5 час для испытания на одной частоте
и до 4 часов для испытания на нескольких частотах).
Контроль результатов испытания предполагает вначале визуальный
осмотр изделия, а затем проверку его функционирования.
5.3.2. Испытания на виброустойчивость
Под виброустойчивостью понимается свойство аппаратуры выполнять
свои функции при воздействии вибрации в заданных диапазонах частот и
ускорений.
Изделие испытывают во включенном состоянии. Общие требования к
испытаниям на виброустойчивость аналогичны требованиям к испытаниям
на вибропрочность, а в качестве метода испытаний обычно используются
указанный выше метод набора фиксированных частот синусоидальной вибрации. Общий диапазон частот может составлять 5-2000 Гц, ускорения вибрации не превышают 0.5-5 g, а продолжительность – до 5 мин на каждой частоте. В процессе испытаний периодически проводят контроль изделия на
функционирование.
42
5.3.3. Испытания на ударную прочность
Под ударной прочностью понимается свойство аппаратуры противостоять ударным нагрузкам и выполнять свои функции после окончания их
воздействия.
Требования к испытаниям на ударную прочность изложены в ряде
стандартов, например, в ГОСТ 28213-89, ГОСТ 28215-89. Испытания проводятся с выключенным изделием на ударном стенде и характеризуются:
 Типом испытаний (одиночный удар или многократные удары)
 Частотой ударов (1-100 уд/мин)
 Ускорением (5-75g)
 Длительностью импульсов (1-30 мс)
 Общим количеством ударов.
Контроль результатов испытания предполагает вначале визуальный
осмотр изделия, а затем проверку его функционирования.
5.3.4. Испытания на устойчивость к центробежному ускорению
Под устойчивостью к центробежному ускорению понимается свойство аппаратуры выполнять свои функции при воздействии центробежного
ускорения.
Требования к данному виду испытаний изложены в стандарте ГОСТ
28204-89. Изделие испытывают во включенном состоянии. Испытания проводятся на центрифуге и характеризуются:
 Центробежным ускорением (до 10g)
 Продолжительностью (до 3 мин).
После испытания проводят контроль изделия на функционирование.
5.3.5. Испытания на прочность при падении
Требования к испытаниям на прочность при падении изложены в стандарте ГОСТ 28217-89.
Испытания состоят в свободном падении выключенного изделия на
войлочную прокладку толщиной 15  1мм, положенную на стальную плиту.
43
Стальная плита должна быть вмонтирована в бетонное основание и иметь
толщину не менее 60 мм. Испытания характеризуются:
 Высотой падения (750 мм при массе изделия менее 10 кг и 500
мм при массе более 10 кг)
 Количеством падений (до 10).
Контроль результатов испытания предполагает вначале визуальный
осмотр изделия, а затем проверку его функционирования.
5.3.6. Испытания на ветроустойчивость
Под ветроустойчивостью понимается свойство аппаратуры противостоять разрушительному действию ветровых нагрузок и выполнять свои
функции в условиях ветра заданной скорости.
Испытания состоят в обдуве включенного изделия с разных направлений (например, по кругу через 45 град) в течение ограниченного времени (по
5-10 мин в каждом положении). Для наземных мехатронных систем максимальная скорость обдува может достигать значения 30 м/сек, а для корабельных – 50 м/сек. В процессе испытаний периодически проводят контроль изделия на функционирование.
5.3.7. Испытания транспортировкой
Испытания изделия проводятся в упакованном виде на стенде тряски
или в естественных условиях. Испытания в естественных условиях предполагают транспортирование изделия со скоростью 20-40 км/час на расстояние не
меньше 200 км.
Контроль результатов испытания предполагает вначале визуальный
осмотр изделия, а затем проверку его функционирования.
5.4. Климатические испытания
Климатические испытания – это проверка изделия на соответствие
предъявленных к нему технических требований при воздействии климатиче-
44
ских факторов путем имитации последних в термокамерах (камерах тепла и
холода) или в других специальных устройствах.
Общие требования к проведению климатических испытаний изложены
в целом ряде стандартов, например, в ряде ГОСТов с номерами 28xxx-89, где
xxx соответствуют значениям 199-201, 209, 210,216, 219,224, 225,236.
5.4.1. Влияние климатических факторов на аппаратуру
Повышенная влажность. Негативное влияние этого фактора следующее:
 Ускоряется коррозия металлических частей изделия, что ухудшает
работу электромеханических устройств (электродвигателей и генераторов, реле, переменных сопротивлений)
 Уменьшается объемное и поверхностное сопротивление изоляции
токоведущих частей
 Уменьшается межвитковая изоляция, и образуются короткозамкнутые витки у трансформаторов и дросселей.
Температура. Негативное влияние этого фактора следующее:
 Низкая температура увеличивает вязкость смазочных материалов и
жидкостей в редукторах и соединительных муфтах, что увеличивает
моменты сопротивления
 Высокая температура уменьшает теплообмен электронных
устройств
 Колебания температуры вместе с высокой влажностью вызывают
разрушение электрической изоляции.
Пониженное давление. Негативное влияние этого фактора следующее:
 Уменьшается электрическая прочность воздуха как диэлектрика
 Уменьшается электрическое сопротивление изоляции, связанное с
увеличением выхода паров и газов из органических изоляционных
материалов.
45
5.4.2. Испытания на влагостойкость при кратковременном воздействии
Под влагостойкостью понимается свойство изделия противостоять
разрушительному действию среды с повышенной влажностью.
Испытания изделия проводятся в камере влажности. Возможный порядок испытаний следующий:
 Выключенное изделие помещают в термокамеру при нормальных
климатических условиях
 Температуру в термокамере устанавливают на уровне +60 град C со
скоростью 0.5-2 град/мин и выдерживают в течение 1.5-2 час.
 В течение 1.5-2 час температуру снижают до +40 град C, а влажность повышают до значения 95-98 %
 Выдерживают изделие в течение 24-48 час в зависимости от требований технических условий
 Параметры среды снижают до нормальных климатических условий
и выдерживают в течение 6 час .
 После окончания испытаний вначале проводят визуальный осмотр
изделия с целью обнаружения следов коррозии и повреждений покрытия, а затем проводят проверку его функционирования.
5.4.3. Испытания на холодоустойчивость
Под холодоустойчивостью понимается свойство изделия выполнять
свои функции при нижнем пределе температур, устанавливаемых техническим заданием.
Возможный порядок испытаний следующий:
 Выключенное изделие помещают в термокамеру при нормальных
климатических условиях
 Устанавливают в термокамере пониженную рабочую температуру
(например, -50 град C) и выдерживают несколько часов (например,
2-6 час в зависимости от веса изделия)
 Проводят проверку функционирования изделия и выключают его
46
 Устанавливают в термокамере пониженную предельную температуру (например, -60 град C) и выдерживают несколько часов (например, 2 час)
 Повышают температуру в термокамере до значения рабочей температуры со скоростью 1-2 град/мин и выдерживают 2 час
 Повышают температуру в термокамере до значения, соответствующего нормальным климатическим условиям, со скоростью 1-2
град/мин и выдерживают 2-4 часа
 Проводят визуальный осмотр изделия с целью обнаружения следов
деформации, а затем проводят проверку его функционирования.
5.4.4. Испытания в условиях инея и росы
Возможный порядок проведения испытаний следующий:
 Выключенное изделие помещают в термокамеру при отрицательной
температуре -20 град C и выдерживают в течение 2 час.
 Помещают изделие в среду с нормальными климатическими условиями, включают изделие и выдерживают его в течение 3 час.
 Через каждые 30-60 мин проводят проверку изделия на функционирование
 После окончания испытаний проводят визуальный осмотр изделия с
целью обнаружения следов коррозии и повреждений покрытия.
5.4.5. Испытания на теплоустойчивость
Под теплоустойчивостью понимается свойство изделия выполнять свои
функции при верхнем пределе температур, устанавливаемых техническим
заданием.
Возможный порядок испытаний следующий:
 Выключенное изделие помещают в термокамеру при нормальных
климатических условиях
47
 Устанавливают в термокамере повышенную рабочую температуру
(например, +50 град C) и выдерживают несколько часов (например,
2-6 час в зависимости от веса изделия)
 Проводят проверку функционирования изделия и выключают его
 Устанавливают в термокамере повышенную предельную температуру (например, +60 град C) и выдерживают несколько часов (например, 2 час)
 Понижают температуру в термокамере до значения рабочей температуры со скоростью 1-2 град/мин и выдерживают 2 час
 Понижают температуру в термокамере до значения, соответствующего нормальным климатическим условиям, со скоростью 1-2
град/мин и выдерживают 2-4 часа
 Проводят визуальный осмотр изделия с целью обнаружения следов
деформации, а затем проводят проверку его функционирования.
5.4.6. Испытания на водозащищенность
Испытание проводится для определения работоспособности изделия
после пребывания в воде.
Возможный порядок испытаний следующий:
 Выключенное изделие погружают в ванну с водой, имеющей температуру на 10-15 град C ниже, чем изделие
 Изделие извлекают из ванны, вскрывают и осматривают на наличие
воды внутри изделия.
5.4.7. Испытания на герметичность
В изделие через технологический разъем нагнетается инертный газ под
определенным избыточным давлением, например 0.3-0.5 атм. и затем оно
помещается на заданное время, например 0.5 час, в ванную с водой. По наличию пузырьков газа в ванне определяется факт нарушения герметичности.
48
5.4.8. Испытания на брызгозащищенность
Изделия, прошедшие испытания на водозащищенность, данному испытанию не подвергаются. Испытания проводят с использованием дождевальной установки.
Возможный порядок испытаний следующий:
 Включенное изделие равномерно обрызгивают с 4-х сторон водой
интенсивностью до 5 мм/мин в течение 1-2 час.
 Проводят проверку функционирования изделия.
5.4.9. Испытания на пылезащищенность
Испытания проводят на установке для пневматических испытаний.
Возможный порядок испытаний следующий:
 Выключенное изделие обдувают пылевой смесью, состоящей,
например, из 70% песка, 15% мела и 15% каолина, со скоростью 1015 м/сек в течение 1 час
 Изделие извлекают из камеры, очищают от пыли и проводят проверку его функционирования.
5.4.10. Испытания на влагостойкость при длительном воздействии
Испытание проводится по методике, соответствующей испытанию на
влагостойкость при кратковременном воздействии (раздел 5.4.2), но с выдержкой изделия в камере при влажности 95-98 % в течение длительного
времени, например, до 30 суток. При этом каждые 1-5 суток изделие включают и проверяют его функционирование.
5.4.11. Испытания термотренировкой
Возможный порядок испытания термотренировкой следующий:
 Выключенное изделие помещают в термокамеру при нормальных
климатических условиях
49
 Устанавливают в термокамере пониженную рабочую температуру
(например, -50 град C) и выдерживают несколько часов (например,
2-6 час в зависимости от веса изделия)
 Проводят проверку функционирования изделия и выключают его
 Устанавливают в термокамере повышенную рабочую температуру
(например, +60 град C) и выдерживают несколько часов (например,
2-6 час в зависимости от веса изделия)
 Проводят проверку функционирования изделия и выключают его
 Устанавливают в термокамере нормальные климатические условия
и выдерживают несколько часов. Проводят проверку функционирования изделия и выключают его.
В некоторых случаях перечисленный набор испытаний принимается за один
цикл, который далее повторяется несколько раз.
Оглавление
Экспериментальные исследования в мехатронных системах ........................1
Часть 2 ......................................................................................................................1
Бошляков Андрей Анатольевич, ......................................................................1
Овсянников Сергей Всеволодович ..................................................................1
Введение ........................................................................................................................................1
3.
Обработка экспериментальных данных .........................................................................2
3.1. Модели исследования ..........................................................................................................2
3.2. Статистический анализ ...................................................................................................3
3.2.1. Этапы статистического анализа .................................................................................3
3.2.2. Первичная статистическая обработка .......................................................................5
3.3. Точечные статистики .......................................................................................................6
3.3.1. Средние статистики .....................................................................................................6
3.3.2. Статистики рассеяния .................................................................................................7
3.3.3. Статистики отклонения формы распределения ........................................................8
3.4. Интервальные статистики ..............................................................................................9
3.4.1. Двухсторонний доверительный интервал .................................................................9
50
3.4.2. Функции распределения ...........................................................................................10
Общее распределение .....................................................................................................10
Нормальное распределение ............................................................................................10
2-распределенрие ...........................................................................................................12
Распределение Стьюдента (t-распределение) ...............................................................13
Распределение отношения дисперсий (F-распределение) ...........................................14
3.4.3. Расчет доверительных интервалов ..........................................................................15
Доверительный интервал для математического ожидания нормального
распределения при известной дисперсии ......................................................................16
Доверительный интервал для математического ожидания нормального
распределения при неизвестной дисперсии ..................................................................17
Доверительный интервал для дисперсии нормальной генеральной совокупности ..18
3.5. Проверка статистических гипотез ...............................................................................18
3.5.1. Постановка задачи .....................................................................................................18
3.5.2. Проверка гипотез о параметрах распределения .....................................................19
3.5.3. Проверка гипотезы о законе распределения ...........................................................20
Критерий согласия 2 Пирсона ......................................................................................20
Вычисление выравнивающих частот для нормального распределения ....................21
4. Основы планирование эксперимента................................................................................22
4.1. Основные понятия ............................................................................................................22
4.2. Полный и дробный факторные эксперименты .............................................................23
4.2.1. Полный факторный эксперимент.............................................................................24
4.2.2. Дробный факторный эксперимент ...........................................................................25
4.3. Построение модели с помощью факторного эксперимента ......................................27
4.3.1. Проведение эксперимента на объекте .....................................................................27
4.3.2. Проверка воспроизводимости опыта .......................................................................28
4.3.3. Получение оценок коэффициентов модели ............................................................29
4.3.4. Проверка значимости коэффициентов модели .......................................................29
4.3.5. Проверка адекватности модели ................................................................................31
4.4. Экспериментальная оптимизация ..................................................................................31
4.4.1. Метод Гаусса-Зайделя ...............................................................................................32
4.4.2. Метод градиента ........................................................................................................33
4.
Испытания мехатронных систем ...................................................................................35
5.1. Классификация и виды испытаний .................................................................................36
5.1.1. Классификация испытаний по месту проведения ..................................................36
5.1.2. Классификация испытаний по виду.........................................................................37
5.2. Электрические испытания изоляции ..............................................................................38
5.2.1. Проверка электрической прочности изоляции .......................................................38
5.2.2. Проверка электрического сопротивления изоляции ..............................................39
5.3. Механические испытания ................................................................................................39
5.3.1. Испытания на вибропрочность ................................................................................40
5.3.2. Испытания на виброустойчивость ...........................................................................41
5.3.3. Испытания на ударную прочность...........................................................................42
5.3.4. Испытания на устойчивость к центробежному ускорению ..................................42
5.3.5. Испытания на прочность при падении ....................................................................42
5.3.6. Испытания на ветроустойчивость ............................................................................43
5.3.7. Испытания транспортировкой..................................................................................43
51
5.4. Климатические испытания .............................................................................................43
5.4.1. Влияние климатических факторов на аппаратуру .................................................44
5.4.2. Испытания на влагостойкость при кратковременном воздействии .....................45
5.4.3. Испытания на холодоустойчивость .........................................................................45
5.4.4. Испытания в условиях инея и росы .........................................................................46
5.4.5. Испытания на теплоустойчивость ...........................................................................46
5.4.6. Испытания на водозащищенность ...........................................................................47
5.4.7. Испытания на герметичность ...................................................................................47
5.4.8. Испытания на брызгозащищенность .......................................................................48
5.4.9. Испытания на пылезащищенность ..........................................................................48
5.4.10. Испытания на влагостойкость при длительном воздействии .............................48
5.4.11. Испытания термотренировкой ...............................................................................48