Городской математический турнир Третий тур Довывод

Городской математический турнир
Третий тур
Довывод
5 класс
1.
На рисунке изображен план города. В городе четыре кольцевых маршрута.
Автобус №1 ходит по маршруту ВГДЕЖЗВ, длина которого 17 км. Автобус №2
ходит по маршруту АБВЕЖЗА, длина которого 12 км. Автобус №3 ходит по
маршруту АЗЖЕДГВБА, длина которого 20 км. Автобус №4 ходит по маршруту
ВЗЖЕВ. Найдите длину этого маршрута.
Ответ: 17+12-20=9 км.
2. По сторонам квадратного сквера через каждые 10 метров стоят столбы, причём в каждом углу
столб стоит обязательно. Когда попробовали повесить на каждый столб по 4 фонаря, пять фонарей
осталось лишних. А когда попробовали повесить на каждый столб по 5 фонарей, семи фонарей не
хватило. Найдите площадь квадратного сквера.
Ответ: 900. Решение. Предположим, что хитрые осветители добыли в соседнем сквере еще 7 фонарей,
тогда в первый раз (по 4 на столбе) осталось 12 фонарей, а во второй раз (по 5 на столбе) фонари
израсходовали все. Так как при втором способе развешивания на каждом столбе на 1 фонарь больше, то
количество оставшихся в первом случае фонарей равно количеству столбов. Тогда сторона сквера равна
30 метров (на стороне по 2 столба и в углах еще 4), а площадь 900 кв. метров.
3. На
клетчатой
бумаге
нарисованы
два
четырехугольника (см. рисунок).
Сравните их
площади.
Ответ: равны. Решение. Режем по линиям сетки и перекладываем. Например, так: квадрат режем
на квадрат 2х2 (вырезаем из середины) и 4 прямоугольных треугольника с катетами 1 и 3, попарно их
складываем, получаем, что площадь всего квадрата равна 4+3+3=10. Прямоугольник режем на 2
прямоугольника 2х1 (вырезаем из него) и 6 прямоугольных треугольников с катетами 2 и 1, попарно
складываем треугольники, получаем, что площадь всего прямоугольника равна 2+2+2+2+2=10.
4.В семье весёлых гномов папа, мама и ребёнок. Имена членов семьи: Саша, Женя и
Валя. За обеденным столом два гнома сделали по два заявления. Валя: "Женя и Саша
– разного пола. Женя и Саша - мои родители». Саша «Я – отец Вали. Я – дочь
Жени».
Восстановите имя и отчество гнома-ребёнка, если известно, что каждый гном один раз сказал
правду, и один раз пошутил.
Александра Евгеньевна. Решение: Если Женя и Саша родители Вали, то они разного пола и Валя оба раза
сказал правду, что невозможно. Поэтому Женя и Саша разного пола, но не родители, поэтому Валя
родитель, а значит Саша не может быть отцом Вали, потому она дочь Жени и Женя мужского пола. Итого:
Саша – дочь, Женя – отец, Валя – мама.
5. В стране Лемурии ходят две валюты: динары и сольдо. Если лемур заплатит 20
динаров, то ему дадут холодильник и 4 сольдо сдачи. Если лемур заплатит 15 динаров, то ему
дадут холодильник и 1 сольдо сдачи. Сколько динаров сдачи получит лемур, если заплатит за
холодильник 14 сольдо?
Ответ: 10 динаров. Решение: Из этих двух сделок лемура можно заключить, что 5 динаров равны 3 сольдо.
Тогда 15 динаров – это 9 сольдо и холодильник стоит 8 сольдо. Следовательно, сдача с 14 сольдо за
холодильник – это 6 сольдо, что равно 10 динарам.
6. Пятиклассник Павел Булкин первым ходом написал на доске цифру, отличную от нуля. Каждым
следующим ходом он меняет число на доске так, чтобы число, полученное после второго хода,
делилось на 2, число, полученное после третьего хода, делилось на 3 и т.д. При этом Павел может
либо поменять порядок цифр в числе, либо дописать цифру в конец числа, либо стереть последнюю
цифру. Как должен действовать Павел, чтобы после 8-го хода на доске оказалась однозначное
число?
Решение. Например, можно действовать так: 4 – 48 – 84 – 48 – 480 – 48 – 84 – 8.
Выводные задачи
7.В Солнечном городе 6 улиц: на трех из них живут только коротышки-девочки, а трех других
коротышки-мальчики. Улицы в городе либо параллельны, либо пересекаются под прямым углом.
На каждом перекрестке, где пересекаются улицы девочек, построен салон красоты. На каждом
перекрестке улиц мальчиков построен стадион, а на остальных перекрестках — школы. Сколько
школ может быть в Солнечном городе, если в нем есть и стадионы, и салоны красоты?
Ответ: 4 или 5. Решение: 1) Т.к. есть две пересекающиеся улицы мальчиков (м1, м2) и две
пересекающиеся улицы девочек (д1, д2), то уже имеется как минимум две школы.
2) Третья улица мальчиков м3 обязательно пересекается ровно с
одной из улиц девочек д1
или д2, а третья улица девочек д3 - ровно с одной из улиц мальчиков м1 или м2. Значит,
имеется еще две школы, отличные от предыдущих, т.к. через один и тот же перекресток
не может проходить более двух различных улиц.
При этом если улицы м3 и д3
перпендикулярны, то они "образуют" еще одну школу, а если параллельны то нет.
8.Все гномы делятся на лжецов и рыцарей. На каждой клетке доски 4 на 4 стоит по гному. Известно,
что среди них есть и лжецы, и рыцари. Каждый заявил: среди моих соседей лжецов и рыцарей
поровну. Сколько всего лжецов? (Два гнома считаются соседями, если они стоят в клетках,
имеющих общую сторону)
Ответ: 12.
Решение: 1) Ясно, что все клетки с 3 соседями
л л л л
заняты лжецами. Оба соседа каждого гнома,
л
л
стоящего в угловой клетке - лжецы, значит сами они
л р
л
тоже лжецы.
л л л л
2) Известно, что хотя бы один рыцарь на доске есть,
значит стоит он в какой-то клетке оставшегося квадратика 2х2. Но, тогда оба из его оставшихся
соседей также рыцари и, следовательно, оставшаяся клетка этого квадратика также занята
рыцарем.
6 класс
Довыводные задачи
1.Поливочная машина двигается с постоянной скоростью, и каждую минуту из неё вытекает одно и
то же количество воды. Если увеличить скорость движения машины в 2 раза, то содержащейся в
машине воды хватит на то, чтобы полить 4 км дороги. Сколько километров дороги удастся полить,
если увеличить в 2 раза скорость вытекания воды, а скорость движения машины оставить
первоначальной?
Ответ: 1 км. Арифметическое решение. В исходном состоянии машина двигалась в 2 раза медленнее, а
время её движения было таким же, как и в ситуации, когда она успела полить 4 км (поскольку скорость
истечения воды не менялась, время, за которое выливается вся вода, тоже не менялось). Значит, она
успевала проехать (и полить) только 2 км. Если мы, не меняя скорость движения машины, увеличим в 2
раза скорость истечения воды, время полива тоже уменьшится в 2 раза, и машина успеет проехать за это
время только 1 км.
Решение с применением алгебры. Пусть машина вмещает А литров воды, двигается со скоростью x
км/час, и из неё выливается y литров в час. Тогда до истечения всей воды проходит A/y часов, и за это время
машина проезжает Ax/y километров. Мы должны сравнить дроби 2Ax/y и Ax/2y. Ясно, что вторая дробь в 4
раза больше первой, и во второй ситуации машина проедет в 4 раза меньшее расстояние, т.е. 1 км.
2. Первым ходом шестиклассник Павел Булкин написал на доске цифру, отличную от нуля.
Каждым следующим ходом он меняет число на доске так, число, полученное после второго хода,
делилось на 2, число, полученное после третьего хода, делилось на 3 и т.д. При этом Павел может
либо поменять порядок цифр в числе, либо дописать цифру в конец числа. Как должен действовать
Павел, чтобы после 8-го хода на доске оказалось трёхзначное число?
2.Можно действовать, например, так: 4, 84, 48, 84, 840, 408, 840, 480.
3.
На рисунке изображен план города. В городе четыре кольцевых маршрута.
Автобус №1 ходит по маршруту ВГДЕЖЗВ, длина которого 17 км. Автобус №2
ходит по маршруту АБВЕЖЗА, длина которого 12 км. Автобус №3 ходит по
маршруту АЗЖЕДГВБА, длина которого 20 км. Автобус №4 ходит по маршруту
ВЗЖЕВ. Найдите длину этого маршрута.
Ответ: 17+12-20=9 км.
4.На клетчатой бумаге нарисовали шестиугольник и частично закрасили его серым
цветом (см. рисунок). Какая часть шестиугольника имеет большую площадь:
закрашенная или незакрашенная?
Решение. Незакрашенная площадь больше. Разрежем незакрашенные области фигуры на 6 прямоугольных
треугольников с меньшей стороной, равной 1 клетке. Из двух таких треугольников можно сложить
прямоугольник. Получается 3 прямоугольника площадями 2, 2 и 3 клетки – всего 7 клеток. Площадь всей
фигуры – это площадь прямоугольника 3х5 без двух уголков. Левый нижний уголок площадью полклетки, а
площадь правого нижнего – клетка. Значит, площадь всей фигуры 15-1-1/2 = 13,5 клетки. Получается,
площадь закрашенной части фигуры 13,5-7=6,5<7.
5.Учительница математики написала на доске четырёхзначное число, в котором все цифры
различны и не равны нулю, и вызвала к доске семиклассников Петрова и Васечкина. Один из них
отличник, и делает только верные утверждения, а другой двоечник и делает только неверные
утверждения. Каждый сделал по 2 утверждения. Петров сказал: «Одна из цифр этого числа равна
сумме всех остальных. Вторая цифра самая большая». Васечкин сказал «Вторая цифра не меньше
трёх. Первая цифра делится на все остальные». Какое число написала учительница? (Найдите все
возможные варианты ответа)
Ответ: 8421, 8412.
Решение: Заметим, что если второе высказывание Петрова верно, то вторая цифра не
меньше 4, а значит будет верно первое высказывание Васечкина, что невозможно. Тогда Петров
говорит неправду, значит он двоечник, а Васечкин - отличник. Значит, первая цифра числа
делится на все остальные, т.е. у нее существует не менее трех различных делителей, меньших
ее самой, включая 1. Возможны только два варианта: либо первая цифра 6, а остальные 1, 2 и 3,
либо первая 8, а остальные 1, 2 и 4. В первом случае получим верное первое высказывание
двоечника, значит, он не подходит. Во втором случае вторая цифра должна быть равна 4 (из
первого высказывания отличника). Очевидно, что оба варианта 8412 и 8421 удовлетворяют
условию.
5.Вася сконструировал компьютер, который хранит в памяти два числа, а на дисплей выводит
только две последние цифры каждого из чисел. У компьютера есть кнопка, при нажатии на
которую первое число увеличивается на 13, второе на 15. Сейчас на экране горят цифры 13 и 31.
Какое наименьшее число раз Вася должен нажать на кнопку, чтобы все числа на экране стали
одинаковыми?
41 раз. Заметим, что сейчас разность между видимыми частями второго и первого числа равна 18, и с
каждым нажатием кнопки увеличивается на 15-13=2. Как только разность станет равна 100, видимые части
чисел совпадут. Это произойдет через (100-18)/2=41 нажатие.
Выводные задачи
7.По периметру квадратной площади через каждые 10 метров стоят столбы, причём в каждом углу
площади стоит столб. Когда попробовали повесить на каждый столб по 4 фонаря, 5 фонарей
осталось лишних. Тогда фонари повесили так, чтобы на каждой стороне квадрата было по 18
фонарей (ни один столб не остался без фонаря). Найдите длину стороны квадрата и общее
количество фонарей.
Ответ: 30 метров, 53 фонаря.
Решение: 1). Пусть на каждой стороне квадрата стоит x столбов, тогда общее их количество равно
2x+2(x-2)=4x-4. Из первого варианта распределения фонарей следует, что число фонарей равно
4(4x-4)+5=16x-11. Поскольку затем развесили по 18 фонарей на каждой стороне, то общее число
фонарей не превосходит 72. Но, фонари в вершинах при этом посчитаны дважды, поэтому общее
число фонарей не превосходит 68. Значит, можно оценить число столбов: 16x-11 ≤ 68, x ≤ 79/16,
следовательно, x ≤ 4. Кроме того, известно, что в каждом углу стоит по столбу, т.е. x равно либо 2,
либо 3, либо 4.
2). Рассмотрим случай x=2, т.е. имеется всего 4 столба в вершинах квадрата. При этом число
фонарей равно 16x-11=21. С другой стороны, т.к. на каждой стороне стало по 12 фонарей, то их
должно быть 24. Противоречие.
3). Пусть x=3, т.е. всего 8 столбов: 4 столба в вершинах и по одному в середине каждой стороны.
При этом число фонарей равно 37. Если на каждой стороне по 18, то на южной и северной вместе
36 и еще осталось два столба (на восточной и западной сторонах) – всего должно быть не менее 38
фонарей. Противоречие.
4) Пусть x=4, т.е. всего 53 фонаря. Развесить их по столбам, чтобы на каждой стороне было по 18,
можно, например, так: начиная с некоторой вершины ставим по часовой стрелке 1-7-7-3-1-2-12-1-23-7-7. При этом длина квадрата 30 м.
8.Город представляет собой клетчатый квадрат 5х5, в котором стороны клеточек – это улицы, а углы клеток
– перекрестки. Хулиган Костя выезжает из точки А на экскаваторе. До ближайшего перекрестка он едет с
поднятым ковшом, после чего опускает ковш; на следующем перекрестке он снова поднимает ковш, а на
следующем – снова опускает и т.д. Когда экскаватор едет с опущенным ковшом, улица полностью
разрушается. Костя ездит только по целым улицам и никогда не уезжает с перекрестка в ту сторону, откуда
только что приехал. Какое наибольшее число улиц может быть разрушено ?
7 класс
1.Первым ходом семиклассник Павел Булкин написал на доске единицу. Каждым следующим
ходом он меняет число на доске так, чтобы число, полученное после второго хода, делилось на
2, число, полученное после третьего хода, делилось на 3 и т.д. При этом Павел может либо
поменять порядок цифр в числе, либо дописать цифру в конец числа. Как должен действовать
Павел, чтобы после 10-го хода на доске оказалось четырёхзначное число?
Решение: Действовать можно, например, так: 1 - 12 - 21 - 12 - 120 - 102 - 210 - 120 - 1206 1260.
2. Поливочная машина двигается с постоянной скоростью, и каждую минуту из неё вытекает
одно и то же количество воды. Если увеличить скорость движения в 2 раза, а скорость
вытекания воды увеличить в 3 раза, то содержащейся в машине воды хватит на то, чтобы
полить 4 км дороги. Сколько километров дороги удастся полить, если начальную скорость
движения увеличить в 3 раза, а начальную скорость вытекания воды увеличить в 2 раза?
Ответ: 9 км.
Решение: Пусть x км - длина дороги, которую машина сможет полить, если скорости движения
и вытекания воды никак не меняются. Заметим, что когда только скорость движения
увеличивается в 2 раза, то длина политого участка удваивается, а когда только скорость
вытекания воды увеличивается в 3 раза, то длина политого участка становится втрое меньше.
Таким образом, в первом случае машина проедет 2x/3 км. Рассуждая аналогично, получаем, что
если скорость движения увеличить в 3 раза, а скорость вытекания в 2 раза, то машина проедет
3x/2 км. Таким образом, во втором случае длина в 9/4 раз больше, чем в первом. Значит, удастся
полить 9 км.
3. Учительница математики написала на доске четырёхзначное число, в котором все цифры
различны и не равны нулю, и вызвала к доске семиклассников Петрова и Сидорова. Один из
них отличник, и делает только верные утверждения, а другой двоечник и делает только
неверные утверждения. Каждый сделал по 2 утверждения. Петров сказал: «Одна из цифр этого
числа равна сумме всех остальных. Вторая цифра самая большая». Сидоров сказал «Вторая
цифра не меньше трёх. Первая цифра делится на все остальные». Какое число написала
учительница? (Найдите все возможные варианты ответа)
Ответ: 8421, 8412.
Решение: Заметим, что если второе высказывание Петрова верно, то вторая цифра не меньше
4, а значит будет верно первое высказывание Васечкина, что невозможно. Тогда Петров говорит
неправду, значит он двоечник, а Васечкин - отличник. Значит, первая цифра числа делится на все
остальные, т.е. у нее существует не менее трех различных делителей, меньших ее самой, включая
1. Возможны только два варианта: либо первая цифра 6, а остальные 1, 2 и 3, либо первая 8, а
остальные 1, 2 и 4. В первом случае получим верное первое высказывание двоечника, значит, он
не подходит. Во втором случае вторая цифра должна быть равна 4 (из первого высказывания
отличника). Очевидно, что оба варианта 8412 и 8421 удовлетворяют условию.
В
4. На клетчатой бумаге нарисован четырехугольник ABCD. Чему равна сумма А
градусных мер углов А и С?
Ответ: 135º.
С
Решение: Пусть E - точка пересечения горизонтали, проходящей через
D
точку A и вертикали, проходящей через точку B. Точка F - пересечение
горизонтали, проходящей через точку B и вертикали, проходящей через точку C. Треугольники
ABE и BFC равны по двум сторонам и углу между ними, значит, в этих треугольниках равны
углы A и C. Посчитаем сумму исходных углов A + C = DAE + EAB + BCD = DAE + BCF + BCD =
DAE + 90º = 45º + 90º = 135º.
5. Вася сконструировал компьютер, который хранит в памяти три числа, а на дисплей выводит
только две последние цифры каждого из этих чисел. У компьютера есть кнопка, при нажатии
на которую первое число увеличивается на 12, второе на 13, а третье – на 42. Сейчас на экране
горят цифры 01, 03 и 61. Может ли Вася, нажимая на кнопку, добиться того, чтобы все числа на
экране стали одинаковыми?
Ответ: может.
Решение: Заметим, что две последние цифры чисел будут одинаковыми, если числа
отличаются на число кратное 100. У первых двух чисел пары последних цифр «01» и «03»
отличаются на 2, и с каждым нажатием кнопки эта разность увеличивается на 1. Очевидно, что
впервые эти пары последних цифр совпадут через 98 нажатий. Покажем, что третье число при
этом будет оканчиваться на такую же пару цифр, что и первые два. Через 98 нажатий первое
число увеличится на 12*98=1176, т.е. число будет оканчиваться на «77», а третье число
увеличится на 42*98=4116, и тоже будет оканчиваться на «77».
6. Из попарно различных цифр П, Е, Т, Р,О и В составили шестизначное число ПЕТРОВ. Докажите,
что произведение ПЕТРОВ∙П∙Е∙Т∙Р∙О∙В делится на 3.
Выводные задачи
7.По периметру квадратной площади через каждые 10 метров стоят столбы, причём в каждом углу
площади стоит столб. Когда попробовали повесить на каждый столб по 4 фонаря, 5 фонарей
осталось лишних. Тогда фонари повесили так, чтобы на каждой стороне квадрата было по 18
фонарей (ни один столб не остался без фонаря). Найдите длину стороны квадрата и общее
количество фонарей.
Ответ: 30 метров, 53 фонаря.
Решение: 1). Пусть на каждой стороне квадрата стоит x столбов, тогда общее их количество равно
2x+2(x-2)=4x-4. Из первого варианта распределения фонарей следует, что число фонарей равно
4(4x-4)+5=16x-11. Поскольку затем развесили по 18 фонарей на каждой стороне, то общее число
фонарей не превосходит 72. Но, фонари в вершинах при этом посчитаны дважды, поэтому общее
число фонарей не превосходит 68. Значит, можно оценить число столбов: 16x-11 ≤ 68, x ≤ 79/16,
следовательно, x ≤ 4. Кроме того, известно, что в каждом углу стоит по столбу, т.е. x равно либо 2,
либо 3, либо 4.
2). Рассмотрим случай x=2, т.е. имеется всего 4 столба в вершинах квадрата. При этом число
фонарей равно 16x-11=21. С другой стороны, т.к. на каждой стороне стало по 12 фонарей, то их
должно быть 24. Противоречие.
3). Пусть x=3, т.е. всего 8 столбов: 4 столба в вершинах и по одному в середине каждой стороны.
При этом число фонарей равно 37. Если на каждой стороне по 18, то на южной и северной вместе
36 и еще осталось два столба (на восточной и западной сторонах) – всего должно быть не менее 38
фонарей. Противоречие.
4) Пусть x=4, т.е. всего 53 фонаря. Развесить их по столбам, чтобы на каждой стороне было по 18,
можно, например, так: начиная с некоторой вершины ставим по часовой стрелке 1-7-7-3-1-2-12-1-23-7-7. При этом длина квадрата 30 м.
8. Город представляет собой клетчатый квадрат 5х5, в котором стороны клеточек
– это улицы, а углы клеток – перекрестки. Хулиган Костя выезжает из точки А на
экскаваторе. До ближайшего перекрестка он едет с поднятым ковшом, после чего
опускает ковш; на следующем перекрестке он снова поднимает ковш, а на
следующем – снова опускает и т.д. Когда экскаватор едет с опущенным ковшом,
улица полностью разрушается. Костя ездит только по целым улицам и никогда не
уезжает с перекрестка в ту сторону, откуда только что приехал. Какое наибольшее число улиц
может быть разрушено ?