задание по алгебраическим структурам

задание по алгебраическим структурам
Пусть Matn(K) - совокупность всех квадратных матриц n-го порядка
веществен-ных, если K=R (множество действительных чисел), и
комплексных, если К=С (множество комплексных чисел). Через АТ
обозначим матрицу, транспонирован-ную к матрице А; А* - сопряженная
матрица с элементами а*ij= аij; tr А= аii - след матрицы А (сумма
диагональных элементов); Еn- единичная матрица с порядком
Ep
J p ,q  
 0
0 
 0
 , J 2 n  
 E q 
 En
En 
.
0 
Введем также подмножества множества Matn(K):
GL(n,K) - множество невырожденных матриц, det A0;
О(n,K) - множество ортогональных матриц, АТА=Е;
SO(n) - множество вещественных ортогональных матриц с det A=1;
U(n,C) - множество унитарных матриц, А*А=Е;
SU(n,C) - множество унимодулярных матриц, А*А=Е и det A=1;
На множестве Matn(K) введем бинарные операции:
а) операцию сложения матриц +;
б) операцию умножения на число К  ;
в) операцию умножения матриц ;
г) операцию коммутирования [,] матриц А и В [А,В]=АВ-ВА.
Рассмотрим совокупности а) А=(Matn(K);+); б) В=(Matn(K);  ); в)
С=(Matn(K);); г) D=(Matn( K); [ , ] ). Совокупности А, В, С, D образуют
алгебру. В каждой из нижеследующих задач (1-19) проверить, являются ли
совокупности А=(М; +); В=(М;  ); С=(М; ); D=(М; [,] ) подалгебрами
алгебр А, В, С, D, где М  Matn(K)- заданные подмножества множества
Matn(K).
1. М - множество GL(n,K).
2. М - множество О(n,K).
3. М - множество SO(n).
4. М - множество U(n,C).
5. М - множество SU(n,C).
6. М - множество вещественных матриц с порядком n2 со следом 0.
7. М - множество комплексных матриц с порядком n2 со следом 0.
8. М - множество вещественных матриц с порядком n2,
удовлетворяющих условиям tr X=0 и ХJp,q+Jp,qX=0, где pq и p+q=n.
9. М - множество комплексных матриц с порядком n2,
удовлетворяющих условиям tr X=0 и ХJp,q+Jp,qX=0, где pq и p+q=n.
10.М - множество матриц (n+1)/2, n - нечетное, удовлетворяющих
условию
tr (X+ХТ)=0, n=1,3,....
11. М - множество кососимметрических вещественных матриц 5 -го
порядка.
12. М - множество кососимметрических комплексных матриц 5 -го
порядка.
13. М
множество
вещественных матриц порядка
удовлетворяющих условию ХТJp,q+Jp,qX=0, p+q=2n+1, p>q.
(2n+1),
14. М - множество вещественных матриц 6-го порядка, удовлетворяющих
условию ХТJ6+J6X = 0.
15. М - множество комплексных матриц 6-го порядка, удовлетворяющих
условию ХТJ6+J6X = 0.
16. М - множество матриц порядка n, удовлетворяющих условию
Х Jp,q+Jp,qX = 0, p+q=n, pq.
Т
17. М - множество кососимметрических комплексных матриц с порядком
n=2 и n=4.
18. М - множество вещественных матриц
удовлетворяющих условию ХТJp,q+Jp,qX=0, p+q=2n, pq.
с
порядком
2n,
19. М - множество матриц 2n-го порядка, удовлетворяющих условию
Х J2n+J2nX=0.
*
20. Показать, что GL(n,С) - группа относительно матричного умножения.
21.Показать, что GL(n,R) - группа относительно матричного умножения.
22. Показать, что SL(n,С) - подгруппа группы GL(n,С) относительно
матричного
умножения.
23. Показать, что SL(n,R) - подгруппа группы GL(n,R) относительно
матричного
умножения.
24. Показать, что O(n) - группа относительно матричного умножения.
25. Показать, что SО(n) - подгруппа группы О(n) относительно
матричного
умножения.
26. Показать, что U(n) - группа относительно матричного умножения.
27. Показать, что SU(n) - подгруппа группы U(n) относительно
матричного
умножения.
28. Найти подгруппу {4,6}, порожденную числами 4 и 6, аддитивной
группы целых чисел.
29.Найти подгруппы {0} и {1} аддитивной группы целых чисел.
30.Найти подгруппу {1/2, 1/4, 1/8,....} аддитивной группы рациональных
чисел.
В задачах № 31- 39 определить, образуют ли заданные множества чисел
группу по сложению и умножению.
31.Комплексные числа, отличные от нуля.
32.Комплексные числа с модулем, равным единице.
33.Комплексные числа с модулем, больше единицы.
34.Числа 1; -1; i ; -i.
35.Числа вида а+ib, где а и b - рациональные числа, кроме числануль0.
36.Числа 1 и -1.
37.Положительные иррациональные числа.
38.Положительные алгебраические числа.
39.Множество целых чисел {1, 2,....., p-1} при сложении и умножении по
модулю p.
40.Показать, что в любой аддитивной абелевой группе G для любого n 
N
множество элементов М={аG: na=0} являются подгруппой.
41.Показать, что множество квадратных матриц n-го порядка образует
группу по сложению.
42.
Показать, что множество GL(n, R) всех невырожденных
квадратных матриц n-го порядка с операцией матричного умножения
образуют группу.
43.Показать, что треугольные матрицы вида
1 a b


 0 1 –  , а, b, с  R,
0 0 1


образуют подгруппы группы GL(n, R).
44. Матрицы вида
 C 0 C1 .... C n 1 


 C n 1 C 0 .... C n  2 
,
 ..
..
..
.. 


C
C
....
C
2
0 
 1
строки которой состоят из одних и тех же элементов СiR, а каждая
следующая строка получается из предыдущей сдвигом на один элемент,
называются циклическими. Показать, что невырожденные циклические
матрицы n-го порядка образуют абелеву группу относительно матричного
умножения.
45.Показать, что аффинные преобразования плоскости
x     x    y  a ,

 y    x    y  b
при    , образуют группу,
x   x  a
а все сдвиги 
- подгруппу этой группы.
 y  y  b
46.Показать, что множество вращений в плоскости
x   cos  x  sin   y,

 y  sin   x  cos  y
образуют группу (группа SO(2)). Показать, что это группа коммутативна.
47.
Показать, что множество всех преобразований Мебиуса ZZ=
az  b
, z, a, b, c – комплексные числа, ad-bc0, в комплексной плоскости
cz  b
образует группу.
ax  b
(a, b, c, d, x –
cx  d
вещественные числа, ad-bc=1) образует подгруппу группы из задачи 47.
48.Показать, что множество преобразований ХХ=
Показать, что множество вращений правильного n-угольника
360 0
вокруг его центра на углы
k, k=0, 1, 2,..., n-1, образует группу (группа
n
симметрий правильного n-угольника).
49.
50.Пусть G - множество чисел 1; -1; i ; -i с умножением
групповой операции, а G - множество матриц Е, А, В, С с
умножением в качестве групповой операции
 0 1
 1 0 
1 0
0
 , B  
 , C  
 , A  
E  
  1 0
 0  1
0 1
1
в качестве
матричным
 1
.
0 
Показать, что отображения : 1Е, i А, -1В, -iС и : 1Е, i С, 1В,
-iА - изоморфизмы G на G.
51.
Пусть G - группа комплексных чисел с операцией умножения.
Показать, что отображение :
 cos   sin  
еi  

 sin  cos  
является изоморфизмом группы G на группу SO(2).
52.Пусть G=GL(n,C) - группа невырожденных квадратных матриц n-го
порядка с операцией матричного умножения. Показать, что отображение
Аdet А является гомоморфизмом группы G на группу отличных от нуля
комплексных чисел с операцией умножения.
53.
Пусть М-множество матриц Е, А, В, С с операцией матричного
умножения (см. задачу 51). Показать, что отображение : ЕЕ, АС, ВВ,
СА является автоморфизмом.
54.Показать, что числа а+ib, где а и b - рациональные числа, образуют
тело.
55.Показать, что (N4; *, +) с операциями
* 0 1 2 3
 0 1 2 3
0 0 0 0 0
0 0 1 2 3
1 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 0 2 0 2
2 2 3 0 1
3 0 3 2 1
3 3 0 1 2
не является телом.
56.
Показать, что числа вида а+b 2 , где а и b - рациональные числа,
образуют тело.
57.На множестве пар комплексных чисел заданы следующие операции:
<a,b> + <c,d> = <a+c,b+d>; <a,b><c,d> = <ac-bd, ad-bc>. Доказать, что при
этом получается коммутативное тело.
58.Показать, что (N4; *,+) с операциями
* 0 1 2 3
 0 1 2 3
0 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 1 0 3 2
1 0 1 2 3
2 2 3 0 1
2 0 2 3 1
3 3 2 1 0
3 0 3 1 2
является полем.
59.Показать, что множество вещественных матриц вида
b
c
d 
 a


 b a  d c 
c d
a  b



d

c
b
a


образует тело (тело кватернионов).
60.Показать, что множество квадратных треугольных матриц – кольцо.
61.Доказать, что изоморфизм групп рефлексивен и транзитивен.