doc4x

1
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Гимназия № 41»
г. Новоуральск, Свердловская область
Число π: практика и теория
Автор: Ткачева Евгения Викторовна,
ученица 11 «а» класса
Руководитель: Великова Людмила Юрьевна,
учитель математики
г. Новоуральск, 2015 год
2
Содержание
Введение
с. 3
1. Исторические сведения о происхождении числа π
с. 4
1.1. Древние представления о числе π
с. 4
1.2. Исследования ван Цейлена
с. 6
1.3. Происхождение символа числа π
с. 7
1.4. Литературные и исторические курьезы
с. 8
2. Число π в разделах математики
с. 10
2.1. Математическое определение числа π
с. 10
2.2. Использование числа π в тригонометрии
с. 10
2.3. Использование числа π в геометрии
с. 13
2.4. Задача «Квадратура круга»
с. 14
3. Из истории вычислений числа π
с. 17
3.1. Математические методы нахождения числа π
с. 17
3.2. Вычисления числа π с использованием вычислительной техники с. 19
4. Практическая часть. Разработка модели «Радианная мера угла»
с. 21
4.1. Разработка эскиза модели
с. 21
4.2. Выбор материалов для изготовления модели
с. 21
4.3. Изготовление модели
с. 22
4.4. Описание демонстрационных возможностей модели
с. 22
Заключение
с. 23
Список литературы
с. 24
3
Введение
На уроках математики и физики мы часто используем число «пи» для
конкретных вычислений. А что это за число, откуда оно появилось и какое
имеет еще применение, мы не знаем. Поэтому мне захотелось более подробно
изучить это таинственное число, познакомиться с ним.
Из курса математики нам известно, что числом «пи» называется
отношение длины окружности к её диаметру. Это одна из наиболее известных
постоянных величин. Если выложить бечевкой окружность диаметром один
метр, а затем разложить эту бечевку в прямую линию, то длина получившегося
отрезка будет точно соответствовать числу «пи» (выраженному в метрах). В
математике оно обозначается символом π. Ее величина примерно равна
3,1415926535… . Число π является иррациональным и трансцендентным.
Причем иррациональность числа «пи» лишь в 1761 г. доказал Иоганн Ламберт.
Иррациональное число – это такое число, которое не может быть точно
выражено ни целыми числами, ни рациональными (арифметическими
дробями), а представляется бесконечными и непериодическими десятичными
дробями. Трансцендентное число – это число, не удовлетворяющее никакому
алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.
Число π присутствует в чертежах и вычислениях, выполняемых
электронными машинами при подготовке и проведении полетов в космос; оно
используется инженерами при расчете цилиндрических, сферических или
конических частей машин, физиками и астрономами, когда они проводят
приближенные вычисления по формулам, в которых среди фундаментальных
постоянных появляется число π.
Задачи, связанные с числом π, занимали умы математиков – и особенно
нематематиков – более тридцати веков. За это длительное время некоторые из
них несколько утратили «строгость», свойственную математике; вместо этого,
однако, они приобрели немало занимательного. Это и побуждает исследовать
тему вновь и вновь. Такие понятия сохраняются где-то в памяти человека, даже
если они с течением времени кажутся забытыми.
Пожалуй, число π самое знаменитое среди чисел, так как имеет
собственное имя. Исторически оно исследуется на протяжении многих веков,
каждый раз пополняясь новыми открытиями и применениями. Несмотря на это,
число π до сих пор будоражит умы людей и конца исследованиям по этой теме
в ближайшем будущем не предвидится. На сегодняшний день существуют
«Клубы числа π», праздник числа π, интернет сообщества и т. д.
В чем же причина «долголетия» этого знаменитого числа? Этому вопросу
посвящена данная работа.
Цель работы: Изучить число π с теоретических и практических
подходов.
Задачи:
1. Познакомиться с историей числа π и историей его вычислений.
2. Исследовать практическое применение числа π в разделах математики.
3. Разработать наглядное пособие для демонстрации числа π.
4
1. Исторические сведения о происхождение числа π
1.1. Древние представления о числе π
«И сделал литое из меди море, от края
его до края его десять локтей, - совсем
круглое, вышиною в пять локтей, и
снурок в тридцать локтей обнимал его
кругом» (3 Цар. 7:23).
В этом библейском тексте описана емкость, содержащая воду для
омовений, которая стояла в храме Соломомна (построен в 950 г. до н. э.). В
тексте приведены длина и диаметр окружности этой емкости. На основании
указанных данных можно сделать вывод, что библейское число π равно трем.
Это наиболее грубое приближение к точному значению числа за всю историю
цивилизации.
Одно из первых упоминаний о числе π можно встретить в текстах
египетского писца по имени Ахмес (около 1650 года до н. э.), известных сейчас
как папирус Ахмеса (Ринда). В этом древнеегипетском документе величина π
приводится равная 3,16. Получается, что люди изучают число π уже на
протяжении около 4000 лет.
Значение первых цифр в числе «пи» после запятой впервые правильно
рассчитал один из величайших математиков древнего мира Архимед из
Сиракуз (287 – 212 г. до н. э.). Он представил это число в виде нескольких
дробей. По легенде, Архимед был настолько увлечён расчетами, что не заметил,
как римские солдаты взяли его родной город Сиракузы. Архимед первым
разработал математический метод определения приблизительного значения π,
основанный на построении двух многоугольников – вписанного в окружность с
диаметром, принятым за единицу, и описанного вокруг нее. Величина длины
окружности должна занимать промежуточное положение между величинами
периметров этих двух многоугольников. Если принять во внимание, что в то
время для подобных вычислений недоставало двух основных инструментов,
десятичных дробей и тригонометрии, величина, полученная Архимедом по
формуле:
10
1
3+
<𝜋 <3+ ,
71
7
223
22
<𝜋<
71
7
достойна похвал, ведь ее погрешность не превышает десятитысячных долей.
Более точное значение числа π было получено китайской цивилизацией
намного раньше, чем западной. Китайцы имели два преимущества по
сравнению с большинством других стран мира: они использовали десятичную
систему обозначения и символ нуля. Европейские математики наоборот не
использовали символическое обозначение нуля в счетных системах до позднего
средневековья, пока не вступили в контакт с индийскими и арабскими
математиками.
5
Китайский ученный Лю Хуэй, живший в III в., применил способ, сходный
с методом Архимеда. Но Лю Хуэй не довольствовался вычислением сторон
только 96-угольников – он вычисляет стороны 192-угольников и снова
получает приближенное значение π = 3,14, выраженное при помощи отношения
157
чисел .
50
Другой китайский математик Цзу Чунчжи (430 – 501 гг.) получил первые
шесть точных десятичных знаков π, указав, что это число содержится между
3,1415926 и 3,1415927. Его метод нам не известен, так как он был описан в
труде, который с течением времени был утрачен.
Призванная удовлетворить нужды земледелия, ремесел и торговли,
арабская наука в течении VIII-IX вв. поднялась на уровень, значительно
превышавший уровень науки других народов того времени. Арабский
математик Аль-Хорезми (основатель алгебры) упорно работал над расчетами
числа π и добился первых четырёх цифр после запятой: 3,1416.
Стремление вычислить π с максимальным количеством цифр после
запятой возникло еще в глубокой древности, как и связанное с ним
соперничество. Наиболее значительные результаты этого периода приведены в
таблице 1.
Таблица 1
Точность значения числа π, вычисленная математиками древности и
средних веков
Цзу Чунчжи
(430 – 501 гг. до н. э.)
355/113
Птолемей
(ок. 150 г.)
3,1416
Ал-Хорезми
(ок. 800 г.)
3,1416
Ал-Каши
(ок. 1430 г.)
14 цифр
Виет
(1540 – 1603 гг.)
9 цифр
Ван Роомен
(1561 – 1615 гг.)
17 цифр
Ван Цейлен
(ок. 1600 г.)
35 цифр
Все остальные строили свои вычисления на теоретической основе, мало
чем отличавшейся от примененной Архимедом. Можно с уверенностью
утверждать, что на протяжении тысячелетий в изучении числа π заметный
прогресс отсутствовал.
6
1.2.
Исследования ван Цейлена
При описании происхождения числа π заслуживает упоминания история
Людольфа ван Цейлена, голландского математика XVI в., который посвятил
большую часть своей жизни вычислению значения π с множеством знаков
после запятой.
Он следовал старому методу и обращался к тригонометрии, вычислял
периметры приближенных к окружности многоугольников и постепенно
увеличивал количество их сторон в надежде найти какую – либо
закономерность в повторении десятичных знаков.
Чтобы понять, в какую ловушку попался ван Цейлен, следует обратиться к
свойствам десятичных дробей. При делении одного целого числа на другое
возможны два вида результатов: либо целое число (8/4 = 2), либо десятичная
дробь, то есть число, целая часть которой отделена от дробной части запятой.
Эти дроби могут быть конечными, например, 54/250 = 0,216, или
бесконечными, например, 1/3 = 0,333333…=0,(3).
Встречаются
и
другие
случаи,
например,
число
3/7
=
0,42857142857142857142857142857143…, когда за запятой следует достаточно
крупная группа цифр, называемая периодом, которая может повторяться до
бесконечности. Именно его ожидал ван Цейлен, вычисляя десятичные знаки
числа π.
Надо иметь в виду, что в некоторых случаях период можно обнаружить не
сразу. При этом подразумевается, что мы говорим только о рациональных
числах. Но, к примеру, квадратный корень из двух – не рациональное число:
если извлечь его на калькуляторе, появится последовательность десятичных
знаков, не имеющая определенного порядка и не указывающая на то, что в ней
когда–либо появится период, который будет повторяться до бесконечности.
Поскольку число π иррациональное, у него не может быть периода,
следовательно, все попытки ван Цейлена вычислить его с самого начала были
обречены на провал. Пытаясь справиться со своей титанической задачей, этот
неутомимый вычислитель, вооруженный бумагой и карандашом, дошел до
работы с многоугольниками, имеющими 4 триллиона сторон. Вероятно,
каждый день после завершения изнурительных вычислений он ложился спать,
ободренный надеждой, что завтра ему наконец-то откроется долгожданная
периодическая закономерность. Одержимый своей идеей, упорный голландец
проделал слишком долгий путь, чтобы повернуть обратно. К моменту смерти
он
успел
вычислить
35
десятичных
знаков
числа
π:
3,14159265358979323846264338327950288 – число, которое в качестве
эпитафии высечено на его надгробии. Долгое время число π в Германии было
известно под названием «число ван Цейлена» или «людольфово число».
7
1.3.
Происхождение символа числа π
Несмотря на такую долгую историю своего существования, число π
достаточно недавно приобрело знакомое всем имя. Символ π используется в
математических формулах на протяжении 250 лет.
Первое упоминание о символе для числа π как обозначении соотношения
длины окружности и ее диаметра датировано 1689 г., когда Иоганн Кристоф
Штурм в своем учебнике математики «Mathesis enucleate» использовал для этой
цели букву «е».
Греческую букву π впервые применил для той же цели Уильям Джонс
(1675 – 1749 гг.) в своей книге «Synopsis palmariorum mathesios» («Новое
введение в математику»), опубликованной в 1706 г. Эта буква была выбрана
потому, что соответствует латинской букве «р» (в русском языке «п») и
происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность,
периферия и περίμετρος — периметр. Но прижиться этот символ смог только
после 1737 года благодаря усилиям математика из Швеции Леонарда Эйлера.
Он использовал символ числа π в своей работе «Полное введение в алгебру» и
обозначение стало общепринятым.
8
1.4. Литературные и исторические курьезы
Исследование числа π зачастую приводило к необычным последствиям,
которые легли в основу литературных и исторических курьезов.
Так, например, немецкий математик Эдмунд Ландау (1877 – 1938 гг.) дал
необычное и точное определение числу π в своем труде, опубликованном в
π
Геттингене в 1934 г.: число
есть некоторое значение x, которое лежит в
2
диапазоне от 1 до 2 и при котором cos(x) стремится к нулю. Людвиг Бибербах,
выдающийся математик, но, к сожалению, закоренелый расист, счел, что
анализ Ландау содержит элементы, чуждые немецкой (национал–
социалистической) культуре, и потребовал его отставки, чтобы уберечь
студентов от вредной идеологии. Так Ландау лишился места преподавателя в
Геттингене ввиду свойственных ему представлений о числе π.
В 1894 г. врач Эдвард Джонстон Гудвин, увлеченный математикой,
опубликовал статью, в которой якобы доказал, что число π точно равно 3,2.
Довольный своим открытием, он получил патент на это значение числа π в
США и еще шести странах. В 1896 г. он представил на рассмотрение в нижнюю
палату законодательного собрания штата Индиана проект закона о «внедрении
новой математической истины» как существенного вклада в образование с той
целью, чтобы число «использовалось исключительно в штате Индиана без
каких-либо авторских отчислений». Проект дошел до верхней палаты Сената
США и был передан на рассмотрение в комитет. К счастью для современной
истории США, проект попал к профессору математики университета Пердью,
который, оправившись от первого потрясения, добился, чтобы рассмотрение
проекта отложили с формулировкой «бессрочно».
В мире существуют не только математики, которые посвятили себя
исключительно вычислению числа π, но есть и те, которые приписывают этому
числу мистические свойства или пытаются разобраться в них. В этой огромной
последовательности цифр некоторые люди видят отображение времени с
момента образования звезд до духовного будущего человечества.
Увлеченность, а иногда и одержимость этим числом приводит к поиску и
составлению текстов, в которых зашифрована последовательность цифр
загадочного числа. На английском языке один из наиболее популярных текстов
подобного рода выглядит так: “How I want a drink, alcoholic of course, after the
heavy lectures involving quantum mechanics” (“Как я хочу выпить спиртного,
конечно, после изнурительных лекций по квантовой механике”). В этом тексте
количество букв в каждом слове соответствует первым пятнадцати цифрам
числа π: 3,14159265358979. [Самая известная подобная фраза на русском языке
служил для запоминания первых 11 знаков числа π: «Кто и шутя, и скоро
пожелаетъ «пи» узнать число - ужъ знает»]. Имеется и стихотворная форма
запоминания числа π:
Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
9
Девяносто два и шесть.
Ну и дальше надо знать,
Если мы вас спросим Это будет пять, три, пять,
Восемь, девять, семь.
Некоторые энтузиасты стараются запомнить еще больше количество
знаков – например, квебекский математик Саймон Плаф, который в 1977 г.
попал в Книгу рекордов Гиннеса, сумев запомнить 4096 цифр числа π. В
настоящее время этот рекорд уже давно побит, обладатель нового запомнил,
как это ни удивительно, 42 тысячи цифр.
Нетрудно догадаться, почему День числа π отмечается любителями
математики 14 марта в 1:59. Этот неофициальный праздник придумал в 1987
году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу (Larry Shaw), который подметил, что
в американской системе записи даты (месяц/число) дата 14 марта - 3/14 - и
время 1:59 совпадает с первыми разрядами числа π = 3,14159.
Обычно празднуют в 1:59 дня (в 12-часовой системе), но
придерживающиеся 24-часовой системы считают, что это 13:59, и
предпочитают отмечать ночью.
В это время читают хвалебные речи в честь числа π, его роли в жизни
человечества, рисуют антиутопические картины мира без π, пекут и едят «пирог» («pie») с изображением греческой буквы «пи» или с первыми цифрами
самого числа, пьют напитки и играют в игры, начинающиеся на «пи», решают
математические головоломки и загадки, водят хороводы вокруг предметов,
связанных с этим числом.
Празднуют и день приближённого значения π – 22 июля (22/7).
Существуют и π – клубы, члены которого, являясь фанатами загадочного
математического феномена, собирают все новые сведения о числе π и пытаются
разгадать его тайну.
В мире есть памятник числу π – он установлен в Сиэтле перед зданием
Музея искусств (рисунок 1).
Рисунок 1
В 2005 году певица Кейт Буш (Kate Bush) выпустила альбом "Aerial", в
котором была песня про число π. В песне, которую певица так и назвала - "Пи",
прозвучали 124 цифры из знаменитого числового ряда 3,141… . Хотя Кейт Буш
вряд ли примут в клуб фанатов π. В ее песне неправильно названо 25-я цифра
последовательности, да и потом исчезли куда-то целых 22 цифры.
10
2.
Число π в разделах математики
2.1. Математическое определение числа π
Дадим строгое математическое определение числу π. Это математическая
константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра
(рисунок 2). Обозначается буквой греческого алфавита π.
Рисунок 2
Число π находит широкое применение в математике и прикладных науках
(физике, астрономии, географии и т. д.). Оно является неотъемлемой частью
таких разделов математики, как тригонометрия и геометрия.
2.2.
Использование числа π в тригонометрии
В курсе алгебры изучаются алгебраические функции, т. е. функции,
заданные аналитическими выражениями, в записи которых использовались
алгебраические операции над числами и переменной (сложение, вычитание,
умножение, деление, возведение в степень, извлечение квадратного и
кубического корней). Но математические модели часто бывают связаны с
функциями других классов – не алгебраическими. В школьном курсе
математики
рассматриваются
показательные,
логарифмические
и
тригонометрические функции.
Для введения тригонометрических функций нам понадобится новая
математическая модель – числовая окружность.
Ведь в реальной жизни приходится двигаться не только по прямой.
Довольно часто рассматривается движение по окружности. Вот конкретный
пример. Будем условно считать беговую дорожку стадиона окружностью.
По беговой дорожке стадиона можно пробежать или пройти путь любой
длины. Значит, любому положительному числу соответствует какая-то точка –
«финиш дистанции». Более того, и любому отрицательному числу можно
поставить в соответствие точку беговой дорожки стадиона, просто спортсмен
должен бежать в противоположном направлении (т.е. стартовать из A не в
направлении против, а в направлении по часовой стрелке). Тогда беговую
дорожку стадиона можно рассматривать как числовую окружность.
В принципе любую окружность можно рассматривать как числовую, но
удобнее использовать для этой цели единичную окружность – окружность,
радиус которой принимается за единицу измерения. Это будет наша «беговая
дорожка», ее длина С равна 2π (С=2πR, R=1), что составляет примерно 6,28.
Мы все время будем пользоваться единичной окружностью, в которой
проведены горизонтальный и вертикальный диаметр CA и DB. Условимся
называть дугу AB (рисунок 3) первой четвертью, дугу BC – второй
четвертью, дугу CD – третьей четвертью, дугу DA – четвертой четвертью.
При этом, как правило, речь будет идти об открытых дугах, т. е. о дугах без их
11
концов: например, первая четверть – это дуга AB без точек A и B. Длина
1
π
каждой четверти единичной окружности равна ∙ 2π, т. е. .
4
2
Рисунок 3
Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка A – правый
конец горизонтального диаметра. Поставим в соответствие каждому
действительному числу t точку окружности по следующему правилу:
1. Если t > 0, то, двигаясь из точки A в направлении против часовой стрелки
(положительное направление обхода окружности), опишем по окружности
путь AM длиной t . Точка M и будет искомой точкой M(t).
2. Если t < 0, то, двигаясь из точки A в направление по часовой стрелке
(отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности
путь AM длиной |t|. Точка M и будет искомой точкой M(t).
3. Числу t = 0 поставим в соответствие точку A; A = A(0).
Единичную окружность с установленным соответствием между
действительными числами и точками окружности называют числовой
окружностью.
В учебниках математики это соответствие задается и другим способом.
Пусть вертикальная прямая касается в точке P окружности с центром O радиуса
1 (рисунок 4). Будем считать эту прямую числовой осью с началом в точке P, а
положительным направлением на прямой направление вверх.
Рисунок 4
За единицу длины на числовой оси возьмем радиус окружности. Отметим
𝜋
на прямой несколько точек ± 1, ± , ± 3, ± π, где π  3,14 – иррациональное
2
число. Вообразив эту прямую в виде нерастяжимой нити, закрепленной на
окружности в точке P, будем мысленно наматывать ее на окружность. При этом
𝜋
точки числовой прямой с координатами, например, 1, , - 1, - 2 перейдут
2
соответственно в точки окружности M1, M2, M3, M4, такие, что длина дуги PM1
𝜋
равна 1, длина дуги PM2 равна и т. д.
2
12
Таким образом, каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая
точка окружности.
Так как точке прямой с координатой 1 ставится в соответствие точка M1, то
естественно считать угол POM1 единичным и мерой этого угла измерять другие
𝜋
углы. Например, угол POM2 следует считать равным . Такой способ измерения
2
углов широко используется в математике и физике. В этом случае говорят, что
углы измеряются в радианной мере, а угол POM1 называют углом в один
радиан (1 рад). Длина дуги окружности PM1 равна радиусу.
Рассмотрим окружность радиуса R и отметим на ней дугу PM длины R и
угол POM (рисунок 5).
Рисунок 5
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина, которой равна радиусу
окружности, называется углом в один радиан.
Найдем градусную меру угла в 1 радиан. Так как дуга длиной πR
(полуокружность) стягивает центральный угол в π раз меньший, то
180
1 рад = ( ) °.
𝜋
Так как π  3,14, то 1 рад  57,3.
Если угол содержит α радиан, то его градусная мера равна
180
𝛼 рад = ( 𝛼) °.
𝜋
Итак, число π широко используется для измерения и определения величин
углов в радианной мере, а значит, применяется для задания аргумента
тригонометрических функций.
13
2.3.
Использование числа π в геометрии
Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника
является приближенным значением длины окружности. Чем больше число
сторон такого многоугольника, тем точнее это приближенное значение, так как
многоугольник при увеличении числа сторон все ближе и ближе «прилегает» к
окружности (рисунок 6). Точное значение длины окружности – это предел, к
которому стремится периметр правильного вписанного в окружность
многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон.
Рисунок 6
Формула для вычисления длины окружности радиуса R:
C = 2πR.
Формула для вычисления длины l дуги окружности с градусной мерой α:
𝜋𝑅 2
𝑙=
∙ 𝛼°.
180°
Формула для вычисления площади S круга радиуса R:
S = πR2.
Формула для вычисления площади кругового сектора:
𝑆=
𝜋𝑅 2
360°
∙ 𝛼°.
14
2.4.
Задача «Квадратура круга»
Одним из знаменитых математических исследований, связанных с числом
π, является задача «Квадратура круга». Она была известна уже за две тысячи
лет до н. э. в Древнем Египте и Вавилоне. В то время у египетских математиков
находятся первые решения задачи, как с помощью циркуля и линейки
построить квадрат, равновеликий данному кругу (или определить соотношение
между окружностью и её диаметром).
Древнегреческие математики еще издавна преобразовывали любую
прямолинейную фигуру с помощью циркуля и линейки в произвольную
прямолинейную, равновеликую ей. Так появилась мысль обобщить эту задачу:
построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого
была бы равна площади данного круга. Задача получила название квадратуры
круга, и многие ученые пытались выполнить такое построение. Первая прямая
ссылка на неё относится к V в. до н. э. Философ Антифонт предложил решение,
которое в полном виде не сохранилось. Считается, что оно состояло в
следующем: производя последовательно удвоение сторон вписанного
многоугольника, он получал, в конце концов, многоугольник с очень большим
числом сторон, которые, по мысли Антифонта, должны совпадать с
соответствующими им дугами окружности. Но, так как для любого
многоугольника можно с помощью циркуля и линейки построить равновеликий
квадрат, то такой квадрат можно построить и для данного круга.
Исследования другого известного математика древности Гиппократа
Хиосского (ок. 400 г. до н.э.) также привели к задаче квадратуры круга. Он
первый указал на то, что площадь круга пропорциональна квадрату его
диаметра. Но провести строгое доказательство ученый в то время еще не мог:
не было подходящего метода.
Попытки Гиппократа решить задачу о квадратуре круга привели его к
открытию квадрируемых фигур (то есть таких, площади которых выражаются в
рациональных числах), ограниченных пересекающимися окружностями. Они
впоследствии получили название гиппократовых луночек. Казалось бы, что с
появлением таких луночек найден ключ к решению задачи о квадратуре круга.
Она была бы решена, если бы удалось разбить круг на квадрируемые части.
Найденное Гиппократом Хиосским соотношение позволило свести задачу о
квадратуре круга к построению с помощью циркуля и линейки, если это
возможно, полученного коэффициента пропорциональности, одного и того же
для всех кругов.
Были найдены и другие пути определения квадратуры круга: кроме
циркуля и линейки использовали различные инструменты или специально
построенные кривые. Все предложенные решения в лучшем случае давали
приближённое значение с достаточно хорошей точностью. Однако все – таки
оставались принципиально приближёнными. Впрочем, авторы таких
построений часто не сомневались в их абсолютной точности и горячо
отстаивали свои заблуждения. Один из самых громких споров на эту тему
произошёл в Англии между двумя выдающимися учёными XVII в., философом
15
Томасом Гоббсом и математиком Джоном Валлисом. В весьма почтенном
возрасте Гоббс опубликовал около десяти «решений» задачи о квадратуре
круга.
Итак, вернемся к условию задачи. С точки зрения математики квадратура
круга — задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля
и линейки квадрата, равного по площади данному кругу (рисунок 7).
Рисунок 7
Данная задача связана с проблемой неразрешимости. Если принять за
единицу измерения радиус круга и обозначить переменной x длину стороны
искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: x2 = π, откуда: x =
√𝝅 . Как известно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить все четыре
арифметических действия и извлечение квадратного корня; отсюда следует, что
квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью
конечного числа таких действий можно построить отрезок
длины π. Таким
образом, неразрешимость этой задачи следует из трансцендентности числа π,
которая была доказана в 1882 году Линдеманом.
Несмотря на неразрешимость задачи, попытки найти квадратуру круга
совершались математиками на протяжении веков. Они оказывались
неуспешными, поэтому в 1775 году в Парижской Академии наук была
произнесена речь академиком Кондорсе. В этом выступлении он извещал, что
Академия решила не принимать больше работ о квадратуре круга и распустить
комиссию по изучению рукописей, трактующих эту проблему.
Однако Академия наук и не надеялась, что в результате ее решения
ошеломленные квадратуристы сложат свои перья. Поэтому комиссия для
изучения рукописей, относящихся к квадратуре круга, не была ликвидирована,
а получила только новое название – «Комиссия потерянных детей».
Следует отметить, что неразрешимость задачи возникает лишь при
использовании только циркуля и линейки. Она становится разрешимой, если,
кроме циркуля и линейки, использовать другие средства (например,
квадратрису). Простейший механический способ предложил Леонардо да
Винчи. Если изготовить круговой цилиндр с радиусом основания R и высотой
𝑅
, намазать его чернилами и прокатить по плоскости, то за один полный оборот
2
цилиндр отпечатает на плоскости прямоугольник площадью πR2. Располагая
таким прямоугольником, уже несложно построить равновеликий ему квадрат.
Математическое доказательство невозможности квадратуры круга не
мешало многим энтузиастам тратить годы на решение этой проблемы. Будучи
вначале чисто геометрической задачей, квадратура круга превратилась в
течение веков в исключительно важную задачу арифметико-алгебраического
16
характера, связанную с числом π, и содействовала развитию новых понятий и
идей в математике. Однако не в практическом отношении интересовала людей
задача о квадратуре круга, а интересовала её принципиальная сторона:
возможно ли точно решить эту задачу, выполняя построения с помощью только
циркуля и линейки. Поэтому квадратура круга была в прежние времена самой
заманчивой и соблазнительной задачей. Армия «квадратурщиков» неустанно
пополнялась каждым новым поколением математиков. Все усилия были
тщетны, но число их не уменьшалось. В некоторых умах доказательство, что
решение не может быть найдено, зажигало ещё большее рвение к изысканиям.
Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в
геометрии и алгебре.
Тщетность исследований по решению задачи квадратуры круга перенесла
этот оборот во многие другие области, где он попросту обозначает
безнадежное, бессмысленное или тщетное предприятие. Таким образом,
возникла метафора «Квадратура круга», этот термин стал синонимом
неразрешимых задач. Однако, на практике именно неразрешимость некоторых
задач служит отправной точкой для новых математических исследований,
интригует, стимулирует и способствует развитию творчества.
17
3. Из истории вычислений числа π
3.1. Математические методы нахождения числа π
1. Геометрический метод
Архимед был первым, кто предложил математический способ вычисления
π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные
многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед
рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины
окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку.
Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку
и предположил, что π примерно равняется 22/7 ≈ 3,142857142857143.
2. Метод Лю Хуэя
Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил
простой и точный итеративный алгоритм (англ. Liu Hui's π algorithm) для
вычисления π с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл
вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для π по
следующему принципу:
3. Метод рядов
Крупные достижения в изучении π связаны с развитием математического
анализа, в особенности с открытием рядов, позволяющих вычислить с любой
точностью, суммируя подходящее количество членов ряда. В 1400-х годах
Мадхава из Сангамаграма (англ. Madhava of Sangamagrama) нашёл первый из
таких рядов:
.
Этот результат известен как ряд Мадхавы — Лейбница, или ряд Грегори —
Лейбница. Однако этот ряд сходится к
очень медленно, что приводит к
сложности вычисления многих цифр числа на практике — необходимо сложить
около 4000 членов ряда, чтобы улучшить оценку Архимеда. Однако
преобразованием этого ряда в следующий
,
как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в
Мадхава смог вычислить
записи числа.
С развитием в Европе методов анализа и определения бесконечных рядов,
возникали новые представления. Одно из них – формула Виета (1593 г.):
,
Другим известным результатом стала формула Валлиса, выведенная
Джоном Валлисом в 1655 году:
18
.
4. Методы, основанные на тождестве
В Новое время для вычисления π стали использоваться аналитические
методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы
малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют
медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения
квадратного корня.
Первую эффективную формулу нашёл в 1706 году Джон Мэчин
.
5. Метод иглы Буффона
Число π фигурирует в самых неожиданных областях математики –
например, в эксперименте, разработанном французским математиком Жоржем
Бюффоном (1707 – 1788 гг.). Его метод состоит в следующем: предположим,
есть плоскость, расчерченная параллельными и равноудаленными друг от друга
прямыми. На эту плоскость брошена игла длиной k, не превышающей
расстояние между соседними прямыми (рисунок 8).
Рисунок 8
Согласно теории вероятностей, вероятность того, что игла не пересечет ни
одну из прямых, составляет 2k/π.
Многие пытались вычислить величину π с помощью бросков иглы на
плоскость. Из всех результатов следует отметить полученные Лаццерини (1901
г.) после 34080 бросков:
355
𝜋=
= 3,1415929 …
113
которые случайно совпали с цифрами, приведенными Цзу Чунчжи, что
породили множество догадок, мало относящихся к математике и касающихся
странного количества бросков иглы – 34080. К примеру, было высказано
предположение, что это оптимальное число для наилучшего приближения к
числу π. Математик Бриджмен, иронизируя над заявлениями Лаццерини о
проделанном эксперименте, взял иглу длиной k =0,7857, бросил ее на
расчерченную в плоскость дважды, увидел, что она коснулась прямой только
один раз, и подсчитал, что 2·0,7857/π=1/2. Таким образом, он получил
величину, значительно отличающуюся от π, равную 3,1418. Математики тоже
шутят!
19
3.2. Вычисления числа π с использованием вычислительной техники
С изобретением электронно-вычислительных машин в исследовании числа
π началась новая эра. В июне 1949 г. фон Нейман и его коллеги разработали
программу для вычисления числа π с помощью компьютера ЭНИАК – одной из
первых вычислительных машин в истории. За 70 часов работы машина
вычислила 2037 знаков. Так пришла другая эпоха, когда числом π занялись
алгоритмы и компьютеры. По мере увеличения мощности компьютеров,
алгоритмы их работы становились все более сложными. В числе π уже
насчитывались сотни, тысячи и сотни тысяч знаков. В таблице 2 приведен
список количества точных десятичных знаков числа π, полученного рядом
ученых с использованием компьютерной техники. В начале нашего века было
известно 1 241 100 000 000 десятичных знаков числа π, полученных после 600
часов работы суперкомпьютера Hitachi SR8000.
Таблица 2
Количество точных десятичных знаков числа π, полученных с
использованием компьютера до 2002 года
В августе 2009 года учёные из японского университета Цукубо рассчитали
последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов.
31 декабря 2009 года французский программист Фабрис Беллар на
персональном компьютере рассчитал последовательность из 2 699 999 990 000
десятичных разрядов.
20
2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский
исследователь Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 5
триллионов цифр после запятой.
19 октября 2011 года Александр Йи и Сигэру Кондо рассчитали
последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой.
Если посмотреть на рисунок 9 из графика, то видно, что получение новых
десятичных знаков излюбленной константы математиков всего мира
стремительно набирает темп.
Рисунок 9
Точками обозначено количество десятичных знаков, вычисленных за
период с окончания Второй мировой войны до наших дней. Для оценки данных
следует принять во внимание, что равные отрезки на оси ординат
(вертикальной) соответствуют неодинаковому количеству десятичных знаков:
для каждого интервала количество десятичных знаков, полученное ранее,
умножается на десять. Необходимо также отметить два момента. Первый
момент – резкое ускорение процесса в эпоху суперкомпьютеров. К примеру,
рекорд 2002 г., триллион знаков (1 241 100 000 000), в шесть раз превышает
предыдущий рекорд 1999 г. и более чем в сорок тысяч раз – достижение 1986 г..
Рекорд 2002 г., который установил Янумаса Канада и его коллеги из
Токийского университета, содержит столько цифр, что их хватит на книгу
толщиной, в 135 раз превышающей высоту Эйфелевой башни. Понадобится
около 40 тысяч лет, чтобы произнести эти цифры последовательно, одну за
другой, в нормальном темпе.
Но действительно ли так необходимо знать такое количество знаков после
запятой в числе π? Существуют ли вычисления, требующие подобной
точности? Нет. Если бы нам понадобилось определить диаметр окружности, в
которую поместится вся известная Вселенная, нам вполне хватило бы числа π с
39 десятичными знаками, которое даст ошибку, величиной не превышающую
диаметр атома водорода.
Однако постоянный поиск точного значения числа π способствует
значительному прогрессу в сфере разработки компьютерных алгоритмов, а
также новым достижениям в теоретической математике. И потом, помимо всего
прочего, число π во всей своей целостности бросает математикам вызов,
который они готовы принять.
21
4.
Практическая часть. Разработка модели «Радианная мера угла»
Главная проблема числа π в его иррациональности и отсутствии наглядного
представления. Особенно это чувствуется в разделе тригонометрии, где углы
измеряются в радианах. Поэтому возникла идея разработать модель «Радианная
мера угла», которая поможет не только наглядно представить число π, но и легко
соотнести радианную и градусную меру углов. В соответствии с требованиями к
проектной
деятельности,
необходимо
было
установить
четкую
последовательность действий, продумать этапы работы:
1. разработать эскиз модели;
2. выбрать материалы для изготовления модели;
3. изготовить модель;
4. составить описание демонстрационных возможностей модели.
Рассмотрим реализацию перечисленных этапов на практике.
4.1. Разработка эскиза модели
Эскиз модели содержит координатную плоскость, окружность с радиусом
r = 1, координатную прямую, параллельную оси OY, проходящую через точку с
координатами (1;0). В этой же точке закреплена нить, демонстрирующая
дополнительную ось в процессе наматывания ее на окружность (рисунок 10).
Рисунок 10
Для временного хранения нити и карточек с мерами углов предусмотрены
кармашки с задней стороны модели.
4.2. Выбор материалов для изготовления модели
В качестве основы для модели мы использовали пластик. Преимущества
данного материала заключаются в следующем: прочность, эстетичность,
легкость, простота обработки и очистки. Помимо этого на пластик можно
наклеивать и убирать дополнительные элементы (значения углов). Все
основные надписи: название модели, координатные оси, дополнительная
координатная ось, единичные отрезки, названия осей, окружность - выполнены
стационарно. Окружность, имеющаяся на модели, продублирована контуром,
выполненным из пластикового уголка. При этом выполняются два условия:
нить легко наматывается без соскальзывания в несколько слоев и ее хорошо
видно. Для удобства мы выбрали достаточно толстую нить ярко красного цвета,
не поддающуюся растяжению.
22
4.3. Изготовление модели
Для изготовления основы модели мы обратились в полиграфическую
компанию ООО «ЦПТИ» (Центральный информационно-технологический
институт). Крепление нити, установку кармашка для ее хранения, карточки с
дополнительными значениями углов изготовили самостоятельно.
4.4. Описание демонстрационных возможностей модели
1. Так как длина окружности радиуса r = 1, вычисляемая по формуле
C=2πr, равна 2π, то при накручивании дополнительной оси по кругу в точке
(1;0) на ней образуется число 2π; а в точке (-1;0) – число π соответственно.
Таким образом, данная модель позволяет наглядно определить
местонахождение числа π, как на числовой оси, так и на окружности.
2. Кроме этого, модель позволяет легко сравнивать значения углов,
заданных в градусах и радианах. Приведем таблицу наиболее часто
встречающихся углов в градусной и радианной мере.
Градусы
0
30
45
60
90
100
π
π
π
π
Радианы
0
π
4
2
6
3
Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад»
опускают.
3. Данная модель предоставляет возможность осуществлять отбор корней
тригонометрического уравнения на заданном отрезке, расположенном в
разумных пределах дополнительной числовой оси от –π до π, а также в других
диапазонах.
23
Заключение
В данной работе изучалось число π. Мы узнали об истории его
возникновения и вычисления, о том, где оно встречается в математике,
применяется на практике.
Еще с Древнего мира число π интересовало ученых, однако многие века
ничего существенного при его нахождении и уточнении не происходила.
Только в XVIII веке было доказано, что число является иррациональным и
трансцендентным (XIX), дано обозначение символу.
Однако исследование числа не оказалось бесполезным, в процессе работы
над ним учеными было совершено много дополнительных открытий в
геометрии, алгебре, математическом анализе, информатике. Интерес к числу π
не угасает и сегодня. Используя возможности компьютерной техники, открыто
свыше 10 триллионов цифр после запятой.
Так как число записывается знаком, а не цифрами, многие люди
испытывают затруднения при работе с ним, им не хватает наглядного
представления, особенно остро эти проблемы возникают при изучении раздела
алгебры «Тригонометрия». Чтобы помочь учащимся, я разработала и
изготовила модель «Радианная мера угла», которая позволяет наглядно
представлять соответствие радианной и градусной мер углов, а также
иллюстрировать решение определенного круга задач.
В процессе исследования я использовала знакомый материал из
школьного курса, а также самостоятельно изучила новые для себя разделы
математики (тригонометрии), почерпнула новые сведения из разделов высшей
математики. Ведь еще Ж. Колль говорил: «Если высшая математика менее
доступна, то ее основные элементы понятны для всех, и, чтобы постичь их,
достаточно обладать тем здравым смыслом, которым, как утверждает Декарт, в
равной степени наделены все люди».
В рамках «Недели математики» я выступила со своей темой в 9 - 10
классах, они познакомились с историей и применением числа π.
Данная работа может быть использована на уроках математики, на
занятиях кружка и при индивидуальной работе с учащимися при изучении
курса «Алгебра и начала анализа», а также послужит наглядным пособием
учителям математики.
24
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Список литературы
Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11
классы. В 2 ч. Ч.1 учебник для учащихся общеобразовательных
учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович. – 10-е изд., стер. –
М.: Мнемозина, 2009. – 399 с.: ил.
Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 – 11 кл. общеобразоват.
учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – 10-е
изд., стер. – М.: Просвещение, 2002. – 384 с.: ил.
Геометрия, 7 – 9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С.
Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 13-е изд., стер. – М.:
Просвещение, 2003. – 384 с.: ил.
Математический энциклопедический словарь./Гл. ред. Ю. В. Прохоров.
– М.: Сов. Энциклопедия, 1988. – 847 с.: ил.
Занимательные головоломки//Коллекция логических игр. 2012. № 5.
Флорика Кымпан. История числа π. – М.: Наука, 1971 г., 216 с.: ил.
Список сайтов
1. http://ru.wikipedia.org/
2. http://dic.academic.ru/