Морозова Анастасия 8 класс МБОУ «Кадетская школа-интернат» г.Чистополь Татарстан Матвеева Светлана Николаевна

Морозова Анастасия
8 класс
МБОУ «Кадетская школа-интернат» г.Чистополь Татарстан
Матвеева Светлана Николаевна
Решение квадратных уравнений различными способами
matweewa.swetlana@yandex.ru
Решение квадратных уравнений различными способами
Целью работы было формирование умения решать квадратные уравнения.
Исходя из этой цели, были проведена следующая работа: изучена история
возникновения и решения квадратных уравнений, проанализированы школьные
учебники, рассмотрены формулы для решения квадратных уравнений. В работе так
же представлена практическая часть. В результате данной работы сформировано
умение решать квадратные уравнения.
Квадратные уравнения находят широкое применение при решении
тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и
трансцендентных уравнений и неравенств.
Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и
краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в
результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко
обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести
уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений
1. Определение квадратного уравнения, его виды.
Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида
ax2 + bx + c = 0, где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.
Если в квадратном уравнении ах2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или
с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ах2 + с = 0, где с ≠ 0;
2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0;
3) ах2 = 0
2. Различные способы решения квадратных уравнений. (изучаемые в
школьным курсе алгебры)
1)Разложение левой части уравнения на множители
2) Метод выделения полного квадрата
3)Решение квадратных уравнений по формуле
4)Решение уравнений с использованием теоремы Виета
5) Графическое решение квадратного уравнения
3. Различные способы решения квадратных уравнений. ( не изучаемые в
школьным курсе алгебры)
6)Решение уравнений способом «переброски»
Рассмотрим квадратное уравнение
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение
а2 х2 + а bх + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х =
у
; тогда приходим к уравнению
а
у2 + by + ас = 0,
равносильного данному. Его корни у1 и у2
Окончательно получаем х1 =
у1
а
и х1 =
найдем с помощью теоремы Виета.
у2
. При этом способе коэффициент а
а
умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и
называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко
найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда
дискриминант есть точный квадрат.
Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.
Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим
уравнение
6

х1 
у

6


2   х1  3

у2 – 11y +30 = 0. Согласно теореме Виета  1

5
 у2  5
 х2  2,5
 х2 
2

Ответ: 2,5;3.
7) Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.
1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то
=
с
.
а
х 1 = 1, х2
Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное
b

х1  х2  

b
с
a
квадратное уравнение х2 + х + = 0. Согласно теореме Виета 
c
а
х х  с
 1 2 а
ac
c

 х1  х2   a  1  a
По условию а + b + с = 0, откуда b = – а – с. Значит, 
х х  1 с
 1 2
а
Получаем х1 = 1, х2 =
с
, что и требовалось доказать.
а
2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = –
с
.
а
Доказательство. По теореме Виета
b

 х1  х2   a

х х  с
 1 2 а
По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,
ab
c

 х1  х2   a  1  a

 х х2  1    a ,
1
 c

т.е. х1 = – 1 и х2 =
с
, что и требовалось доказать.
а
1. Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1 = 1, х2 =
Ответ: 1; –
с
 208
=
.
а
345
208
.
345
2. Решим уравнение 132х2 + 247х + 115 = 0
Решение. Т. к. а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то
х1= - 1, х2= -
115
132
Ответ: - 1; -
115
132
8)Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы
неудобен. Если строить параболу по точкам, то потребуется много времени, и при
этом степень точности получаемых результатов невелика.
Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного уравнения
ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки.
Решим графически уравнение х2 – 2х – 3 = 0.
Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:
х=–
ас
b
2
=

 1, у =
2a
2 1
2а
1 3
 1.
2 1
Проведем окружность радиуса S A, где А (0;1).
у
1 А
-1
3
х
S(1; - 1)
Ответ: х1 = – 1 , х2 = 3 .
9) Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.
Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений,
помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. –
М., Просвещение, 1990).
Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма
позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить
корни уравнения.
1. Для уравнения
z2 – 9z + 8 = 0.
Номограмма дает корни
z1 = 8, 0 и z2 = 1, 0 (рис. 12).
2. Решим с помощью номограммы уравнение
2z2 – 9 z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого
уравнения на 2,получим уравнение
z2 – 4, 5 + 1 = 0.
Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.
10).Геометрический способ решения квадратных уравнений.
В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные
уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший
знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.
Решим уравнение х2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять
корней равны 39».
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся
1
2
прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2 ,
1
2
следовательно, площадь каждого равна 2 х . Полученную фигуру дополняют затем
до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре
1
2
1
4
равных квадрата, сторона каждого из них 2 , а площадь 6 .
D
x
C
6 .
1
4
2 х
1
2
6 .
2 х
1
2
x2
2 х
1
4
2 х
1
2
6 .
6 .
х
A
1
4
1
2
1
4
B
Площадь S квадрата ABCD можно представить
первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников
1
2
как
сумму
площадей:
1
4
(4 ∙ 2 х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов(6  4  25 ), т.е.
S = х2 + 10х + 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64,
откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой
стороны х первоначального квадрата получим х = 8 – 2
1
1
–2 =3
2
2
Вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики.. Эти
знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.
Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они,
безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников.
Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит
перед нами математика.
Литература:
1. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник
для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.:
Дрофа, 2004
2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы:
Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988
3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982
4. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй
школы. – м., просвещение, 1990
5. Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства.
Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972
6. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и
линейки. М., Квант, №4/72. С.34.
7. Дидактические материалы по алгебре.
8. М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№
21/96, 10/97, 24/97, 40/2000.