Квадратные корни, их свойства. Решение прикладных задач

Квадратные корни, их свойства. Решение прикладных задач
Цели:
Образовательные:
организовать деятельность учащихся
по систематизации и расширению
знаний
учащихся
о
свойствах
квадратных корней и их применению;
показать,
как
используются
квадратные корни при решении задач
физического,
экономического,
географического
содержания,
знакомство
с
графическим
представлением зависимости x .
Развивающие:
подвести учащихся к самостоятельному
осмыслению необходимости знаний по данной теме при решении
задач практического содержания;
осуществлять формирование знаний в виде отдельных навыков
после определенной тренировки при решении задач;
использовать простые логические рассуждения для возможной
постановки более сложных заданий и их решения.
Воспитательные:
привитие интереса к математике;
воспитание познавательной активности, умения общаться, общей
культуры.
Оборудование. Интерактивная презентация PowerPoint,проектор.
Ход занятия:
1. Слово учителя
2. Устная работа
3. Самостоятельная работа (решение примера)
4. Решение задач
5.Историческая справка
6. Практическая работа (построение графиков функций
у х)
7. Расшифруй ребус
8. Рефлексия
1
y  x 2 для x  0 и
“Учение без размышления бесполезно,
но и размышление без учения опасно”
Конфуций
1. Слово учителя. Объявление темы и цели занятия. (Слайд 2)
…Кот разъяснял пичужке высший смысл
Единства содержания и формы?
О как абстрактны и корявы корни,
Но как прекрасен и логичен лист…
(Из стихотворения Ю. Кобрина «Воскресенье»)
- Ребята, сегодня у нас занятие по теме «Квадратный корень и его свойства».
Какова цель сегодняшнего занятия? Мы изучили теорию по данной теме,
научились решать задачи обязательного уровня и повышенной сложности. Есть
хорошее высказывание одного из математиков: «Теория без практики мертва
или бесплодна, практика без теории невозможна или пагубна. Для теории
нужны знания, для практики, сверх того, и умение». Эти слова отражают
сущность сегодняшнего занятия. Вы должны, используя свои теоретические
знания и определенные навыки, уметь справляться с любыми заданиями.
2.Устная работа.
Проверим ваши знания свойств квадратных корней, а так же вычислительные
навыки.
1.1. “Мгновение на размышление”. (Слайд 3)
Попробуйте решить каждое из следующих заданий, затратив на это не более 10
секунд.
1) Укажите все иррациональные числа:
2
3
а) 7 ; б) 21 ; в) -2.(53); г) 0,49 ; д) 23 .
Ответ: б) и д)
2) Укажите выражение, имеющее смысл:
а)  (13) 2 ; б)  15 ; в)  12 2 ; г)  225 ; д) 3  5 .
Ответ: б).
3) Что больше: А или В, если
A  7  235  22
B  14  234  11
Вопросы: Можно ли сравнить А и В, не производя вычислений?
Каким свойством арифметического квадратного корня воспользовались?
Ответ: А больше В.
2
4) В данном равенстве
56
 1 укажите, сколько множителей в
5  5  ...  5
знаменателе?
Вопросы: Как удобнее записать числитель?
Какими свойствами степеней воспользовались?
Ответ: 12.
5) Вычислите: 662  882
Вопросы: Как удобнее записать слагаемые подкоренного выражения?
Какими свойствами арифметического квадратного корня воспользовались?
Ответ: 110.
6) Чему равно значение переменной а, если 10 a  a 10
Вопрос: Какое значение может принимать а?
Ответ: 10, 0.
1.2. Применение понятия квадратного корня в геометрии. (Слайд 4)
1) Площади двух квадратов соответственно равны 32 см2 и 8 см2. Во сколько
раз сторона второго квадрата меньше стороны первого?
Ответ: в 2 раза.
Вопросы: Каким свойством квадратного корня воспользовались при вынесении
множителя из под знака корня?
Можно было найти отношение сторон и воспользоваться другим свойством?
2) Площадь круга равна 314см2 . Найдите радиус круга.
(Sкр = R 2 ; R 
S кр

).
Ответ: 10 см.
1.3. Применение понятия квадратного корня в физике. (Слайд 5)
1) Кирпич падает с высоты 1м. С какой скоростью он упадет на Землю? Во
сколько раз увеличится скорость, если высота увеличится в 4 , 100 раз?
Решение:
Справка: Скорость свободного падения тела связана с высотой падения
формулой H 
v2
, где g – ускорение свободного падения 9,81 м/с2 .
2g
Отсюда выразим v: v  2gH .
H  1м, v  2 5 м / с
H  4 м, v  4 5 м / с
H  100 м, v  20 5 м / с
Ответ: 2 5 м / с, 4 5 м / с,20 5 м / с.
Решение данной задачи позволяет
карнизами домов.
узнать, насколько опасно ходить под
2) С какой силой кирпич (сосулька) ударится о землю? (Слайд 6)
3
Решение:
Для этого воспользуемся формулой: F 
mv
,
t
– время взаимодействия. Из
анализа формулы можно сделать вывод: чем больше t , тем сила удара
меньше. Вот почему наличие каски (шапки) на голове смягчает удар.
кг  м
с2
кг  м
H  16 м, F  800 5 2 .
с
H  4 м, F  400 5
3. Самостоятельная работа.
Наибольшие трудности вызывает работа с квадратными корнями при
тождественных преобразованиях. Решая
следующее задание,
уточним,
решению каких задач мы посвятим наше занятие. Ответ на этот вопрос мы
получим, упростив выражение, написанное на доске (самостоятельно решают
в тетрадях).
Пусть данное выражение задано на множестве своего определения, которое
искать не будем. Упростите выражение: (Слайд 7)
В ответе замените латинские буквы n, p, u, k, l, a, g, h, z на русские п, р, и, к, л,
а, д, н, ы, е соответственно.
Итак, тема нашего занятия: Решение прикладных задач.
4. Решение задач. (Слайды 8,9)
№ 1.
Гоголь в статье «Об архитектуре нашего времени» писал следующее: «Башни
огромные, колоссальные, необходимы в городе… У нас обыкновенно
ограничиваются высотой, дающей возможность оглядеть один только город,
между тем как для столицы необходимо видеть, по крайней мере, на полтораста
верст (Одна верста составляет 1,0668км, 150 верст — 160 км) во все стороны. И
для этого, может быть, один только или два этажа лишних, - и все изменится.
Объем кругозора по мере возвышения распространяется с необыкновенной
прогрессией».
А теперь вопрос: как вы относитесь к этой идее?
Справка: Расстояние от наблюдателя до наиболее далекой видимой точки
называется дальность горизонта. Его легко вычислить, используя теорему
Пифагора см. рис.:
a 2  ( R 2  H 2 )  R 2  2RH  H 2  H (2R  H ). Во втором
сомножителе величиной Н можно пренебречь по сравнению с диаметром Земли
2R=12 740 000м.
Тогда
получим
приближенную
формулу
a  2 RH  3570 H ( м) . Луч света в атмосфере искривляется, и практически мы
видим чуть дальше: a  3860 H . Следовательно, дальность горизонта растет
4
медленнее, чем высота подъема. Она пропорциональна квадратному корню из
этой высоты. (пример: если к восьмиэтажному дому прибавить еще два этажа,
дальность горизонта возрастет всего на 10%)
Н
Вопрос: какую высоту должна иметь башня для обзора на 150 верст?
Ответ:2 км (это высота большой горы).
Писав эту статью, Гоголь вряд ли об этом подозревал.
Кто из нас в детстве не мечтал быть космонавтом и увидеть нашу прекрасную
планету Земля из космоса. (Слайд 10)
Вот ещё одна аналогичная задача:
Как далеко можно увидеть со спутника, который летает на высоте 400 км?
Ответ: 2440 км
Физкультминутка (гимнастика для глаз, следим взглядом по указанным
звездам) (Слайд 11)
№ 2 (для молодых фермеров) (Слайд 12)
Отец с сыном-восьмиклассником сгребли сено и хотят метать стог.
- А что, сын, тут кубометров 25, наверное, будет. Давай для удобства считать24.
Какое же заложить основание стога в обхвате?
- А высота?
- Положим на перекидку метров 12, и считай!
Справка: Для приближенного вычисления объема стога V(м3) используется
lc 2
формула V 
, где с(м) — длина окружности в основании стога, а l (м) -72
перекидка, т.е. длина перекинутой через вершину веревки, оба конца которой
лежат на земле.
Решение: c 
72V
,
l
c
72  24
72  2

 144  12( м) . Ответ 12м.
12
1
5. Как появился значок корня?
Учитель: Интересные факты о квадратном корне. Слово учащимся.
Ученик:
Историческая справка(Слайд 13)
Слово «корень» пришло в математику от арабов. Они представляли себе
квадрат числа вырастающим из корня – как растение, – и поэтому называли
корнями такие числа.
5
Арифметический корень произошел от латинского слова radix – корень,
radicalis – коренной. Его следы можно найти даже в словах: редис, редька,
радикулит – воспаление нервных корешков.
Начиная с 13 века итальянские и другие европейские математики обозначали
корень словом Radix или сокращенно Rх. В 15 веке писали R212 вместо 12 . В
1525 г. появилось обозначение V для квадратного корня, которое вскоре
вытеснило знак Rх, при этом над подкоренным выражением ставилась
горизонтальная черта. Современное обозначение корня впервые появилось в
книге Рене Декарта “Геометрия”, изданной в 1637 году, где он ввёл
горизонтальную черту над выражением под радикалом, но только спустя 100
лет он вошел во всеобщее употребление.
День квадратного корня! (Слайд 14)
А вы знаете о том, что существует
День квадратного корня?
Что это за особенный день?
Смотрите: 03.03.09 есть ничто иное как: 3  3  9 или, говоря совсем поматематически, «три = квадратный корень из девяти». Наверняка этот день
стоит отметить чем-нибудь особенным! К слову сказать, подобных дней на
каждое столетие приходится по девять штук. Предыдущий 03.03.09 День
квадратного корня был 02.02.04, а следующий наступит 04.04.16.
6. Практическая работа. (Слайд 15)
Переходим к хозяйственным делам. Представьте себе, что Вы - директор
хозяйства, занимающегося выращиванием лекарственных трав. Вы знаете, что
должны засадить лекарственными культурами квадратные площади 25 м2 , 16
м2 , 9 м2 , 4 м2 , 1 м2. Ваша задача найти линейные размеры данных участков и
построить зависимость стороны участка от его площади, считая, что значение
площади изменяется непрерывно от 0 до 16 м2 .
Теперь перед вами стоит обратная задача. (Слайд 16)
Сформулируйте её сами. (Надо узнать площадь квадратных участков, если мы
знаем их линейные размеры: 1 м, 2 м, 3 м, 4 м. Переведем условия задачи на
6
математическую модель и построим график зависимости S от а, считая, что а
меняется непрерывно от 0 до 4)
Итак, задание:
Вам надо сравнить полученные графики, построив их в одной системе
координат и заменив название конкретных величин на у и х соответственно.
В помощь вам предлагаются следующие вопросы:
1. Что вы можете сказать о расположении графиков по отношению друг к
другу?
2. Сравните области определения и области значений данных функций.
3. Каковы свойства функции у = х2 при х > 0?
4. Каковы свойства функции y  x ?
5. Найдите значения этих функций при х = 0, 1, 2, 3, 4.
6. При каких значениях х справедливо неравенство x 1, x 1.
7. Что вы можете сказать о значении каждой из функций при x   .
7. Расшифруй ребус. (Слайд 17)
* *  * , где каждая звездочка означает некоторую четную цифру.
Решение: перепишем ребус в виде: a  b или еще удобнее b2=a ,где b –
однозначное число, а а – двузначное. Перебором найдем, что а двузначное
число при b равном 4, 6 или 8. Тогда а равно соответственно 16, 36 или 64. Обе
цифры четные лишь в последнем случае. Таким образом, найден ответ: 64=82.
Ответ: 64  8 .
Наше занятие подошло к концу. К следующему занятию подумайте, какие
примеры вы можете привести из областей науки, техники, жизненной практике,
где мы имеем дело с функцией «Корень квадратный». (Слайд 18)
8. Рефлексия.
Довольны ли вы своей работой на занятии?
Закончите предложение:
Сегодня на занятии я понял, что …
7