I. Введение. - Исенбаевская средняя общеобразовательная школа

VII Межрегиональные юношеские научно-исследовательские чтения
Каюма Насыйри
Секции: математика
Исследовательская работа
Построение графиков функций,
содержащих знак модуля
Выполнила: Хисматуллина Лейля Ильдаровна,
ученица IX класса Исенбаевской средней
общеобразовательной школы Агрызского
муниципального района РТ
Научный руководитель: Садыкова Гулия
Закиевна , учитель математики первой
квалификационной категории Исенбаевской СОШ.
Исенбаево, 2009
Содержание:
I. Введение -----------------------------------------------------------------стр 3
II. Основная часть ------------------------------------------------------- стр 3
- Понятия и определения -----------------------------------------------------стр 4
- Построение графика функции у = |f(х)| --------------------------------------- Построение графика функции у = |f(|x|)| -------------------------------------- Построение графика функции у = f ( |X| )--------------------------------стр 5
- Построение графика уравнения |у |= f(X)------------------------------------- Построение графика уравнения |у | = | f(X) |---------------------------------- Построение графиков функций, аналитические выражения которых
содержат знак модуля, выраженных неявно ------------------------------------ Построение графиков вида y = ||x|-a |-|х|-х и т. д ----------------------стр 6
III.Приложение ------------------------------------------------------------стр 7
Примеры построения графиков линейных функций -------------------------квадратичных функций -----------------------------------------------------стр 10
-дробно – рациональных функций -----------------------------------------стр12
-различных комбинаций элементарных функций ----------------------стр 13
IV. Заключение ------------------------------------------------------------стр 14
V. Список используемой литературы -------------------------------стр 14
2
I. Введение.
Проблема исследования: построение графиков функций, содержащих знак
модуля.
Цель исследования:
-получение более широких знаний о модуле числа;
-исследовать
построение
графиков
функций
в
зависимости
от
местонахождения знака модуля и их свойств или научиться строить графики
функций вида у= |f(x)|, у= f(|x|), |y|=f(x), у = |f(|x|)| , y = ||x|-a |-|х|-х и т. д.;
-развивать умения составлять алгоритм построения графиков;
-воспитывать аккуратность при построении графиков.
Задачи исследования: использование различных методов исследования
(теоретический,
практический,
исследовательский),
расширение
познавательного интереса к изучению алгебры, углубление знаний по теории
модуля и решение задач, выходящих за страницы школьных учебников.
Работа посвящена разбору способов построения графиков функций,
аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.
Для построения графиков таких функций необходимы теоретические знания
о понятии абсолютной величины. Графики в силу своей наглядности
помогают глубже вникнуть в суть исследования.
II.Основная часть
Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе
означает «мера». Это многозначное слово, которое имеет множество
значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике,
технике, программировании и других точных науках.
В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для
данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных
соотношений его составных элементов.
3
В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не
имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных
коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и
т.п.
Модуль
объемного
сжатия
(в
физике)
отношение
-
нормального
напряжения в материале к относительному удлинению.
Определение: Абсолютной величиной (модулем) действительного числа
a называется неотрицательное число, взятое из двух чисел а или -а.
Абсолютную величину числа а принято обозначать |а| и читать "абсолютная
величина числа а" или "модуль числа а". Из определения абсолютной
величины числа следует, что
a, если а  0 


a  0, если а  0 
 а, если а  0


Если известен график функции f, то не составляет труда построить график
функции | f |.
Мы знаем, что
 f ( х), еслиf ( х)  0,
f ( х)  
 f ( х), еслиf ( х)  0.
Поэтому достаточно построить график функции f, после чего часть
полученного графика, лежащую ниже оси абсцисс, симметрично отразить
относительно этой оси.
1.Построение графика функции у = |f(х)|.
1.Построить график функции у = f(х).
2.Часть графика, лежащую не ниже оси ОХ, оставить без изменения.
Часть
графика,
лежащую
ниже
оси
ОХ,
симметрично
отобразить
относительно оси ОХ.
2.Построение графика функции у = |f(|x|)|
1. Построить график функции y = f(x) для x
;
2. Отобразить построенную часть графика симметрично относительно
оси ординат;
4
3. Участки полученного графика, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально
отразить относительно этой оси. (рис 1,5,6,7,12,14,17,)
3.Построение графика функции у = f ( |х| ).
1. Построить график функции у = f(х).
2.Удалить часть графика функции у = f(х), находящуюся слева от оси ОY.
Часть графика, лежащую на оси ОY и справа от неё симметрично отобразить
относительно оси ОY.
Так как f (|-x|) = f (|x|), то функция y = f (|x|)
чётная и для построения её графика следует удалить точки графика функции
f (x), находящиеся слева от оси Оу, а все точки, лежащие на оси Оу и справа
от неё, отобразить симметрично относительно оси Оу. (рис 3,10, 11 )
4.Построение графика уравнения |у |= f(х), где f(x)>0
По определению абсолютной величины у =± f(x)
где f(x)>0
. Строго
говоря, у нельзя назвать функцией х, так как каждому значению аргумента х
будут
соответствовать
два
значения
функции:
+
f(x)
и
–f(x).
Последовательность действий:
1. Установить, для каких х выполняется условие f(x)>0
2. На найденных промежутках значений х построить график функции
у = f(x);
3. Осуществить зеркальное отражение графика относительно оси Ох
(рис 13)
5.Построение графика уравнения |у | = | f(х) |
1.Построить график функции y = f(х).
2.Построить график функции y = - f(х).
3.Объединение графиков – искомый график.
6.Построение графиков функций, аналитические выражения которых
содержат
знак
модуля,
выраженных
а)| | у |– | х | | = 2
По определению абсолютной величины |y|=|x| ± 2 или |х|=|у| ± 2
5
неявно
| | у |– | х | | = 2
б) | | | х| – 2| + |у|-2| = 2
По определению абсолютной величины |х|-2|+|у|-2=±2, |у|=2-||х|-2|±2
Так как график «функции» симметричен относительно двух осей. Построим
сначала для первой координатной четверти, т. е. при x≥0, y≥0, при этом
уравнение «функции» примет вид |x - 2|+ y=4, |x - 2|+ y=0.
Уравнению |x - 2|+ y=0 удовлетворяет только одна пара значений x =2, y=0.
Рассмотрим первое уравнение:
а) при о≤ x ≤ 2 и x-2≤ 0, тогда – x+2+ y=4, y= x+2;
б) при x >2, x-2 >0 и тогда x-2+ y=4, y= 6-x.
Строим графики полученных прямых в первой четверти. Далее осуществляем
последовательное двукратное зеркальное отражение графиков относительно
оси Оx , а затем оси Оy.
7.Построение графиков вида y = |||x-a |-|х|-х и т. д
Построить графики функции можно следующим путём:
1.Найдём подмодульные нули (точки перелома функции)
2..Исследуем функцию на каждом из промежутков, ограниченных точками
перелома. (рис 2,4,8,9, 15,16,18 )
6
III.Приложение
Примеры:
линейных функций
1. у=||х|-1|
у
Подмодульные нули:
х=0
Для у=|х|-1
1)х>0
у=х-1
2)х<0
у=х-1
1
х
-1
-1
Строим график у=|х|-1
Преобразуем на график у=||х|-1|
2. у=||х|-1|+х
Подмодульные нули:
х=0
у
х=±1
1) (-∞; -1) у=|х|-1+х=-х-1+х=-1
1
2) (-1; 0) у=1-|х|+х=1-(-х)+х=1+2х
3) (0; 1) у=1-х+х=1
-1
2
х
2
х
-1
4) [1; +∞) у=х-1+х=2х-1
3. у=||х|-1|-|х|
Подмодульные нули: х=0,
х=±1
у
1) (-∞ ; -1), у=-х-1-(-х)=-х-1+х=-1
2) (-1; 0), у=1+х-(-х)=1+х+х=2х+1
1
3) (0; +1), у=1-х-х=1-2х
-1
4) (1; +∞), у=х-1-х=-1
-1
7
у
4. у  х  1  х  х
Подмодульные нули: х=0, х=  1
1) (-∞;-1)
у=-х-1+х+х=х-1
2) (-1; 0)
у=1+х+х+х=3х+1
3) (0; 1)
у=1-х-х+х = 1-х
4) (1;∞)
1
1
у=х-1-х+х=х-1
5. у  х  1  2
Поэтапное строение графика
1)
у х
у
1
0 1
2)
у  х 1
х
у
х
1
у
3)
у  х 1
х
0 1
4)
у  х 1  2
у
0 1
5)
у  х 1  2
1
х
у
1
0 1
8
х
х
6.
y  х 1  х
Подмодульные нули: х=  1 , х=0 для у  х  1  х
1) (-  ;-1) у=-х-1-(-х)= -х-1+х=-1
2) (-1; 0)
у=1+х-(-х)=1+х+х=1+2х=2х+1
3) (0; 1)
у=1-х-х=1-2х
4) (1;+  )
у=х-1-х=-1
у
1
а) у  х  1  х
х
-1
б) y  х  1  х
у
1
х
0
7.
1
у  х 1  х 1  3
Подмодульные нули: х=-1, х=1
а) строим  ( х)  у  х  1  х  1  3
1) (-  ;-1)
у=-х-1+(-х+1)-3=-х-1-х+1-3=-2х-3
2) (-1; 1)
у=1+х+1-х-3=-1
3) (1; +  ) у=х+1+х-1-3=2х-3
у
1
0
б) строим
у  х 1  х 1  3
х
1
у
1
0
8.
у
х
х
х
9
1
х
х0
у
х
 х  х 1
х
х
у   х  х 1
х
у
1) (-  ;0)
2) (0; +  )
1
0
х
1
-1
9. у  х  х 2  6 х  9  9  12 х  4 х 2
Построение:
у  х
х  32

2 х  32 ,
у  х  х  3  2х  3.
х  3  0,
2 х  3  0,
х  3.
х  1,5.
1) х   ;1,5 : у  х  х  3  2 х  3, у  2 х  6 ;
2) х  1,5;3 : у  х  х  3  2 х  3,
у  2х ;
3) х  3; : у  х  х  3  2 х  3 , у  4 х  6 .
у  х  х 2  6 х  9  9  12 х  4 х 2
Квадратичных функций
10.
у  х2  1  х2
Подмодульные нули: х=±1
у
10
1) (-  ;-1)
у=х² -1-х²=-1
2) (-1;+1)
у=1-х²-х²=-2х²+1
3) (1; +  )
у=х²-1-х²=-1
11.
у 1
0
х
1
у  х2  1  х2  х
Подмодульные нули: х=±1
1) (-  ;-1)
у=х²-1-х²+х=-1+х
2) (-1;+1)
у=1-х²-х²+х=-2х²+х+1
3) (1;+  )
у=х²-1-х²+х=-1+х
у
1
0
12. у  х
2
х
1
 х
у
Подмодульные нули: х=0, х=±1
а) строим у=х²-|х|
1) (-  ;-1)
у=х²+х
2) (-1;0)
у=х²+х
3) (0;+1)
у=х²-х
4) (1;  )
у=х²-х
1
0
1
х
у
б) строим у  х 2  х
1
0
11
1
х
13. |у|=х2-4х
Равенство |y|=f(x) не задает функции, поскольку при f(x)>0 имеет два
значения у, соответствующие данному значению х: у=f(x) и y=f(-x), а при
f(x)<0 – ни одного такого значения
Дробно- рациональных функций
14. у=||х|-1/х|
х0
1
х
Подмодульные нули: х   0 при х=1, х  0
Строим для у  х 
у
1
х
1) (-  ; 0)
у=-х-1/х
2) (0; 1)
у=х-1/х
3) (1; +  )
у=х-1/х
0
1
х
Преобразуем для у=||х|-1/х|
15. у=1/(|х|-1)
Подмодульные нули: х=о, х  ±1
1) (-  ; 0)
у=1\-х-1
2) (0; +  )
у=1/х-1
у
0 1
12
х
16.у=|х/(х+1)|
Различных комбинаций элементарных функций
17. у 
х
у
Подмодульные нули: х=0
1) (-  ; 0) у  х
х
0 1
2) (0; +  ) у   х
18. у 
х х
у
1) (-  ; 0) у  х +х
-1
2) (0; +  ) у   х +х
13
0
х
IV. Заключение
Решение более сложных, выходящих за рамки школьной программы задач
требует дополнительных знаний и умений. В данной работе затронут
серьёзный математический вопрос – построение графиков функций,
содержащих знак модуля.
В ходе работы мы рассмотрели теоретический материал по абсолютной
величине и решили практические задачи. Многообразие видов таких
функций, различия в построениях их графиков, приобретение новых знаний,
сделало нашу работу интересной и увлекательной.
В результате работы над темой я сумела изучить поведения линейных,
квадратичных, дробно-рациональных и других функций. Научилась
преобразованию графиков, содержащих знак модуля. Работу над темой хочу
продолжить в следующем году построением графиков тригонометрических,
показательных и логарифмических функций.
V. Использованная литература.
1. .Детская энциклопедия. М., «Педагогика», 1990.
2. И. М.Гельфанд, Е.Г. Глаголева. Функции и графики. Издательство
«Наука»
3. Петраков
И.С.
«Просвещение»,
Математические
кружки
в
8-10
классах.
М.,
1987.
4. С.Н. Старков. Математические формулы и графики функций. – СПб.;
Питер, 2007
5. Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному
учебнику. Москва, «Просвещение».
14