Задание для Ползуновской Олимпиады, заочный тур, 8

Требования к конкурсной работе первого тура по математике
1. Каждый участник первого тура конкурса выполняет работу по
заданиям для своего класса.
Задания для 8-9 классов
1. Сколько различных чисел можно получить, расставляя произвольным образом скобки в
выражении 111 ... 1 (2014 единиц)?
2. Существует ли такой многоугольник, который можно разделить одним прямолинейным
разрезом на 2014 частей?
3. На доске записано 7 положительных чисел. За один ход разрешается изменить знак у 5
любых чисел. Найти наименьшее число ходов, которое необходимо, чтобы все числа
стали отрицательными.
4. Число (1/ 5)2015 записали в виде конечной десятичной дроби. Найти последнюю цифру
этого числа.
5. Все клетки квадратной таблицы 4  4 покрасили в два цвета – белый и черный, причем
всего белых и черных клеток поровну. Докажите, что найдутся две строки, или два
столбца с одинаковым количеством черных клеток.
6. По кругу расставили n чисел, не равных 0 так, что сумма любых трех подряд идущих
чисел равна 0 ( n  3 ). При каких n это возможно сделать?
Задания для 10-11 классов
1. На доске записано 8 положительных чисел. За один ход разрешается изменить знак у 6
любых чисел. Найти наименьшее число ходов, которое необходимо, чтобы все числа
стали отрицательными.
2. В некоторой компании 17 акционеров, причем любые 5 из них владеют не более, чем 40%
акций компании. Каким наибольшим процентом всех акций может владеть один
акционер?
3. Все клетки квадратной таблицы 4  4 покрасили в два цвета – белый и черный, причем
всего белых и черных клеток поровну. Докажите, что найдутся две строки, или два
столбца с одинаковым количеством черных клеток.
4. Найти
все
значения
параметра
a,
при
которых
неравенство
2
2
a ( x  1)  x(a  1) выполняется при всех значениях x.
5. Найти наименьшее значение функции y  f ( f ( f ( x))) , если f ( x)  x 2  6 x  8
6. Квадрат со стороной 1 повернули вокруг его центра на 30 градусов относительно своего
первоначального положения. Найти площадь общей части исходной и полученной фигур.
7. Доказать тождество: tg 70  tg10  tg 50  3 .
 xy  x  y  11

8. Найти все решения системы уравнений:  yz  y  z  14 .
 zx  z  x  19

9. Автомобиль выехал из города A в город B и, двигаясь с постоянным ускорением, достиг
скорости 80км/ч. С этой скоростью он проехал половину времени, потраченного на путь
из A в B, и остановился в B после равноускоренного торможения. Найти среднюю
скорость, с которой двигался автомобиль.
10. Основанием четырехугольной пирамиды является квадрат со стороной 1, а длины
некоторых трех боковых ребер равны 2; 2 и 5 . Найти объем пирамиды (рассмотреть все
возможные случаи).
2. Критерии оценки работы:
- правильно понято задание;
- задача считается решенной, если дан ответ и приведено объяснение
решения.
Особо оценивается оригинальность решения.
3. Требования к оформлению работ первого тура:
1) Текст набирается в MS Word шрифтом Times New Roman 14 c
полуторным межстрочным интервалом, поля по 2 см со всех сторон. При
наборе формул используется стандартное приложение Microsoft Equation.
Работа может быть оформлена также в рукописном варианте на листе формата
А4 чёрной гелевой ручкой, разборчивым почерком. Отсканированный текст
отсылается по указанному адресу электронной почты.
2) На первой странице располагается заявка на участие (строго по форме):
Пример заполнения заявки:
Информация об участнике (класс, школа, Учащийся 11 «А» класса МБОУ «СОШ №7»
населённый пункт, ФИО)
г. Рубцовска Иванов Александр Николаевич
Домашний и/или мобильный телефон
8-902-123-45-67
Личный e-mail участника
fgo205a@mail.ru
Почтовый адрес с индексом школы
656534, г. Рубцовск, ул. Ленина 36
(обязательно)
МБОУ СОШ №7
Консультант (ФИО полностью, место Петрова Галина Ивановна,
работы, должность)
учитель химии МБОУ СОШ № 7 г. Рубцовска
Электронный
адрес
консультанта petrova@mail.ru
(обязательно)
Рабочий и/или мобильный телефон 8-961-987-65-43
консультанта
3) На второй и последующих страницах размещается работа:
формулировка задания и текст ответа.
4) Информация об участнике и выполненные задания оформляются
одним документом и отправляются одним файлом по адресу электронной
почты: matemalt@mail.ru