Тесты по ЧМАС

1. Погрешности вычислений и аппроксимация
1.
Абсолютной погрешностью Δ приближенного числа а называется
а) абсолютная величина разности между соответствующим точным числом
А и числом а, т. е. Δ= A  a ;
б) разность между соответствующим точным числом А и числом а, т. е.
Δ= A a ;
в) разность между числом а и соответствующим точным числом А, т. е.
Δ= a  A ;;
г) отношение абсолютной величины разности между соответствующим
точным числом А и числом а к точному числу А, т. е.
Под предельной абсолютной погрешностью
понимается
2.
а)
б)
в)
г)
3.
Δа
Δ= A  a / A ;
приближенного числа
всякое число, меньшее абсолютной погрешности этого числа;
всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа;
всякое число, не большее абсолютной погрешности этого числа;
всякое число, большее абсолютной погрешности этого числа;
Относительной погрешностью δ приближенного числа а называется
а) всякое число, не большее абсолютной погрешности этого числа;;
б) отношение абсолютной величины разности между соответствующим
точным числом А и числом а к точному числу А, т. е.
  Aa / A ;
в) отношение модуля соответствующего точного числа A к абсолютной
погрешности Δ этого числа, т.е.
  A /;
г) отношение абсолютной погрешности Δ этого числа к модулю
соответствующего точного числа A(A  0),т.е.    / A ;
4.
а)
б)
в)
г)
Предельной относительной погрешностью δа данного приближенного
числа а называется всякое число, не меньшее относительной
погрешности этого числа
всякое число, большее относительной погрешности этого числа
;
всякое число, не большее абсолютной погрешности этого числа;
всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа ;
всякое число, меньшее относительной погрешности этого числа;
5.
Какой из указанных ниже критериев требует при определении
коэффициентов совпадения в узлах значений аппроксимируемой и
аппроксимирующей функций:
a) критерий интерполяции;
б) критерий наилучшего равномерного приближения;
в) критерий наименьших квадратов и критерий наилучшего равномерного
приближения;
г) критерий наименьших квадратов.
6.
Какой из указанных ниже методов целесообразнее использовать при
построении
аппроксимирующих
функций
по
результатам
экспериментальных измерений:
метод полиномов Лагранжа;
метод полиномов Ньютона;
метод наименьших квадратов.
метод полиномов Лагранжа и метод полиномов Ньютона;
а)
б)
в)
г)
7.
Какое количество членов аппроксимирующей функции рекомендуется
использовать при применении полиномов Лагранжа и Ньютона:
а) меньше 5;
б) больше 10;
в) больше 20;
г) больше 30.
8.
Какой из перечисленных ниже методов решения систем линейных
алгебраических уравнений требует условия трехдиагональности
матрицы постоянных коэффициентов:
а) метод Крамера;
6) метод обратной матрицы;
в) метод Гаусса;
г) метод прогонки
В каком из указных ниже методов решения систем линейных уравнений
требуется неравенство нулю диагонального элемента:
а) метод Крамера;
б) метод обратной матрицы;
в) метод Гаусса;
г) метод прогонки.
9.
10.
Какой из указанных ниже методов решения систем линейных уравнений
является итерационным:
а) метод Крамера;
б) метод обратной матрицы;
в) метод Зейделя;
г) метод прогонки.
Система функций  k (x) (1  k  n) называется чебышевской, если при
11.
любом расположении несовпадающих
удовлетворяет требованию
1 ( x1 )  2 ( x1 ) ...  n ( x1 )
1 ( x2 )  2 ( x2 ) ...  n ( x2 )
а)
...
...
...
...
0
узлов
xi,( 1  i  n )
она
;
1 ( xn )  2 ( xn ) ...  n ( xn )
1 ( x1 )  2 ( x1 ) ...  n ( x1 )
1 ( x2 )  2 ( x2 ) ...  n ( x2 )
б)
...
...
...
...
0
;
1 ( xn )  2 ( xn ) ...  n ( xn )
1 ( x1 )  2 ( x1 ) ...  n ( x1 )
1 ( x2 )  2 ( x2 ) ...  n ( x2 )
в)
...
...
...
...
0
;
1 ( xn )  2 ( xn ) ...  n ( xn )
1 ( x1 )  2 ( x1 ) ...  n ( x1 )
1 ( x2 )  2 ( x2 ) ...  n ( x2 )
г)
...
...
...
...
0
.
1 ( xn )  2 ( xn ) ...  n ( xn )
Из написанных ниже формул выберите правильную конечноразностную аппроксимацию второй производной функции у = у(х)
12.
13.
а)
y 
б)
y 
в)
y 
г)
y 
yi 1  2 yi  yi 1
x 2
y  2 yi  yi 1
 i 1
x 2
y  2 yi  yi 1
 i 1
x 2
y  2 yi  yi 1
 i 1
x 2

Первой разделенной разностью функции у(х), заданной в узлах сетки
xi, называются следующая величина


y ( xi , x j )  y ( xi )  y ( x j ) /( xi  x j );


y ( xi , x j , xk )  y ( xi , x j )  y ( x j , xk ) /( xi  xk ),

(3.6)

y ( xi , x j , xk , xm )  y ( xi , x j , xk )  y ( x j , xk , xm ) /( xi  xm )


а) y ( xi , x j )  y ( xi )  y ( x j ) /( xi  x j );


б)
y ( xi , x j )  y ( xi )  y ( x j ) ;
в)
y ( xi , x j )  ( xi  x j ) / y ( xi )  y ( x j ) ;
г)
y ( xi , x j )  y ( xi )  y ( x j ) /( xi  x j ) .




Второй разделенной разностью функции у(х), заданной в узлах сетки
xi, называются следующая величина
14.
а)


y ( xi , x j , xk , xm )  y ( xi , x j , xk )  y ( x j , xk , xm ) /( xi  xm ) ;


y ( x , x , x )  y ( x , x )  y ( x , x )  ;
y ( x , x )  y ( x )  y ( x ) /( x  x ) ;
б) y ( xi , x j , xk )  y ( xi , x j )  y ( x j , xk ) /( xi  xk ) ;
в)
г)
i
j
i
j
k
i
j
i
j
j
k
i
j
Третьей разделенной разностью функции у(х), заданной в узлах сетки
xi, называются следующая величина
15.
а)


y ( xi , x j , xk , xm )  y ( xi , x j , xk )  y ( x j , xk , xm ) /( xi  xm ) ;


y ( x , x , x )  y ( x , x )  y ( x , x )  ;
y ( x , x )  y ( x )  y ( x ) /( x  x ) ;
б) y ( xi , x j , xk )  y ( xi , x j )  y ( x j , xk ) /( xi  xk ) ;
в)
г)
i
j
i
j
k
i
i
j
j
j
k
i
j
Интерполяционная формула Ньютона имеет вид:
16.
n
а)
y ( x)  y ( x0 )   ( x  x0 )( x  x1 )...( x  xk 1 ) y ( x0 , xk ). ;
б) y ( x)  y ( x0 ) 
k 1
n
 ( x  x )( x  x )...( x  x
k 1
0
1
k 1
) y ( x0 , x1 ,...xk ). ;
в) y ( x)  ai  bi ( x  xi 1 )  ci ( x  xi 1 )  d i ( x  xi 1 ) , ;
2
г) y ( x)  y ( x0 ) 
3
n
 ( x  x )y( x , x ,...x ). ;
k 1
k
0
1
k
При интерполяции сплайнами третьего порядка многочлен для i-го
интервала (1  i  N ) имеет вид:
17.
а) i ( x)  ai  bi ( x  xi 1 )  ci ( x  xi 1 )  d i ( x  xi 1 ) ;
2
3
б) i ( x)  bi ( x  xi 1 )  ci ( x  xi 1 )  d i ( x  xi 1 ) ;
2
3
в) i ( x)  ai  bi ( x  xi 1 )  ci ( x  xi 1 ) ;
2
г) i ( x)  ai  bi ( x  xi 1 )  ci ( x  xi 1 )  d i ( x  xi 1 ) .
2
3
Условие наилучшего среднеквадратичного приближения функции φi к
функции yi имеет вид:
18.
N
а)

i yi  i  min ;
i 1
N
б)
  [y
i
i 1
  i ] 2  min ;
i
N
в)
  [y
i 1
N
г)

i 1
2
i
2
i
  2 i ]  min ;
i
[ yi  i ]  min .
Если ( x , x ) 
m
19.
k
N
 x
i 1
m k
i i
, то система уравнений для нахождения
коэффициентов
многочлена
приближения имеет вид:
,
n
а)
 (x
N
m
k 1
i 1
n
б)
 (x
N
m
k 1
 (x
k 1
x
k 1
m
N
m
n
г)
, x )ak   i yi xi ;
k
i 1
n
в)
, x )ak   i y m i xi ;
k
, x )ak    i yi xim ;
k
i 1
N
m
x ak   i yi xim ;
k
i 1
наилучшего
среднеквадратичного
20.
Система уравнений для нахождения коэффициентов многочлена
наилучшего
среднеквадратичного
приближения
имеет
вид
n
 (x
N
m
k 1
, x )ak    i yi xim , где
k
i 1
а) ( x , x ) 
m
k
б) ( x , x ) 
m
k
N

i 1
xim ;
m
x ;
N

i 1
N
в) ( x , x )   i
m
k
i
k
k
i i
m k
i 1
г) ( x , x ) 
m
k
N
 x
i 1
xi ;
m k
i i
.
2. Решение систем линейных алгебраических уравнений
а)
б)
в)
г)
Решение СЛАУ рекомендуется выполнять методом Крамера при n <
2;
3;
4;
5;
а)
б)
в)
г)
Формулы прямого хода метода Гаусса для элементов матрицы имеют
вид
aij( k )  aij( k 1)  lik akj( k 1) ;
aij( k )  aij( k 1)  lik akj( k 1) ;
aij( k )  aij( k 1)  lik akj( k 1) ;
aij( k )  aij( k 1)  lik akj( k 1) ;
21.
22.
Множители прямого хода метода Гаусса рассчитываются по формулам
23.
а) lik 
aik( k 1)
a kk( k 1)
б) lik 
aik( k 1)
a kk( k 1)
k  2,, n; i  k ,, n ;
в) lik 
aik( k 2)
a kk( k 1)
i  k ,..., n k  2,, n ;
г) lik 
aik( k 1)
a kk( k 2)
k  2,, n; i  k ,, n ;
k  2,, n; i  k ,, n ;
а)
б)
в)
г)
Формулы прямого хода метода Гаусса для свободных членов имеют вид
d i( k )  d i( k 1)  lik d k( k 1) , k  2, , n; i, j  k ,, n ;
d ( k )  d i( k 1)  lik d k( k 1) , k  2,, n; i  k ,, n ;
d i( k )  d i( k 1)  lik d k( k 1) , k  2, , n; i, j  k ,, n ;
d i( k )  d i( k 1)  lik d k( k 1) , k  2,, n; i  k ,, n ;
а)
б)
в)
г)
Если на некотором шаге прямого хода метода Гаусса окажется, что в
системе появилось уравнение, в котором все коэффициенты в левой
части равны нулю, а правая часть уравнения  0, то исходная система
имеет много решений;
несовместна;
имеет нулевое решение;
имеет единственное решение
24.
25.
.
6.
При представление матрицы СЛАУ в виде А=LU
а) L – Нижняя треугольная, U – верхняя треугольная матрица ;
б) U – Нижняя треугольная, L – верхняя треугольная матрица ; ;
в) U – диагональная, L – верхняя треугольная матрица ;;
г) U – Нижняя треугольная, L – диагональная;
7. При представление матрицы СЛАУ в виде А=LU матрица L имеет вид
а)
a11 a12 a13  a1n 


1
1
a 22
a 23
 a11n 
0
2 
L  0
0
a 33
 a 32n  ;


 


0
0
0  a nn 


0 0 0  0 
l

 21 0 0  0 
б) L  l31 l32 0  0  ;


 
l n1 l n 2 l n 3  0
1 0 0  0 
l

 21 1 0  0 
в) L  l31 l32 1  0  ;


 
ln1 ln 2 ln3 1
1 a12 a13  a1n 


1
1 a 23
 a11n 
0
0
1  a32n 
г) L  0




0
0 1 
0

8.
При представление матрицы СЛАУ в виде А=LU матрица U имеет вид
a11 a12 a13  a1n 


1
1
a 22
a 23
 a11n 
0
2 
0
a33
 a32n  ;
а) U  0

 


0
0
0  a nn 


0 0 0  0 
l

 21 0 0  0 
б) U  l31 l32 0  0  ;


 
l n1 l n 2 l n 3  0
1 0 0  0 
l

 21 1 0  0 
в) U  l31 l32 1  0  ;


 
l n1 l n 2 l n 3 1
1 a12 a13  a1n 


1
1 a 23
 a11n 
0
0
1  a32n 
г) U  0





0
0
0 1 


9.
Метод прогонки применим к решению СЛАУ с
а) трехдиагональной матрицей;
б) неособенной матрицей;
в) верхней треугольной матрицей;
г) нижней треугольной матрицей.
10. Достаточным условием применимости метода прогонки является
а) bi  ai  ci , причем хотя бы для одного i неравенство должно быть
строгим;
б) bi  ai  ci , причем хотя бы для одного i неравенство должно быть
строгим;
в) bi  ai  ci , причем хотя бы для одного i неравенство должно быть
нестрогим; ;
г) bi  ai  ci ;
11. Формулы прямого хода метода прогонки имеют вид
ñi
a   di
;  i 1  i i
, i  1,2,..., n ;
bi  ai  i
bi  ai  i
ñi
a   di
 i 1 
;  i 1  i i
, i  1,2,..., n ;
bi  ai  i
bi  ai  i
ñi
a   di
 i 1 
;  i 1  i i
, i  1,2,..., n ;
bi  ai  i
bi  ai  i
ñi
ai i
 i 1 
;  i 1 
, i  1,2,..., n
bi  ai  i
bi  ai  i
а) 1  1  0,  i 1 
б)  1 1  0,
в) 1  1  1,
г)   1  0,
12. Формулы обратного хода метода прогонки имеют вид
ci
a   di
; i  1,2,..., n;
; xi 1  i i
bi  ai  i
bi  ai  i
di
a   ci
б) xi 
; i  1,2,..., n;
; xi 1  i i
bi  ai  i
bi  ai  i
ai
c   di
в) xi 
; i  1,2,..., n;
; xi 1  i i
bi  ai  i
bi  ai  i
ci
d   ai
г) xi 
; i  1,2,..., n;
; xi 1  i i
bi  ai  i
bi  ai  i
а) xi 
xn1  0
xn1  0 ;
xn1  0 ;
xn1  0
13. Расчет определителя методом Гаусса производится по формуле
n
а) det A   1m  a kkk 1 . ;
k 1
n
б) det A   ai  i  bi ; ;
k 1
n
в) det A   a kkk  . ;
k 1
n
г) det A   1m  a kkk  .
k 1
14. Величина определителя по результатам прогонки равна
n
а) det A   ai  i  bi  ;
k 1
n
б) det A   1m  a kkk  . ;
k 1
n
в) det A   ai i  bi ;
k 1
n
г) det A   ai  i  bi 
k 1
15.Если А – матрица СЛАУ Ax  b
и B . - есть норма матрицы В.
Обусловленностью СЛАУ называется величина
1
а)   A / A ;
1
б)   A A ;
1
в)   A / A ;
1
г)   A b
16. Если  a ,  b - относительные погрешности задания элементов матрицы и
правых частей СЛАУ Ax  b , а  - обусловленность матрицы А, то для
относительной погрешности решения  x справедливо
а)  x   ( a   b ) ;
б)  x   ( a   b ) ;
в)  x   ( a   b ) ;
г)  a   ( x   b ) ;
17.Метод регуляризации СЛАУ с плохо обусловленной матрицей состоит в
переходе от уравнения Ax  b к следующему уравнению, содержащему
константу  и вектор x0
а) ( A H A  E ) x  Ab  x0 ;
б) ( A H A  E ) x  A H x0 ;
в) A H Ax  A H b  x0 ;
г) ( A H A  E ) x  A H b  x0
18. Оператор А, заданный в метрическом пространстве L, называется
сжимающим, если
а)  ( Àõ, Àó)  ( õ, ó) , где 1    2
б)  ( Àõ, Àó)   ( õ, ó) , где 0    1;
в)  ( Àõ, Àó)   ( õ, ó) , где 0    1;
г) ( Ах, Ау)  ( х, у ) , где 0    1.
19. Множество Х называется метрическим пространством, если для любых
x  X y  Õ определена функция  ( x, y ) такая, что
1.  ( x1 , x 2 )  0
а)
2.  ( x1 , x 2 )  0  x1  x 2
;
3.  ( x1 , x 2 )   ( x 2 , x1 )
4.  ( x1 , x 2 )   ( x1 , x3 )   ( x3 , x 2 )
1.  ( x1 , x 2 )  0
б)
2.  ( x1 , x 2 )  0  x1  x 2
;
3.  ( x1 , x 2 )   ( x 2 , x1 )
4.  ( x1 , x 2 )   ( x1 , x3 )   ( x3 , x 2 )
1.  ( x1 , x 2 )  0
в)
2.  ( x1 , x 2 )  0  x1  x 2
3.  ( x1 , x 2 )   ( x 2 , x1 )
;
4.  ( x1 , x 2 )   ( x1 , x3 )   ( x3 , x 2 )
1.  ( x1 , x 2 )  0
г)
2.  ( x1 , x 2 )  0  x1  x 2
3.  ( x1 , x 2 )   ( x 2 , x1 )
4.  ( x1 , x 2 )   ( x1 , x3 )  ( x3 , x 2 )
20.Аксиомы нормы в линейном нормированном пространстве имеют вид
а)
б)
в)
1.
x  0  норма х
2.
х  0  х   ( х  нейтральный элемент )
3.
х   * х
4.
х у  х  у
1.
x  0  íîðìà
2.
õ  0  õ   ( õ  íåéòðàëüíû é ýëåìåíò )
3.
õ   * õ
4.
õ ó  õ  ó
1.
x  0  íîðìà
2.
õ  0  õ   ( õ  íåéòðàëüíû é ýëåìåíò )
3.
õ   * õ
4.
õ ó  õ  ó
;
õ
;
õ
;
г)
1.
x  0  íîðìà
2.
õ  0  õ   ( õ  íåéòðàëüíû é ýëåìåíò )
3.
õ   * õ
4.
õ ó  õ ó
õ
3. Собственные значения и собственные векторы матрицы
26.
Матрица B называется подобной матрице A, если
а) диагональная матрица;
б) неособенная матрица;
в) блочная матрица.
г) унитарная матрица;
B  F 1 AF , где F –
2.
Спектр матрицы это
а) сумма диагональных элементов матрица;
б) сумма всех элементов матрицы;
в) набор всех собственных значений матрицы;
г) сумма всех собственных значений матрицы.
3.
Всякая неособенная матрица порядка n с действительными элементами имеет
а) ровно n действительных собственных значений;
б) ровно n комплексных собственных значений;
в) ровно n мнимых собственных значений;
г) число собственных значений зависит от типа матрицы.
5. Матрица А* называется эрмитово сопряженной матрице А, если для любых
векторов х, y
а) Ax  A H y ;
б) ( Ax, y)  ( x, A H y) ;
в) ( x, Ay)  ( x, A H y); ;
г) ( Ax, y)  ( A H x, y) .
6.
Матрица А называется эрмитовой , если
а) A  A H ;
б) A  ( A H ) H ;
в) A1  A H ;
г) A  A2 .
7.
Матрица А называется косоэрмитовой, если
а) A   A H ;
б) A1  A H ;
в) A  ( A H ) H ;
г) A  A H .
8.
Матрица А называется унитарной, если
а) A   A H ;
б) A  ( A H ) H ;
в) A  A H ;
г) A1  A H .
Матрица А называется нормальной, если
а) A   A H ;
б) AA H  A H A ;
в) A  A H ;
г) Ax  A H x .
9.
Для любой матрицы А существует такая унитарная матрица U, что матрица
UAU является
а) верхней треугольной;
б) диагональной;
в) унитарной;
г) косоэрмитовой.
10.
H
11.
Для любой нормальной матрицы А существует такая унитарная матрица U,
что матрица UAU H является
а) обратной к А;
б) нулевой;
в) единичной;
г) диагональной;.
12.
Матрица, эрмитовски сопряженная к матрице A 
а) A H 
б) A H 
в) A H 
г)
i
2
2i
2
3i
2
 2i
;
3  i 2i
i 3i
2
i
i
; ;
;
3  i 2i
i
2
AH 
.
3  i  2i
13.
Собственные векторы нормальной матрицы
а) линейно зависимы;
б) ортогональны;
в) коллинеарны;
г) нормированы.
14.
Собственные значения эрмитово сопряженных матриц
а) равны;
б) взаимно обратны;
в) комплексно сопряжены;
г) имеют противоположные знаки.
, равна
15.
Собственные значения матрицы A 
i
2
0  2i
равны
а) 2 и i;
б) -2i и i;
в) 2i и -i;
г) -2i и 2.
16.
Если x ( n 1)  Ax ( n ) , то вектор x ( n ) сходится к собственному вектору,
соответствующему максимальное по модулю собственному значению матрицы А,
а) по норме;
б) равномерно;
в) абсолютно;
г) по направлению.
17.
Пусть  - собственное значение матрицы А. Тогда у сдвинутой матрицы
~
A   E в спектре имеется число
~
а)    ;
~
б)    ;
~
в)    ;
~
г)  .
~
18.
Пусть  - приближенное значение собственного значения  матрицы А , b –
ненулевой вектор. Тогда в соответствии с методом обратных итераций для нахождения
соответствующего собственного вектора следует решить уравнение
~
а) ( A   E ) x  0 ;
~
б) ( A   E ) x  b ;
~
в) ( A   E ) x  b ;
г) Ax  b .
19.
Метод А. Н. Крылова основан на применении теоремы
а) Крылова;
б) Коши;
в) Лагранжа;
г) Гамильтона - Кели.
20.
Метод Леверрье основан на применении
а) теоремы Гамильтона - Кели;
б) Крамера;
в) формул Ньютона;
г) линеаризации.
4. Численные методы интегрирования
При построении квадратурных формул интегрирования подынтегральную
функцию
заменяют
аппроксимирующей
функцией:
27.
n
f x    f xi  i x   r  x  ,, где
i 1
n
 f x  x 
i
i 1
i
а) значение подынтегральной функции в точке х;
б) обобщенный интерполяционный многочлен подынтегральной функции ;
в) остаточный член интерполирования ;
г) подынтегральная сумма;
При построении квадратурных формул интегрирования подынтегральную
функцию
заменяют
аппроксимирующей
функцией:
28.
n
f x    f xi  i x   r  x  , где r(x)
i 1
а) значение подынтегральной функции в точке х;
б) интерполяционный многочлен ;
в) остаточный член интерполирования ;
г) весовая функция;
Общий вид квадратурной формулы интегрирования имеет вид:
29.
a
i 1
b
n
a
i 1
b
n
a
i 1
b

В
b

a
а)
б)
в)
г)
b
i
i
a
a
b
i
i
a
b
 f x xdx   f x   x  xdx
i
i
i
;
a
n
b
i 1
a
f x  x dx   f xi   x  i xi dx .
a
30.
b
 f x xdx   f x   x xdx ;
б)
г)
n
 f x xdx   f x   x xdx    xr xdx ;
а)
в)
b
общем
виде
квадратурной
n
b
b
i 1
a
a
формулы
интегрирования:
f x  x dx   f xi   x  i x dx    x r x dx первое слагаемое справа есть
погрешность интегрирования;
приближенное значение интеграла;
первое приближения для итерационного процесса;
точное значение интеграла;
В
31.
общем
виде
b
n
a
i 1
квадратурной
b
формулы
интегрирования:
b
 f x xdx   f x   x xdx    xr xdx второе слагаемое справа есть
а)
б)
в)
г)
i
i
a
a
погрешность интегрирования;
приближенное значение интеграла;
первое приближение для итерационного процесса;
остаточный член интерполирования ;;
b
Формула трапеции для численного расчета интеграла  f x dx имеет вид:
32.
a
h
f 0  4f1  2f 2    4f N 1  f N  ;
3
1
1
1
б) h f 0  f1    f N 1  f N   h 2 f 0  f N  ;
2  12
2
1
1
в) h f 0  f1    f N 1  f N  ;
2 
2
а)
 xi  xi 1 
.
2 

n
г) h f i 1 2 , ãäå f i 1 2  f 
i 1
b
Формула Симпсона для численного расчета интеграла  f x dx имеет вид:
33.
a
h
f 0  4f1  2f 2    4f N 1  f N  ;
3
1
1
1
б) h f 0  f1    f N 1  f N   h 2 f 0  f N  ;
2  12
2
1
1
в) h f 0  f1    f N 1  f N  ;
2 
2
а)
 xi  xi 1 
.
2 

n
г) h f i 1 2 , ãäå f i 1 2  f 
i 1
34.
Обобщенная
формула
Эйлера
b
интеграла  f x dx имеет вид:
a
h
f 0  4f1  2f 2    4f N 1  f N  ;
а)
3
1
1
1
б) h f 0  f1    f N 1  f N   h 2 f 0  f N  ;
2  12
2
1
1
в) h f 0  f1    f N 1  f N  ;
2 
2
n
 xi  xi 1 
.
2 

г) h f i 1 2 , ãäå f i 1 2  f 
i 1
для
численного
расчета
b
Формула среднего для численного расчета интеграла  f x dx имеет вид:
35.
a
h
f 0  4f1  2f 2    4f N 1  f N  ;
а)
3
1
1
1
б) h f 0  f1    f N 1  f N   h 2 f 0  f N  ;
2  12
2
1
1
в) h f 0  f1    f N 1  f N  ;
2 
2
 xi  xi 1 
.
2 

n
г) h f i 1 2 , ãäå f i 1 2  f 
i 1
Погрешность R формула трапеции численного расчета интеграла равна
36.
а)
b
1
R  h 2  f x dx ;
12 a
b
h
б) R 
f IV x dx ;

180 a
b
1
в) R  h 2  f x dx ;
24 a
b
h4
г) R 
f IV x dx .

720 a
37.
Погрешность R формула Симпсона численного расчета интеграла равна
а) R 
b
1 2
h f x dx ;
12 a
b
h
б) R 
f IV x dx ;

180 a
в) R 
b
1 2
h f x dx ;
24 a
b
h4
г) R 
f IV x dx .

720 a
38.
Погрешность R формула среднего численного расчета интеграла равна
а) R 
b
1 2
h f x dx ;
12 a
b
h
б) R 
f IV x dx ;

180 a
в) R 
b
1 2
h f x dx ;
24 a
b
h4
г) R 
f IV x dx .

720 a
39.
Погрешность R обобщенной формулы Эйлера расчета интеграла равна
b
1 2
h f x dx ;
12 a
аа) R 
b
h
б) R 
f IV x dx ;

180 a
в) R 
b
1 2
h f x dx ;
24 a
b
h4
г) R 
f IV x dx .

720 a
40.
В формуле процесса Эйткена для уточненного значения интеграла
F  F1 
F1  F3 2
2 F2  F1  F3
величина интеграла, рассчитанная с шагом qh, обозначена
через
а) F3 ;
б) F2 ;
в) F1 ;
г) F ;

41.
При расчете интеграла  f d
методом Монте-Карло за его

приближенное значение принимается
а) математическое ожидание функции f  , где  -случайная величина
, распределенная с плотностью  ;
б) математическое ожидание функции    , где  - случайная величина ,
распределенная с плотностью f   ;
в) математическое ожидание функции f  , где  -случайная величина ,
распределенная по нормальному закону;
г) математическое ожидание функции f  , где  -случайная величина ,
распределенная равномерно на отрезке [0,1];
Какие условия задаются при решении задачи Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения:
42.
a) значение искомой функции в начальный момент времени;
б) значения искомой функции в начальный и конечный момент времени;
в) значения искомой функции в нескольких моментах времени;
г) связь между значениями искомой функции в начальный и конечный
моменты времени;
43.
Какой (какие) из перечисленных ниже методов
интегрирования имеет наивысший порядок точности:
а) метод прямоугольников;
б) метод трапеции;
в) метод Симпсона.
г) метод прямоугольников и метод трапеции
численного
44.
В каком из указных ниже методов численного интегрирования
используется нелинейная аппроксимация подынтегральной функции:
а) метод прямоугольников;
б) метод трапеции;
в) метод Симпсона;
г) метод Монте-Карло.
45.
Какой из указанных ниже методов решения обыкновенного
дифференциального уравнения является одношаговым методом первого
порядка точности:
a) метод Эйлера;
б) метод Адамса;
в) метод Рунге-Кутта ;
г) метод «предиктор-корректор».
46.
Какой метод решения краевой задачи требует использования системы
функций, полной в пространстве непрерывных функций?
метод стрельб;
метод простой итерации;
метод Галеркина;
разностный метод .
а)
б)
в)
г)
5. Уравнения и оптимизация
1. Какой из методов численной оптимизации позволяет гарантированно найти
глобальный оптимум:
а) градиентный метод;
б) метод покоординатного спуска;
г) метод случайного поиска;
д) метод перебора.
2. Какой из численных методов решения систем линейных алгебраических
уравнений требует наименьшее число операций:
а) метод Крамера;
б) метод обратной матрицы;
в) метод Гаусса;
д) метод прогонки.
3. Какой из указанных ниже численных методов решения дифференциальных
уравнений является многошаговым:
а) метод Эйлера;
б) метод Рунге-Куттf;
в) метод Адамса.
г) метод Эйлера и метод Рунге-Кутты
4. Какой из указанных методов численной оптимизации многомерной функции
требует вычисления частных производных:
а) градиентный метод;
б) метод покоординатного спуска;
в) метод случайного поиска;
д) метод перебора.
5. Какой из указанных методов численной оптимизации требует поиска
оптимума поочередно по каждой переменной:
а) градиентный метод;
б) метод покоординатного спуска;
в) метод случайного поиска;
д) метод перебора.
6. Какой метод поиска решения нелинейного уравнения превосходит другие
(указанные ниже) по скорости сходимости при удачном выборе
начального значения аргумента:
а) метод деления отрезка пополам;
б) метод секущей;
в) метод Ньютона
г) метод случайного поиска
7. Пусть ищется экстремум дифференцируемой функции y=f(x) с
применением аналитических методов. Какое из приведенных ниже условий
является необходимым для определения значения х, соответствующего
экстремуму:
а) f  (x) = 0;
б) f  (x) = 0;
в) f  (x) = 0;
г) f (x) = 0.
8. Какой из приведенных ниже методов используется для нахождения
условного экстремума?
а) метод Хука-Дживса;
б) метод штрафных функций;
в) метод дихотомии;
г) метод «золотого сечения».
9. Какой из приведенных ниже методов используется для нахождения
экстремума функций со сложным рельефом?
а) метод Хука-Дживса;
б) метод оврагов;
в) метод дихотомии;
г) метод «золотого сечения».
10. Какой из приведенных ниже методов является градиентным?
а) метод Хука-Дживса;
б) метод штрафных функций;
в) метод сопряженных направлений;
г) метод «золотого сечения».
11. Какая из приведенных ниже формул используется при решении
уравнения методом Ньютона
f xn 
f xn 
f xn xn  x n 1 
б) xn  xn 
f x   f x n 1 
а) xn1  xn 
в) xn  f xn , xn1 , xn2 
г)
xn 
f xn xn  xn 1 
f x   f xn 1 
12. Какая из приведенных ниже формул используется при решении
уравнения методом секущих
f xn 
f xn 
f xn xn  x n 1 
б) xn  xn 
f x   f x n 1 
а) xn1  xn 
в) xn  f xn , xn1 , xn2 
г)
xn 
f xn xn  xn 1 
f x   f xn 1 
13. Какой из приведенных ниже методов используется при решении
алгебраических уравнений?
а) метод Ньютона;
б) метод парабол;
в) метод дихотомии;
г) деления отрезка пополам.
14. Какая из перечисленных ниже формул реализует метод Эйлера
численного решения задачи Коши для дифференциального уравнения ?
h
1
2
2
б) y n1  y n  h * f ( xn , y n ) ;
h
в) y n1  y n   f ( x n , y n )  f ( x n  h, y n  h * f ( xn , y n )) ;
2
г) yn1  y n  h f ( xn , y n )  f ( xn  h, y n  h * f ( xn , y n )) ;
а) y n1  y n  h * f ( xn  , y n  h * f ( xn , y n )) ;
15. Какая из перечисленных ниже формул реализует метод «предикторкорректор» численного решения задачи Коши для дифференциального
уравнения?
h
1
2
2
б) y n1  y n  h * f ( xn , y n ) ;
h
в) y n1  y n   f ( x n , y n )  f ( x n  h, y n  h * f ( xn , y n )) ;
2
г) yn1  y n  h f ( xn , y n )  f ( xn  h, y n  h * f ( xn , y n )) ;
а) y n1  y n  h * f ( xn  , y n  h * f ( xn , y n )) ;
16. Какая из приведенных ниже формул дает погрешность метода
«предиктор-корректор» численного решения задачи Коши для
дифференциального уравнения ?
1
а) RRK
(1) 
ba 2
h max f ''
24

a, b 


ba 2
h max f '' ;
a ,b 
12
ba 4
4
в) RRK
h max f |v ;
( 4) 
a ,b 
2880
ba 3
1
г) RRK
h max f '' .
(1) 
24

a, b 
2
б) RRK
( 2) 


17. Какая из приведенных ниже формул дает погрешность метода РунгеКутта четвертого порядка численного решения задачи Коши для
дифференциального уравнения ?
а) RRK 
ba 2
h max f ''
24

a, b 


ba 2
б) RRK 
h max f '' ;
a ,b 
12
ba 4
в) RRK 
h max f |v ;
a ,b 
2880
ba 3
г) RRK 
h max f '' .
24

a, b 


18. Какая из перечисленных ниже формул используется для локализации
корней алгебраического уравнения a n x n  a n1 x n1    a1 x  a0  0 ?
а) x p 
max  a0 , a1 , , a n1 
an
б) x p  1
R
в); x p  1 
;
max  a0 , a1 , , an1 
a0
;
max  a0 , a1 , , a n1 
an




R
г) x p 
min  a0 , a1 , , an1 
an
.
19. Какая из приведенных ниже формул соответствует неявному методу
численного решения задачи Коши для дифференциального уравнения?
h
1
2
2
б) y n1  y n  h * f ( xn , y n ) ;
h
в) y k 1  y k   f ( y k , xn )  f ( y k 1 , xn ) ;
2
г) yn1  y n  h f ( xn , y n )  f ( xn  h, y n  h * f ( xn , y n )) ;
а) y n1  y n  h * f ( xn  , y n  h * f ( xn , y n )) ;
20. Какой из приведенных ниже методов решения задачи Коши
является приближенным аналитическим?
а) метод Эйлера;
б) метод Пикара;
в) метод Адамса;
г) Метод Рунге-Кутта.
6. Варианты расчетных заданий
1. Найти сумму чисел 3,22 [0,02], 1,0148 [0,0002] и 9,6 [0,1] и определить
абсолютную погрешность полученного результата.
Ответы:
а)
13,9348 [0,1202]; б)
14,8348 [0,1302];
в)
13,8348 [0,1202]; г)
13,9348 [0,1312].
2. Используя метод Леверрье, найти рекуррентные соотношения для
нахождения коэффициентов характеристического уравнения.
1 2 1 
A  3 1 0
0 2 1 
Ответы:

 p1  1

1

 p 2   10  p1 
2
а. 
1

52  10 p1  p 2 
p


 3
3

 p1  3

1

 p 2   15  3 p1 
2
в. 
1

57  15 p1  3 p 2 
p


3

3

 p1  2

1

 p 2   15  2 p1 
2
б. 
1

52  15 p1  2 p2 
p


 3
3

 p1  1

1

 p 2   10  p1 
2
г. 
1

57  10 p1  p2 
p


3

3
3. Для данной матрицы, используя метод Крылова, построить систему
уравнений,
для
нахождения
коэффициентов
характеристического
многочлена.
1 2 3 
A  3 1 2
2 3 1 
( 0)
В качестве начального вектора взять: y
Ответы:
1
 0
0
15 p1  3 p 2  p3  49

б. 12 p1  4 p 2  32
10 p  4 p  2 p  40
1
2
3

2 p1  3 p 2  p3  29

г. 15 p1  3 p 2  7 p3  35
5 p  3 p  p  27
2
3
 1
10 p1  5 p 2  3 p3  23

а. 15 p1  4 p 2  53
12 p  3 p  2 p  43
2
3
 1
15 p1  5 p 2  35

в.  p1  4 p 2  3 p 3  53
12 p  3 p  p  43
1
2
3

4. Найти LU-разложение матрицы А
1 3 2 
A  1 1 4
2 2 1 
Ответы:
1
1
L

а)

 2
2

в) L  1
2
0 0
1
1 0 , U  0
0
2 1 
0 0
3
3 0 , U  0

2 1 
0
3
2
0
3
3
0
2
1
2 . б) L  3
2
7 
6
1

1 . г) L  1
 2
7
0 0
1
1 0 , U  0
0
0 1 
0 0
3
1 0 , U  0

2 1 
0
3 2
3 2 .
0 6
3 6
 3 1 .
0 7
5. Используя метод наименьших квадратов, составить систему для отыскания
коэффициентов уравнения прямой, проходящей возможно ближе к
следующим точкам:
X
Y
1,0
0,29
1,5
0,81
2,0
1,26
2,5
1,85
3,0
2,50
3,5
3,01
0,55a0  1,5a1  2,204
34,75a0  13,5a1  26,69
Ответы: а) 
; б) 
 1,5a0  5a1  5,79
 13,5a0  6a1  9,72
 0,33a0  a1  5.641
0.41a0  5.3a1  5.641
в) 
г) 
11,5a0  0.5a1  9,79
 033a0  0.8a1  9,79
2
6. Методом парабол вычислить
3
x
 dx , разбив отрезок интегрирования [0;2]
0
на 4 части.
Ответы: а) 6.04 ; б) 4; в) 5; г) 6.97
7. Используя метод простой итерации, найти четвертое приближение
решения системы, используя в качестве начального нулевое приближение
 x1  0,0092 x1  0,0061x2  0,0701x3  0,6636

 x2  0,0643x1  0,0755 x2  0,0324 x3  0,8172
 x  0,0210 x  0,0130 x  0,0817 x  1,6411
1
2
3
 3
Ответы:
( 4)
а) x1
 0,54859 , x2( 4)  0,85948 , x3( 4)  1,78747 .
( 4)
( 4)
б) x1  0,10549 , x2  0,00284 , x3
( 4)
 0,0754 .
( 4)
( 4)
( 4)
в) x1  0,67620 , x2  0,51324 , x3  0,39366 .
( 4)
( 4)
( 4)
г) x1  1.67345 , x2  0,24344 , x3  5,34696 .
8. Даны числа 1,45 [0,01] и 2,28 [0,02]. Найти произведение этих чисел и
оценить его абсолютную погрешность.
Ответы:
а) 3,37 [0,19]; б) 3,37 [0,09]; в) 3,7 [0,09]; г) 3,7 [0,18].
9. Используя метод Леверрье найти рекуррентные соотношения для
нахождения коэффициентов характеристического уравнения матрицы А
1 0 2 
A  2 1 1 
0 3 0 
Ответ:

 p1  3

1

 p 2   12  3 p1 
а. 
2
1

 p3   3 39  12 p1  3 p 2 

 p1  1

1

 p 2   15  p1 
2
в. 
1

39  15 p1  p 2 
p


 3
3

 p1  2

1

 p 2   8  2 p1 
2
б. 
1

 p3   3 47  8 p1  2 p 2 

 p1  2

1

 p2   10  2 p1 
2
г. 
1

47  10 p1  2 p2 
p


 3
3
10. Для данной матрицы, используя метод Крылова, построить систему
уравнений,
для
нахождения
коэффициентов
характеристического
многочлена.
1 2 3 
A  3 1 2
2 3 1 
( 0)
В качестве начального вектора взять: y
0 
 0
1
Ответ:
 p1  6 p 2  17 p3  52

б. 2 p1  4 p 2  10 p3  40
 p  3 p  15 p  49
2
3
 1
2 p1  3 p 2  p3  29

г. 15 p1  3 p 2  7 p3  35
5 p  3 p  p  27
2
3
 1
10 p1  5 p 2  3 p3  23

а. 15 p1  4 p 2  53
12 p  3 p  2 p  43
2
3
 1
15 p1  5 p 2  3 p3  35

в. 7 p1  3 p 2  p3  36
2 p  3 p  8 p  43
2
3
 1
11. Найти LU-разложение матрицы А
1 2 1 
A  2 3 2
3 1 1 
Ответ:
1

а) L  1
 2
2
1
L

в)

2
0 0
1
1 0 , U  0
0
2 1 
0 0
1
3 0 , U  0


2 1
0
3
2
0
2
1
0
2
1 0 0 
1

2 . б) L  2 1 0 , U  0



3 1 1 
7 
0
1
1 0 0 
3
0  . г) L  1 1 0 , U  0
 2 2 1 
0
 2
1
 1 0  .
0  2
2
6
 3 1 .
0 7
3
12. Используя метод наименьших квадратов, составить систему для
отыскания коэффициентов уравнения прямой, проходящей возможно ближе
к следующим точкам:
X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Y
0,28
0,69
1,10
1,52
2,20
0,55a0  1,5a1  2,204
34,75a0  13,5a1  26,69

Ответ: а)
: б) 
;
1
,
5
a

5
a

5
,
79
0
1

 13,5a0  6a1  9,72
4,75a0  23,5a1  76,49
4,83a0  3,8a1  26,69
в) 
; г) 
.
35,5a0  61.45a1  0,62
 113,7a0  6a1  6,72
0 ,8
13. Методом парабол найти приближенное значение интеграла
 f ( x)dx ,
0
если подынтегральная функция задана таблицей:
x
f(x)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
1,000 0,9950 0,9801 0,9553 0,9211 0,8776 0,8253 0,7648 0,6967
Ответ: а) 0,7174 . б)
0,7374 .
в) 0,7514 . г) 0.7415
14. Используя метод простой итерации, найти четвертое приближение
решения системы, используя в качестве начального нулевое приближение
.
 x1  0,20 x1  0,35 x2  0,22 x3  0,11

 x2  0,33x1  0,52 x2  0,02 x3  0,04
 x  0,24 x  0,03x  0,08 x  0,04
1
2
3
 3
Ответ:
( 4)
( 4)
а) x1  0,54859 , x2  0,85948 , x3
( 4)
( 4)
( 4)
б) x1  0,10549 , x2  0,00284 , x3
( 4)
 1,78747 .
 0,0754 .
( 4)
( 4)
( 4)
в) x1  0,67620 , x2  0,51324 , x3  0,39366 .
( 4)
( 4)
( 4)
г) x1  1,67645 , x2  0,21344 , x3  0,59396 .
15. Используя метод Ньютона, найти квадратный корень из 4, используя три
итерации и взяв в качестве начального приближения число 1.
а) 2.5000
б) 2.0500
в) 2.0001
г) 1.9836
16. Используя метод Ньютона, найти квадратный корень из 4, используя
четыре итерации и взяв в качестве начального приближения число 1.
а) 2.5000
б) 2.0500
в) 2.0001
г) 1.9836
17. Используя метод секущих, найти квадратный корень из 4, используя три
итерации и взяв в качестве начального приближения число 1.
а) 2.5000
б) 1.8571
в) 2.0001
г) 1.9836
18. Используя метод секущих, найти квадратный корень из 4, используя
четыре итерации и взяв в качестве начального приближения число 1.
а) 2.5000
б) 2.0500
в) 2.0001
г) 1.9836
 x (t )  x 2 (t );
19. Используя метод Эйлера для решения задачи Коши 
,
 x(0)  2
найти значение функции x(t ) в точке 0.2, взяв шаг h= 0,1.
а) 2.5000
б) 5.760
в) 2.0001
г) 1.9836
 x (t )  x 2 (t );
20. Используя метод Эйлера для решения задачи Коши 
,
x
(
0
)

1

найти значение функции x(t ) в точке 0.2, взяв шаг h= 0,1.
а) 2.5000
б) 5.760
в) 2.0001
г) 1.221