Тема 2. Планиметрические задачи Задание B

Тема 2. Планиметрические задачи
Задание B3
В задании требуется рассчитать площадь данной фигуры. Площадь можно вычислить
либо по клеточкам, либо по координатам, либо по формулам.
Задание В6
Чаще всего встречаются задания на решение треугольников, но надо знать все фигуры
планиметрии. Необходимые знания: виды треугольников; понятия биссектрисы, медианы;
высоты; тригонометрические функции и их значения; основное тригонометрическое
тождество; формулы приведения; теорема Пифагора. Помните – при правильном решении
ответ должен быть без корня.
Типичные ошибки:
1. перепутать катет с гипотенузой;
2. неверно записать отношение сторон при использовании тригонометрических
функций.
Задание С4
Планиметрическая задача
Задача на вычисление длин, площадей, углов, связанных с плоскими фигурами. Довольно
сложная задача, часто требующая рассмотрения двух случаев.
Теоретические сведения
a, b, c – стороны треугольника, A, B, C – углы, лежащие соответственно против сторон
a, b, c . ha , hb , hc – длины высот треугольника, опущенных из вершин A, B, C
соответственно на стороны a, b, c .
R – радиус окружности, описанной около многоугольника.
r - радиус окружности, вписанной в многоугольник.
S – площадь многоугольника.
p – полупериметр многоугольника.
Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис углов многоугольника.
Центр описанной окружности около многоугольника – точа пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам многоугольника.
Треугольник
S
1
1
abc
S
aha , S  ab sin C , S = p( p  a)( p  b)( p  c) , R =
, r = .
2
2
4S
p
a
b
c
=
=
= 2 R (теорема синусов).
sin A
sin B
sin C
a 2  b 2  c 2  2bc cos A (теорема косинусов).
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки,
пропорциональные двум другим сторонам, прилежащим к этим отрезкам.
Прямоугольный треугольник ( a, b  катеты, c – гипотенуза)
a 2  b 2  c 2 (теорема Пифагора). R =
c
abc
, r =
2
2
Радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы, равен полупериметру этого
треугольника (докажите самостоятельно).
Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего
катета к гипотенузе.
Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему
катету.
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине
гипотенузы.
Высота, проведенная на гипотенузу, равна отношению произведения катетов к
гипотенузе.
Квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу.
Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на
гипотенузу.

sin 
cos 
tg
ctg
30 0
1
2
3
2
3
3
3
45 0
60 0
2
2
2
2
1
3
2
1
2
1
3
3
3
Равнобедренный треугольник
Треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми,
третья сторона – основанием.
Углы при основании равны.
Медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Равносторонний треугольник
Треугольник, у которого все стороны равны.
Углы равностороннего треугольника равны 60 0 . S 
a2 3
, где a - сторона
4
треугольника.
Четырехугольник
d1 , d 2 – диагонали, S – площадь, S 
1
d1 d 2 sin  , где  - угол между диагоналями.
2
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны. Суммы
противоположных углов вписанного четырехугольника равны 180 0 .
Параллелограмм
S  ah , S  ab sin  , где a, b – смежные стороны параллелограмма,  - угол между ними.
При проведении биссектрисы угла параллелограмма образуется равнобедренный
треугольник (докажите самостоятельно).
Прямоугольник
S  ab , R 
d
, a, b - стороны, d - диагональ. Диагонали прямоугольника равны.
2
Ромб
Имеет все свойства параллелограмма.
Диагонали ромба взаимно – перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам и
являются биссектрисами его углов.
S
1
d1 d 2 .
2
Квадрат
S  a 2 . P  4a , d  a 2 , где a – сторона квадрата, d – диагональ, r =
a
d
, R .
2
2
Трапеция
S
1
(a  b)h , где a, b – основания трапеции, h – высота.
2
Если в равнобедренной трапеции ABCD BH – высота, то AH =
DH =
AD  BC
,
2
AD  BC
(докажите самостоятельно), AD – большее основание.
2
Cредняя линия трапеции равна половине суммы ее оснований.
Многоугольник
Сумма внутренних углов многоугольника равна 180 0 (n  2) , где n – число сторон
многоугольника.
Окружность и круг
S  R 2 , c = 2R , где R – радиус окружности, c – длина окружности, S – площадь
круга.
Центральный угол – угол, образованный двумя радиусами.
Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают
окружность.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90 0 .
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
Если из точки M , взятой вне круга, проведены к окружности касательная MA ( A -точка
касания) и секущая MBC , ( MB - внешняя часть секущей, BC - внутренняя ее часть) то
квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть.
MA 2  MC * MB .
Если через точку M , взятую внутри круга, проведено несколько хорд, то произведение
отрезков каждой хорды, на которые делит их точка M , величина постоянная.
Задания для самостоятельной работы
Задания В3
1. Найдите площадь треугольника
ABC . Размер каждой клетки 1см
 1см. Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
2. Найдите площадь
четырехугольника,
изображенного на клетчатой
бумаге с размером клетки 1см 
1см (см. рис.). Ответ дайте в
квадратных сантиметрах.
3. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на рисунке. Ответ дайте в
квадратных сантиметрах.
4.Найдите площадь кольца, считая
стороны квадратных клеток равными 1. В
S
ответе запишите .

5. Найдите площадь параллелограмма,
вершины которого имеют координаты
(1; 1), (1; 3), (5; 4), (5; 2).
6. На клетчатой бумаге нарисован круг,
площадь которого равна 16 . Найдите
площадь заштрихованной части.
Задания В6
1.В прямоугольном треугольнике ABC
угол C равен 90 0 , угол B равен 58 0 .
Найти угол между высотой CH и
биссектрисой CL . Ответ дайте в
градусах.
2.В треугольнике ABC угол A равен
410 , угол B равен 74 0 , высоты AD и
BE пересекаются в точке O . Найдите
угол AOB . Ответ дайте в градусах.
3. В треугольнике ABC угол C равен
90 0 , угол B равен 72 0 . Найдите угол
между высотой CH и медианой CM .
Ответ дайте в градусах.
4.В треугольнике ABC угол C равен
4
90 0 , cos A  , AC  4. Найдите высоту
5
CH , опущенную на гипотенузу.
5. В треугольнике ABC AB  BC , AC  10, cos C  0,8 . Найдите высоту CH .
6. Найдите хорду, на которую опирается угол 1350 , вписанный в окружность радиуса
2.
7.В треугольнике ABC угол C равен 90 0 , sin A  0,6. Найдите косинус внешнего угла
при вершине A .
Внимание! В части «В» ответ должен выражаться целым числом или десятичной
дробью. Желательно писать краткие решения задач даже в части «В», затем выписывать
ответы – числа без пояснений и наименований.
Задания С4
1.Дан параллелограмм ABCD . Точка M принадлежит диагонали BD и делит ее в
отношении 1 : 2 . Найдите площадь параллелограмма ABCD , если площадь
четырехугольника ABCM равна 60.
2.Расстояние от общей хорды двух пересекающихся окружностей до их центров
относятся, как 2 : 5 . Общая хорда имеет длину 2 3 , а радиус одной из окружностей в два
раза больше радиуса другой окружности. Найдите расстояние между центрами
окружностей.
3.Периметр равнобедренной трапеции равен 52 . Известно, что в эту трапецию можно
вписать окружность, причем боковая сторона делится точкой касания в отношении 4 : 9 .
Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции
треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.