Колебания и волны

1
Колебания и волны
Гармонические колебания. Амплитуда, период и частота колебаний.
Математический маятник. Период колебаний математического
маятника. Колебания груза на пружине
Механические колебания - движение, повторяющееся через определенный
промежуток времени в точности или почти в точности. Время, через которое
колебание повторяется, называется периодом этого колебания. Обозначается - Т.
Тело может участвовать в механических колебаниях, если оно находится в
устойчивом положении равновесия. В этом случае при выведении тела из
положения равновесия возникает сила, стремящаяся вернуть его обратно. Эта
сила - возвращающая сила. Без нее колебания невозможны. Если возвращающая
сила направлена против смещения тела из положения равновесия и
пропорциональна этому смещению, то возникающие колебания называются
гармоническими:
Fво з вр   kx
k - коэффициент пропорциональности ; х - смещение тела из положения
равновесия. Знак “-” связан с тем, что возвращающая сила направлена против
смещения. Уравнение II закона Ньютона для гармонических колебаний имеет
вид
a  ( x)
//
t
ma   kx
//
 m( x ) t   kx
С математической точки зрения это уравнение является дифференциальным
(неизвестная величина стоит под знаком производной). Решение этого
уравнения имеет вид
x  x0 sin( 2t   ) ,
где x0 - максимальное смещение тела из положения равновесия или амплитуда
колебания; 2t   - фаза колебания;  - начальная фаза ; =1/Т - частота
колебания ; [] = 1 Гц ; 1 Гц = 1 / 1 с . Часто для описания колебаний пользуются
круговой частотой   2  ; []=1рад / 1 с . С использованием  уравнение
колебаний можно записать
x  x0 sin( t   )
Решение уравнения II закона Ньютона показывает, что

k
m
Тела, участвующие в гармонических колебаниях часто называют маятниками.
2
Пружинный маятник - тело массой m, подвешенное в поле тяготения на
пружине жесткостью k . В пределах упругости круговая
частота пружинного маятника равна

k
m
; T  2
m
k
m
Математическим маятником называют материальную точку
массой m, подвешенную
на длинной
невесомой
нерастяжимой нити длиной l . Если угол отклонения
математического
маятника мал, то он совершает гармонические колебания. Период таких
колебаний можно посчитать по формуле :
T  2

l
l
g
l - длина нити ; g - ускорение свободного падения в месте
нахождения маятника. Период колебаний математического
маятника не зависит от массы колеблющегося тела.
Превращение энергии при гармонических колебаниях. Вынужденные
колебания. Резонанс
Тело, участвующее в гармонических колебаниях, обладает запасом
механической энергии. В процессе колебаний эта энергия переходит из
потенциальной в кинетическую и наоборот. Рассмотрим эти превращения
энергии на примере математического маятника. Когда он проходит положение
равновесия, он обладает скоростью и, следовательно, кинетической энергией.
Потенциальную энергию в этом месте можно считать равной нулю. По мере
отклонения маятника от положения равновесия грузик приподнимается,
увеличивается запас его потенциальной энергии в поле тяжести, а кинетическая
энергия уменьшается. При максимальном отклонении груза кинетическая
энергия его равна нулю, а потенциальная энергия имеет максимальное значение,
причем это максимальное значение потенциальной энергии равно тому
значению кинетической энергии, которую тело имело при прохождении
равновесия
mghmax
2
m
m max

 mgh 
2
2
2
Те же преобразования энергии происходят в упругом маятнике, только для него
речь идет о потенциальной энергии сжатой или растянутой пружины.
В реальной ситуации на тело, участвующее в колебательном движении,
кроме возвращающей силы, действуют силы трения или сопротивления воздуха.
3
Наличие этих сил приводит к тому, что механическая энергия, запасенная
колеблющимся телом, в процессе колебаний переходит в его внутреннюю
энергию, при этом колебания становятся затухающими (амплитуда
уменьшается) и в конце концов прекращаются. Если на колеблющееся тело
помимо возвращающей силы действует внешняя периодически изменяющаяся
сила, то говорят, что тело участвует в вынужденных колебаниях. Эту силу
называют вынуждающей силой, а возникающие при этом колебания вынужденными. Вынужденные колебания происходят на частоте вынуждающей
силы. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения между
частотами собственных и вынужденных колебаний. При приближении частоты
вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний, амплитуда
вынужденных колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом.
Явление резонанса надо учитывать для того, чтобы здания, сооружения,
машины и механизмы не разрушались. Его можно полезно использовать,
x0
Зависимость
амплитуды
вынужденных колебаний от
частоты
вынуждающей
силы.
0
вын
напрмер, при настройке музыкальных инструментов.
Собственными колебаниями тела называют колебания, происходящие при
отсутствии вынуждающей силы.
Распространение колебаний в упругих средах. Поперечные и
продольные волны. Длина волны. Связь длины волны со скоростью ее
распространения
Процесс распространения колебаний в пространстве называется волновым
процессом или волной. Механическая волна распространияется в упругой среде.
Точки среды, участвующие в распространении волны , смещаются на небольшое
расстояние от своего положения равновесия. На большие расстояния в волне
распространяются только импульс и энергия. Если точки, участвующие в
распространении волны, колеблются в направлениях, перпендикулярных
направлению распространения волны, то такая волна называется поперечной.
Примеры поперечных волн: волна, распространяющаяся по шнуру,
закрепленному на одном конце; волна на поверхности жидкости.
4
Если точки среды, участвующие в распространении волны, колеблются в
направлении распространения волны, то накая волна называется продольной.
Пример: звуковые колебания в газах.
Энергия, переносимая волной, равна сумме кинетических энергий
колеблющихся частиц и потенциальной энергии упругой деформации среды.
Энергия волны распространяется по направлению распространения волны.
Длиной волны называют расстояние, на которое распространяются колебания за
один период:
  T
 - скорость распространения волны, T - ее период. Если колебания происходят
во времени, то волна периодична во времени и в пространстве, поэтому длине
волны можно дать и другое определение. Это кратчайшее расстояние между
точками волны, колеблющимися в одинаковой фазе.
Звуковые волны. Скорость звука. Громкость звука и высота тона
.
Причиной звуковых ощущений является действие на органы слуха
продольных волн, распространяющихся в воздухе под действием механических
колебаний какого - либо тела. Для распространения и приема звуковых
колебаний нужен источник звука, упругая среда и приемник звука (например,
ухо). Наше ухо принимает колебания с частотами от 20 Гц до 20 кГц. Колебания
с частотами ниже 20 Гц называются инфразвуком; выше 20 кГц ультразвуком.
Скорость звуковых волн в воздухе при 0оС 334 м/с. Соответствующие длины
звуковых волн лежат в интервале от 17 м до 1,7 см.
Восприятие звука человеком субъективно. Одной из таких субъективных
характеристик является громкость; зависит не только от звуковой волны, но и от
чувствительности уха. Громкость измеряется в белах. На практике используют
дольные единицы - децибелы (1 дБ). Диапазон громкости для уха человека
лежит от величины чуть больше 0 дБ (порог слышимости) до 130 дБ (болевой
порог).
Второй субъективной характеристикой звука является его высота. Чем
больше частота звука, тем звук выше. Чем меньше частота звука, тем звук ниже.
Третьей субъективной характеристикой является тембр, представляющий
из себя окраску звука. Тембр звука зависит от наличия в звуке, испускаемом
источником, гармоник (колебаний, кратных частоте основных звуковых
колебаний).
2. Электромагнитные колебания и волны
5
Свободные электромагнитные колебания в контуре. Превращение
энергии в колебательном контуре. Собственная частота колебаний в
контуре
Электромагнитные колебания удобно наблюдать в LC - колебательном
контуре. Он состоит из соединенных индуктивности и емкости.
Зарядим конденсатор, входящий в контур, и предоставим цепь самой себе.
Ток разрядки начнет течь от верхней обкладки к
нижней через катушку индуктивности.
Нарастание тока разрядки вызывает появление в

C 
катушке ЭДС самоиндукции. По правилу Ленца,
ток самоиндукции направлен против тока
разрядки и не дает ему сразу достичь


максимального значения. Этот ток достигает
максимума к тому моменту, когда конденсатор
разряжается. Ток разрядки начинает спадать до
нуля. Это опять вызывает появление тока самоиндукции, который по правилу
Ленца теперь поддерживает уменьшающийся ток разрядки. Поэтому
положительные заряды продолжают перераспределяться с верхней обкладки на
нижнюю, и конденсатор перезаряжается. После чего процессы повторяются в
обратном направлении. В итоге, в колебательном контуре устанавливаются
колебания силы тока, напряжения между обкладками конденсатора, заряда на
обкладках конденсатора. С энергетической точки зрения пока конденсатор был
заряжен, вся энергия колебательного контура была сосредоточена в
электрическом поле. Когда конденсатор
разряжается, вся его энергия переходит в
энергию магнитного поля катушки
индуктивности, затем вновь в энергию
C
электрического поля. В процессе колебаний в
L
идеальном колебательном контуре потерь
энергии не происходит. Однако в реальном
колебательном контуре кроме конденсатора и
катушки имеется резистор. Протекая через
него, ток разрядки выделяет на резисторе
R
тепло Джоуля-Ленца, энергия, запасенная в
контуре, убывает, и колебания становятся
затухающими.
Период колебаний идеального колебательного контура можно посчитать по
формуле Томсона :
T  2 LC
Такие колебания контура - собственные, или свободные.
6
Вынужденные электрические колебания. Генератор переменного тока.
Виды нагрузок в цепи переменного тока : сопротивление,
индуктивность, емкость. Резонанс в электрической цепи
Если в LC-контур последовательно с L , C и R включить источник
переменного напряжения, то в цепи возникнут вынужденные электрические
колебания. Такие колебания принято называть переменным электрическим
током. Источником переменного тока является генератор переменного тока, в
основе работы которого лежит явление электромагнитной индукции.

B
S
R
Если проволочную
рамку площадью S поместить в однородное магнитное поле

индукции B и начать вращать рамку вокруг ее оси, то за счет явления
электромагнитной индукции в рамке возникает ЭДС, а если к концам рамки
подключить резистор, то через рамку и резистор потечет ток; и ток, и ЭДС
будут переменными.
  BS cos  ;   t

   BS cos t
 () t/  BS sin t
В цепь переменного тока можно включать три вида нагрузки конденсатор, резистор и катушку индуктивности. Резистор оказывает
переменному току такое же сопротивление, как и постоянному. Сопротивление
7
резистора не зависит от частоты. Ток, текущий через резистор, меняется
синфазно с напряжением резистора.
J  J0 cos t ; U R  J0 R cos t  U 0 R cos t
Конденсатор оказывает переменному току сопротивление, которое можно
посчитать по формуле :
RC 
1
C
Ток, текущий через конденсатор, по фазе опережает напряжение на /2 или
на четверть периода, а напряжение отстает от тока на такой же фазовый угол.
J  J0 cos t ; U C  J0
1


cos(t  )  U 0C cos(t  )
C
2
2
Катушка индуктивности оказывает переменному току сопротивление, которое
можно посчитать по формуле:
RL  L
Ток, текущий через катушку индуктивности, по фазе отстает от напряжения на
/2 или на четверть периода. Напряжение опережает ток на такой же фазовый
угол.
J  J0 cos t ; U L  J0L cos(t 


)  U 0 L cos(t  )
2
2
Из-за наличия фазовых сдвигов амплитудные значения напряжения на
различных нагрузках нельзя складывать алгебраически. Если включить
последовательно с генератором переменного напряжения все три вида нагрузки
U
R
то для такой цепи можно записать
C
L
8
J  J0 cos t ; U  U 0 cos(t   )
U 0  J0
2
R  (L 
tg  
1 2
)
C
L 
1
C
R
Меняя соотношения между индуктивностью, емкостью и частой, можно менять
амплитуду силы тока в цепи:
J0 
U0
2
R  (L 
1 2
)
C
Наибольшего значения сила тока достигает тогда, когда   1/ LC , тогда
J0=U0/R . В этом случае говорят, что в цепи наступает резонанс напряжений.
При наступлении резонанса ток и напряжение генератора меняются синфазно.
Амплитуда напряжения генератора равна амплитуде напряжения на резисторе, а
амплитуда напряжения на катушке индуктивности равна амплитуде напряжения
на конденсаторе. Наличие резонанса необходимо учитывать в цепях
переменного тока, так как в это время напряжение на катушке и на конденсаторе
могут быть больше, чем напряжение генератора, и если их не рассчитывать на
эту перегрузку, то они могут выйти из строя.
Электромагнитные волны. Скорость их распространения. Свойства
электромагнитных волн. Излучение и прием электромагнитных волн.
Принципы радиосвязи. Изобретение радио А.С. Поповым
В соответствие с теорией Максвелла, меняющееся магнитное поле
порождает электрическое, а меняющееся электрическое - магнитное. Таким
образом, любое из меняющихся полей - электрическое или магнитное приводит к появлению меняющегося во времени электрического и магнитного
поля. Эти поля называют электромагнитным полем. В электромагнитном поле
электрическое и магнитное поля связаны, уничтожить их невозможно.
Электромагнитное поле не стоит на месте, а распространяется в пространстве в
виде электромагнитной волны.
Свойства электромагнитной волны:
(1) Электромагнитная волна является поперечной. Колебания
электрического и магнитного полей в ней происходят перпендикулярно к
направлению распространения волны.
9
(2) Электрическое и магнитное поля в электромагнитной волне колеблются
синфазно во времени.
(3) Электрическое и магнитное поля ориентированы в пространстве
взаимноперпендикулярно.
(4) Величина напряженности электрического поля и индукции магнитного
поля в электромагнитной волне связаны между собой сотношением : E = c  B ;
с - скорость распространения электромагнитной волны в вакууме.
(5) Скорость распространения электромагнитной волны равна 3  108 м/с .
Ее можно выразить через электрическую и магнитную постоянные c 
1
 0 0
.
В диэлектрической среде электромагнитная волна распространяется со
скоростью  , равной
c /    .  и  - диэлектрическая и магнитная
проницаемости этой среды ;   n - показатель преломления этой среды.
Электромагнитные волны используют для радиосвязи. В России первым
использовал радиоволны для целей радиосвязи А.С. Попов. Он испытал первые
передатчик и приемник. Излучение электромагнитных волн в передатчике
Попова осуществлялось с помощью вибратора Герца:
K
Пока замкнут ключ К , между шариками вибратора проскакивают искры и
излучается электромагнитная волна. Замыкая ключ на короткие или длинные
промежутки времени, можно испускать волновые пакеты разной длительности,
то есть точки или тире. В приемнике Герца основным чувствительным
элементом является когерер - стеклянная трубка с двумя электродами,
заполненная металлическими опилками. Когда вокруг когерера нет
электромагнитной волны, опилки расположены рыхло, сопротивление когерера
большое. Когда вокруг когерера есть электромагнитная волна, индукционные
токи спаивают опилки, сопротивление когерера маленькое. В приемнике Попова
когерер управлял устройством, различающим длинные и короткие пакеты
электромагнитных волн. В настоящее время приемник Попова не может
работать, так как вокруг нас слишком много электромагнитных волн.
Современные способы приема и передачи базируются на принципах
амплитудной модуляции и детектирования электромагнитных волн. Передатчик
испускает
электромагнитную
волну,
промоделированную
звуковыми
колебаниями. Настроенный в резонанс на частоту передатчика приемник ловит
10
эту волну, усиливает электромагнитные колебания, с помощью детектора
выделяет из них низкочастотную звуковую составляющую и преобразует ее в
звук.