ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Декан ______________ факультета ___________ подпись ______________ Ф. И О «______» _____________200__г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Аналитическая геометрия и линейная алгебра наименование дисциплины Специальность 010400-Физика, направление 510400-Физика Факультет Физический Курс 1 Семестр 1, 2 Кафедра Геометрии Общая трудоемкость дисциплины (в часах по учебному плану дневной формы обучения) 180 В том числе: Лекции 44 Практические занятия 62 Лабораторные занятия Самостоятельная работа 72 Рабочая программа принята на заседании кафедры «___»__________200__г. Заведующий кафедрой подпись Ф. И. О. Приложение к приказу № 2/132 От 8 апреля 2003 года Форма № 2. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА Аналитическая геометрия и линейная алгебра Наименование курса I. Объяснительная записка Курс читается студентам физического факультета, дневного отделения, в первом и втором семестрах. II. Содержание учебного материала 2.1. Разделы курса Раздел 1. Определители второго и третьего порядка, их свойства. Раздел 2. Векторы и координаты. Раздел 3. Прямые и плоскости. Раздел 4. Кривые и поверхности второго порядка. Раздел 5. Матрицы и определители. Раздел 6. Линейные пространства. Раздел 7. Системы линейных уравнений. Раздел 8. Евклидовы и унитарные пространства. Раздел 9. Линейные операторы в конечномерном пространстве. Раздел 10. Билинейные и квадратичные формы. 2.2. Краткое описание разделов (по темам). Раздел 1. Понятие определителя. Правила вычисления определителей второго и третьего порядков. Вывод основных свойств определителей. Раздел 2. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису. Системы координат на плоскости и в пространстве ( декартовы, полярные, цилиндрические, сферические). Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их свойства. Условия коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов. Преобразование декартовой прямоугольной системы координат на плоскости. Раздел 3. Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве. Различные типы уравнений прямой на плоскости, плоскости и прямой в пространстве. Формула расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости. Формулы для вычисления углов между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью. Раздел 4. Канонические уравнения и свойства эллипса, гиперболы, параболы. Параметрические уравнения этих прямых. Оптические свойства эллипса, гиперболы, параболы. Приведение к каноническому виду общей кривой второго порядка. Инварианты кривых второго порядка. Канонические уравнения и свойства поверхностей второго порядка. Раздел 5. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Определители и их свойства. Теорема об определители произведения матриц. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений с определителем, отличным от нуля. Формулы Крамера. Ранг матрицы. Методы вычисления ранга матрицы. Теорема о базисном миноре. Ортогональные и унитарные матрицы, их свойства. Раздел 6. Определение и свойства линейных пространств над полем действительных и комплексных чисел. Базис и координаты. Размерность линейного пространства. Преобразование базиса и координат. Подпространства. Линейные оболочки. Изоморфизм линейных пространств. Раздел 7. Теорема Кронекера-Капелли. Базис и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений. Раздел 8. Определение евклидова и унитарного пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональный базис. Разложение евклидова пространства на прямую сумму подпространств. Общий вид линейного функционала в евклидовом пространстве. Раздел 9. Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора. Действия над линейными операторами и соответствующие действия над матрицами. Обратный оператор. Инвариантное подпространство линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Сопряженный, симметричный, ортогональный операторы в евклидовом пространстве, их свойства. Линейные операторы в унитарном пространстве. Эрмитов оператор. Унитарный оператор. Раздел 10. Понятие билинейной квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и методом ортогональных преобразований. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра. Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду. Экстремальные свойства собственных значений симметричных матриц. Симметричная билинейная форма и ее канонический базис. III. Тематическое планирование № п/п Наименование разделов, тем Определители второго порядка, их свойства. 1. и Всего часов (общая трудоемкость) Аудиторные занятия Семи - Лабо – нары, ратор Лек практ. -ные ции заня работ тия ы Самосто ятельная работа третьего Понятие определителя. Правила вычисления определителей второго и третьего порядков. Вывод основных свойств определителей. 6 1 2 3 11 3 4 4 Векторы и координаты. 2. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису. Системы координат на плоскости и в пространстве ( декартовы, полярные, цилиндрические, сферические). Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их свойства. Условия коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов. Преобразование декартовой прямоугольной системы координат на плоскости. Прямые и плоскости. 3. Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве. Различные типы уравнений прямой на плоскости, плоскости и прямой в пространстве. Формула расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости. Формулы для вычисления углов между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью. 13 3 4 6 11 3 3 4 9 2 3 4 5 1 2 2 6 1 2 3 8 2 3 3 11 3 4 4 Кривые и поверхности второго порядка. 4. Канонические уравнения и свойства эллипса, гиперболы, параболы. Параметрические уравнения этих прямых. Оптические свойства эллипса, гиперболы, параболы. Приведение к каноническому виду общей кривой второго порядка. Инварианты кривых второго порядка. Канонические уравнения и свойства поверхностей второго порядка. Матрицы и определители. 5. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Определители и их свойства. Теорема об определители произведения матриц. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений с определителем, отличным от нуля. Формулы Крамера. Ранг матрицы. Методы вычисления ранга матрицы. Теорема о базисном миноре. Ортогональные и унитарные матрицы, их свойства. Линейные пространства. 6. Определение и свойства линейных пространств над полем действительных и комплексных чисел. Базис и координаты. Размерность линейного пространства. Преобразование базиса и координат. Подпространства. Линейные оболочки. Изоморфизм линейных пространств. Системы линейных уравнений. 7. Теорема Кронекера-Капелли. Базис и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений. Евклидовы и унитарные пространства. 8. 9. Определение евклидова и унитарного пространства. Неравенство КошиБуняковского. Ортогональный базис. Разложение евклидова пространства на прямую сумму подпространств. Общий вид линейного функционала в евклидовом пространстве. Линейные операторы в конечномерном пространстве. Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора. Действия над линейными операторами и соответствующие действия над матрицами. Обратный оператор. Инвариантное подпространство линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Сопряженный, симметричный, ортогональный операторы в евклидовом пространстве, их свойства. Линейные операторы в унитарном пространстве. Эрмитов оператор. Унитарный оператор. Билинейные и квадратичные формы. 10. Понятие билинейной квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и методом ортогональных преобразований. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра. Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду. Экстремальные свойства собственных значений симметричных матриц. Симметричная билинейная форма и ее канонический базис. 10 3 4 3 IV. Формы промежуточного и итогового контроля. Контрольные работы, экзамен в каждом семестре. V. Учебно-методическое обеспечение. 5.1. Рекомендуемая литература (основная). 1. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1999. 2. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1999. 3. Крутицкая Н.Ч., Тихонравов А.В., Шишкин А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра с приложениями. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991. 4. Крутицкая Н.Ч., Тихонравов А.В., Шишкин А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра с приложениями. Группы, тензоры, численные методы. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991. 5.2. Рекомендуемая литература (дополнительная). Методические пособия по курсу. Автор (автор - составитель) программы Н.В. Новикова подпись Ф. И. О.