L12-2

Абсолютно упругие столкновения.
Так называются те столкновения между двумя частицами, при которых
диссипация энергии частиц не возникает. Значит, во время этих столкновений
сохраняется не только полный импульс, но и полная кинетическая энергия частиц.
Различают лобовые и не лобовые абсолютно упругие столкновения. Здесь мы
рассмотрим столкновения частиц в рамках ньютоновской механики.
Абсолютно упругие лобовые столкновения.
Это - столкновение двух частиц, когда до и после столкновения частицы
движутся вдоль одной и той же прямой.
Рис. 12.3
Рассмотрим столкновение частиц массами m1 и m2, которые в системе отсчета Λ до
столкновения имеют скорости
v1
и
v2 .
Решение задачи существенно упрощается, когда
мы используем систему отсчета С, в которой частицы до и после столкновения имеют
равные по модулю и противоположно направленные импульсы (рис. 12.3)


p1   p 2 ; p1   p 2 .
(12.24)
Для получения связи между импульсами до и после столкновения воспользуемся
условием сохранения энергии
p12
p22
p12
p22
K



 K,
2m1 2m2 2m1 2m2
откуда с учетом (12.24) –
p 2 p 2
K

2 2
.
Отсюда получаем
p1  p2  p  p1  p2  p .
То есть, в системе С величины импульсов частиц не меняются, только меняют свои
направления на противоположные (рис. 12.3)


p 1   p1 ; p 2   p 2 .
Но, так как
(12.25)
pi  mi vi ; p '  mi v 'i ,  i  1;2  ,
то в системе С соотношения (12.25) верно также для скоростей частиц
v '1  v1 ; v '2  v 2 .
(12.26)
Теперь можно перейти к системе Λ и определить скорости частиц после столкновения:

v1  vc  v 1  vc  v1  vc   v1  vc   2vc  v1 ,

v2  vc  v 2  vc  v 2  vc   v2  vc   2vc  v2 ,
(12.27)
где мы воспользовались правилом преобразования скоростей при переходе от системы Λ
к системе С и соотношениями (14.26).
Значит
m1v1  m2  2v2  v1 
,
m1  m2
m v  m2  2v1  v2 
v '2  2vc  v2  1 2
,
m1  m2
v '1  2vc  v1 
(12.28)
которые и дают окончательное решение задачи. При получении этих формул мы
воспользовались формулой скорости движения центра инерции (12.2). Из полученного
решения, в частности, следует, что если
m1  m2 ,
то
v1  v2
и
v2  v1 ,
то есть при
лобовом столкновении частиц с одинаковыми массами они обмениваются своими
скоростями. Если до столкновения одна из частиц находилась в состоянии покоя, то
после столкновения остановится налетевшая частица, а другая будет двигаться со
скоростью, которая была у налетевшей до столкновения.
В конце этого раздела отметим запоминающееся соотношение
v1  v1  v2  v2  2vc ,
которое получается из решений (12.27).
Абсолютно упругие нелобовые столкновения, и экспериментальная проверка релятивистской
механики.
Без ограничения общности будем предполагать, что одна из частиц до столкновения
находится в покое ( v2
 0 ).
Для этого следует просто выбрать
СО, движущийся со
скоростью второй частицы до столкновения.
Решение задачи нелобового столкновения частиц заключается в нахождении величин
и направлений импульсов после столкновения частиц. Однако законы сохранения не в
состоянии решить эту задачу однозначно, а могут лишь указать пределы, в которых
могут меняться импульсы и углы разлета частиц. Для их точного получения следует
решить уравнения движения.
Рис. 12.4
Пусть частица массы
m1
со скоростью
налетает на неподвижную частицу с массой
v1
m2 . Схематически, в системе отсчета Λ это представлено на рис.12.4, где 1
и
2
- углы,
которые составляют импульсы частиц после столкновения с импульсом налетающей
частицы. Законы сохранения импульса и энергии при этом дают:
p1  p1'  p2' ;
p12 2m1  p1' 2 2m1  p2' 2 2m2 .
Эти уравнения можно преобразовать к виду
p12  p1' 2  p2' 2  2 p1' p2' cos(1  2 ),
m
p12  p1' 2  1 p2' 2 .
m2
Откуда видно, что если
массы
после
нелобового
направлениям. Если
при
1   2   / 2 .
то происходит
m1  m2 ,
то
1   2   / 2 ,
соударения
т.е. частицы одинаковой
разлетаются
по
перпендикулярным
m1  m2 , то необходимо, чтобы cos 1  2   0 , что имеет место
Следовательно, когда тяжёлая частица налетает на лёгкую частицу,
разлет частиц под острым углом - “рассеяние вперёд” и, наконец, в
случае сталкивания лёгкой частицы с тяжёлой:
назад” -
(12.29)
1   2   / 2 .
m1  m2
- происходит “рассеяние
То,
что
направления
движения
одинаковых
частиц
после
столкновения
перпендикулярны, было экспериментально подтверждено при столкновениях между  –
частицами и ядрами гелия в камере Вильсона. Такие процессы с хорошей точностью
описываются в рамках ньютоновской механики, поскольку скорости  – частиц очень
малы по сравнению со скоростью света. Однако при стремлении скорости налетающей
частицы к скорости света, её масса должна увеличиться, и тогда угол между направления
движения одинаковых частиц после столкновения должен быть меньше  / 2 . Этот
характерный эффект был использован для экспериментальной проверки релятивистской
механики. Картина треков частиц при столкновениях  -частиц с покоящимися
электронами в камере Вильсона позволяют измерять эти углы, которые оказались
меньше  / 2 (Чемпион,1932г.). Эти измерения можно считать экспериментальным
доказательством законов сохранения в релятивистской механике и формулы зависимости
массы от скорости.
Неупругие столкновения.
Во
время
неупругого
столкновения
изменяются
внутренние
энергии
сталкивающихся частиц (или одной из них), следовательно, и их суммарная
кинетическая энергия. Обозначим приращение полной кинетической энергии частиц
вследствие столкновения через Q:
K  K  Q .
В
зависимости
от
экзоэнергетическими
знака
Q  0
величины
Q
неупругие
или эндоэнергетическими
столкновения
бывают
 Q  0  . В первом случае
кинетическая энергия системы после столкновения возрастает (за счет уменьшения
внутренней энергии частиц), а во втором – убывает.
Наша цель – определить импульсы частиц после лобового столкновения. Решим
задачу в системе С. Так как изменение кинетической энергии не зависит от выбора
системы отсчета, то
K  K 
p 2 p 2

 Q,
2 2
откуда
p  2  K  Q   p .
(12.30)
Значит, во время неупругого столкновения величина импульса частицы в системе С
изменяется. Причем, после столкновения импульс частицы возрастает в
экзоэнергетическом случае и убывает - в эндоэнергетическом. Переходя в
лабораторную систему отсчета, для импульсов частиц после столкновения получим
формулы
p1'  m1v1'  m1vc  p  m1vc  2  K  Q  ;
(12.30’)
p  m v  m2 vc  p  m2 vc  2  K  Q .
'
2
'
2 2
При некоторых неупругих столкновениях внутренняя энергия, в зависимости от
внутренних свойств частиц, может принимать лишь вполне определенные изменения.
Таковыми являются неупругие соударения атомов и молекул. В то время как
экзоэнергетические столкновения могут происходить при произвольном значении
энергии частиц, эндоэнергетические могут происходить лишь тогда, когда энергия
налетающей частицы не меньше, чем, так называемая, пороговая энергия. При
соударении с меньшей энергией частицы не меняют свои внутренние энергии и
сталкиваются как абсолютно упругие шары.
Движение тела с переменной массой.
Не следует путать используемое здесь понятие «переменная масса» с зависимостью
массы от скорости в релятивистской механике. Под движением тела с переменной массой
мы понимаем класс движений, в течение которых в движущемся теле происходят
непрерывные процессы притока или оттока материи. Примерами таких движений могут
быть движение поливочной машины, падение дождевых капель в перенасыщенном
облаке, в процессе которого капля обогащается все новыми и новыми молекулами воды,
движение тающего айсберга в океане, движение загружаемого или разгружаемого
вагона, движение реактивных самолетов и ракет и т.п. История исследования движения
тел с переменной массой имеет более чем двухсотлетнюю давность. Однако, они
получили практические применения лишь в последние 60-70 лет, в связи с бурным
развитием реактивного движения.
Выведем дифференциальное уравнение движения тела с переменной массой. Пусть
частицы с массами
соответственно
m t 
и
dm
со скоростями
в лабораторной системе отсчета в момент
v
и
v1
так, что через
t
движутся
промежуток времени
dt
сливаются, образуя частицу массой m  dm , которая движется со
v  dv . Заметим, что это абсолютно неупругое столкновение (или спонтанный
распад, если dm  0 ) частиц. С физической точки зрения именно это представляет собой
сталкиваясь,
скоростью
движение тела с переменной массой в течение каждого элементарного промежутка
времени. Определим приращение импульса системы за рассматриваемый промежуток
времени dt . Так как
p  t   m  t  v  v1dm, p(t  dt )   m  dm  v  dv  ,
То
dp  p  t  dt   p  t   mdv   v  v1  dm,
(12.31)
где мы пренебрегли бесконечно малой величиной второго порядка dmdv .
Согласно уравнению изменения полного импульса, приращение импульса (12.31)
обусловлено импульсом действующей на систему за время dt , равнодействующей силы:
mdv  (v  v1 )dm  Fdt ,
откуда
mdv dt   v  v1  dm dt  F .
(12.32)
Здесь вектор
u  v1  v
(12.33)
есть скорость сливающейся с телом частицы в системе отсчета, связанной с телом, и
называется
относительной
скоростью
присоединяемой
массы.
Учитывая
обозначение (12.33), полученное уравнение (12.32) представим в следующем виде:
m dv dt  F  u dm dt .
(12.34)
Это - основное дифференциальное уравнение движения тела с переменной
массой, полученное Мещерским в 1897г. и носит его имя. Данное уравнение
отличается от второго закона Ньютона тем, что здесь масса тела – величина, зависящая
от времени. Дополнительный член
Fp  u dm dt
(12.35)
называется реактивной силой.
Если присоединяемая масса не имеет скорости в лабораторной системе отсчета -
v1  0
(например, когда капля падает в перенасыщенной неподвижной среде водяного
пара - облака), то его уравнение движения примет следующий вид
d
 m t  v   F.
dt
(12.36)
Если же равна нулю относительная скорость присоединяемой массы u (что,
например, имеет место в случае движения тающего айсберга в океане), то действующая
на тело реактивная сила будет отсутствовать, и мы получим
m t 
dv
 F.
dt
(12.37)
Необходимо, однако, учитывать, что в приведенных частных случаях (12.37) и
(12.38), в отличие от (12.36), масса тела m – величина, непрерывно меняющаяся во
времени.
рис. 12.5
Возникновение реактивной силы имеет ясный физический смысл. Поясним его на
примере реактивного движения. Газ, образованный при сжигании топлива в камере
сгорания ракеты, под большим давлением P выбрасывается из сопла, отталкиваясь с
силой P , где  – площадь выходного отверстия (рис. 12.5). Согласно третьему закону
Ньютона, корпус ракеты подвергнется действию такой же, но противоположно
направленной силы, которая и является действующей на нее реактивной силой.
Нетрудно оценить величину этой силы. Это просто изменение импульса топлива за
единицу времени. Топливо, находящееся в покое относительно корпуса ракеты,
приобретает за единицу времени скорость
u  vг  v ,
и, следовательно, претерпевает изменение импульса
лабораторной системе отсчета, а
 г  dmг dt
времени газа. По закону сохранения массы
(12.38)
uг ,
где
vг
– скорость газа в
– масса выброшенного за единицу
dmг  dm ,
где
dm
– изменение массы
ракеты за время dt . Итак, ракета подвергается воздействию силы со стороны газа um ,
которая и является реактивной силой (12.35). В случае реактивного движения
относительную скорость присоединяемой массы (12.38) часто называют скоростью
газовой струи.