П р а в

Правительство Российской Федерации
Государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
Государственный университет – Высшая школа экономики
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ
Рабочая программа дисциплины
«Математический анализ»
Направление: 010100.62 «Математика»
Подготовка: бакалавр
Форма обучения: очная
Автор программы: доц. Львовский С.М.
Рекомендована секцией УМС
факультета математики
Председатель
_________________________
«___» ___________________2009 г.
Утверждена УС
факультета математики
Ученый секретарь доцент
Одобрена на заседании
кафедры геометрии и топологии
Зав. кафедрой, академик РАН
_________________________Ю.М.Бурман
«___» ________________________2009 г.
_______________________В.А.Васильев
«___» ______________________2009 г.
Москва
2009
Рабочая программа дисциплины «Математический анализ» [Текст]/Сост. Львовский С.М.; ГУВШЭ.–Москва.–2009.–11 с.
Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания
и уровню подготовки бакалавров Государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования по направлению 010100 «Математика».
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной
образовательной программы по направлению 010100 «Математика».
Составитель: к.ф.-м.н. Львовский С.М. (lvovski@hse.ru)
©
©
Львовский С.М., 2009.
Государственный университет–Высшая школа экономики, 2009.
2
Пояснительная записка
Автор программы: кандидат физико-математических наук Львовский С.М.
Требования к студентам: дисциплина изучается на первом курсе, так что требуется только
владение алгеброй и геометрией в объеме школьной программы; для материала третьего
модуля требуется курс алгебры 1 и 2 модулей.
Аннотация:
Дисциплина «Математический анализ» предназначена для подготовки бакалавров по
направлению 010100.62. Первая часть курса (темы 1-8) предназначена для ознакомления
студентов с концепцией предельного перехода, вторая (темы 9-15) – для знакомства с более
абстрактным подходом к анализу, а в заключительной части (темы 16-18) дается введение в
теорию меры.
Цели и задачи изучения дисциплины, ее место в учебном процессе
1.1. Цель изучения дисциплины. Создать у студентов целостное представление о современном
математическом анализе.
1.2. Задачи изучения дисциплины. Научить студентов вычислять пределы и производные,
находить асимптотики с помощью рядов Тейлора, исследовать ряды на сходимость.
Познакомить студентов с понятиями топологического и метрического пространства, с общими
концепциями предела и непрерывности, компактности, связности и пополнения и
с
применениями этих понятий к конкретным задачам анализа. Научить работать со степенными
рядами. Объяснить формальное построение теории действительных чисел и элементарных
функций. Познакомить с мерой Лебега и интегралом Лебега и их основными свойствами.
Познакомить учащихся с понятием производной функции нескольких переменных и с ее
основными свойствами, включая формулу Тейлора и теоремы об обратной и неявной функциях
и теорему Фробениуса. Ознакомить учащихся с понятием гладкого многообразия, касательного
вектора и векторного поля, дифференциальной формы, интегрирования дифференциальных
форм, теоремой Стокса и ее маломерными частными случаями (формулы Гаусса, Грина и
Остроградского). Дать представление о рядах Фурье и преобразовании Фурье, обобщенных
функциях и пространствах Соболева.
1.3. Перечень дисциплин и разделов, знание которых требуется для изучения данной
дисциплины. Курс изучается с самого начала.
3
Тематический план учебной дисциплины
№
1.
2.
3.
4.
Название темы
Всего
часов по
дисципл
ине
Всего
Лекци
и
Семин
ары
1 модуль
Предел последовательности. Свойства пределов (предел
суммы, произведения и пр.). Предел функции. Свойства
предела функции. Бесконечные пределы. Непрерывные
функции.
Множества. Операции над множествами. Отображения.
Алгебра множеств. Мощности.
100
42
14
28
58
24
10
6
4
14
24
10
4
6
14
26
10
4
6
16
26
12
6
6
14
104
48
24
24
56
26
12
6
6
14
26
12
6
6
14
26
12
6
6
14
26
12
6
6
14
104
48
24
24
56
26
12
6
6
14
26
12
6
6
14
26
12
6
6
14
26
12
6
6
14
Ряды с постоянными членами. Критерии сходимости
рядов с положительными членами (признак сравнения,
Даламбера,
Коши).
Абсолютная
сходимость.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница и теорема
Римана. Классические пределы.
Действительные числа: формальное построение,
критерий Коши, теорема о верхней грани, теорема о
стягивающихся отрезках, верхний и нижний пределы.
2 модуль
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Производная. Производные элементарных функций и
правила дифференцирования. Исследование функций с
помощью производной.
Свойства непрерывных функций на отрезке. Теорема о
промежуточном значении и теорема о достижении
максимума.
Ряды Тейлора и формула Тейлора. Использование
формулы Тейлора для нахождения пределов.
Формальное построение экспоненты, логарифма и
тригонометрических
функций.
Экспонента
в
комплексной области.
3 модуль
Топологические и метрические пространства
Определения. Примеры. Общее определение
непрерывности и предела.
Компактность и счетная компактность. Компактность
произведения топологических пространств. Теорема
Гейне-Бореля. Критерий компактности подмножества в
евклидовом
пространстве.
Ограниченность
и
достижение максимума непрерывной функции на
компакте.
Пополнение метрического пространства. Полнота
метрических компактов. Канторово множество на
отрезке. Целые p-адические числа. Гомеоморфность
канторова множества целым p-адическим числам,
сюръекция канторова множества на метрический
компакт.
Построение определенного интеграла. Свойства
интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
4
В том числе аудиторных
Самосто
ятельна
я работа
Всего
часов по
дисципл
ине
Всего
Лекци
и
Семин
ары
4 модуль
Вторая производная и выпуклость. Неравенства
выпуклости. Формула Тейлора с остаточными членами в
форме Лагранжа и Пеано
Функциональные ряды. Мажорантный признак
сходимости. Абсолютная сходимость. Перестановка
членов ряда. Умножение рядов. Двойные ряды.
Аналитические функции. Переразложение. Замкнутость
множества аналитических функций относительно
основных операций.
5 модуль
Абстрактные пространства с мерой. Мера Лебега на R.
Интеграл Лебега от положительных функций; теорема
Беппо Леви.
Суммируемые функции. Предельный переход под
знаком интеграла Лебега.
Произведение мер и теорема Фубини. Мера Лебега на
евклидовом пространстве
86
36
18
18
50
30
12
6
6
18
30
12
6
6
18
26
12
6
6
14
92
38
20
18
54
32
14
7
7
18
30
12
6
6
18
30
12
6
6
18
Итого:
486
212
100
112
274
Название темы
№
В том числе аудиторных
Самосто
ятельна
я работа
Неопределенный интеграл, техника нахождения
первообразных.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
5
Базовые учебники
1. Зорич В.А. Математический анализ: в 2 т. – Изд. 5–е.– М.: МЦНМО, 2007.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3–х томах. – 8-е
изд.– М.: Физматлит, 2006.
3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. –Спб.: Лань, 2002.
4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу (для ВУЗов).–
М.: АСТ, 2003.
5. Рудин У. Основы математического анализа.–Спб.: Лань, 2002.
6. Спивак М. Математический анализ на многообразиях: Учебное пособие. –2-е изд.– Перев. с
англ.– Спб.: Лань, 2005.
7. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. – Изд. 4-е.– М.: Едиториал УРСС,
2007.
Дополнительная литература
1. Окстоби Дж. Мера и категория. – Пер. с англ.– М.: ЛКИ, 2008.
2. Галеев Э.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи.–М.:, УРСС, 2002.
6
Формы контроля
Текущий контроль: решение задач на семинарских занятиях.
Промежуточный контроль: 8 контрольных работ.
Итоговый контроль: 1 зачёт (1-й модуль), 3 экзамена (2-й, 3-й и 5-й модули).
Формула для вычисления итоговой оценки
30% оценки за домашние задания + 30% оценки за контрольную работу + 40% оценки за
экзамен.
7
Содержание программы
Тема 1. Предел последовательности. Свойства пределов (предел суммы, произведения и пр.).
Предел функции. Свойства предела функции. Бесконечные пределы. Непрерывные функции.
Тема 2. Множества. Операции над множествами. Отображения. Алгебра множеств. Мощности.
Тема 3. Ряды с постоянными членами. Критерии сходимости рядов с положительными членами
(признак сравнения, Даламбера, Коши). Абсолютная сходимость. Знакочередующиеся ряды.
Признак Лейбница и теорема Римана. Классические пределы.
Тема 4. Действительные числа: формальное построение, критерий Коши, теорема о верхней
грани, теорема о стягивающихся отрезках, верхний и нижний пределы.
Тема 5. Производная. Производные элементарных функций и правила дифференцирования.
Исследование функций с помощью производной.
Тема 6. Свойства непрерывных функций на отрезке. Теорема о промежуточном значении и
теорема о достижении максимума.
Тема 7. Ряды Тейлора и формула Тейлора. Использование формулы Тейлора для нахождения
пределов.
Тема 8. Формальное построение экспоненты, логарифма и тригонометрических функций.
Экспонента в комплексной области.
Тема 9. Топологические и метрические пространства Определения. Примеры. Общее
определение непрерывности и предела.
Тема 10. Компактность и счетная компактность. Компактность произведения топологических
пространств. Теорема Гейне-Бореля. Критерий компактности подмножества в евклидовом
пространстве. Ограниченность и достижение максимума непрерывной функции на компакте.
Тема 11. Пополнение метрического пространства. Полнота метрических компактов. Канторово
множество на отрезке. Целые p-адические числа. Гомеоморфность канторова множества целым
p-адическим числам, сюръекция канторова множества на метрический компакт.
Тема 13. Построение определенного интеграла. Свойства интеграла. Формула НьютонаЛейбница. Неопределенный интеграл, техника нахождения первообразных.
Тема 14. Вторая производная и выпуклость. Неравенства выпуклости. Формула Тейлора с
остаточными членами в форме Лагранжа и Пеано
8
Тема 15. Функциональные ряды. Мажорантный признак сходимости. Абсолютная сходимость.
Перестановка членов ряда. Умножение рядов. Двойные ряды.
Тема 16. Аналитические функции. Переразложение. Замкнутость множества аналитических
функций относительно основных операций.
Тема 17. Абстрактные пространства с мерой. Мера Лебега на R.
Интеграл Лебега от положительных функций; теорема Беппо Леви. Суммируемые функции.
Предельный переход под знаком интеграла Лебега.
Тема 18. Произведение мер и теорема Фубини. Мера Лебега на евклидовом пространстве.
9
Образцы заданий по различным формам контроля
Цикл 1.
В этом первом цикле студенты учатся работать с определение предела
последовательности и находить пределы непосредственно из определения. При анализе
решений студентов следует обратить внимание на разницу в уровне их школьной подготовки и
постараться скомпенсировать эту разницу при дальнейшем обучении.
Цикл 2. Состоит из двух разделов. Первый раздел посвящен нахождению пределов в более
сложных ситуациях, второй – осовению теоретико-множественных языка и обозначений.
Цикл 3. Развивает основную тему из предыдущего цикла. Преподавателям следует обратить
внимание, что в этом цикле увеличивается удельный вес задач, требующих работы с
определением предела напрямую.
Цикл 4. Посвящен простейшим асимптотикам. На задачах з этого цикла отрабатываются
стандартные приемы нахождения предела последовательности.
Цикл 5. Посвящен признакам сходимости рядов (с положительными членами, иногда –
абсолютно сходящихся).
Цикл 6. Посвящен отработке понятий фундаментальной последовательности, а также верхнего
и нижнего пределов. Следует требовать от студентов строгих доказательств.
Цикл 7. Посвящен признакам сходимости рядов с произвольными членами (в ситуации, когда
абсолютной сходимости нет).
Цикл 8. Посвящен отработке навыков дифференцирования.
Цикл 9. Посвящен отработке понятия непрерывной функции. Требуется повышенное внимание
к строгости доказательств.
Цикл 10. Посвящен отработке техники дифференцирования в более сложных ситуациях, а
также применениям производной. Следует быть особенно внимательным при проверке задач 7
и 8: многие студенты будут совершать в них типичные ошибки.
Цикл 11. Посвящен задачам на разные темы, так или иначе связанным с понятием производной.
Цикл 12. Этот цикл – в основном для желающих; он посвящен применениям леммы Цорна из
теории множеств. Задача 1 предназначена для всех.
Цикл 13. Посвящен нахождению пределов с помощью правила Лопиталя и его аналогов.
1
0
Цикл 14.
Посвящен основным определениям топологии. Следует обращать внимание
студентов, что содержательно задачи просты, но могут представлять трудность для
начинающих. Следует добиваться абсольтной четкости в решениях.
Цикл 15.
Посвящен применениям формулы Тейлора. Рекомендуется прощать мелкие
арифметические ошибки, если студент в целом грамотно и экономно работает со степенными
рядами.
Цикл 16. Посвящен понятиям полного метрического пространсвта и пополнения. Содержит
несколько задач на p-адические числа.
Цикл 17.
Посвящен
непрерывности.
отработке
понятий
равномерной
сходимости
и
равномерной
Цикл 18. На технику интегрирования в явном виде.
Темы контрольных работ:
1. Пределы.
2. Топологические пространства.
3.
Производная.
4.
Интеграл.
5.
Ряды.
6.
Асимптотики.
7.
Мера и интеграл Лебега.
8.
Производная функции нескольких переменных.
9.
Векторные поля.
10. Интегрирование дифференциальных форм.
11. Ряды Фурье.
12. Преобразование Фурье.
Автор программы: _____________________________ С.М. Львовский
1
1