9 класс Задание 5

9 класс
Задание 5
1) Каких чисел больше среди первого миллиона: тех, в записи которых встречается
тройка, или тех, в записи которых её нет?
Решение.
Подсчитаем количество чисел от 0 до 999999, в записи которых нет троек. Каждое
такое число можно записать с помощью шести знаков, каждый знак - это любая цифра от 0
до 9, кроме 3. Таким образом, получаем 9·9·9·9·9·9=96 чисел, столько же чисел без тройки в
записи среди чисел от 1 до 1000000. Так как 9 6  813  531371 , среди первого миллиона
больше таких чисел, в записи которых нет троек.
2) В бассейн может поступать вода через две трубы разной пропускной способности.
Меньшая труба за 1 секунду пропускает 1 м3 воды. В бассейне также имеется кран, через
который может вытекать в течение секунды 1 м3 воды. В каких пределах должна изменяться
пропускная способность большей трубы, если известно, что для поступления 16 м3 воды в
бассейн потребовалось больше 3, но меньше 4 секунд, причем 10 м3 поступило при
одновременном действии обоих труб и при закрытом кране, а 6 м3 – при действии только
большой трубы и открытом кране.
Решение. Пусть пропускная способность большей трубы - х м3 воды в секунду, x>1.
Обозначим через t1 время в секундах, которое действовали обе трубы при закрытом кране,
через t2 – время, которое действовала только вторая труба при открытом кране. Тогда
3  t1  t 2  4

 t1  x  1  10
 t  x  1  6
 2
Выражая из уравнений системы t1 и t2 и подставляя в неравенство, получаем
10
6
16 x  4
3

 4, 3  2
 4,
x 1 x 1
x 1
3x 2  3  16 x  4  4 x 2  4 ,
3x 2  16 x  1  0 
8  61
 8  61  x  8  61
,
, 4 x
.

 3
3
2
3
 4 x  16 x  0 
x4

8  61
Ответ: больше 4, но меньше
.
3
3) Целой частью числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х.
Найти целую часть числа x 2  4x 2  16x 2  8x  3 , где x  23.
Решение. Последовательно получаем:
4 x  12  2  16 x 2  8x  3  16 x 2  8 x  4  4 x  22 ,
2 x  12  4 x 2  4 x  1  4 x 2  16 x 2  8x  3  4 x 2  4 x  2  2 x  22 ,
x  12  x 2  2x  1  x 2  4x 2  16x 2  8x  3  x 2  2x  2  x  22 ,
то
есть
искомое число больше x  1  24 , но меньше x  2  25 .
Ответ: 24.
4) Найти все а, при которых функция f x   x  a  1  x  3a является четной.
Решение.
1
График функции y  x  b  x  c при c≥b изображён на рисунке. Очевидно, что эта
функция будет чётной тогда и только тогда, когда c+b=0. Таким образом, a 1 3a ,
a  1/ 2 .
y
c-b
x
c
0
b
Ответ: -1/2.
5) Найти площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами внутренних
углов параллелограмма со сторонами 37 и 23 и углом 135°.
Решение.
B
А1
D1
C
L
K
M F
N
A
C1
D
B1
Так как A1 AD  BCC1  CC1 D , а BB1 A  B1 BC  D1 DA , прямая АА1
параллельна прямой С1С, прямая ВВ1 параллельна D1D, то есть четырехугольник KLMN –
параллелограмм. Поскольку BAK  ABK  90  то LKN  BKA  90  , следовательно,
KLMN – прямоугольник, S KLMN  KN  KL .
Равные треугольники ABB1 и CDD1 равнобедренные, поэтому AK и CM – медианы и
KB1=MD.
Опустим перпендикуляр В1F на прямую D1D. NB1=MF, B1F=NM.
Так как
KN+NB1=MF+FD, то FD=KN.
B F FD B1 D 37  23 14



Треугольник B1FD подобен треугольнику AKB1, 1 
.
AK KB1 AB1
23
23
2
Получаем,
S KLMN

 14 
   АK  KВ1 ,
 23 

45
45
AK  AB cos
, KB1  AB sin
,
2
2
2
1
14 2
 14 
S KLMN    АB 2 sin 45 
2  49 2 .
2
4
 23 
Или: по теореме косинусов, BB12  2 AB 2 1  cos 45 , KВ1  1/ 2BB1 ,

 1  cos 45
АK 2  AB 2  KВ12  AB 2 1 
2

2
 14 
S KLMN    АB 2
 23 
Ответ: 49 2 .



1  cos 45
  AB 2
,
2

1  cos 45 1  cos 45    14 


4
2
1
АB 2 sin 45 .
2
 23 
2