Лекция 18.

ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ МИКРОФИЛЬТРЫ
Часть 2
Компоненты линий связи
При описании механических резонансных характеристик соединительных
компонентов, таких как балки, струны и планки, используют те же выражения, что и для
традиционных механических фильтров. Хотя микрокомпоненты не всегда ведут себя как
элементы нормальных размеров, такой анализ помогает смоделировать поведение системы в
целом. Для микрокомпонентов сначала стараются разработать эквивалентную модель, считая
их идеальными линиями передач. Как упоминалось ранее, разработка электрических
эквивалентных схем отдельных компонентов значительно облегчает разработку всего
фильтра. Эквивалентные схемы разрабатываются при помощи электромеханических
аналогий. Для определения резонансных характеристик используются уравнение
распространения волны с соответствующими граничными условиями.
Электрические линии передач
Для упрощения составления эквивалентной схемы отдельных микрокомпонентов
кратко рассмотрим эквивалентную схему двухпроводной электрической линии передач, в
которой нет никаких потерь. Значения распределенных компонентов, показаных на рис. 7,
соответствуют единице длины линии. Уравнения тока и напряжения для линии передач,
составленные по данной модели, можно найти во многих учебниках, посвященных анализу
электрических цепей и основам электромагнетизма. Однако для того, чтобы грамотно
составлять эквивалентные схемы микрокомпонентов полезно понимать физические
принципы распределенных линий.
Рис. 7. Эквивалентная схема линии передач
Магнитная проницаемость используемых металлов и влияние индуктивности на
изменение фаз токов на разной глубине линии являются причинами появления в
эквивалентной схеме элементов индуктивности L. Диэлектрическая проницаемость среды
между проводниками и геометрия линии отражаются в емкостных элементах С. Потери в
проводниках и диэлектриках могут быть учтены в дополнительных компонентах
проводимости G. Аналогично этому в эквивалентную схему можно ввести резистивные
элементы, в которых отражены проводимость металлов, геометрические особенности линии,
такие как ее длина и поперечное сечение, потери на излучение и влияние глубины
поверхностного слоя. Если предполагается, что в линии нет потерь, элементы резистивности
и проводимости пропадают, тем самым значительно упрощая эквивалентную схему.
Основными дифференциальными уравнениями для этой модели являются следующие:
1
dI
   G  jC  V (37)
dz
dV
   R  j L  I (38)
dz
Дифференцируя уравнение (38) и подставляя результат в уравнение (37), получаем:
d 2V
  2V (39)
2
dz
Аналогично выводим следующее соотношение:
d 2V
(40)
  2I
dz 2
В уравнениях (39) и (40) комплексная константа распространения волны имеет
следующий вид:
   R  j L  G  jC 
1/2
(41)
Комплексное число можно всегда выразить как:
(42)
где α – константа ослабления волны, β – константа распространения волны в среде.
Решение рассматриваемых дифференциальных уравнений может быть записано в
виде:
V  V1e  z  V2e  z
(43)
I  I1e  z  I 2 e  z
(44)
Характеристический импеданс линии задается выражением:
1/2
 R  j L 
Z0  
(45)

 G  jC 
В случае идеальной линии передач, когда отсутствуют потери, константа
распространения волны становится равной:
    LC  (46)
Характеристический импеданс идеальной линии передач определяется выражением:
1/2
2
1/ 2
L
Z0   
(47)
C 
Фазовая скорость распространения волны в линии равна:
v   LC 
1/2
(48)
Интерес представляет линия передач конечной длины. Короткоза-мкнутая линия,
равная четверти длины волны, ведет себя как параллельный резонансный контур. Для
определения входного импеданса такой линии передач находится отношение уравнений (43)
и (44). Для короткозамкнутой линии входной импеданс описывается уравнением:
sinh  l cos  l  j cosh  l sin  l
(49)
cosh  l cos  l  j sinh  l sin  l
Применяя граничные условия, получаем, следующие условия резонанса:
Zin  Z 0 tanh  l  Z 0
n
n-целое четное число
(50)
2
Соответствующая резонансная частота равна:
l 
nv
(51)
4l
где υ – скорость распространения электромагнитных волн в среде между проводниками
линии передач. Используя условие резонанса (50), можно упростить уравнение (49):
f0 
Z0
Z
cosh  l

 0
(52)
sinh  l tan  l  l
При выполнении этих условий можно вывести выражение для добротности
резонирующего сегмента. На частотах, близких к резонансной частоте f0, выполняется
следующее:
Z in  Z 0
2  f 0   f 
2 f
n 2 fl
(53)
l
l

v
v
2
v
Подставляя это уравнение в выражение (49) после
преобразований, получаем выражение для входного импеданса:
l 
Z in  Z 0
тригонометрических
 sinh  l sin  2 fl v   j cosh  l cos  2 fl v 
(54)
 cosh  l sin  2 fl v   j sinh  l cos  2 fl v 
Для малых аргументов тригонометрических функций это выражение принимает вид:
3
1
2 f 

Z in  Z 0   l  j
(55)

v 

При сравнении этого выражения с уравнением (52) видно, что при равенстве мнимой
и действительной части знаменателя в уравнении (55), входной импеданс становится равным
половине импеданса на резонансной частоте. Таким образом, девиация частоты определяется
следующим выражением:
f 
 v  f0

2

(56)
Отсюда находится соответствующее значение добротности:
Q
f0

2 f

2
(57)
Предположения и теоремы для механического моделирования
Для упрощения процесса моделирования все дальнейшие рассуждения
ограничиваются однородными, изотропными, бесконечными, упругими твердыми
элементами, в которых нет потерь. Для микросистем эти предположения будут справедливы
только при выполнении условия, что размер зерна кристаллического материала гораздо
меньше длины волны. Также предполагается, что твердый элемент совершает вибрации
относительно своего состояния покоя, при этом амплитуда этих колебаний практически
одинакова вдоль всей длины элемента. Из закона упругости следует, что нормальное напряжение ах, возникающее из-за деформации элемента в направлении распространения волны x,
определяется следующим соотношением:
 x  E1 x
(58)
где Е1 – продольный модуль упругости материала, а εх – относительное изменение толщины
элемента (его деформация). Выражение для продольного модуля упругости имеет вид:
E1  E
1   
1   1  2 
(59)
где Е – модуль упругости материала, а μ – коэффициент Пуассона. Деформация
прямоугольного элемента в поперечном направлении превращает его в параллелограмм:
 xy   yx  G xy
(60)
где τху и τух – тангенциальные (касательные) напряжения на элементе, γху – угол сдвига, a G –
модуль сдвига. Для длинных тонких пластин в соответствии с законами Гука и Пуассона
можно написать следующие соотношения:
F  SE
l
l
(61)
4
a
 
l
(62)
a
l
где F – приложенная сила, S – площадь поперечного сечения, δl/l – относительное удлинение
(сжатие), δa/a – относительное изменение поперечных размеров.
Продольная волна в твердой пластине
Рассмотрим длинную тонкую твердую пластину длиной l с одинаковой площадью
поперечного сечения S вдоль всей длины, размещенную по направлению оси х. Небольшая
деформация в направлении оси х в поперечном сечении приводит к появлению внутренних
сил упругости F(x). Результирующее смещение точки х равно ξ(x). Из второго закона
Ньютона следует, что сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на его
ускорение. Тогда для элемента пластины длиной dx можно записать соотношение:
d 2  x 
 F  x  dx   F  x    Sdx
(63)
dt 2
После реорганизации членов получим:
F
dv
 S
(64)
x
dt
Для выражения силы через перемещение применим закон Гука (уравнение (61)):
F  x   SE
  x  dx     x 
 SE
  x 
(65)
dx
x
После дифференцирования по времени и некоторых преобразований получаем:
v
1 dF

(66)
x SE dt
Для исключения зависимости от времени в уравнениях (64) и (66) считаем, что
вибрации в системе подчиняются синусоидальному закону. Тогда, применив векторную
запись, получим следующие выражения:
dF
  j Sv
dx
(67)
dv
j

F (68)
dx
SE
Сравнивая уравнения (67) и (68) с уравнениями для идеальной линии передач (R = G =
0) (37) и (38), нельзя не заметить их удивительную схожесть. Теперь, применив
электромеханические аналогии, можно построить для пластины эквивалентную схему линии
5
передач.
Также интересно определить константу и скорость распространения волны для такой
эквивалентной линии передач. При помощи уравнения (48) находим выражение для скорости
волны в пластине:
1/2
E
(69)
cв   

Уравнение для константы распространения имеет вид:

  
E
1/2
(70)
Линия передач на основе натянутой струны
В возбужденном состоянии натянутая струна совершает колебания вокруг положения
покоя, формируя при этом поперечные стоячие волны. Для упрощения анализа будем
рассматривать идеальную гибкую струну с постоянной массой на единицу длины. Также
предполагаем, что возбуждающие усилия малы и приложены в направлении, поперечном
длине струны. В произвольной точке ж, расположенной на струне, поперечная составляющая
напряжения равна (рис. 8):
dx
(71)
dz
где α – угол между исходным положением струны и касательной к перемещению струны в
точке х. После дифференцирования этого выражения по времени, получим:
Fx  T sin   T tan   T
dvx
1 dFx

(72)
dz
T dt
где υx – поперечная составляющая скорости.
6
Рис. 8. Распределение напряжений в натянутой струне
Теперь рассмотрим небольшой элемент струны длиной dx и применим к нему второй
закон Ньютона. Для поперечных составляющих сил справедливо следующее соотношение:
dFx  z 
dvx
(73)
dz
dt
где ρ' – линейная плотность массы струны. После упрощения получим:
Fx  z   Fx  z  dz   
dFx  z 
dz   'dz
dvx
(74)
dz
dt
В векторной форме уравнения (72) и (74) приобретают вид:
  '
dFx
  j ' Fx
dz
(75)
dvx
1
  j Fx
(76)
dz
T
Очевидна схожесть этих выражений с уравнениями тока и напряжения (37) и (38) для
линии передач. Таким образом, для построения эквивалентной схемы для струны, можно
воспользоваться электромеханическими аналогиями (рис. 9). Скорость распространения
волны в струне определяется выражением:
1/2
T 
v ' 
 
(77)
7
Рис. 9. Эквивалентная схема для струны, построенная при помощи модели линии передач
Основные элементы механических фильтров
Механические фильтры состоят из последовательности резонаторов, соединенных при
помощи элементов, рассмотренных выше. Все эти компоненты влияют на рабочие
характеристики фильтров. Например, количество резонаторов определяет форму сигнала на
выходе фильтра, а от их резонансной частоты зависит центральная частота полосы
пропускания фильтра. Коэффициент упругости соединительных проводов и эквивалентная
масса резонатора влияют на ширину частотной полосы фильтра. Теперь перейдем к рассмотрении механических микрофильтров, при этом будем использовать знания об их
традиционных аналогах.
Микрофильтры
Механические микрофильтры разрабатываются на основе принципов построения
традиционных механических фильтров. Однако при разработке микроустройств всегда
приходится учитывать размеры структур, соразмеримые с длиной волны, неидеальность
граничных условий и прочие эффекты нелинейности. Поэтому не все конструкции,
обсуждаемые ранее в этой главе, можно реализовать в микрофильтрах.
Разработчики стремятся разрабатывать микрофильтры, размеры которых позволяют
их интегрировать с другими элементами схем на одном кристалле. Традиционные фильтры,
реализованные на кварцевых генераторах, не подходят для такой миниатюризации. Поэтому
в последние годы большое внимание уделялось разработке микрофильтров на основе
механических фильтров, изготавливаемых по традиционным технологиям производства ИС,
которые легко интегрируются с остальными элементами схем.
При использовании последовательности резонансных контуров, соединенных друг с
другом, улучшаются рабочие характеристики микрофильтров. В общем виде, количество
контуров определяет порядок фильтра (порядок фильтра — это порядок его полиноминальной передаточной функции). Чем выше порядок фильтра, тем лучше его частотная
избирательность. Но при повышении порядка фильтра, возрастают вносимые потери, что
может быть скопменсирова-но высокой добротностью разрабатываемых фильтров.
В данной лекции будут рассмотрены только электростатические микрофильтры, хотя
на практике применяются другие механизмы управления. В традиционных
электромеханических фильтрах обычно используются приводы с параллельными
пластинами. В микрофильтрах же самым распространенным являются электростатические
гребенчатые приводы, совершающие колебательные движения в плоскости, параллельной
подложке, которые будут рассмотрены в следующем разделе.
Электростатический гребенчатый привод
Хотя электростатический привод с параллельными пластинами и подходит для
построения микрофильтров, такая конфигурация приводит к нелинейности характеристик
фильтра, что вызывает частотную нестабильность при фильтрации сигналов. Поэтому для
8
разработки микрофильтров предпочтительнее использовать другие конструкции
электростатических приводов. На рис. 10 показана одна из таких конструкций – схема
горизонтального электростатического гребенчатого привода. Конфигурация гребенчатых
приводов, как правило, состоит из двух резонаторов. Возможны два варианта структур.
Первый вариант – двухпортовая конфигурация, в которой один гребенчатый резонатор
является управляющим элементом, а второй – чувствительным, реагирующим на изменение
емкости. Во втором варианте оба гребенчатых резонатора управляются по отдельности, в то
время как сенсорные функции выполняются за счет отслеживания фазового сдвига
импеданса при выполнении условий резонанса. Система крепления поддерживающей балки
обладает большой упругостью, что позволяет снижать остаточное напряжение в структурном
слое.
Рис. 10. Горизонтальный электростатический гребенчатый привод
В двухпортовой конфигурации и управляющая сила, и чувствительность на выходе
пропорциональны изменению емкости, вызванного горизонтальным смещением
гребенчатого механизма, dС/dх.
При подаче управляющего напряжения υD смещение равно:
Fx
1 2 C

vD
(78)
k s 2k s
x
где Fx – составляющая электростатической силы, направленная вдоль оси x, a ks –
коэффициент упругости системы. Предполагая, что крепления поддерживающей балки
являются жесткими, можно записать аналитическое выражение для коэффициента
упругости:
x
3
EI
W 
k s  24 3  2 Eh  
(79)
L
L
Для обеспечения стабильности управляющее переменное напряжение с амплитудой
υD смещается при помощи постоянного напряжения Vp:
vD  VP vd sin t
(80)
Для снижения управляющего напряжения в приводах данного типа между
9
электродами необходимо делать очень маленький зазор. Для получения субмикронных
зазоров подходит метод окисления совместно с соответствующей послеоперационной
юстировкой.
Подставляя уравнение (80) в выражение (78) и дифференцируя его по времени,
получаем:
x
1 C VD2
1 C


2VP vd  cos t  vd2 sin 2t  (81)

t 2ks x t
2ks x
Для случая, когда амплитуда переменного напряжения намного меньше постоянного
напряжения смещения, членом второй гармоники в правой части выражения (81) можно
пренебречь. Для получения модуля электромеханической передаточной функции, равной
отношению вектора перемещения X к вектору управляющего напряжения Vd при
выполнении условий резонанса, модуль выражения (81) умножается на величину
добротности:
X VPQ C
(82)

Vd
ks x
Из этого выражения видно, что поскольку величина dС/dх не зависит от смещения ж,
гребенчатый привод имеет линейную электромеханическую передаточную функцию,
устанавливающую зависимость между смещением и управляющим напряжением.
Необходимо помнить, что это справедливо только для случая, когда амплитуда переменной
составляющей управляющего напряжения гораздо меньше постоянного напряжения
смещения.
Выражение для оценки добротности такой структуры имеет вид:
d
1/2
(83)
 M b ks 
 Ap
где d – зазор между пластинами и подложкой, μ – абсолютная вязкость воздуха, Ар –
площадь поверхности пластины, a Mb – масса поддерживающей балки. На практике
добротность системы регулируется при помощи последовательных резисторов,
подключаемых к входным и выходным цепям.
Величина тока на сенсорном порту схемы определяется следующим выражением:
Q
C x
(84)
x t
где Vs – напряжение на сенсорном электроде. Подставляя уравнение (81) в выражение (84),
находим модуль проводимости всей резонансной структуры:
is  Vs
I s VPVsQ  C 


 (85)
Vd
ks  x 
Резонансная частота структуры определяется по формуле Релея:
2
10
1/2
1/2
3



ks
1 
1
W 
(86)

 
 2 Eh  

M

0.3714
M
2

L
M

.03714
M




p
b
p
b




При изготовлении гребенчатых приводов применяется одна маска, что значительно
упрощает их разработку и позволяет снизить их стоимость.
Для снижения паразитной емкостной связи между входным и выходным портами в
систему включается планарный электрод заземления, который также используется для
подавления нежелательных видов колебаний.
1
fr 
2
11
Контрольные вопросы
1.
Эквивалентная схема электрической линии передач. Добротность. Основные
дифференциальные модели.
2.
Продольная волна в твердой пластине. Математическая модель.
3.
Линия передач на основе натянутой струны. Распределение напряжений.
Эквивалентная схема для струны.
4.
Электростатический гребенчатый привод. Конструкция. Математическая модель:
добротность, электромеханической передаточной функция, резонансная частота.
12