Лабораторная работа № 2 (ауд. З-205).

ФГБОУ ВПО
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Лабораторная работа № 2
Моделирование электростатического поля коаксиального кабеля полем
стационарных токов в проводящей среде
Выполнил:
Группа:
Проверил:
Москва 2011
Цель работы - исследование электростатического поля коаксиального
кабеля
методами физического и математического (компьютерного) моделирования, сравнение
результатов физического и компьютерного моделирования с результатами расчета поля по
аналитическим выражениям.
Ключевые слова: коаксиальный кабель; электростатическое поле; напряженность;
потенциал; емкость; физическая модель; компьютерная модель.
Объект и задача моделирования
Объект исследования - электростатическое поле (далее - поле) коаксиального
кабеля - устройства, состоящего из соосных токопроводящих жилы с радиусом R1 и
оболочки с внутренним радиусом R2 , а также изоляции между ними с диэлектрической
проницаемостью
изоляции,  0 
ε=εrε0
(εr
-
относительная
диэлектрическая
проницаемость
1
109 Ф/м) (рис.1). Поле кабеля полагается плоскопараллельным, т.е.
36
имеющим одинаковую картину во всех ортогональных оси кабеля сечениях (рис.2), при
том, что линии напряженности лежат в
плоскостях этих сечения. В работе также
исследуется влияние на параметры поля смещения оси жилы относительно оси оболочки
кабеля.
Рис.1
Задача моделирования. Под задачей физического моделирования в данной работе
понимается, во-первых, создание такого искусственного физического объекта – модели
кабеля, процессы в котором имеют другую физическую природу, а математически
подчиняются тем же закономерностям, что и процессы в реальном кабеле, но их
исследование не вызывает сложностей. И, во-вторых, проведение экспериментального
исследования модели с переносом его результатов на объект моделирования.
Рис. 2.
Теоретическая справка.
Аналитическое описание поля коаксиального кабеля. Согласно теории модуль
напряженности поля в некоторой точке А изоляции кабеля, находящейся на расстоянии r
от его оси обратно пропорционален этому расстоянию (рис.2)
E (r ) 
Q
2 rl


,
2 r
[В/м]
(1)
где Q - заряд жилы кабеля, а τ = Q/l – линейная плотность этого заряда. При
положительном заряде Q линии напряженности направлены от оси кабеля к его жиле
(рис.2). Тогда для потенциала точки А относительно оболочки кабеля имеем
R2
 (r )   E (r )dr 
r

R
ln 2 . [В]
2
r
(2)
Отсюда следует, что линии равного потенциала (эквипотенциали) в поперечном сечении
кабеля представляют собой концентрические окружности (рис.2).
Потенциал жилы относительно оболочки (напряжение кабеля)
согласно
выражению (2)
 ( R1 )  U 

R
ln 2 .
2 R1
(3)
Напряженность поля внутри токопроводящих жилы и оболочки
E = –grad φ = 0
Из выражения (3) следует, что заряд Q и его плотность τ
пропорциональны
напряжению кабеля
Q = CU,
τ = C0U,
(4)
где С – емкость, а C0 = С / l – емкость единицы длины кабеля
C

2
Q 2 l

[Ф], C0 

U ln R2
U ln R2
R1
R1
[Ф/м].
Таким образом, если известно напряжение U кабеля
(5)
(рис.3), то
выражения
напряженности и потенциала (1) , (2) могут быть представлены в виде
E (r ) 
U
(6)
R
r ln 2
R1
R2
 (r )  U r .
R
ln 2
R1
ln
(7)
Рис. 3
Из выражения (6) следует, что максимальное значение напряженности поля кабеля
достигается на поверхности его жилы, когда r = R1. Тогда по максимально допустимому
для данной изоляции кабеля значению напряженности Едоп можно определить и
максимально допустимое напряжение кабеля
U max  Eдоп R1 ln
R2
.
R1
(8)
Влияние смещения жилы кабеля на параметры поля. Поскольку при
производстве и эксплуатации кабеля возможно смещение их осей, представляет интерес
оценка влияния смещения оси жилы относительно оси оболочки D на параметры поля
(рис.4)
Рис.4
Поле в изоляции кабеля совпадает с соответствующим фрагментом поля двух
электрических осей с координатами (–b,0), (b,0) и линейными плотностями зарядов τ, – τ.
Здесь
D 2  R12  R22
D 2  R22  R12
.
b  h  R  h  R ; h1 
, h2 
2D
2D
2
1
2
1
2
2
2
2
(9)
Эквипотенциальные линии такого поля - суть окружности с центрами на оси х.
Так, через каждую точку А(x,y), расположенную на расстояниях r1 и r2 до левой и правой
электрических осей (рис.4) проходит окружность равного потенциала


r
ln 2
2 r1
(10)
с центром в точке с координатами
1 k2
x0 
b,
1 k2
и радиусом
y0  0,
(11)
R
2k
b,
1 k2
(12)
где k = r2/r1. Напряженность поля изоляции на оси х определяется как
Ex 
 1 1
  .
2  r1 r2 
(13)
Здесь знак «+» берется для точек оси, расположенных правее, а знак «-» для точек оси,
расположенных левее жилы кабеля. В точке Р напряженность достигает максимального
значения Emax. Если положить, что это значение равно максимальному допустимому
значению напряженности Emax=Едоп, то по нему можно рассчитать максимально
допустимую плотность заряда
кабеля U max
 max
и, далее, максимально допустимое напряжение
  max / C0 , где
C0 
2
(h  b)(h1  b)
ln 1
R1R2
Физическая аналоговая модель кабеля.
.
(14)
В связи с тем, что измерение
параметров поля реального кабеля путем внесения датчиков внутрь его твердой изоляции,
во-первых, проблематично и, во-вторых, заведомо нарушит картину поля, целесообразно
физическое исследование поля кабеля провести на его аналоговой модели.
При выборе физической модели для исследования плоскопараллельного поля
кабеля необходимо учитывать два обстоятельства. Первое, выражения (5), (7) зависят не
от значений R1, R2, r а от соотношений R2/R1 и R2/r, поэтому размеры модели R'1, R'2, r'
могут быть отличными от размеров R1, R2, r кабеля и наиболее удобными для измерений
потенциалов поля. Важно лишь сохранить отношение R'2/R'1 = R2/R1 и
R'2/r' = R2/ r.
Второе, исследовать плоскую физическую модель сечения кабеля с диэлектрической
средой проблематично, иное дело исследовать плоскую модель с проводящей средой
(электролитом, специальной бумагой). Подобной моделью можно воспользоваться, так
как имеет место аналогия между электростатическим
полем и электрическим полем
постоянных токов в проводящей среде. Уравнения этих полей (табл. 1) совпадают с
точностью до замены параметров Q  I ,    , C  G (табл.2)
Таблица 1
Уравнения электростатического
Уравнения электрического поля
поля
постоянных токов
E = –grad φ
E = –grad φ
b
b
U ab   Edl
U ab   Edl
a
a
Q    E ds
C
I    E ds
Q
U
G
I
U
Таблица 2
Электростатическое поле
Поле постоянных токов
Напряженность Е
Напряженность Е
Потенциал φ
Потенциал φ
Диэлектрическая проницаемость ε
Удельная проводимость γ
Заряд Q
Ток I
Емкость С
Проводимость G
Так, если емкость кабеля описывается выражением
C
Q 2 l

,
U ln R2
R1
(15)
то проводимость его аналоговой модели (рис. 5) – выражением
G
2 l
,
R2
ln
R1
G0 
G
.
l
(16)
В аналоговой модели l=d, где d – толщина бумаги, меняющаяся в зависимости от
условий и времени её хранения. Удельная проводимость бумаги γ также меняется со
временем, зависит от температуры, влажности, давления. Поэтому входящую в (16)
проводимость
 d необходимо определить в ходе эксперимента. Это можно сделать,
например, измерив омметром сопротивление утечки Rут=1/G в аналоговой модели и найдя
 d из (16). Кстати,  d - это проводимость между противоположными сторонами
квадратного проводящего листа, не зависящая от размера стороны квадрата. Далее, если
известна толщина бумаги d, можно рассчитать γ.
При моделировании для упрощения можно считать, что γd численно равна удельной
объемной проводимости γэ некого проводящего вещества, то есть γd= γэ, (d – в метрах).
Тогда I и G модели соответственно равны I0 и G0 кабеля с проводящей изоляцией с
удельной объемной проводимостью γэ. Иными словами говоря, физическая модель на
проводящей бумаге является дважды моделью: моделью 1 метра кабеля с несовершенной
изоляцией и моделью кабеля с совершенной (идеальной) изоляцией.
Рис.5
Экспериментальное исследование созданной аналоговой модели не представляет
особых
сложностей,
поскольку измерение
потенциалов
на
проводящей
бумаге
осуществляется достаточно просто. Пересчет же данных результатов этого исследования
на данные поля объекта - оригинала с учетом таблиц 1, 2 элементарен. Из (15) и (16)
следует
C0  G0

.
э
(17)
Математическое компьютерное моделирование поля кабеля предполагает
замену реального объекта - математической моделью, в нашем случае системой
дифференциально-алгебраических уравнений, описывающих это поле. Для унификации
процедуры составления и численной обработки подобных уравнений используется
компьютерное моделирование. В лабораторной работе оно выполняется с помощью
учебной версии универсальной программы расчета электромагнитных полей ELCUT.
Алгоритм расчета плоскопараллельного поля в этой программе связан с заменой
моделируемой поверхности некоторой сеткой, а дифференциальных уравнений среды разностными алгебраическими уравнениями для узлов этой сетки.
Компьютерное моделирование включает следующие этапы:
1. Ввод данных об объекте моделирования (характер поля, геометрия - форма и
размеры объекта, электрические свойства среды, граничные условия)
2. Формирование и расчет математической модели.
3. Визуализация картины поля и вывод требуемых его параметров.
Примечание: В учебной версии программы ELCUT используется ограничение числа узлов
сетки снижающее точность компьютерного расчета и несколько искажающее картину
поля.
Параметры исследуемого кабеля
В работе исследуется высоковольтный кабель с геометрическими размерами R1=3 мм.,
R2=15,75 мм. (отношение R2/R1=5,25), диэлектрическая проницаемость изоляции
которого ε=εrε0, а также смещение
осей жилы и оболочки
D , допустимая
напряженность поля Едоп и рабочее напряжение кабеля U выбираются по табл.3 в
зависимости от своего варианта (номер бригады).
Таблица 3
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
D, мм.
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
2
3
Едоп, кВ
5
6
7
8
9
10
12
14
15
16
18
20
U, кВ
1
3
6
1
3
6
1
3
6
1
3
6
варианта
εr
Параметры аналоговой модели
Геометрические размеры модели R’1=3 cм., R’2=15,75 cм. (коэффициент
R1' R2'
геометрического подобия модели и оригинала

 10 ).
R1 R2
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D, см
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
2
3
εr
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
бригады
ПОДГОТОВКА К РАБОТЕ
I. Расчет коаксиального кабеля
1. Рассчитать емкость С0 для своего варианта (см. табл.3).
2. Определить напряженность поля в точках M, N, P, Q
(рис.2) и качественно
построить график изменения напряженности поля вдоль оси х кабеля.
3. Рассчитать максимально допустимое напряжение кабеля Umax для допустимого
значения напряженности Едоп (см. табл.3).
II. Расчет кабеля, со смещенной жилой.
1. Определить координаты электрических осей при смещении жилы кабеля на
расстояние D в право по оси х.
2. Рассчитать напряженность поля в точках M, N, P, Q при заданном напряжении U
(см. табл. 3) и качественно построить график изменения напряженности поля вдоль
оси х кабеля.
3. Рассчитать максимально допустимое напряжение кабеля Umax для допустимого
значения напряженности Едоп.
4. Сравнить результаты пп. 2 и 3 расчетов коаксиального и некоаксиального кабеля.
Примечание: данные для расчета берутся с учетом номера варианта (№ бригады) по табл.
3.
Вопросы для допуска студентов к работе и её защиты.
1. Каковы цели и методы исследования? Почему исследование поля проводится на
моделях, а не на реальных объектах?
2. Какова последовательность выполнения лабораторной работы?
3. В чем состоит аналогия электростатического поля и электрического поля
постоянных токов и каковы уравнения и связи параметров этих полей?
4. Каковы особенности моделирования потенциальных полей на проводящей бумаге.
5. Рассчитайте сопротивление участка тонкой проводящей ленты толщиной d и
шириной а между двумя параллельными плоскими электродами, расположенными
на расстоянии а друг от друга.
6. Как на основе данных физического эксперимента определяется емкость кабеля?
7. Проведите силовую линию и эквипотенциаль через произвольную точку сечения
кабеля со смещённой центральной жилой.
8. Изобразите зависимость E  x,0 в кабеле со смещенной жилой.
9. Изобразите зависимость   x,0  в кабеле со смещенной жилой.
10. Изобразите зависимость   x, y  в кабеле со смещенной жилой по произвольной
прямой в его сечении.
11. Какие данные об объекте моделирования необходимы для компьютерного
моделирования?
Чем
ограничивается
точность
моделирования
поля
при
использовании учебной версии программы расчета полей.
РАБОЧЕЕ ЗАДАНИЕ
Физическое моделирование.
Коаксиальный кабель.
1. Установить на резиновом коврике с проводящей бумагой электроды (модель
оболочки и жилы кабеля) и подсоединить их к источнику постоянного напряжения
U=10
В
и
измерительному
прибору
-
мультиметру
(с
использованием
измерительного резистора) так, как это показано на фотографии 1.
Фото.1
2. Определить
ток
утечки
кабеля
I=I0
путем измерения напряжения на
измерительном резисторе R=1 Ом, найти проводимость утечки модели G=G0=I/U.
Рассчитать проводимость
бумаги γd = γэ из формулы (16). Рассчитать емкость
С0 по формуле (17). Сравнить полученный результат с результатом расчета С0 в
п.I.1 Подготовки к работе.
3. Используя измерительный вывод мультиметра в качестве «щупа», снять
необходимое
число
точек
для
построения
четырех
эквипотенциалей
2  0,2U ; 4  0,4U ; 6  0,6U ; 8  0,8U и построить эти линии.
4. Провести необходимые измерения для определения напряженности поля в точках
M, N, P и Q и рассчитать эту напряженность по формуле
E
 kU

l kl
где kU - отношение напряжений (/Uм), kl - отношение линейных размеров объекта
моделирования и модели. Сравнить полученные значения напряженностей со значениями,
полученными в п.I.2 Подготовки к работе.
Кабель со смещенной жилой
1. Провести необходимые измерения и рассчитать напряженность поля в точках M, N,
P и Q, сравнить полученные результаты с результатами расчета п.II.2.
2. Провести необходимые измерения для определения емкости С0, рассчитать эту
емкость и сравнить полученный результат с результатом расчета.
3. Получить
необходимые
эквипотенциалей
экспериментальные
данные
для
построения
1  0,2U M ;2  0,4U M ;3  0,6U M и построить эти линии.
Компьютерное моделирование
Коаксиальный кабель
По
заданному
напряжению
U,
диэлектрической
проницаемости
ε=εrε0
и
геометрическим размерам R1, R2 коаксиального кабеля построить картину поля.
Кабель со смещенной жилой
Осуществить моделирование поля и расчет емкости кабеля по аналогии с п. 1
предыдущего случая - кабеля без смещения жилы.
Методические указания к компьютерному моделированию
1. Открыть программу ELCUT Студенческий двойным щелчком мыши по ярлыку
программы на рабочем столе
2. Создать новый файл командой Файл/Создать/Задача ELCUT или двойным
щелчком по пиктограмме
3. Задать имя новой задачи, в дальнейшем присваивать это же имя всем файлам в
рамках одной задачи.
4. Задать характер исследуемого поля – электростатическое, класс модели – плоская,
расчет – обычный, единицы длины – сантиметры, система координат – декартовы
координаты.
5. Приступить к построению геометрической модели поля коаксиального кабеля при
помощи команды Файл/Создать/Геометрическая модель.
6. Задать геометрию окружностей оболочки и жилы кабеля. Задать 4 вершины на
диаметрах жилы и оболочки - точки M,N,P,Q. Для этого щелкнуть правой
клавишей мыши по окну Геометрической модели, выбрать из списка команду
Вставка вершин/ребер. Выбрать команду Добавить вершины щелчком правой
клавиши мыши по рабочему полю. Задать координаты 4 вершин х=-R1, y=0; х=R1,
y=0; х=-R2, y=0; х=R2, y=0 (вводить уточненные, измеренные в лаборатории,
размеры модели). Изменить масштаб, чтобы на экране были видны все 4 точки.
Выбрать в верхней командной строке команду Половина круга, соединить точки
на диаметрах окружностей, не отпуская клавишу мыши.
7. Описать построенную модель с помощью меток при помощи пиктограммы
.
Выделение объекта производится двойным щелчком по объекту. Присвоить метку
1 – жиле кабеля (метка 1 присваивается и верхней и нижней частям окружности),
метку 2 – диэлектрику между жилой и оболочкой кабеля, метку 3 – оболочке
кабеля (метка 3 присваивается и верхней и нижней частям окружности).
8. В левом окне раскрыть строку Физические свойства, щелкнуть правой клавишей
мыши по строке Метки блоков, выбрать команду Создать метку. Создать метку
2. Аналогично ввести метки ребер - 1 и 3.
9. Описать свойства блока 2, двойным щелчком по метке 2 раскрыть диалоговое окно.
Задать диэлектрическую проницаемость – εr. Описать свойства ребер - жилы
(U=10B) и оболочки (U=0B).
10. Построить расчетную сетку. Щелкнуть правой клавишей мыши по блоку 2 на
геометрической модели, выбрать команду Сетка привязки. Выбрать шаг 0,01 м.
Построить сетку щелчком по пиктограмме
.
11. Сохранить задачи командой Файл/Сохранить как присвоив ему имя заданное в п.
3.
12. Решить задачу командой Задача/Решить. В качестве результатов расчета вывести
картину поля с нанесенными векторами напряженности, цветную картину поля с
указанием цветовой шкалы. Для этого щелкнуть правой клавишей мыши по
области решения задачи, выбрать опцию картина поля.
13. Самостоятельно смоделировать кабель со смещенной жилой.
Литература
К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. Теоретические основы
электротехники. Т.3. СПб. Питер, 2003.