8kl_tvs
реклама
Урок № 3. Основные комбинаторные законы – правило суммы и правило произведения. Сначала поговорим о некоторых важных моментах. Во-первых, в домашней работе многие путали исход и событие (например, писали, что исходу благоприятно событие). Еще раз напомню, что мы договорились называть опытом нечто, что происходит в задаче, а исходом - то, чем это происходящее может закончиться. Также мы пока считаем, что исход - это "самый мелкий случай" из всех возможных. (Пример: опыт - бросили кубик, исход - выпавшее число. Плохой выбор исхода - четность выпавшего числа. Тогда, например, мы не сможем посчитать вероятность события выпадения числа, делящееся на 3 и т.п.). Такие "самые мелкие" исходы мы называем элементарными. Однозначно ли можно определить элементарный исход в задаче? Не всегда, например, в задаче с прошлого урока про делители Из чисел 3, 4, 5, 6, 7 случайным образом выбраны два. Какова вероятность того, что их произведение имеет ровно четыре делителя? Были возможны два способа решения - считать выбираемую пару чисел упорядоченной (тогда исходов 20) или же неупорядоченной (исходов вдвое меньше). (Ответ при этом не меняется, потому что количество благоприятных исходов тоже меняетмя вдвое.) Таким образом, что такое исход в задаче - определяем мы сами, когда ее решаем. Поэтому важно в начале решения разобраться, что в данной задаче является опытом, что вы считаете исходом, почему они равновозможны. И полное решение должно включать в себя объяснение этих фактов! Старайтесь в домашних работах писать полные решения, а не только ответы! Поговорим теперь о том, как быть, когда число исходов велико. Как его считать? Ответ на этот вопрос дает комбинаторика, об основах которой мы и будем дальше говорить. Правило суммы в комбинаторных задачах Если на блюде лежат 3 яблока, то выбрать одно из них можно тремя способами (взять одно из трех). Если на другом блюде лежат 2 груши, то выбрать одну из них можно двумя способами (взять одну из двух груш). А выбрать один фрукт из всех имеющихся можно пятью способами (выбирая из пяти фруктов – трех яблок и двух груш). Это и есть правило суммы, которое можно сформулировать так: Если некоторый объект А можно выбрать n способами, а другой объект В можно выбрать m способами (независимо от выбора А), то выбор “либо А, либо В” можно осуществить n + m способами. Правило произведения в комбинаторных задачах Допустим, что в той же задаче нужно выбрать одновременно яблоко и грушу. Это можно сделать шестью способами – к каждому из трех яблок можно добавить одну из двух груш. Наглядно этот выбор можно представить с помощью таблицы: я1 я2 я3 г1 г1, я1 г1, я2 г1, я3 г2 г2, я1 г2, я2 г2, я3 В верхней строке перечислим все яблоки, в левом столбце – все груши, а на пересечении строк и столбцов получим все возможные варианты выбора груши и яблока. Поскольку яблока три, а груши две, то клеток в таблице 23 = 6, то есть и вариантов выбора тоже 6. Сформулируем в общем виде то, что мы использовали и назовем его правилом произведения: Если некоторый объект А можно выбрать n способами, и после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать m способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить nm способами. Предположим теперь, что у нас еще есть блюдо, на котором лежат 7 бананов. 1) Сколькими способами можно выбрать один фрукт? 2) Два различных фрукта? 3) Три различных фрукта? 1) Один фрукт мы будем выбирать из пяти яблок, двух груш и семи бананов, то есть, из 2 + 5 + 7 = 14 фруктов, следовательно, мы можем его выбрать 14 способами. 2) Выбирая два различных фрукта, мы можем выбрать (яблоко и банан) или (яблоко и грушу) или (грушу и банан). Яблоко и банан можно выбрать 37 = 21 способами, яблоко и грушу можно выбрать 32 = 6 способами, грушу и банан 27 = 14 способами. Следовательно, два различных фрукта можно выбрать 21 + 6 + 14 = 41 способом. 3) Выберем сначала яблоко и грушу (шестью способами), а затем банан. То есть, к каждому из шести наборов (яблоко, груша) мы можем добавить один из семи бананов. Получится 67 = 42 различных набора (яблоко, груша, банан). Для наглядности можно опять воспользоваться таблицей: г1, я1 г1, я2 г1, я3 г2, я1 г2, я2 г2, я3 б1 б2 б3 б4 б5 б6 б7 г1, я1, б1 г1, я1, б2 г1, я1, б3 г1, я1, б4 г1, я1, б5 г1, я1, б6 г1, я1, б7 г1, я2, б1 г1, я2, б2 г1, я2, б3 г1, я2, б4 г1, я2, б5 г1, я2, б6 г1, я2, б7 г1, я3, б1 г1, я3, б2 г1, я3, б3 г1, я3, б4 г1, я3, б5 г1, я3, б6 г1, я3, б7 г2, я1, б1 г2, я1, б2 г2, я1, б3 г2, я1, б4 г2, я1, б5 г2, я1, б6 г2, я1, б7 г2, я2, б1 г2, я2, б2 г2, я2, б3 г2, я2, б4 г2, я2, б5 г2, я2, б6 г2, я2, б7 г2, я3, б1 г2, я3, б2 г2, я3, б3 г2, я3, б4 г2, я3, б5 г2, я3, б6 г2, я3, б7 В верхней строке перечислим все бананы, в левом столбце – все комбинации груша и яблоко, а на пересечении строк и столбцов получим все возможные варианты выбора груши, яблока и банана. Таким образом, правило произведения можно обобщить и на задачу выбора трех объектов: Если некоторый объект А можно выбрать n способами, после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать m способами, и после каждого такого выбора другой объект С можно выбрать k способами, то выбор тройки (А, В, С) в указанном порядке можно осуществить nmk способами. Понятно, что правило произведения можно обобщить и для задачи выбора любого количества объектов (а не только двух или трех): Необходимо последовательно выбрать k элементов. Первым можно выбрать элемент a1 одного из n1 видов, вторым – элемент a2 одного из n2 видов, …, последним – элемент ak одного из nk видов. При этом два способа выбора считаются различными, если хотя бы на одном месте в них стоят различные элементы. Сколькими способами можно произвести такой выбор? n1n2…nk Разберем несколько задач. Задача 1. На гору ведут пять дорог. а) Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? б) А если возвращаться той же дорогой нельзя? Решение. а) Дорогу для подъема можно выбрать пятью способами, дорогу для спуска – также пятью способами, следовательно, всего комбинаций (дорога для подъема, дорога для спуска) 55 = 25. б) Если спускаться той же дорогой нельзя, то дорогу для спуска можно выбрать четырьмя способами, следовательно, всего комбинаций (дорога для подъема, дорога для спуска) 54 = 20. Задача 2. Сколько существует последовательностей из 0 и 1 длины 100? Длины n? (Фраза "длины 100" означает, что в этой последовательности 100 знаков). Решение. Первую цифру в последовательности можно выбрать двумя способами - поставить либо 0 либо 1. Тогда последовательностей длины два вдвое больше: поскольку вторую цифру можно также выбрать двумя способами, то есть, всего четыре последовательности длины 2. Последовательностей длины три вдвое больше, чем последовательностей длины два, т.е. 8, и т.д. Итак, последовательностей длины 100 ровно 2100, а последовательностей длины n ровно 2n. Задача 3. В зоопарке живут 5 ослов, 3 жирафа и 4 носорога (все ослы – различные, все жирафы и носороги также различные). Сколькими способами можно выбрать двух животных разных типов для обмена с другим зоопарком? Решение. Выбрать жирафа и носорога можно 34 = 12 способами, жирафа и осла 35 = 15 способами, осла и носорога 54 = 20 способами. Следовательно, ответ: 12 + 15 + 20 =57 способов. Домашнее задание №3 1. У хулигана Васи есть 6 различных петард, а у отличника Пети – 8 учебников по разным предметам. Вася предлагает Пете обмен – любую петарду на любой учебник. Сколькими способами они могут его произвести? 2. Каждую клетку квадратной таблицы 22можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы? 3. В языке программирования МАМБО-2010 всего три буквы: a, b и c. Переменной может быть любая последовательность, состоящая не более чем из четырех букв (например, а, ab, aac, abca). Сколько всего переменных может быть в таком языке? Дополнительная задача На шахматную доску случайным образом поставил белого и черного короля (в разные клетки). Какова вероятность того, что получилась допустимая правилами игры позиция? (То есть, короли не бьют друг друга).