"... - Да, миледи, - ответил Атос, - граф де Ла Фер, собственной персоной, нарочно явился с того света, чтобы иметь удовольствие Вас видеть..." (Александр Дюма "Три мушкетера") Зачем это вообще нужно? Дело в том, что в различных задачах возникают совершенно одинаковые объекты - графы. Например, это могут быть города и дороги, их соединяющие - тогда граф фактически уже нарисован, могут быть задачи про знакомых и незнакомых людей, а может быть и что-то совершенно другое, когда вспомогательный граф необходимо построить для решения. Поэтому логично попытаться выяснить какие-то общие свойства этих объектов, для того чтобы ими потом пользоваться (а не доказывать их каждый раз заново). Этим мы сейчас и займемся. §0. Основные определения. Определение: Графом называется конструкция, состоящая из нескольких точек, некоторые из которых соединены линиями. Типичный пример изображен на рисунке. Точки называются вершинами графа, а линии - ребрами. Определение: Полным называется граф, у которого каждые две вершины соединены ребром. Определение: Количество ребер, выходящих из вершины, называется ее степенью. Четная вершина - та, у которой это количество четно, нечетная - та, у которой оно нечетно. Вершина называется изолированной, если ее степень равна 0, и висячей, если ее степень равна 1. Пример: На самом первом рисунке около каждой вершины написана ее степень. В этом графе есть четыре четных (из которых одна изолированная) и шесть нечетных (из которых три висячих) вершин. Определение: Подграф - это часть графа, которая получается из него выкидыванием некоторых ребер, а также вершин вместе со всеми выходящими из них ребрами. Теорема: Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству ребер. Док-во: Посчитаем все концы ребер. С одной стороны это сумма всех степеней вершин, а с другой удвоенное количество ребер, т.к. каждое ребро имеет два конца. Следствие: В любом графе количество нечетных вершин чётно. Док-во: легкое упражнение, следующее из Теоремы. Упражнения на понимание :1) В городе юпитерян из каждой площади выходит 7 улиц.(Каждая улица соединяет две площади). Докажите, что число площадей чётно, а число улиц делится на 7. 2) В деревне деймосян с каждой полянки можно уйти по 6 разным тропкам.. Верно ли, что число тропок делится на 6? Если да – то докажите, если нет – приведите пример. Примечания к Теореме. Разрежем каждое ребро посередине – вместо ребра из вершины будет торчать «хвостик». Лемма о хвостиках : Число хвостиков, торчащих из вершины – её степень. Лемма о полурёбрах : Число хвостиков – это удвоенное количество рёбер. (Эти две леммы поймите, просто нарисовав картинки) Из этих двух лемм, сравнивая с общим числом хвостиков сначала сумму степеней вершин, а потом удвоенное количество рёбер, получаем нашу Теорему. Другой взгляд на Теорему. Скажем, что у нас не граф, а страна, в которой некоторые города соединены дорогами. Поставим в конце и в начале каждой дороги столб. Тогда количество столбов равно удвоенному количеству дорог с одной строны, а с другой сумме количеств дорог, выходящих из городов (сумме степеней вершин). Задача. Проведите это рассуждение подробно и чётко. Найдите его связь с предыдущими доказательствами Теоремы. §1.Связность. Определение: Путь в графе - это последовательность различных вершин, таких, что каждая следующая связана с предыдущей ребром. Также вместо спора "путь" говорят "цепь", "маршрут". Цикл в графе - это замкнутый путь, т.е. путь, у которого первая и последняя вершины совпадают. Примеры: - это путь, Определение: Граф называется связным, если каждые две его вершины можно соединить путем. Например, если у нас есть страна, в которой из любого города можно добраться до любого другого по дорогам, то это связный граф. Упражнение. Если в графе есть изолированная вершина, то он несвязен. Задачи : 1)В графе 15 вершин. Степень каждой не менее 7. Докажите, что граф связен. 2)В графе 15 вершин. Сумма степеней любых двух не меньше 13. Верно ли, что граф связен? Теорема: Любой граф можно разбить на несколько связных подграфов. Док-во: Рассмотрим любую вершину. Возьмем все те вершины, куда из нее есть путь. Эти вершины вместе с ребрами между ними будут составлять первый подграф (понятно, что в нем от любой до любой вершины можно добраться и ребер в другие части из него не выходит). Допустим, что в графе еще что-то есть - возьмем какую-то вершину из оставшихся и те вершины, в какие можно попасть из нее - это будет второй подграф, и так далее... Определение: Эти подграфы называются компонентами связности. Пример: На первом рисунке есть три компоненты связности: одна из шести вершин, другая из трех, и, последняя, из одной изолированной вершины. Упражнение. В графе на 100 вершинах степень каждой вершины равна 1. Найдите число компонент связности. Задача. В графе 105 вершин и степень каждой равна 6. Какое наибольшее количество компонент связности может быть в нём?. Графские задачи. 1. Усадьба каждого из 7 джентльменов графства Липшир-Смолл соединена дорогами ровно с 4 другими. Докажите, что среди этих джентльменов найдутся трое, усадьбы которых попарно соединены дорогами. 2. В соседнем графстве каждая из 15 усадеб соединена дорогой по крайней мере с 7 другими. Докажите, что из любой усадьбы этого графства можно проехать в любую другую. 3. В клубе "Липонеум" у каждого джентльмена ровно один друг и ровно один враг. а) Докажите, что в клубе четное число джентльменов. б) Докажите, что клуб можно разбить на два клуба, внутри которых ни у кого не будет ни друзей, ни врагов. 4. а) В маленьком приходе графства Липшир живут только 15 джентльменов. Можно ли соединить их усадьбы дорогами так, чтобы из четырех усадеб выходило по 3 дороги, из восьми --- по 6 и из остальных трех --- по пять? б) В соседнем приходе из каждой усадьбы выходит ровно 3 дороги. Может ли там быть ровно 100 дорог?