урок «Элементы комбинаторики и

У р о к 84
ОБОБЩАЮЩИЙ УРОК ПО ТЕМЕ «ЭЛЕМЕНТЫ
КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
Цели: обобщить и систематизировать знания по теме; подготовиться к
контрольной работе.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Из слова «математика» выбирается наугад одна буква.
а) Какова вероятность, что эта буква будет гласной?
б) Какова вероятность, что эта буква будет буквой «у»?
2. Выбирается наугад одно из чисел 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
а) Какова вероятность, что это число будет четным?
б) Какова вероятность, что оно будет четным и будет делиться на 3?
3. Лотерея состоит из 10000 билетов, среди них 1250 выигрышных. Какова
вероятность, что наудачу купленный билет окажется выигрышным?
4. Из колоды в 36 карт выбирается наугад одна карта. Какова вероятность,
что это будет карта:
а) черной масти;
б) картинка;
в) картинка червонной масти?
5. На рисунке изображена квадратная мишень ABCD, М – середина
стороны BC. Стрелок, не целясь, стреляет в мишень и попадает. Какова
вероятность того, что он попадает:
а) в треугольник AМD;
б) в треугольник МСD?
III. Повторение и систематизация знаний.
На данном этапе приводятся в систему следующие знания учащихся:
1. Основные методы решения комбинаторных задач (перебор возможных
вариантов, использование комбинаторного правила умножения).
2. Основные формулы комбинаторики (перестановки, размещения,
сочетания).
3. Умение применять эти методы и формулы для вычисления возможных
исходов опыта.
4. Умение описывать и подсчитывать возможные и благоприятные исходы
опыта.
5. Умение вычислять вероятность события, используя статистическое,
классическое и геометрическое определения. Знание основных свойств
вероятности (Р (А) = 1; Р (В) = 0; 0 ≤ Р (С) ≤ 1, где А – достоверное событие,
В – невозможное событие, С – случайное событие).
Опорный конспект по комбинаторике учащиеся составили на прошлом
занятии при отработке решения вероятностных задач комбинаторными
методами. По элементам теории вероятностей также целесообразно иметь о
п о р н ы й к о н с п е к т:
Основные понятия
Статистический
эксперимент
(опыт)
Наблюдение за объектами или явлениями в строго
определенных условиях и измерение определенных признаков
объекта. Может быть повторен в практически неизменных
условиях неограниченное количество раз
Исход
эксперимента
Значение наблюдаемого признака, непосредственно полученное
по окончании эксперимента
Событие:
Появление исхода, обладающего заранее указанным свойством
– случайное
Событие, которое может произойти или не произойти при
проведении опыта
– достоверное
Событие, которое происходит при проведении опыта всегда
– невозможное
Событие, которое не может произойти ни при каком исходе
опыта
– равновозможные
События, которые имеют равные возможности произойти
Различные подходы к определению вероятности
Подход
Определение
Формула
1
2
3
Статистический Имеет место для испытаний с конечным
числом неравновозможных исходов, когда
возможно проведение серии реальных
экспериментов.
Относительная частота появления события
А – отношение числа испытаний т, в кото-
m
W(А) = n ;
0 ≤ W(А) ≤ 1
Окончание табл.
1
2
3
рых событие А появилось, к общему числу
всех испытаний п.
Статистическая вероятность случайного
события А – численное значение постоянной,
около которой колеблется W(A)
Классический
Имеет место для испытаний с конечным
числом равновозможных исходов.
Вероятность события А равна отношению
числа т благоприятных исходов испытания к
общему числу п всех равновозможных
исходов
Геометрический Имеет место для бесконечного числа
равновозможных исходов.
Геометрическая вероятность – вероятность
попадания точки в область (отрезок, часть
плоскости и т. д.)
m
P(А) = n ;
0 ≤ P(А) ≤ 1
S ( F1 )
P(А) = S ( F2 ) ;
0 ≤ P(А) ≤ 1
В целях экономии времени желательно подготовить опорный конспект в
виде презентации либо раздаточного материала.
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. Вычислить (использовать при повторении):
5!
а) 3! ;
б) 8! – 6!;
16!
в) 14!3! ;
Рп  1
г) Р4 + Р3;
д) Рп ;
А87
3
и) А7 .
4
2
2
6
е) С12 ;
ж) С17  С15 ;
з) А11 ;
2. З а д а ч а. Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую
из 5 человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду, чтобы в нее
вошло не более трех юношей?
Решение
Так как в команду входит не более трех юношей, то возможны такие
составы команды: только девушки; 1 юноша и 4 девушки; 2 юноши и 3
девушки; 3 юноши и 2 девушки. Определим возможное число комбинаций
для каждого состава.
1
а) Возможностей выбора 1-го юноши из 10 равно С10 , а выбора 4 девушек
4
из 12 равно С12 (порядок элементов не важен, так как все члены команды
равноправны).
Каждый из вариантов выбора юношей сочетается с каждым вариантом
выбора девушек, значит, по комбинаторному правилу умножения, число
10! 12!
10 · 9 · 10 · 11 · 12
·
1 ·2 ·3 ·4
= 1!9! 4!8! =
= 4950
комбинаций равно С · С
способов.
б) Аналогично для команды из 2 юношей и 3 девушек число вариантов
выбора равно:
1
10
4
12
10! 12! 9 · 10 · 10 · 11 · 12
·

С · С = 2!8! 3!9!
1 ·2 ·1 ·2 ·3
= 9900.
2
10
3
12
в) Аналогично для команды из 3 юношей и 2 девушек число вариантов
выбора равно:
10!
12! 8 · 9 · 10 · 11 · 12
·

С · С = 3!7! 2!10!
1 · 2 · 3 · 1 · 2 = 7920.
3
10
2
12
г) Если команда состоит только из девушек, то число вариантов выбора
равно:
С125 
12! 8 · 9 · 10 · 11 · 12

5!7!
1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 792.
Значит, всего вариантов: 4950 + 9900 + 7920 + 792 = 23562.
О т в е т: 23562.
3. З а д а ч а. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания
в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было
произведено 120 выстрелов.
Решение
Число всевозможных исходов п равно 120. По формуле относительной
W ( A) 
m
m
; 0,85 
n
120 , где А – «произошло попадание в цель».
частоты:
Значит, т = 120 · 0,85; т = 102.
О т в е т: 102 попадания.
4. З а д а ч а. Вы находитесь в круглом зале с 10 дверьми, из которых
какие-то 4 заперты. Вы случайным образом выбираете две двери. Найдите
вероятность того, что:
а) вы не сможете выйти из зала;
б) вы можете выйти из зала, но вернуться через другую дверь уже не
сможете;
в) вы сможете выйти через одну, вернуться в зал через другую;
г) хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала.
Решение
Исходы – все возможные пары дверей из 10 имеющихся без учета порядка
2
выбора; общее число исходов п = С10 = 45.
Найдем вероятности событий:
а) А – «вы не сможете выйти из зала»;
т  С42  6; Р( А) 
т 6
2


п 45 15 .
б) В – «вы сможете выйти, но не сможете вернуться через другую дверь» –
это значит, что одна дверь открыта, а другая заперта.
т  С61 · С41  6 · 4  24; Р( В) 
т 24 8


п 45 15 .
в) С – «вы сможете выйти через одну, а вернуться через другую дверь»,
это значит, что обе двери открыты.
т  С62  15; Р (С ) 
т 15 1


п 45 3 .
г) D – «хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала» – это значит,
что открыта одна дверь или обе.
39 13

т  С · С  С = 6 · 4 + 15 = 39; Р(D) = 45 15 .
2
8
1
13
О т в е т: а) 15 ; б) 15 ; в) 3 ; г) 15 .
1
6
1
4
2
6
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Сформулируйте основные комбинаторные правила, формулы.
– Какие определения вероятности вы знаете? Сформулируйте, приведите
примеры.
Домашнее задание: № 841, № 861, № 868.