Прикладная линейная алгебра

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский физико-технический институт (государственный университет)»
МФТИ
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной и методической работе
_______________ Д.А. Зубцов
«___»______________ 20___ г.
Рабочая программа дисциплины (модуля)
по дисциплине:
по направлению:
профиль подготовки/
магистерская программа:
факультет:
кафедра:
курс:
квалификация:
Прикладная линейная алгебра
Прикладные математика и физика (бакалавриат)
Компьютерные технологии и интеллектуальный анализ данных
управления и прикладной математики
проблем передачи информации и анализа данных
3
бакалавр
Семестр, формы промежуточной аттестации: 6 (Весенний) - Простой зачёт
Аудиторных часов: 34 всего, в том числе:
лекции: 34 час.
практические (семинарские) занятия: 0 час.
лабораторные занятия: 0 час.
Самостоятельная работа: 5 час. всего, в том числе:
задания, курсовые работы: 0 час.
Подготовка к экзамену: 0 час.
Всего часов: 39, всего зач.ед.: 1
Программу составила: Ю.П. Бибило, кандидат физико-математических наук
Программа обсуждена на заседании кафедры
14 мая 2014 года
СОГЛАСОВАНО:
Заведующий кафедрой
А.П. Кулешов
Декан факультета управления и прикладной математики
А.А. Шананин
Начальник учебного управления
И.Р. Гарайшина
1. Цели и задачи
Цель дисциплины
Дать представление об основных алгоритмах вычислительной алгебры и их обоснования.
Задачи дисциплины
- обучить студентов основным алгоритмам вычислительной линейной алгебры вместе с их
строгим математическим обоснованием;
- научить оценивать достоинства и недостатки алгоритмов при решении задачи с точки
зрения их точности и затратности;
- научить реализовывать эти алгоритмы в пакете Matlab.
2. Место дисциплины (модуля) в структуре образовательной программы бакалавриата (магистратуры
Дисциплина «Прикладная линейная алгебра» включает в себя разделы, которые могут быть
отнесены к вариативной части цикла Б.1.
Дисциплина «Прикладная линейная алгебра» базируется на дисциплинах:
Линейная алгебра;
Информатика и вычислительная математика.
Дисциплина «Прикладная линейная алгебра» предшествует изучению дисциплин:
Параллельные вычисления;
Обработка изображений;
Методология проектирования и разработки программного обеспечения;
Математические основы анализа многомерных данных.
3. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю), соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной
Освоение дисциплины «Прикладная линейная алгебра» направлено на формирование следующих
общекультурных, общепрофессиональных и профессиональных компетенций бакалавра/магистра:
способность применять теорию и методы математики для построения качественных и
количественных моделей объектов и процессов в естественной сфере деятельности (ОПК-2);
способность понимать ключевые аспекты и концепции в области специализации (ОПК-3);
способность выбирать и применять подходящее оборудование, инструменты и методы
исследований для решения задач в избранной предметной области (ПК-3);
способность критически оценивать применимость применяемых методик и методов (ПК-4).
В результате освоения дисциплины обучающиеся должны
знать:
- основные задачи, алгоритмы и теоремы вычислительной линейной алгебры;
уметь:
- применять алгоритмы вычислительной линейной алгебры;
- оценивать сложность и погрешность алгоритмов;
- реализовывать алгоритмы с помощью пакета Matlab ;
владеть:
- навыком отыскания оптимального пути решения задачи;
- навыками оценки необходимых затрат машинного времени для решения поставленной задачи.
2
4. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и видов учебных занятий
4.1. Разделы дисциплины (модуля) и трудоемкости по видам учебных занятий
№
Тема (раздел) дисциплины
Введение
Линейные системы общего
2
вида
Линейные системы специаль3
ного вида
4
Метод наименьших квадратов
Несимметричная проблема
5
собственных значений
Симметричная проблема соб6
ственных значений
7
Методы Крыловского типа
Итеративные методы для ре8
шения линейных систем
9
Предобуславливание
Итого часов
Общая трудоёмкость
1
Виды учебных занятий, включая самостоятельную работу
Практич.
Задания,
Лаборат.
Самост.
Лекции
(семинар.)
курсовые
работы
работа
занятия
работы
3
4
-
4
1
4
-
4
1
3
-
4
1
4
1
4
34
39 час., 1 зач.ед.
1
5
4.2. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам)
Семестр: 6 (Весенний)
1. Введение.
Типичные задачи вычислительной линейной алгебры. Матричный анализ. Теория возмущений и числа обусловленности. Вычисления с конечной точностью. Анализ сложности алгоритмов. Краткий обзор программных библиотек (BLAS, LAPACK).
2. Линейные системы общего вида.
Треугольные системы. LU-разложение. Анализ ошибок округления. Улучшения алгоритма.
3. Линейные системы специального вида.
Симметричные положительно определенные матрицы. Симметричные неопределенные матрицы. Ленточные матрицы. Разреженные матрицы. LDMT и LDLT разложения.
4. Метод наименьших квадратов.
Ортогональные матрицы. Матрицы Хаусхолдера и Гивенса. QR-разложение. SVDразложение. Сравнение эффективности методов.
3
5. Несимметричная проблема собственных значений.
Свойства и разложения. Хессенбергова форма и форма Шура. Теория возмущений. Степенной метод. Обратный метод. Устойчивый QR метод. QR метод с неявными сдвигами. Сравнение производительности и точности методов.
6. Симметричная проблема собственных значений.
Симметричный QR. SVD. Методы Якоби. Метод "разделяй и властвуй". Сравнение производительности и точности методов.
7. Методы Крыловского типа.
Крыловские подпространства. Метод Арнольди. Метод Ланцоша для эрмитовых матриц.
Сходимость процесса Ланцоша. Сходимость процесса Арнольди. Практическая реализация
метода Ланцоша в неточной арифметике. Библиотека ARPACK.
8. Итеративные методы для решения линейных систем.
Необходимость итеративных методов. Стандартные итерации. Метод сопряженных градиентов. Связь с методом Ланцоша. GMRES.
9. Предобуславливание.
Необходимость предобуславливания при решении линейных систем и задач на собственные
значения. ILU и IC предобуславливатели. Обращение и сдвиг. Полиномиальное предобуславливание. Метод Давидсона.
5. Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления образовательного процесса по дисциплине (модулю)
Учебная аудитория, оснащенная мультимедийным оборудованием (проектор или плазменная
панель), доской.
6. Перечень основной и дополнительной литературы, необходимой для освоения дисциплины
(модуля)
Основная литература
1. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. Мир, 1999. - 548 с.
2. Saad Y. Numerical Methods for Large Scale Eigenvalue problems. 1992. - 358 р.
3. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. Мир, 2001. - 435 с.
4. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. SIAM, 2003. - 528 с.
7. Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы обучающихся по
дисциплине (модулю)
1. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. Мир, 1999. - 548 с.
8. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет", необходимых
для освоения дисциплины (модуля)
4
9. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости)
На лекционных занятиях используются мультимедийные технологии, включая демонстрацию
презентаций.
10. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
Студент, изучающий дисциплину, должен, с одной стороны, овладеть общими понятийным
аппаратом, а с другой стороны, должен научиться применять теоретические знания на практике.
В результате изучения дисциплины студент должен знать основные определения, понятия,
алгоритмы.
Успешное освоение курса требует напряженной самостоятельной работы студента. В программе курса отведено минимально необходимое время для работы студента над темой. Самостоятельная работа включает в себя:
- чтение и конспектирование рекомендованной литературы;
- проработку учебного материала (по конспектам занятий, учебной и научной литературе),
подготовку ответов на вопросы, предназначенные для самостоятельного изучения, доказательство отдельных утверждений, свойств, решение задач;
- подготовка к зачёту.
Руководство и контроль за самостоятельной работой студента осуществляется в форме индивидуальных консультаций.
Важно добиться понимания изучаемого материала, а не механического его запоминания. При
затруднении изучения отдельных тем, вопросов следует обращаться за консультациями к лектору.
11. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам обучения
Приложение.
5
ПРИЛОЖЕНИЕ
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Прикладная линейная алгебра»
1. Перечень типовых контрольных заданий, используемых для оценки знаний, умений, навыков
Перечень контрольных вопросов к зачёту:
1. Решение систем линейных уравнений методом гауссова исключения (LU-разложение).
2. Оценка чисел обусловленности линейных систем.
3. Системы с симметрической матрицей и ленточные системы. Разложение Холесского.
4. Линейная задача наименьших квадратов. Методы отражений Хаусхолдера и вращений Гивенса.
QR-разложение.
5. Линейная задача наименьших квадратов. Синглярное разложение.
6 Проблема отыскания собственных значений. Формы Хессенберга и Шура. Отыскание собственных
векторов с помощью формы Шура.
7. Степенной метод и метод обратных итераций. Нахождение формы Шура методами ортогональных
итераций и QR-итераций.
8. Отыскание собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы: метод «разделяй и властвуй» и метод Якоби.
9. Нахождение сингулярного разложения с помощью алгоритмов нахождения собственных значений
и собственных векторов симметричных матриц.
10. Системы с неявно заданной матрицей. Крыловские подпространства. Методы Арнольди и Ланцоша. Решение системы с помощью крыловских подпространств.
11. Итеративные методы.
2. Критерии оценивания
Оценка
Баллы
10
отлично
9
8
Критерии
Выставляется студенту, показавшему всесторонние, систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины,
проявляющему интерес к данной предметной области, продемонстрировавшему умение уверенно и творчески применять их на
практике при решении конкретных задач, свободное и правильное
обоснование принятых решений.
Выставляется студенту, показавшему всесторонние, систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины
и умение уверенно применять их на практике при решении конкретных задач, свободное и правильное обоснование принятых
решений.
Выставляется студенту, показавшему систематизированные,
глубокие знания учебной программы дисциплины и умение уверенно применять их на практике при решении конкретных задач,
правильное обоснование принятых решений, с некоторыми недо6
7
хорошо
6
5
4
удовлетворительно
3
2
неудовлетворительно
1
четами.
Выставляется студенту, если он твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные
знания на практике, но недостаточно грамотно обосновывает полученные результаты.
Выставляется студенту, если он твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные
знания на практике, но допускает в ответе или в решении задач
некоторые неточности.
Выставляется студенту, если он в основном знает материал,
грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные знания на практике, но допускает в ответе или в решении задач достаточно большое количество неточностей.
Выставляется студенту, показавшему фрагментарный, разрозненный характер знаний, недостаточно правильные формулировки базовых понятий, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, но при этом он освоил
основные разделы учебной программы, необходимые для дальнейшего обучения, и может применять полученные знания по образцу в стандартной ситуации.
Выставляется студенту, показавшему фрагментарный, разрозненный характер знаний, допускающему ошибки в формулировках базовых понятий, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, слабо владеет основными разделами учебной программы, необходимыми для
дальнейшего обучения и с трудом применяет полученные знания
даже в стандартной ситуации.
Выставляется студенту, который не знает большей части основного содержания учебной программы дисциплины, допускает
грубые ошибки в формулировках основных принципов и не умеет
использовать полученные знания при решении типовых задач.
Выставляется студенту, который не знает основного содержания учебной программы дисциплины, допускает грубейшие
ошибки в формулировках базовых понятий дисциплины и вообще
не имеет навыков решения типовых практических задач.
3. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков
и (или) опыта деятельности
Простой зачёт может проводиться по итогам текущей успеваемости и сдачи заданий, лабораторных
и других видов работ, предусмотренных программой дисциплины и (или) путем организации специального опроса, проводимого в устной и (или) письменной форме.
7