В математика, как и любая теоретическая дисциплина, родилась

МИНЕСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
МНОЖЕСТВА, ОТОБРАЖЕНИЯ, ЛОГИКА
методические указания
к практическим занятиям
для студентов специальностей
ССО, РВ, ИСТ
Тюмень 2005
3
§ 1. Структура математики
Любая теоретическая дисциплина рождается из практики и ею же
проверяется, отвечая на три главных вопроса — что? для чего? как? Это
относится и к математике, которая имеет: содержание (что?), цель (для чего?) и технологию исследований (как?). Под содержанием понимается
триада: Содержание = [множества  алгоритмы  логика].
1.1. Математика изучает абстрактные модели с целью установить истинность утверждений не на основании опыта и наблюдения (как это делается в естественных науках), а выводится (дедуцируется) из небольшого
числа исходных утверждений. Состав математики порождена триадой:
Состав = [понятия  утверждения  доказательства].
1.2. Понятия делятся на неопределяемые понятия, неопределяемые
отношения и определяемые понятия. Неопределяемые понятия (например,
точка, прямая, плоскость, число) и неопределяемые отношения (например,
отношение  «принадлежать») являются основой для введения определяемых понятий. Они вводятся в математике с помощью определений, которые имеют специальную структуру, удовлетворяющую некоторым требованиям (см. п. 4.21).
1.3. Утверждения делятся на: 1) аксиомы; 2) теоремы; 3) приложения.
1.4. Аксиома — это утверждение, принимаемое без доказательства.1
1.5. Теорема доказывается логическим путем с помощью аксиом или
уже доказанных теорем.2 При доказательствах применяются так называемые правила вывода (см. п. 4.19).
1.6. Приложение математической теории может осуществляться в
виде готовых формул, теорем или алгоритмов: 1) для решения инженерной
задачи, 2) в других науках, 3) внутри самой математики. Первичной же
движущей силой существования теорем является практика, конкретная
инженерная задача.3
1.7. П р и м е р. В теореме: «Если целое число делится (без остатка)
на 4, то оно — четное» условием служит предложение А = «целое число
делится на 4», заключением — предложение В = «это число — четное».
Логическая структура этой теоремы имеет вид: «Если А, то В».■
§ 2. Множества
2.1. Краеугольным камнем математики является теория множеств,
которую создал Г. Кантор (о нем Д. Гильберт сказал: «Никто и никогда не
изгонит нас из его рая»).
2.2. В триаде
Теория множеств = [множества  элементы  принадлежность]
4
понятия множество, элемент, принадлежность являются неопределяемыми. Для любого элемента х и любого множества М есть ровно две альтернативы:
либо х принадлежит М (обозначение: хМ),
либо х не принадлежит М (обозначение: хМ).
Среди множеств особняком стоит пустое множество , которому,
по определению, не принадлежит никакой элемент. Это означает, что для
любого элемента х следует: х.
Два множества А и В равны (тождественны, совпадают), А = В, тогда и только тогда, когда каждый элемент А является элементом В и обратно. Это значит, что множество однозначно определяется своими элементами. Кроме того, из определения равенства множеств следует, что пустое
множество единственное.
Множество считается заданным, если перечислены все его элементы,
при этом перечисляемые элементы заключаются в фигурные скобки.
Множество называется конечным, если оно состоит из конечного
числа элементов, и бесконечным в противном случае. Число элементов конечного множества G обозначается |G | и называется его мощностью.
2.3. П р и м е р. Z2 = {0, 1} — множество всех цифр двоичной системы счисления; при этом 0 Z2, 1 Z2, 7 Z2; | Z2 |  2 . ■
2.4. П р и м е р.
 = {, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }
— множество всех букв греческого алфавита; |  |  24 .■
2.5. П р и м е р. Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} — множество всех
цифр десятичной системы счисления; | Z10 |  10 .■
2.6. П р и м е р. D = {x  Z10 | x — чётное число} — множество всех
чисел х  Z10, таких, что x — чётное число. В другой записи, D = {0, 2, 4, 6,
8}. Знак | читается «такой, что»; причем слева от него указывается родовой признак (x  Z10) элементов множества D, а справа записывается их характеристическое свойство — видовое отличие (x — чётное число).■
2.7. Среди множеств особо выделяются стандартные числовые
множества, которые обозначаются жирными прямыми заглавными буквами:
N = {1, 2, 3, …} — множество натуральных чисел,
Z = {… 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, …} — множество целых чисел,
Q = { k | k  Z, n  N , k — несократимая дробь} — множество рациоn
n
нальных чисел,
R — множество действительных чисел4,
С = {x + yi | x, yR, i2 = 1} — множество комплексных чисел.
5
2.8. Множество А, все элементы которого принадлежат и множеству
В, называется подмножеством множества В. Это отношение между множествами называют включением и обозначают символом , т.е. А  В (А
включено, содержится в В) или В  А (В включает, содержит А). Для
множеств п. 2.7 справедлива цепочка включений: N  Z  Q  R  C.
Любое множество А содержит себя, А  А.
Считается, что   А для любого множества А.
Если А  В и В  А, то А = В. Обратно, если А = В, то А  В и В  А.
Среди подмножеств любого непустого множества А всегда имеется
два несобственных подмножества: пустое множество  и само множество
А. Остальные подмножества называются собственными. Конечные собственные подмножества образуются всевозможными сочетаниями по одному, по два, по три, и т.д. элементов данного множества.
Множество, элементами которого являются все подмножества множества А, называют множеством подмножеств (множеством-степенью)
А и обозначают P (A). Так, для множества Z2 из п. 2.3
P (Z2) = {, {0}, {1}, Z2}.
Если А — конечное множество, то | P (A)|= 2|A|. Действительно, пусть
n = | A |. Тогда мы можем занумеровать элементы А от 1 до n и каждому
подмножеству приписать упорядоченный набор длины n, записанный с
помощью двух цифр 0 (если элемент не принадлежит подмножеству) и 1
(если элемент принадлежит подмножеству). Так как разным подмножествам соответствуют различные наборы длины n, то число подмножеств А
равно числу таких наборов, т.е. | P (A)|= 2n.
В частности, | P ()|= 2|| =20 = 1.
2.9. Декартовым (прямым) произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар вида (х, у), таких, что первый
элемент х этой пары принадлежит множеству А, а второй элемент у —
множеству В. Декартово произведение множеств А и В обозначается А  В
(читается «А крест В»):
A  B  {( x, y) | x  A, y  B} .
Вообще говоря, А  В  В  А.
Если В = А, то декартово произведение А  А = А2 (читается «А крест
А равно А два») двух экземпляров множества А называется декартовым
квадратом (второй декартовой степенью) множества А. Обобщая вторую
декартову степень, определим любую натуральную декартову степень Аn
множества А следующим образом:
6
An  A  A  ...  A  {( x1, x2 , ..., xn ) | xi  A, i  1..n} .


n сомножителей
(Запись i  1..n означает, что индекс i принимает все возможные целочисленные значения от 1 до n.) Так, например, множество R n называется nмерным арифметическим пространством; в частности, 1-мерное арифметическое пространство R называется числовой прямой, 2-мерное пространство R2 — числовой плоскостью, 3-мерное пространство R3 — числовым
пространством.
2.10. П р и м е р. Пусть А — множество дней недели, т.е. А = {1, 2, 3,
4, 5, 6, 7}, В = {, , } — множество студентов, работающих на данном
компьютере. Тогда
 (1,  ), (2,  ), (3,  ), (4,  ), (5,  ), (6,  ), (7,  ), 


A  B   (1, ), (2,  ), (3, ), (4, ), (5, ), (6, ), (7, ), .
(1, ), (2, ), (3, ), (4, ), (5, ), (6, ), (7, ) 


Так как | A|  7 , | B |  3 , то мы подмечаем, что | A  B | | A|| B |  7  3  21 . Это
частное наблюдение позволяет перейти к правилу произведения, которое
справедливо для конечных множеств:
| A  B |  | A| | B | . ■
2.11. Пересечением множеств А и В называется множество
A ∩ B = {x | x  A и x  B}.
Говорят, что множества А и В не пересекаются, если их пересечение
пусто: A ∩ B = .
I
I
А
А∩В
В
А
В
А∪В
Рис. 1. Изображение пересечения
множеств А и В с помощью кругов Эйлера.
Рис. 1. Изображение объединения
множеств А и В с помощью кругов Эйлера.
7
2.12. Объединением множеств А и В называется множество
A ∪ B= {x | x  A или x  B}.
2.13. Разностью множеств А и В называется множество
A \ B = {x | x  A и x  B}.
2.14. Дополнение. В частности, если В  I, то разность I \ B называется дополнением множества В до множества I и обозначается BI или
просто B , (иногда BI или B ) когда из контекста ясно объемлющее множество I, называемое еще универсумом.
I
I
А
А\B
В
В
BI
Рис.4. Дополнение множества Мандельброта В (черный цвет) до множества I.
Рис. 3. Разность A\B множеств А и В.
2.15. -алгебра. Сигма-алгеброй (-алгеброй) называют непустую
систему B подмножеств некоторого множества I, удовлетворяющую следующим двум условиям.
1. Если А  B, то A  B.
2. Если А1, А2, …, Аn, … B, то
А1 ∩ А2 ∩ …∩ Аn ∩ …B ,
А1 ∪ А2 ∪ …∪ Аn ∪ …B.
Поскольку А ∪ A = I и I    , то I,   B.
П р и м е ч а н и е: -алгебра лежит в основе аксиоматического построения теории вероятностей, в которой событиями называются элементы -алгебры.
Упражнения и задачи
2.1. Какие из приведенных ниже соотношений неверны и почему?
а)   {1, 2}; б) {}  {, 1, 2}; в)   {, 1, 2}; г) |  | = |{}|;
д) | P (P ()) | = 2; е) {1, 2}  {0, 1, 2, {1, 2}}; ж) {1, 2}  {0, 1, 2, {1, 2}},
8
з) х  {2, a, x}; и) 3  {1, {2, 3}, 4}; к) х  {1, sin x}; л) ,   {{, }, {,
}}; м) 1  {1, {1}}, н) {nN | 2n + 3k = 12 для подходящих kN} = {3, 6}.
2.2. Перечислить все элементы множества P ({, , }).
2.3. Верно ли, что А ∩ В  А ∪ В? Ответ обосновать.
2.4. Доказать, что для конечных множеств справедливо равенство
| A | + | B | = | A ∪ B | + | A ∩ B |.
2.5. Доказать, что | A \ B | = | A | – | A ∩ B | для любых конечных множеств.
2.6. Найти А ∩ В, А ∪ В, А\В, если А = {2k| k = 0..6} и B = {т2| т = 0 ..
8}.
2.7. Найти множество всех двухэлементных подмножеств множества
 = {, , }.
2.8. Привести примеры элементов из пересечения множества правил
русского языка с множеством правил английского языка.
2.9. Известно, что  = {, , }, пересечение  и  равно {, }, объединение  и  равно {, , , , }. Найти множество .
2.10. Дано множество  всех вертикальных прямых трехмерного евклидова пространства. Каким может быть множество  всех прямых, пересекающих данную прямую?
2.11. Найти пересечение С множества А решений уравнения х2 – 1 = 0
с множеством В решений уравнения 2х2 – 3х – 5 = 0. Совпадает ли С с
 x 2  1  0,
множеством P решений системы  2
Совпадает ли С с
2 x  3 x  5  0 ?
 x 2  1  0,
множеством Q решений совокупности  2
Как связаны P, Q
2
x

3
x

5

0
?

c A, B?
2.12. Приняв множество первых 20 натуральных чисел в качестве
универсума, запишите следующие его подмножества: A — четных чисел, B
— нечетных чисел, C — квадратов чисел, D — простых чисел. В каких отношениях находятся эти подмножества?
2.13. Запишите множества, полученные в результате следующих
операций над множествами из задачи 2.12: А ∪ В, A ∩ В, А ∩ С, А ∩ D, C \ A,
C \ B, C ∪ D . Сформулируйте характеристические свойства каждого из полученных множеств.
2.14. Пусть М1 и М2 — соответственно множества деталей первого и
второго механизмов, а P — множество пластмассовых деталей. Запишите в
виде теоретико-множественных соотношений следующие условия.
а) Среди деталей первого механизма имеются все пластмассовые де-
9
тали.
б) Одинаковые детали, входящие в оба механизма, могут быть только пластмассовыми.
в) Во втором механизме нет пластмассовых деталей.
2.15. Является ли совокупность полученных в предыдущей задаче
соотношений непротиворечивой? Если да, то можно ли ее упростить?
2.16. Найти ошибку в следующей фразе: «Пусть Н — множество
всех множеств, каждое из которых не содержит себя в качестве элемента. Выполнимо ли отношение Н  Н?».
Р е ш е н и е. Если Н  Н, то Н не должно содержать себя как элемент: Н  Н. Если Н  Н, то Н  Н. Получившийся парадокс приходится
устранять языковыми средствами: следует называть Н не множеством, а
классом. Рассмотренный парадокс из той серии, к которой принадлежит
парадокс о брадобрее: «Должен ли брадобрей брить себя, если он бреет
только тех, кто сам не бреется?» и парадокс типа «Может ли Всемогущий создать такой камень, который он сам не сможет поднять?».
Задание 1. Даны множества А = {n  Z| p  n  q}, В = {n  Z| r  n 
s} (табл. 1). На числовой прямой R изобразить множества А, В, А ∩ В, А
∪ В, А \ B, B \ A, а на числовой плоскости R2 — множество А  В.
Таблица 1
№
1
2
3
4
5
6
p
q
r
s
3
4
5
1
2
4
7
6
8
9
8
6
0
2
1
0
1
0
5
5
7
7
6
5
№
7
8
9
10
11
12
p
q
r
s
1
2
3
4
5
6
5
7
6
5
8
9
0
1
2
1
0
2
9
8
7
8
5
4
№
13
14
15
16
17
18
p
q
r
s
3
4
5
3
1
1
9
8
7
8
5
6
1
0
2
0
1
2
5
7
6
5
8
9
№
19
20
21
22
23
24
p
q
r
s
3
4
1
3
5
1
9
9
8
7
8
8
1
2
0
1
2
0
7
6
9
5
8
6
№
25
26
27
28
29
30
p
q
r
s
1
2
3
4
5
6
5
7
6
5
8
9
2
0
1
2
0
2
8
9
7
5
7
7
§ 3. Отображения
3.1. Говорят, что задано соответствие
f : X  Y
множества Х на множество Y , если задано подмножество G  X Y, причем элементу x  X соответствует элемент y  Y (обозначение: xGy), если и
только если (x, y)G. Таким образом, соответствие f есть триада
f = [X Y  G],
в которой X — множество отправления (область определения), Y —
множество прибытия, G — график соответствия f. Образом элемента x
10
 X в соответствии f : X  Y называется множество f ( x)  { y Y | xGy} .
Полным прообразом элемента yY в соответствии f : X  Y называется
множество f 1( y)  {x  X | xGy}.
П р и м е р. Соответствие f удобно понимать с помощью графа, который представляет собой триаду
Граф = [начала  концы  ребра],
при этом ребра обозначаются стрелками, начала — элементы множества Х,
концы — элементы множества Y. Вершина и ребро называются инцидентными, если вершина является началом или концом стрелки. Каждое ребро
инцидентно ровно двум (возможно, совпадающим) вершинам, одна из которых — начало стрелки, другая — конец.
Пусть Х ={, , }, Y ={1, 2, 3, 4} — множества, и пусть G = {(, 1),
(, 2), (, 2), (, 4), (, 3)}  X Y — подмножество. Тогда определено со
1
2

3

4
f
Х
Y
Рис. 5. Граф соответствия.
ответствие f : X  Y, которое в виде графа изображено на рис. 5.■
3.2. Отображением множества X на множество Y называется соответствие f : X  Y, такое, что образ любого x  X состоит ровно из одного элемента.
У п р а ж н е н и е. Какие из указанных на рис. 6 соответствий являются отображениями?
Два отображения f : X  Y, g : X  Y считаются равносильными,
если f ( x)  g ( x) для всех х  Х. Для равносильных отображений f, g используется запись: f = g.
3.3. Отображение f : X  R называется функцией на множестве X.
3.4. Если X  R — числовое множество, то функция f : X  R
называется числовой функцией.
3.5. Отображение f : X  Y называется сюръекцией (отображением на), если для любого элемента у  Y справедливо неравенство
| f 1 ( y ) |  1.
У п р а ж н е н и е. Какие из указанных на рис. 6 соответствий явля-
11
ются сюръективными отображениями?
3.6. Отображение f : X  Y называется инъекцией (отображением
в), если для любого элемента уY справедливо неравенство | f 1 ( y ) |  1.
Инъективное отображение два различных элемента отображает на два различных элемента.
У п р а ж н е н и е. Какие из указанных на рис. 6 соответствий являются инъективными отображениями?
3.7. Отображение называется биекцией (взаимно однозначным соответствием), если оно одновременно является инъекцией и сюръекцией.
У п р а ж н е н и е. Какие из указанных на рис. 6 соответствий являются биективными отображениями?
Два множества называются равносильными, если между этими множествами существует биекция.
3.8. Биекция множества на себя называется преобразованием (автоморфизмом) данного множества.
3.9. П р и м е р. Тождественным преобразованием множества называется преобразование f : X  Х, такое, что f ( x)  x для всех х  Х.
Тождественное преобразование обозначается idX; оно является биекцией.■
3.10. Соответствие : X  X называется отношением на множестве X.
3.11. Отношение  на множестве Х называется
рефлексивным, если хх,
симметричным, если из ху следует ух,
транзитивным, если из ху и уz следует хz для любых х, у, z  X.
У п р а ж н е н и е 1. Докажите, что отношение параллельности || на
множестве всех прямых евклидовой плоскости является рефлексивным,
симметричным и транзитивным.
У п р а ж н е н и е 2. Докажите, что отношение включения  на множестве P (Х) рефлексивное, не симметричное, транзитивное.
(а)
3
4
1
2
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
5
4
5
5
5
5
5
5
(б)
(в)
(г)
(д)
(ж)
(з)
(и)
Рис. 6. Соответствия.
У п р а ж н е н и е 3. Докажите, что отношение  на множестве R действительных чисел рефлексивное, не симметричное, транзитивное.
У п р а ж н е н и е 4. Докажите, что отношение > на множестве R дей-
12
ствительных чисел не рефлексивное, не симметричное, транзитивное.
3.12. Отношение ~ на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно. Если два
элемента х, у  Х находятся в отношении эквивалентности, то говорят, что
они эквивалентны между собой: х ~ у. Все элементы, эквивалентные данному элементу х  P (Х), образуют подмножество x  P (Х) — класс элемента х. Легко доказать, что классы двух элементов либо совпадают, либо
не пересекаются. Это позволяет рассматривать классы эквивалентности
как элементы множества, которое называется фактор-множеством5 и
~
обозначается X  X / ~ .
3.13. П р и м е р. Отношение равносильности в классе K всех множеств является отношением эквивалентности. Любому классу эквивалентности приписывается так называемое кардинальное число, называемое
мощностью любого из множеств этого класса. Например, мощность пустого множества равна 0, мощность непустого конечного множества равна
числу n его элементов, мощность множества N равна а, мощность множества R равна с. При этом выполняются неравенства 0 < n < a < c. Множество мощности а называется счетным, а мощности с — континуумом. Более ста лет не решена континуум-проблема: существует ли множество
мощности b, такой, что a < b < c?■
3.14. П р и м е р. Будем говорить, что два числа m, n  Z сравнимы по
модулю p  N , если их разность m – n делится на p без остатка (обозначение m  n mod p , читается «m сравнимо с n по модулю p»). Например, 2005
 1 mod 12, 3  1 mod 2, 2  0 mod 2. Для любого k  Z справедливы сравнения: 2k  0 mod 2, 2k + 1  1 mod 2. Очевидно, отношение сравнения является отношением эквивалентности, поэтому по нему можно факторизовать Z. Фактор-множество
Z p  Z / mod p  {0, 1, ..., p  1}
состоит из p классов, которые называются классами вычетов по модулю
p.■
3.15. У п р а ж н е н и е. Докажите, что в множестве
Z 6  Z / mod 6  {0, 1, 2, 3, 4, 5}
можно ввести операции сложения и умножения; докажите, что 2  3  0 .
Задание 2. Даны множества А = {n  Z| p  n  q}, В = {n  Z| r  n 
s} (данные брать в табл. 1). Найти множество отправления и множество
прибытия соответствия : В  А, график которого состоит из элементов
(x, y)  B  A, таких, что х < y2. Построить граф соответствия .
13
§ 4. Простейшие понятия математической логики
Чем занимается математическая логика? Логика как искусство рассуждений зародилась в глубокой древности. Начало науки о законах и
формах мышления связывают с именем Аристотеля. Лейбниц предложил
ввести в логику математическую символику и использовать ее для общих
логических построений. Эту идею последовательно реализовал Джордж
Буль и тем самым заложил основы математической (символической) логики.6
4.1. Высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно точно сказать, истинно оно или ложно. Например, предложение
«Множество R *  {x  R | x  0} всех ненулевых чисел не является пустым» является высказыванием, так как это предложение — повествовательное и о нем точно можно сказать, что оно истинно. Другой пример,
предложение «Железо — диэлектрик» является высказыванием, причем
ложным. Вопросительные и восклицательные предложения не являются
высказываниями. Предложение «На Марсе есть жизнь» также не является
высказыванием, так как мы не знаем точно, имеется ли жизнь на Марсе.
Строго говоря, понятие «высказывание» является в математической
логике неопределяемым, а первое предложение настоящего пункта — всего лишь пояснение на бытовом языке. Но даже из этого пояснения следует,
что если L — множество всех высказываний, то определено отображение
: L  Z2,
такое, что для любого А  L определим (А) = 1, если А — истинное высказывание, или (А) = 0, если А — ложное высказывание.
4.2. Отрицание. Из высказывания А = «Сегодня — четверг» можно
построить новое высказывание A (читается: «не А»), с помощью универсального приема: A = «Неверно, что А» = «Неверно, что сегодня — четверг». Высказывание A называется отрицанием высказывания А. Логическая операция получения A из А называется отрицанием. Другими словами, отрицание — это автоморфизм множества L всех высказываний, при
этом если А — истина, то Ā — ложь, а если А — ложь, то Ā — истина. Сказанное отражает следующая таблица истинности, которая фактически является определением операции отрицания высказываний.
А
1
0
Ā
0
1
14
4.3. Следующие четыре операции называются и обозначаются конъюнкция , дизъюнкция , импликация , эквиваленция ; они определяются с помощью таблиц истинности:
А
1
1
0
0
В
1
0
1
0
АВ
1
0
0
0
АВ
1
1
1
0
АВ АВ
1
1
0
0
1
0
1
1
Каждая из этих операций является двуместной (бинарной), т.е. каждая из
них отображает L  L на L. Это немедленно приводит нас к булевым
функциям.
4.4. Булевы функции. Объекты с двумя возможными состояниями
характеризуются булевыми переменными, которые способны принимать
лишь два различных значения 0 и 1. Отношения между булевыми переменными представляются булевыми функциями вида
f: Z n2  Z2,
которые подобно числовым функциям могут зависеть от одной, двух и, вообще, п переменных (аргументов). Запись Y = f (X1, X2, ..., Xп) означает, что
Y — функция аргументов X1, X2, ..., Xn. Важнейшая особенность булевых
функций состоит в том, что они, как и их аргументы, принимают свои значения из двухэлементного множества Z2, т. е. характеризуются одним из
двух возможных состояний.
Функции небольшого числа переменных можно задавать с помощью
таблиц истинности. Для этого нужно только указать значения функции для
каждой комбинации значений ее аргументов.
4.5. Логические операции и формулы. Булевы функции можно рассматривать как логические операции над величинами, принимающими значения 0 или 1. Отрицание — это одноместная операция, а конъюнкция,
дизъюнкция, импликация и эквиваленция — двухместные операции. При
этом выражения X, Y, X , X  Y, X  В, А  В, А  В являются логическими формулами.
Более сложные формулы получаются замещением входящих в них
переменных другими логическими формулами, которые обычно заключаются в скобки. Например, положив X  A и Y  B  C , из формулы X  Y
получаем формулу ( A )  ( B  C) . Каждая формула определяет булеву
функцию. Ее значения при различных значениях переменных А, В, С определяются по таблице истинности, построенной на основании таблиц истинности, приведенных в п. 4.2 и п. 4.3.
15
A
1
1
1
1
0
0
0
0
B
1
1
0
0
1
1
0
0
C
1
0
1
0
1
0
1
0
A
0
0
0
0
1
1
1
1
BC
1
0
0
0
1
0
0
0
( A)  ( B  C)
1
0
0
0
1
1
1
1
Равносильность функций (и определяющих их формул) понимается в
смысле равносильности отображений (см. п. 3.2).
4.6. Булева алгебра — это тройка B = [F  Z2  ], где F — множество всех булевых функций,  = {¯, , } — множество трех логических
операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Из определения логических операций легко следует справедливость тождеств (свойств) булевой
алгебры:
коммутативность
X Y = Y  X , X Y = Y  X ;
ассоциативность
X  (Y  Z ) = ( X  Y )  Z , X  (Y  Z ) = ( X  Y )  Z ;
дистрибутивность
X  (Y  Z ) = ( X  Y )  ( X  Z ) , X  (Y  Z ) = ( X  Y )  ( X  Z ) ;
поглощение нуля
X 0 X ;
умножение на единицу
X 1  X ;
свойства отрицания
X  X  0 , X  X  1.
4.7. Тождественные преобразования. Приведенные свойства позволяют получить ряд других важных законов и тождеств уже без обращения к таблицам истинности:
16
X  Y  X  Y , X  Y  X  Y (законы де Моргана),
X  ( X  Y )  X  ( X  Y )  X (законы поглощения),
X  X  X  X  X (законы идемпотентности),
а также тождества:
X  (X  Y)  X  Y ,
( X  Y )  ( X  Z )  (Y  Z )  ( X  Z )  (Y  Z ) ,
1  0,
X X,
0  1,
X 00
X  1 1 ,
и т.д.
4.8. С помощью таблиц истинности доказывается, что
X Y = X  Y :
X  Y
X  Y
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
Аналогично доказывается, что X  Y  ( X  Y )  (Y  X ) :
X
1
1
0
0

1
0
0
1
Y
1
0
1
0
X
1
1
0
0

1
0
1
1
Y
1
0
1
0

1
0
0
1
Y
1
0
1
0

1
1
0
1
X
1
1
0
0
4.9. Предикат — это предложение с одной или несколькими переменными, которое становится высказыванием, если переменные принимают конкретные значения. Предикат с n переменными называется nместным. Например, предложение P(x)  «Число х — положительное» —
одноместный предикат, предложение Q( x, y)  «х > у» — двуместный
n
предикат, предложение R( x1, ..., xn )  «  xk2  1 » — n-местный предикат.
k 1
4.10. Множество истинности предиката P(x) — это множество
всех значений переменной x  M1  M 2  ...  M n , при которых данный
предикат является истинным высказыванием.
Строго говоря, предикат P(x) — это отображение
: D  Z2,
17
некоторого подмножества D  M 1  M 2  ...  M n в множество Z2; при этом
D называется областью определения предиката. Тогда множество истинности предиката P(x) — это полный прообраз 1 (1)  D элемента 1  Z2.
Множество истинности предиката P(x) будем обозначать с помощью квадратных скобок: [ P(x) ].
4.11. Связь логики с теорией множеств. Из 4.10, 4.2, 2.14 следует,
что [ P( x)]  [ P( x)] D .
4.12. Пусть даны два n-местных предиката P(x) и Q(x) , определенных на множестве D . Тогда из 4.10, 4.3, 2.11 и 2.12 следует
[ P( x)  Q( x)]  [ P( x)]  [Q( x)] , [ P( x)  Q( x)]  [ P( x)]  [Q( x)] ,
или, проще,
[ P  Q]  [ P]  [Q] , [ P  Q]  [ P]  [Q] .
Для импликации и эквиваленции получаем:
[ P  Q]  [ P  Q]  [ P ]  [Q]  [ P]  [Q] ,
[ P  Q]  [( P  Q)  (Q  P)]  [ P  Q]  [Q  P] 
 ([ P]  [Q])  ([Q]  [ P]) .
4.13. Кванторы. Переменную в предикате можно связать квантором
общности или квантором существования.
Квантор общности произошел от английского слова All (все), обозначается символом  и читается «любой, всякий, каждый»; символ  есть
просто перевернутая буква А.
Квантор существования произошел от английского слова Exist (существовать), обозначается символом  и читается «существует, имеется,
найдется»; символ  — это перевернутая буква Е.
П р и м е р 1. Высказывание A = «Каждый день Красавице дарят розы» может быть формализовано как двуместный предикат P(x, y) = «В день
х человек y дарит розы Красавице», у которого переменная х связана квантором общности , а на переменную у навешан квантор существования :
А = (х) (у) Р(х, у).■
П р и м е р 2. Пусть P( x, y, z )  « z  x  y » 3-местный предикат,
определенный на множестве R 3 . Связав любую переменную квантором
18
(общности или существования), мы получим 2-местный предикат, например, ( z  R) P( x, y, z ) .■
Вообще, если навесить по одному квантору на k переменных nместного предиката, k  n , то n-местный предикат превратится в (n – k)местный. Причем 0-местный предикат — высказывание.
Запись с восклицательным знаком !у читается «существует единственный у», а высказывание (х) (!у) Р(х, у) читается «для любого х существует и притом единственный у, для которого Р(х, у)».
У п р а ж н е н и е. Приведите пример, показывающий неравносильность высказываний (х) (у) Р(х, у) и (у) (х) Р(х, у).
4.14. Отрицание предиката с кванторами. Отрицание предиката
(x  X )(y Y ) P( x, y, ...) можно записать в «категоричной» форме:
(x  X )(y  Y ) P( x, y, ...) ,
а можно записать в более мягкой форме, заменив:
квантор  — на квантор ,
квантор  — на квантор ,
предикат P( x, y, ...) — на его отрицание P( x, y, ...) :
(x  X )(y  Y ) P( x, y, ...) = (x  X )(y  Y ) P( x, y, ...) .
П р и м е р 3. Высказывание «Неверно, что у всех студентов есть
мобильные телефоны» можно записать в равносильной — с точки зрения
математической логики — форме: «Существует студент, у которого нет
мобильника», или, иначе, «Не у всех студентов есть мобильники».■
У п р а ж н е н и е. Как будет выглядеть отрицание фразы «Каждому
— свое»?
4.15. Операции над предикатами — конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, отрицание — выполняются по аналогии с операциями над высказываниями.
4.16. Теоремы. Теорему можно записать в виде «Для любого х, если
Р(х), то Q(х)» или (х) Р(х)  Q(x). Это означает, что получившееся высказывание является истинным, т.е. теорема верна. Высказывание (х) Р(х)
называется посылкой, а высказывание (х) Q(x) — заключением теоремы.
Для данной теоремы, которую мы условно запишем P  Q , можно
записать
 обратную Q  P ,
 противоположную P  Q
 обратную противоположной Q  P .
С помощью таблицы истинности легко доказать закон контрапози-
19
ции:
PQ Q P.
Это означает, что если верна теорема P  Q , то верна и теорема, обратная
противоположной, Q  P .
4.17. П р и м е р 4. Рассмотрим (см. п. 1.7) два одноместных предиката: А(n) = «Целое число n делится на 4», В(n) = «Целое число n делится на
2». Предикат A(n)  B(n) является тождественно истинным на множестве
Z целых чисел, т.е. высказывание (nZ) A(n)  B(n) истинное. Записав
четыре теоремы:
(1) (n  Z) A(n)  B(n) ,
(2) (n  Z) B(n)  A(n) ,
(3) (n  Z) A(n)  B(n) ,
(4) (n  Z) B(n)  A(n) ,
видим, что (1) и (4) — верные, а (2) и (3) — неверные теоремы. Таким образом, для данной теоремы обратная теорема не всегда верна.■
4.18. Необходимые и достаточные условия. Рассмотрим импликацию A(n)  B(n) предикатов A(n), B(n) из примера 4.17. Прежде всего, заметим, что множество истинности предиката А(n) есть множество
[ A(n)]  {n  Z | n  4k  k  Z} ,
состоящее из целых чисел, кратных 4, множество истинности предиката
В(n) есть множество
[ B(n)]  {n  Z | n  2k  k  Z} ,
элементами которого являются все четные числа. Легко убедиться, что
[A(n)]  [B(n)]. В таких случаях говорят, что A(n) является достаточным
условием для B(n), а В(n) является необходимым условием для А(n).
Таким образом, если теорема сформулирована в виде А  В, то ее
можно прочесть словесно следующими равносильными способами:
 если А, то В
 для того чтобы В, достаточно А
 для того чтобы А, необходимо В
 из А с необходимостью следует В.
Если предикат А является одновременно необходимым и достаточ-
20
ным условием для В, то верна теорема А  В и обратная ей теорема В  А,
т.е. теорема (А  В)  (В  А), которая равносильна (см. п. 4.8) теореме
А  В; последняя читается одним из следующих способов:
 для того чтобы А, необходимо и достаточно В
 А, если и только если В
 А в том и только в том случае, когда В.
4.19. Правила вывода. Доказательства теорем выполняются по правилам, по которым из истинных посылок получают, выводят истинные заключения и которые принимаются в начале теории.
Примем два (исходных) правила вывода:
1) из А и А  В выводимо В,
2) из Р(х) выводимо (х) Р(х).
Правило 1) называется Modus Ponens или правилом заключения, правило 2)
— правилом обобщения или правилом связывания квантором общности.
Правило заключения символически записывается следующим образом:
A, A B
.
B
П р и м е р 5. Металл — проводник; железо — металл. Следовательно, железо —
проводник. Это умозаключение символически запишется так:
металл — проводник, железо — металл
железо — проводник.■
Из основных правил вывода 1), 2) можно вывести и другие правила,
которые упростят доказательства:
A, B
3) правило введение конъюнкции A B
4) правило удаления конъюнкции AAB
AB, BC
AC
A B, B
6) правило отрицания
A
7) правило контрапозиции A B
BA
5) правило силлогизма
8) правило расширенной контрапозиции
( A B)C
( AC )B
A B, B
A
, A B, A B
10) правило сведения к абсурду
.
 A
9) правило удаления дизъюнкции
4.20. Доказательство методом от противного основано на правиле
отрицания. Пусть мы хотим доказать теорему А  В, исходя из того что А
— истина. Делаем предположение, что B — истина. Затем логическими
средствами приходим к тому, что A — истина. Появление двух противо-
21
речащих друг другу высказываний А и A свидетельствует о наличии противоречия, которое может быть снято только отказом от сделанного предположения: B — ложь, следовательно, В — истина.
4.21. Определения. Как отмечалось в п. 1.2, определения имеют
специальную структуру. Для формулировки определения понятия математического объекта (например, прямоугольника) должны быть выполнены
следующие условия:
1) выбирается множество (род) М объектов (всех параллелограммов),
обладающих родовым признаком  определяемого объекта (четырехугольника, у которого противоположные стороны попарно параллельны)
2) формулируется характеристическое свойство, видовое отличие, 
(наличие прямого угла в параллелограмме)
3) выделяется подмножество K  М объектов (называемых прямоугольниками) со свойством .
Другой пример: животное и лошадь; понятие «животное» — род, а
понятие «лошадь» — вид. Прикольный пример: люди и зайцы; люди —
род, зайцы — вид.
С теоретико-множественной точки зрения множество K определяемых объектов (всех прямоугольников) является подмножеством множества
М (всех параллелограммов):
K  {x  M | х обладает свойством },
при этом слева от вертикальной черты указан родовой признак (х является
параллелограммом), а справа — видовое отличие, характеристическое
свойство  (параллелограмм х имеет прямой угол).
Логическая структура определения имеет вид высказывания:
(x  M) A(x)  B(x),
где М — род — множество всех параллелограммов, А(х) = «х называется
прямоугольником» — предикат, вводящий новое понятие, В(х) = «в параллелограмме х все углы — прямые» — предикат, содержащий характеристическое свойство. Это высказывание звучит так: «Параллелограмм х
называется прямоугольником тогда и только тогда, когда у параллелограмма х имеется прямой угол». После литературной обработки определение становится более благозвучным: «Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом».
Определения должны удовлетворять трем требованиям:
 они не должны приводить к порочному кругу,
 каждое понятие должно определяться один раз,
 определение не должно быть ни слишком узким, ни чрезвычайно широким для определяемого понятия.
22
4.22. Двоичная арифметика. В позиционной системе счисления с
основанием р любое натуральное число х  N записывается последовательностью x1 x2 ... xn цифр xk  Z p (см. п. 3.14), что означает
n
x  x1 p n 1  x2 p n  2  ...  xn p 0   xi p n i .
i 1
Для десятичной системы р = 10; например,
5092 = 5  10 3  0  10 2  9  101  2  10 0 .
Для двоичной системы р = 2. В двоичной записи используются только две цифры 0 и 1. Например, первые несколько натуральных чисел мы
для сравнения запишем в десятичной и двоичной системах счисления:
0 = 02, 1 = 12,
2 = 102, 3 = 112,
4 = 1002, 5 = 1102, 6 = 1102, 7 = 1112,
8 =10002, 9 = 10012, 10 = 10102, 11 = 10112,
12 = 11002, 13 = 11012, 14 = 11102, 15 = 11112,
16 = 100002, и т.д.
Алгоритм перехода от десятичной записи натурального числа х к
двоичной х = (х1х2 … хn)2 основан на вычислении остатков при многократном делении на 2. Действительно, пусть x  x1 2 n 1  x2 2 n 2  ...  xn 20 ,
или, равносильно, x  2( ... 2(2 x1  x2 )  ... xn 1 )  xn  2 y  xn . Тогда при
делении числа х на 2 частное будет равно у, а остаток — хn. При делении
же числа у на 2 получится остаток xn 1 и т.д. Таким образом, полученные
остатки, записанные в обратном порядке их получения, дают искомую
двоичную запись числа х. Например:
_26 | 2
26 _13 | 2
12 _6
0
6
1
0
| 2
_3 | 2
2 _1 | 2
0
0
1
1
2610 = 110102.
Действительно, проверяя полученный результат, получаем:
23
110102 = 1  24 + 1  23 + 0  22 + 1  21 + 0  20 = 16 + 8 + 2 = 26.
Дробное число переводится в двоичную систему счисления методом
последовательного умножения на 2. При этом каждый раз после запятой
двоичного числа записывается 0 или 1 соответственно целой части результата умножения. Последовательное умножение продолжается до тех пор,
пока дробная часть не обратится в нуль или пока не получится требуемое
количество двоичных знаков после запятой.
П р и м е р 6. Двоичное представление числа 0,312510 получается
следующим образом:
0
1
0
1
0,3125
2

 0,6250
2
 0,2500
2
 0,5000
2
0,0000
0,312510 = 0,01012.
Проверка полученного результата дает:
0,01012 = 0  2–1 + 1  2–2 + 0  2–3 + 1  2–4 =
1
4
1 = 0,3125.■
 16
Если число х является смешанным, т.е. его целая часть [х] и дробная
часть {x} = х – [х] отличны от нуля, то оно переводится в двоичную систему раздельно: целая часть — последовательным делением, а дробная —
последовательным умножением.
Арифметические операции над числами сводятся к операциям сложения и умножения одноразрядных чисел. В двоичной системе счисления
умножение задается по правилу: 0  0 = 0, 0  1 = 0, 1  0 = 0, 1  1 = 1, а сложение — по правилу: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 10 2. Операции
над двоичными числами выполняются по правилам, аналогичным для десятичных чисел, но эти правила предельно упрощаются (особенно для
умножения).
П р и м е р 7. Десятичные операции 41 + 27 = 68 и 41  5 = 205 выглядят следующим образом:
101001
11011
1000100
+
101001
101
101001 .■
+
101001
11001101

Задание 3. Даны (см. табл. 2) десятичные числа a, b, c, d:
24
№
1
2
3
4
5
6
a
3
1
4
1
2
4
b
7
6
3
7
3
6
c
3
4
7
3
5
7
d
2
3
4
2
7
8
№
7
8
9
10
11
12
a
1
2
3
4
5
4
b
3
7
6
9
3
9
c
3
4
5
3
5
2
d
9
8
7
8
5
4
№
13
14
15
16
17
18
a
3
4
5
3
1
2
b
9
3
7
6
9
7
c
7
9
3
4
5
6
d
5
7
6
5
8
9
№
19
20
21
22
23
24
a
3
4
1
3
5
1
b
9
6
3
7
7
9
c
3
2
3
7
2
4
d
7
6
8
5
4
6
Таблица
№ a b c
25 3 3 9
26 2 7 4
27 1 6 7
28 4 9 2
29 5 7 3
30 6 9 3
2
d
8
9
7
3
7
4
1) Выполните в двоичной системе вычисление по формуле:
(a  b)c  d .
2) Переведите в двоичную систему счисления с точностью до пяти
знаков после запятой число: cd  ba .■
4.23. Нормальные формы. Дизъюнктивная нормальная форма
(ДНФ) — это дизъюнкция конечного числа различных членов, каждый из
которых представляет собой конъюнкцию отдельных переменных или их
отрицаний, входящих в данный член не более одного раза.
С о г л а ш е н и е. Условимся знак конъюнкции не писать, т.е. вместо
A  B записывать просто АВ.
Данная формула приводится к ДНФ посредством: 1) законов де Моргана (отрицание должно быть только у отдельных переменных); 2) первого
закона дистрибутивности; 3) тождеств: ХХ = Х, XX  0 .
П р и м е р 8. ( xz  y ) xz  ( xz  y )( x  z ) 
 ( xz  y ) x  ( xz  y ) z 
 xzx  yx  xzz  yz 
 xz  xy  yz .■
Члены ДНФ, представляющие собой элементарные конъюнкции k
букв, называются минитермами k-го ранга. Так, в примере 8 член ху —
минитерм второго ранга, xyz — минитерм третьего ранга.
Если исходная формула содержит другие операции (импликацию,
эквиваленцию), то они предварительно выражаются через конъюнкцию,
дизъюнкцию и отрицание с помощью формул (см. п. 4.8):
x  y  x  y,
x  y  ( x  y)( y  x)  ( x  y)( y  x)  x y  xx  yy  yx  x y  xy .
4.24. Совершенные нормальные формы. Если в каждом члене
ДНФ представлены все переменные (с отрицанием или без), то она называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).
25
Можно доказать, что любая булева функция, не являющаяся тождественным нулем, имеет одну и только одну СДНФ.
Если какой-либо слагаемое  данной ДНФ не содержит переменной
х, то  заменяется на эквивалентное слагаемое ( x  x ) =  x   x . В силу
тождеств     ,    , одинаковые слагаемые, если они появляются,
заменяются одним таким слагаемым.
П р и м е р 9. Продолжая пример 8, приведем полученную функцию
xz  xy  yz к СДНФ:
xz  xy  yz =
 x( y  y ) z  xy ( z  z )  ( x  x ) y z 
 xyz  xyz  xyz  xy z  xy z  x y z =
 xyz  xyz  xy z  x y z .
Попутно заметим, что из полученной СДНФ получается интересная формула: xz  xy  yz  xz  yz , как будто член xy лишний в левой части. На
самом деле это действительно так, ибо как мы только что выяснили
xz  xy  yz  xyz  xyz  xy z  x y z ,
при этом
xyz  xyz  xy z  x y z  x( y  y ) z  ( x  x ) y z  xz  yz .■
4.25. Принцип двойственности применительно к математической
логике гласит: Если две данные формулы равносильны, то равносильными
будут и формулы, получающиеся из данных заменами:
конъюнкция  дизъюнкция,
дизъюнкция  конъюнкция,
0  1,
1  0.
П р и м е р 10. Формуле x  x  1 двойственна формула xx  0 .
П р и м е р 11. Формуле x  xy  x двойственна формула x( x  y)  x .
П р и м е ч а н и е. Принцип двойственности имеется во многих науках и, в частности, в теории множеств, в которой операции пересечения и объединения являются
взаимно двойственными. В геометрии принцип двойственности помогает из доказанной теоремы получать двойственную теорему, справедливость которой следует из
справедливости исходной теоремы и принципа двойственности. Последний в случае
(проективной) двумерной геометрии гласит: «Если верна теорема А, в которой говорится о точках и прямых, то верна двойственная теорема А*, которая получается из
теоремы А взаимной заменой слов «точка»  «прямая», «точка пересечения прямых»
26
 «прямая, проходящая через точки». Ярким примером служит:
Т е о р е м а (Дезарг). Если между вершинами двух данных треугольников установлено взаимно однозначное соответствие и три прямые, соединяющие соответственные вершины, пересекаются в одной точке, то три точки пересечения соответственных сторон треугольников лежат на одной прямой (рис. 7).
Двойственная теорема запишется так: Если между сторонами данных треугольников установлено взаимно однозначное соответствие и три точки пересечения соответственных сторон лежат на одной прямой, то три прямые, соединяющие соответственные вершины, пересекаются в одной точке.
Рис. 7. Конфигурация Дезарга имеет
тип (103, 103), т.е. состоит из десяти точек и
десяти прямых, при этом через каждую точку
проходят три прямые, а на каждой прямой
лежат три точки конфигурации. Прямые 14,
25, 36, инцидентные соответственным вершинам треугольников 123 и 456, проходят
через точку 0 — центр перспективы, а точки
7, 8, 9 — точки пересечения соответственных
сторон — лежат на прямой 890 — оси перспективы треугольников 123 и 456. Конфигурация Дезарга замечательна тем, что любую из ее точек можно объявить центром
перспективы единственной пары треугольников.
0
9
5
4
6
8
7
3
2
1
4.26. Переключательные схемы. В качестве одной из интерпретаций булевых функций рассмотрим электрическую схему, состоящую из
источника напряжения (батареи), лампочки и одного или двух ключей (х и
х
x
x
x
а
x y
у
х
у
у
х
у
х
б
x y
в
Рис. 8. Переключательные схемы и их графы, соответствующие отрицанию (а), дизъюнкции (б), конъюнкции (в).
у). Ключи управляются кнопками с двумя состояниями: кнопка нажата (1)
и кнопка отпущена (0). Если в исходном состоянии ключ разомкнут, то при
нажатии кнопки он замыкается. Ключ может быть сконструирован и так,
что в исходном состоянии он замкнут, тогда нажатие кнопки означает его
размыкание, т.е. приводит к противоположному результату. Поэтому нор-
27
мально замкнутые ключи обозначим x и y .
При соответствующих состояниях кнопок лампочка принимает одно
из двух состояний: горит (1) и не горит (0). Состояния кнопок отождествляются со значениями булевых переменных х и у, а состояния лампочки
— со значением функций этих переменных.
4.27. З а д а ч а. Булева функция f (x, y, z) задана таблицей истинности:
х
1
1
1
1
0
0
0
0
y
1
1
0
0
1
1
0
0
z
1
0
1
0
1
0
1
0
f (x, y, z)
0
1
0
0
1
1
0
1
Требуется: 1) записать функцию f формулой, 2) упростить ее (если это
возможно), 3) проверить результат с помощью таблицы истинности, 4) построить граф переключательной схемы для функции f.
Р е ш е н и е. □ 1) Будем искать функцию f в СДНФ, представив ее в
виде дизъюнкции всевозможных минитермов третьего ранга:
f  xyz  xyz  xyz  xy z  xyz  xy z  xyz  x y z .
Однако если оставить f в таком виде, мы не получим правильного решения.
Следовательно, некоторые минитермы нужно удалить, используя данную
таблицу. Из первой строки следует, что при (x, y, z) = (1, 1, 1) функция f
равна 0, в то время как минитерм xyz равен 1; следовательно, этот минитерм не может входить в дизъюнкцию f. Аналогично рассуждая, мы приходим к выводу, что минитермы xyz , xyz , xyz не должны входить в f. Таким образом, f  xyz  xyz  xy z  x y z .
2) Упростим найденную функцию:
f  xyz  xyz  xy z  x y z 
 xyz  xyz  x z ( y  y )  y( xz  xz )  x z .
3) Проверим результат с помощью таблицы истинности; при этом
значения найденной функции запишем в предпоследнем столбце, а данной
функции — в последнем:
х
1
1
1
1
0
0
0
0
y
1
1
0
0
1
1
0
0
z
1
0
1
0
1
0
1
0
xz
xz
xz  x z
y ( xz  x z )
xz
y ( xz  x z )  x z
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
28
f (x, y, z)
0
1
0
0
1
1
0
1
Сравнивая построчно последние два столбца, заключаем, что найденная
функция равна данной.
4) Граф переключательной схемы представлен на рис. 9.■
у
х
z
x
z
x
z
Рис. 9. Граф переключательной схемы к задаче 4.27.
Задание 4. Булева функция Fn(x, y, z) задана таблицей истинности:
х
1
1
1
1
0
0
0
0
х
1
1
1
1
0
0
0
0
y
1
1
0
0
1
1
0
0
y
1
1
0
0
1
1
0
0
z
1
0
1
0
1
0
1
0
F1
0
1
1
1
1
1
1
0
F2
1
0
1
0
0
1
1
0
F3 F4 F5 F6 F7
0 1 1 0 0
1 1 1 0 0
0 0 1 0 1
1 1 0 1 1
0 0 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 0
0 0 0 1 0
F8
1
0
1
0
1
0
0
1
F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
z F16 F17 F18 F19 F20 F21 F22 F23 F24 F25 F26 F27 F28 F29 F30
1 1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0 1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1 1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0 0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1 0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0 1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1 0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0 1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
Требуется: 1) записать функцию f формулой, 2) упростить ее (если это
возможно), 3) проверить результат с помощью таблицы истинности, 4) построить граф переключательной схемы для функции f. П р и м е ч а н и е:
для варианта номер n предназначена функция Fn.■
29
Библиографический словарь
Аристотель [якобы 384 – 322 до н. э.] — греческий ученый, участник Академии Платона, основатель философской школы в Афинах,
оказавшей большое влияние на всё последующее развитие многих
наук. Воспитатель Александра Македонского. Охватил почти все
доступные для его времени отрасли знания. Дал первое систематическое построение и изложение логики, в частности теории доказательств. Исследовал идеи потенциальной и актуальной бесконечности, непрерывного и дискретного количества, занимался некоторыми вопросами геометрии. (З у б о в В. П., Аристотель.— М.: 1963.)
С другой стороны, Аристотель — безымянный мираж (аРиСТоТеЛь Аристотель
= РСТТЛ = РоСТиТеЛь = роститель = учитель); Прокл Диадох в
комментариях к «Началам» Евклида упоминает о неком старшем Аристотеле; тогда,
надо полагать, младший Аристотель также существовал и был ростителем Александра
Македонского; вооруженные молчанием историки обязаны пропустить сие замечание
без комментариев,— ибо их профессионализм, как правило, заключается в том, чтобы
ничего н а у ч н о не доказывать, а лишь ссылаться на труды своих ростителей, которые
ссылались на трактаты своих ростителей и т.д.
Буль Джорж (Boole George) [2.11.1815, Линкольн,— 8.12.1864,
Баллинтемпл, близ Корка] — английский математик и логик. Не
имел специального математического образования, с 1849 проф. математики в Куинс-колледже в Корке (Ирландия), где преподавал до
конца жизни. Буля почти в равной мере интересовали логика, математический анализ, теория вероятностей, этика Б. Спинозы, философские идеи Аристотеля и Цицерона. В работах «Математический
анализ логики» («The mathematical analysis of logic…», Cambridge,
1849), «Исследование законов мышления» («An investigation of the
laws of thought…», L., 1854), Буль заложил основы математической Дж. Буль
логики. Именем Буля названы т.н. булевы алгебры — особые алгебраические системы,
для элементов которых определены две операции.
Гильберт Давид [Hilbert David) [23.1.1862, Велау, близ Кёнигсберга,— 12.14.1943, Гёттинген] — немецкий математик. «Основания
геометрии» Гильберта (1899) стали образцом для дальнейших работ по аксиоматическому построению математических теорий.
Д. Гильберт
Кантор Георг (Cantor Georg) [3,3.1845, Петербург,— 6.1.1918, Галле] — немецкий математик. Создал теорию множеств, ввел понятие
мощности множества, привел пример фрактала — множества кантора.
30
Г. Кантор
Лейбниц Готфрид Вильгельм (1.7.1646, Лейпциг,— 14.11.1716,
Ганновер) — немецкий философ, математик, физик и изобретатель,
юрист, историк, языковед. Реальный мир, по Лейбницу, состоит из
бесчисленных психически деятельных субстанций — монад, находящихся между собой в отношении предустановленной гармонии;
существующий мир создан богом как «наилучший из всех возможных миров». В логике Лейбниц развил учение об анализе и синтезе,
впервые сформулировал закон достаточного основания, ему принадлежит также принятая в современной логике формулировка закона тождества. Лейбниц создал наиболее полную для того време- Г. В. Лейбниц
ни классификацию определений, разработал теорию генетических
определений. В работе Лейбница «Рассуждение о комбинаторном искусстве» («Dissertatio de arte combinatoria», Lipsiae, 1666) предвосхищены некоторые моменты современной математической логики; Лейбниц выдвинул идею применения в логике математической символики и построений логических исчислений, поставил задачу логического
обоснования математики, предложил использовать двоичную систему счисления для
целей вычислительной математики. Лейбниц впервые высказал мысль возможности
машинного моделирования человеческих функций, ввел термин «модель». В математике важнейшей заслугой Лейбница является разработка (наряду с И. Ньютоном) дифференциального и интегрального исчисления, имевшая огромное значение для дальнейшего развития математики и естествознания. Лейбниц ввел современные знаки дифференциала d и интеграла ∫.
Прокл Диадох (якобы ок.410, Константинополь,— 485, Афины) — византийский математик и философ. Дал обзор истории геометрии от Фалеса до Евклида. Сформулировал и пытался доказать V постулат Евклида.
Н.И. Лобачевский
Исаак Ньютон
Анри Пуанкаре
Вот что пишет А.Ф. Лосев [Лосев А.Ф. История античной эстетики. Т.7.
Кн.1.— М.: 1988.— 414 с.] о неоплатонике Прокле: «Прокл является поклонником триады, энтузиастом триады, постоянным воспевателем триады и её восторженным,
неистовым служителем, певцом, жрецом, мистагогом... Философская эстетика
Прокла есть священный трепет перед триадами».
31
Сноски
Строго говоря, система аксиом должна удовлетворять трем требованиям: непротиворечивость, независимость, полнота. Система аксиом называется внутренне непротиворечивой, если в ней не существует двух взаимно отрицающих утверждений А и не А.
Чтобы доказать внутреннюю непротиворечивость аксиоматики, необходимо иметь список всех утверждений теории. Однако такого списка практически нет, поэтому вместо
внутренней приходится ограничиваться содержательной непротиворечивостью аксиоматики. Система аксиом называется содержательно непротиворечивой, если существует модель (в известной уже теории, например, в арифметике), на которой выполняются все аксиомы. Независимость системы аксиом означает, что никакую ее аксиому
невозможно вывести как теорему из остальных аксиом. Чтобы доказать, что данная аксиома А не зависит от остальных аксиом, достаточно построить модель, на которой выполняются все остальные аксиомы и отрицание Ā аксиомы А. Так поступил Н. И. Лобачевский (1.12.1792, Нижний Новгород,— 24.2.1856, Казань) при решении проблемы
V постулата Евклида, в надежде понять, встретятся ли при этом антиномии типа А и Ā.
Нигде не получив логических противоречий, Лобачевский в 1826 пришел к убеждению,
что открытая им новая геометрия столь же непротиворечива, как и евклидова геометрия. Трагедия — не для Лобачевского, а для тех, кто его окружал и пытался понять его
неевклидовы идеи — была в том, что он был в полушаге от доказательства непротиворечивости новой аксиоматики: он построил внутри своей новой геометрии модель евклидовой геометрии, строго доказав, что на орисфере выполняются все аксиомы евклидовой планиметрии. Но ему не удалось построить модель новой геометрии внутри евклидовой. Это сделали другие геометры — Эудженио Бельтрами (Италия, 1868), Артур
Кэли (Англия, 1870), Феликс Клейн (Германия, 1871), Анри Пуанкаре (Франция, 1882)
— через много лет после смерти Лобачевского.
В 1931 г. К. Гёдель доказал, что если теория непротиворечива и аксиомы формализованной арифметики суть теоремы этой теории, то теория не полна.
Математика в середине 20-го века упорно пробиралась через выжженные пустыни аксиоматических теорий, уходя порой так далеко в сторону от плодоносящей и
животрепещущей практики, что никто уже не понимал, зачем это надо. В инженерной
практике применяется методология 16 – 18 веков: без строгого аксиоматического аппарата строят математическую модель и средствами вычислительной математики находят
решение с той или иной точностью. В связи с этим, а также в связи с появлением мощного вычисляющего инструмента в виде компьютера математики пересматривают свои
позиции относительно взаимоотношения теории и практики (не забывая и о том, что
нет ничего практичнее хорошей теории).
1
В то же время следует признать наличие в математике теорем, которые не доказаны,
но эти теоремы принимаются в виде достаточно правдоподобных гипотез. Это связано
не с тем, что гипотеза не может быть доказана в принципе, а с тем, что сущность этой
теоремы очень глубокая, и что рано или поздно кто-то эту теорему-гипотезу докажет
или опровергнет. В одних случаях справедливость теоремы-гипотезы не вызывает сомнения, так как подтверждена многочисленными примерами (гипотеза Римана), в других случаях приходится доверять авторитету автора гипотезы (гипотеза Пуанкаре).
2
Тем не менее, в математике есть много теорем, которые не имеют непосредственного
практического приложения, — они нужны лишь для внутреннего развития математики
— для доказательства других теорем. Это нормальное явление для математики, которая
3
32
развивается в соответствии с законами мышления; ее результаты используют:
 сама математика для саморазвития сущности математического знания,
 научное знание о природе, обществе и мышлении,
 инфраструктура и жизнедеятельность общества.
Всякое действительное число представимо бесконечной десятичной дробью: рациональное — периодической дробью, иррациональное — непериодической.
4
5
Классификацию порождает тройка:
Классификация = [множество М  отношение ~ эквивалентности  факторизация].
Результатом факторизации является фактор-множество М / ~. Отношение эквивалентности играет важнейшую роль при классификации элементов произвольной природы.
Главная цель применения в логике математической символики заключалась в том,
чтобы свести операции с логическими заключениями к формальным действиям над
символами. При этом исходные положения записываются формулами, которые преобразуются по определенным законам, а полученные результаты истолковываются в соответствующих понятиях.
Бурное развитие математической логики связано, прежде всего, с задачами
обоснования математики, где она используется для доказательства непротиворечивости
исходных понятий и правильности рассуждений и выводов математических теорий.
Некоторые ученые даже склонны рассматривать логику как одну из наиболее общих
наук, частью которой является сама математика.
В последние десятилетия логика находит все более широкое применение в технике при исследовании и разработке микросхем, компьютеров, дискретных автоматов.
Ее методы используются в теории преобразования и передачи информации, теории вероятностей и комбинаторном анализе. Математическая логика начинает внедряться в
такие нематематические области, как экономика, биология, медицина, психология,
языкознание, право. Интенсивно развиваются специальные разделы математической
логики, призванные обслуживать конкретные области науки и техники.
Столь энергичный выход математической логики за пределы математики объясняется тем, что ее аппарат легко распространяется на объекты самой общей природы,
лишь бы только они характеризовались конечным числом состояний.
Двузначная логика имеет дело с такими объектами, которые принимают одно из
двух возможных значений (истинное или ложное высказывание, намагниченная или
размагниченная ячейка памяти винчестера в компьютере, наличие или отсутствие заданного признака у объекта и т. п.). Объекты, которые могут принимать значения из
конечного множества, содержащего больше двух элементов, называют многозначными.
Они либо сводятся каким-нибудь способом к двузначным объектам, либо обслуживаются аппаратом многозначной логики. В биологической математике применяется
четырехзначная логика для описания кодов и кодонов в генах.
Устоявшееся представление о математической логике как науке, изучающей законы мышления с применением аппарата математики, главным образом, для нужд самой математики, в современных условиях становится слишком узким. С расширением
областей применения и дальнейшим развитием математической логики изменяется и
взгляд на нее. Объектами математической логики являются любые дискретные конечные системы, а ее главная задача — структурное моделирование таких систем.
6
33
34