Экзаменационная программа по математическому анализу. Лектор — доц. Дашкевич А.М.

Экзаменационная программа по математическому анализу.
II курс, 1, 2 группы, факультет физики и ИТ, второй семестр 2008/2009 уч. года.
Лектор — доц. Дашкевич А.М.
Ряды.
1. Радикальный признак сходимости Коши для знакоположительных рядов.
2. Исследование на сходимость обобщённого гармонического ряда.
3. Теорема о сходимости ряда, полученного в результате отбрасывания конечного числа его
членов. Теорема об умножении сходящегося ряда на фиксированное число. Теорема о
сложении двух сходящийся рядов.
4. Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд, доказательство его
расходимости.
5. Признак сходимости Даламбера для знакоположительных рядов.
6. Интегральный признак сходимости Коши для знакоположительных рядов.
7. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов.
Два замечания и примеры.
8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Достаточный признак
сходимости знакопеременного ряда. Теорема о перестановке членов абсолютно сходящегося
ряда. Теорема о перестановке членов условно сходящегося ряда.
9. Числовой ряд. Частичная сумма. Сумма ряда. Ряд, члены которого образуют геометрическую
прогрессию, условия его сходимости.
10. Первый признак сравнения для знакоположительных рядов. Второй признак сравнения для
знакоположительных рядов.
11. Теорема о мажорируемости степенного ряда на отрезке целиком лежащем внутри интервала
сходимости. Два следствия из теоремы. Теорема об интегрировании и дифференцировании
степенного ряда.
12. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций. Ряды Фурье для функций с периодом 2L.
13. Ряды Тейлора и Маклорена. Примеры разложения функций в степенные ряды.
14. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Понятие о
мажорируемом ряде. Равномерная сходимость функционального ряда на отрезке. Теорема о
сумме равномерно сходящегося ряда непрерывных функций на отрезке.
15. Теорема о почленном интегрировании функционального ряда на отрезке. Теорема о
почленном дифференцировании ряда на отрезке.
16. Степенной ряд. Теорема Абеля. Область и радиус сходимости для степенного ряда.
17. Разложение в ряд Фурье периодической функции, заданной на полупериоде, чётным и
нечётным способом.(Примеры).
18. Интеграл Фурье. Косинус-преобразование.Синус-преобразование.
19. Ряд Фурье. Постановка задачи. Теорема Дирихле.
20. Комплексная форма ряда Фурье.
Основы теории вероятностей.
1. Основные комбинаторные понятия: размещения, сочетания, перестановки.
2. Примеры непосредственного вычисления вероятностей. Относительная частота.
Устойчивость относительной частоты.
3. Ограниченность классического определения вероятности. Геометрические вероятности.
4. Одинаково распределённые взаимно независимые случайные величины и значение основных
характеристик их среднего арифметического. Начальные и центральные теоретические
моменты.
5. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий.
Противоположные события.
6. Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности.
7. Геометрическое распределение. Гипергеометрическое распределение.
8. Интегральная теорема Лапласа. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности
в независимых испытаниях.
9. Определение функции распределения. Свойства функции распределения. График функции
распределения.
10. Свойства математического ожидания. Математическое ожидание числа появлений события
в независимых испытаниях.
11. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность
появления хотя бы одного события.
12. Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон
распределения вероятностей дискретной случайной величины.
13. Простейший поток событий.
14. Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа.
15. Сущность теоремы Чебышева. Значение теоремы Чебышева для практики. Теорема
Бернулли.
16. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Математическое ожидание
дискретной случайной величины. Вероятностный смысл математического ожидания.
17. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях. Среднее квадратическое
отклонение. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных
величин.
18.Отклонение случайной величины от её математического ожидания. Дисперсия дискретной
случайной величины. Формула для вычисления дисперсии.
19.Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.
20.Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.