Лабораторная работа №5 ИССЛЕДОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ И ИЗУЧЕНИЕ СЛОЖЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ С

Лабораторная работа №5
ИССЛЕДОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
И ИЗУЧЕНИЕ СЛОЖЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ С
ПОМОЩЬЮ ОСЦИЛЛОГРАФА
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Изучение гармонических электрических колебаний. Ис следование сложения колебаний. Приобретение экспери ментальных навыков исследования электрических процес сов с помощью электронного осциллографа.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ
Рассмотрим точку, колеблющуюся с одинаковыми час тотами во взаимно перпендикулярных направлениях. Пусть
координаты x и y колеблющейся частицы изменяются по
закону
x  Ax cos  t  1  ,
(5.1)
y  Ay cos  t   2  .
Получим уравнение, описывающее поведение колеблю щейся частицы. С учетом того, что разность фаз склады ваемых колебаний    2  1, выражение (5.1) можно представить в виде
x  Ax cos  t ,
(5.2)
y  Ay cos  t   .
Выясним, какой вид имеет зависимость между коорди натами x и y при таких колебаниях. Выразим cos  t и
66
cos  t    через отношение амплитуд и координат.
Из (5.2) получаем:
cos  t 
x
,
Ax
cos  t    
(5.3)
y
.
Ay
(5.4)
Представим cos  t    в эквивалентном виде:
y
 cos  t     cos  t  cos   sin  t  sin  .
Ay
(5.5)
Выражение для sin  t получим из (5.3):
sin  t  1 
x2
Ax2
.
(5.6)
Подставим в (5.5) уравнения (5.3) и (5.6):
y
x
x2

cos   1  2  sin  .
Ay Ax
Ax
(5.7)
Перенося слагаемые из правой части в левую, получим:
x
y
x2
cos  
 1  2  sin  .
Ax
Ay
Ax
(5.8)
Возведем в квадрат:
67
xy
y 2 
x 2  2
cos   2
cos   2  1  2 sin  .
Ax Ay
Ax2
Ay 
Ax 
x2
2
Преобразуем полученное выражение:
x2
xy
y2
x2
2
2
cos


2
cos



sin


sin
,
Ax Ay
Ax2
Ay2
Ax2
x2
2
xy
y2
(cos   sin  )  2
cos   2  sin 2  .
2
Ax Ay
Ax
Ay
2
2
Окончательно получаем уравнение движения частицы:
x2
Ax2

y2
Ay2
2
xy
cos   sin 2  .
Ax Ay
(5.9)
Очевидно, что в рассматриваемом случае траекторие й
частицы будет являться эллипс, вид которого определяется
разностью фаз  и отношением амплитуд A x и A y (рис. 5.1).
Y
Ay
Ax
Рис. 5.1
68
X
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1.   0 . В этом случае sin  0 , cos   1 . Уравнение колебания принимает вид
x2
Ax2

y2
Ay2
2
xy
 0,
Ax Ay
2
 x
y 


 0,
 Ax Ay 


x
y

 0,
Ax Ay
y
Ay
Ax
x,
частица движется по прямой в первом и третьем квадрантах
(рис. 5.2,а).
2.    . При такой разности фаз sin  0 , cos   1. С
учетом знака уравнение колебания тоже описывает прямую
y
Ay
Ax
x,
но частица движется по прямой уже во втором и четвертом
квадрантах (рис. 5.2,б).
3.  
вид

2
. В этом случае уравнение колебания принимает
x2
Ax2

y2
A y2
 1,
69
частица движется по эллипсу, полуоси которого A x и A y
совпадают с осями координат. При A x = A y эллипс превращается в окружность. Движение частицы по траектории бу дет происходить в направлении часовой стрелки (рис. 5.2, в).

3
4.  
. То же самое, что и    , так как изменение
2
2
фазы на 2 несущественно. Движение будет происходить
по эллипсу, как и в случае 3, с той только разницей, что
движение будет осуществляться против часовой стрелки.
Y
Y
X
X
б)
а)
Y
Y
X
X
в)
г)
Рис. 5.2
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не
одинаковы и соотносятся как целые числа, то траектория
70
результирующего колебания имеет более сложную форму и
носит название фигуры Лиссажу.
На рис. 5.3 показана фигура Лиссажу для соотношения
x 1
частот
 . Фигуры Лиссажу для других соотношений
y 2
частот представлены на рис. 5.8.
Y
X
Рис. 5.3
Фигуры Лиссажу очень удобно наблюдать на экране ос циллографа, так как в этом случае можно рассматривать
траектории, получающиеся при сложении колебаний, час тоты которых соотносятся не как целые числа. Фигуры Лис сажу при этом вращаются.
Полная энергия при сложении колебаний складывается
из энергий каждого колебания:


 1x 2  2 y 2  m 2

E 

x  y 2  E x  E y ,
 2
2  2

или
E


m
Ax x2  A y  2y .
2
(5.10)
71
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Лабораторная установка состоит из генератора низкочас тотных колебаний (ЗГ), фазовращателя и электронного ос циллографа (ЭО). При определении параметров периоди ческого сигнала, а также исследовании сдвига фаз между
двумя сигналами одной частоты используются соответст венно одноканальный и двухканальный режимы осцилло графа. При изучении фигур Лиссажу, которые возникают в
результате сложения взаимно перпендикулярных колебаний
с разными, но кратными частотами, используются оба ка нала осциллографа. Для выполнения каждого опыта коммутируется определенная схема экспериментальной установки.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Ознакомиться со схемой установки, проверить положе ние органов управления на осциллографе и генераторе.
Опыт 1. Определение длительности и частоты периоди ческих сигналов.
Для измерения длительности сигнала между двумя его
точками необходимо произвести следующие операции:
1. Не включая в сеть фазовращатель, звуковой генератор
и осциллограф, собрать экспериментальную установку в со ответствии со схемой, изображенной на рис. 5.4.
2. Исследуемый сигнал подается от звукового генератора
ГЗ-118 (выход «600 Ω») на гнездо канала А «1МΩ 25РF»
осциллографа. Сигнал от фазовращателя подается на гнездо
канала Б «1МΩ 25РF» осциллографа.
3. Ручки управления звуковым генератором ГЗ -118 должны быть установлены в следующие положения :
– Частота: 80,0 Гц;
– Множитель: 1;
– Ослабление: 30;
– Расстройка : посередине.
72
ЗГ
Выход
600Ω
ЭО
Канал А
Канал Б
Фазовращатель
Рис 5.4. Принципиальная схема измерительной установки
4. Для получения устойчивой картинки элементы управления осциллографа должны быть поставлены в положения,
указанные в таблице:
Таблица установок элементов управления о сциллографа
Группа
Элемент
Положение
элементов
управления
Синхронизация Уровень
Нажата
Режим
Автоматич.
Источник
А
Пауза
Нажата
X-Y
Отпущена
Канал А
|
~
~ –
―
- ~
Режим верт.
Канал Б
Развертка
А
Не задействован
Плавно
Крайнее левое
5. Включить звуковой генератор и осциллограф, дождаться появления изображения на экране осциллографа.
6. Установить переключатель « V » осциллографа в тадел
кое положение, чтобы изображение на экране составило 5 -7
делений.
73
7. Установить ручкой "ПАУЗА" устойчивое изображение
на экране ЭЛТ.
8. Установить переключатель "ВРЕМЯ/ДЕЛ." в такое по ложение, при котором расстояние между измеряемыми точ ками будет меньше 10 делений.
9. Установить ручкой « ↔ » изображение так, чтобы точ ки, между которыми измеряется время, находились в пределах десяти центральных делений сетки.
10. Измерить горизонтальное расстояние (в больших делениях) между выбранными точками.
11. Определить длительность сигнала между выбранны ми точками по методике, изложенной в Приложении 3.
12. Определить длительности сигналов между другими про извольно выбранными точками, причем необходимо выб рать не менее пяти различных расстояний между точками.
13. Результаты измерений и вычислений свести в таблице 1.
Таблица 1
№
п/п
Расстояние
между точками,
дел.
Коэффициент
развертки
«ВРЕМЯ/ДЕЛ»
Длительность
сигнала
 , с.
1
2
3
4
5
Для определения частоты периодических сигналов необ ходимо:
1. Измерить длительность времени одного периода, как
описано выше (см. рис. П.1).
2. Рассчитать частоту сигнала
f 
1
,
T
где T – период одного колебания, с; f – частота, Гц.
74
(5.11)
3. Измерения повторить не менее 5 раз и результаты
измерений занести в таблицу 2.
Таблица 2
№
п/п
Расстояние
CD, рис. П.1,
дел.
Коэффициент
развертки
«ВРЕМЯ/ДЕЛ»
Период
T ,с
Частота
f , Гц
1
2
3
4
5
Среднее значение
f
4. Оценить погрешность измерения частоты f . Абсолютная ошибка измерения
f  G  t ,n ,
G
( f1  f ) 2  ( f 2  f ) 2    ( f 5  f ) 2
n  (n  1)
(5.12)
,
(5.13)
где G – средняя квадратичная ошибка;
n – число измерений, n  5 ;
t , n – коэффициент Стьюдента (см. Приложение 1), бе рется для доверительной вероятности   0,90 .
Относительная ошибка измерения
E
f
100% .
f
(5.14)
5. Окончательный результат измерений частоты необходимо записать в виде:
f  f  f .
(5.15)
75
Опыт 2. Исследование сдвига фаз между периодически ми сигналами от одного генератора.
Сравнение фаз между двумя сигналами одной частоты
можно осуществить, используя двух канальный режим работы осциллографа.
Электрическая схема измерительной установки представ лена на рис. 5.4.
Фазовращатель – устройство, позволяющее изменять фазу
напряжения от 0 до 90 при однокаскадной схеме. Принципиальная схема фазовращателя, исполь зующего в данной
работе, представлена на рис. 5.5.
R'2
R'3
+Un
R2
вход
R3
~Uвых
~Uвх
Общ
R1
R'4
C1
R5
R4
C2
-Un
K140УД1Б х 2
Рис 5.5. Принципиальная схема однокаскадного фазовращателя
Для сравнения фаз нужно выполнить следующие опера ции:
1. включить фазовращатель в сеть «220В»;
2. на осциллографе сделать следующие переключения:
– отжать кнопку «X-Y»;
– «режим верт.» перевести в положение «А и Б»
76
– вытянуть кнопку «Пауза»;
– установить переключателями "V/ДЕЛ." обоих каналов
идентичные изображения около 6-7 делений по амплитуде,
при этом ручку «уровень» на фазовращателе установить на
максимум.
– установить ручкой «Пауза» устойчивое изображение;
– установить переключателями "ВРЕМЯ/ДЕЛ." скорость
развертки, обеспечивающую один цикл сигналов на экране;
– переместить кривые сигналов к центру градуирован ной линии ручками «↕».
3. Измерить период опорного сигнала (непосредственно
с генератора ЗГ) T 1 в делениях шкалы (рис. 5.6).
T1
t2
Рис. 5.6. Измерение разности фаз
4. Измерить разность по горизонтали между соответст вующими точками сигналов t 2 (в делениях шкалы).
5. Фазовый сдвиг  вычислить по формуле:
 
t2
 360 .
T1
(5.16)
77
6. Разность по горизонтали между точками 1 -го и 2-го
сигналов (в делениях шкалы) измерить не менее 5 раз при
различном положении ручки «фаза» фазовращателя.
Результаты измерений и вычислений внести в таблицу 3.
Таблица 3
№
п/п
1
2
Период
Набор R и C
опорного
фазовращателя
сигнала
T1 ,дел.
——————
————
Разность t 2 ,
дел
Разность фаз
 , град.
3
4
5
7. Выключить фазовращатель.
Опыт 3. Сложение взаимноперпендикулярных колеба ний. Фигуры Лиссажу.
На рис. 5.7 представлена принципиальная схема для ис следования взаимноперпендикулярных колебаний.
ЭО
ЗГ1 (ГЗ-118)
fx=50 Гц
Канал А
Канал Б
ЗГ2 (ГЗ-34)
fy=?
Рис. 5.7. Принципиальная схема для изучения фигур Лиссажу
78
Для получения на экране ЭЛТ осциллографа ЭО резуль тирующей картины при сложении взаимно перпендикуляр ных колебаний с разными, но кратными частотами (фигуры
Лиссажу) необходимо:
1. Подключить второй генератор (ГЗ-34) ко входу канала
Б осциллографа ЭО. Органы управления генератора пере вести в следующие положения:
– «Вольты»: в положение «Х1»;
– «Выходное сопротивление»: 600;
– «Множитель»: «Х1»;
– «Внутренняя нагрузка»: «Выключена».
2. На осциллографе сделать следующие переключения:
– нажать кнопку «X-Y»;
– нажать кнопку «Пауза»;
– «Вертикальный режим» перевести в положение «Б»;
|
– Режим работы канала Б ( ~ –
) – в положение «~»;
―
- ~
3. Включить второй генератор, дождаться его прогрева.
4. Ручками переключателей "V/ДЕЛ." обоих каналов выставить изображение в пределах экрана.
5. Ручками «↔» и « ↕» установить изображения в центре
экрана.
6. Вращая ручку "Частота" на генераторе ЗГ, получить на
экране осциллографа ЭО фигуры, изображенные на рис. 5.8.
а)
б)
в)
г)
Рис. 5.8. Вид фигур Лиссажу
79
7. Зарисовать фигуры Лиссажу.
8. Найти число колебаний точки по осям "X" и "У", т.е.
nx и ny
9. Вычислить неизвестную частоту f генератора ГЗ по
формуле:
ny
f y f x
,
(5.17)
nx
где f x  50 Гц.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие колебания называются гармоническими?
2. Дайте определения периода, частоты, фазы колебаний.
3. Расскажите, что такое колебательная систем а с двумя
степенями свободы.
4. Расскажите, в чем состоит метод фигур Лиссажу, при мененный для определения частоты колебаний.
5. Определите по виду фигуры Лиссажу отношение час тот колебаний.
6. Объясните, в каком случае в результате сложения ко лебаний получаются фигуры Лисажу, а в каком биения?
7. Объясните, используя векторную диаграмму, как при
сложении колебаний получаются биения.
8. Выведите уравнение прямой, проходящий в 1 и 3 квад рантах, получаемой в результате сложения взаимно перпен дикулярных колебаний.
9. Выведите уравнение прямой, проходящей в 2 и 4 квад рантах, получаемой в результате сложения взаимно перпен дикулярных колебаний.
10. Выведите уравнение окружности, получаемой в резуль тате сложения взаимно перпендикулярных колебаний.
11. Выведите уравнение эллипса, получаемого в резуль тате сложения взаимно перпендикулярных колебаний.
12. Какие процессы называются периодическими?
80
13. Запишите дифференциальное уравнение гармоничес ких колебаний и его решение.
14. Запишите дифференциальное уравнение затухающих
колебаний и его решение.
15. Запишите дифференциальное уравнение вынужденных
колебаний и его решение.
16. Как рассчитывается частота затухающих колебаний?
17. Как рассчитывается резонансная частота?
18. Что называется временем релаксации и каков его физический смысл?
19. Перечислите приборы, из которых состоит установка
и нарисуйте ее блок-схему.
20. Расскажите, как с помощью осциллографа определять
длительность и частоты периодических сигналов.
21. Нарисуйте принципиальную схему установки для формирования сдвига фаз между двумя сигналами одинаковой
частоты.
22. Расскажите о принципах работы фазовращятеля.
23. Расскажите порядок операций, необходимых для из мерения разности фаз.
24. Нарисуйте принципиальную схему установки для по лучения фигур Лиссажу.
25. Расскажите о принципах работы осциллографа.
26. Нарисуйте график зависимости напряжения разверт ки от времени.
27. Расскажите о принципах работы блока синхронизации.
28. Расскажите, что такое внутренняя и внешняя синхро низация.
29. Расскажите об одноканальном и двухканальном ре жимах работы осциллографа.
30. Расскажите правила электробезопасности при работе
с осциллографом.
81