1. Множество и операции над множествами. ... Инъекция, сюръекция, биекция. Вопросы к экзамену

Вопросы к экзамену
по курсу МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
для специальности «Математика»,
курс – 1, семестр – 1
1. Множество и операции над множествами. Понятие функции (отображения).
Инъекция, сюръекция, биекция.
2. Аксиоматическое построение действительных чисел.
3. Определение действительных чисел посредством бесконечных десятичных
дробей. Сравнение действительных чисел и их свойства, связанные с
неравенствами.
4. Грани числовых множеств. Теорема о существовании точной верхней
(нижней) грани.
5. Арифметические операции над действительными числами. Существование
арифметического корня.
6. Действительная функция действительной переменной и ее график.
Ограниченная, четная, нечетная, периодическая, монотонная функции.
Композиция функций. Обратная функция.
7. Определение и способы задания числовой последовательности.
Ограниченные и неограниченные последовательности.
8. Определение предела последовательности. Теорема о единственности
предела сходящейся последовательности.
9. Теоремы об ограниченности
и фундаментальности
сходящихся
последовательностей.
10. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами.
11. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
Арифметические операции над сходящимися неравенствами.
12. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
13. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
Теорема Вейерштрасса.
14. Число е.
15. Теорема Кантора о вложенных отрезках.
16.Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
17. Критерий Коши сходимости последовательности действительных чисел.
18. Способы задания функций. Понятие сложной и обратной функции.
19. Предел функции в точке. Эквивалентность определений предела функции
по Гейне и по Коши.
20. Односторонние пределы функции.
21. Первый замечательный предел.
22. Второй замечательный предел.
23. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно
малых функций. Сравнение бесконечно больших функций.
24. Непрерывные функции. Арифметические действия над непрерывными
функциями.
25. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация.
1
26. Непрерывность некоторых элементарных функций.
27. Теорема о непрерывности сложной функции.
28. Локальные свойства непрерывных функций. Теорема об устойчивости знака
непрерывной функции. Теорема о локальной ограниченности функции,
непрерывной в точке.
29. Локальные свойства непрерывных функций. Теоремы о непрерывности
суммы, произведения, частного, композиции двух функций, непрерывных в
точке.
30. Глобальные свойства непрерывных функций. Первая и вторая теоремы
Больцано – Коши.
31. Глобальные свойства непрерывных функций. Первая и вторая теоремы
Вейерштрасса.
32. Понятие равномерной непрерывности функции. Теорема Кантора.
33. Теорема о непрерывности обратной функций.
34. Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной.
Уравнение касательной.
35. Понятие дифференцируемости в точке. Связь между понятиями
дифференцируемости и непрерывности.
36. Определение и геометрический смысл дифференциала функции.
Использование дифференциала для приближенных вычислений.
37. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного
двух функций.
38. Вычисление производных степенной, тригонометрических функций и
логарифмической функции.
39. Теорема о производной обратной функции. Вычисление производной
показательной и обратных тригонометрических функций.
40. Теорема о производной сложной функции и инвариантность формы первого
дифференциала.
41. Производные и дифференциалы высших порядков.
42. Формула Лейбница для n-ой производной произведения двух функций.
43. Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма.
44. Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ролля.
45. Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Лагранжа,
теорема Коши.
46. Раскрытие неопределенностей. Теорема Лопиталя.
47.Теорема Тейлора. Формула Тейлора.
48. Использование формулы Маклорена для вычисления пределов. Вычисление
числа е. Иррациональность числа е.
49. Понятие монотонности функции. Признак монотонности функции.
50. Понятие экстремума. Необходимое условие экстремума. Достаточное
условие локального экстремума в терминах первой производной.
51. Необходимое и достаточное условия точки перегиба.
52. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования графика функции.
2