Вопросы к экзамену по математическому анализу (1-й семестр 2012/2013)

Вопросы к экзамену по математическому анализу (1-й семестр 2012/2013)
1. Числовая ось. Множества на числовой прямой.
2. Абсолютная величина действительного числа. ε - окрестность точки на числовой
прямой.
3. Понятие функции одной переменной. Способы задания функции одной
переменной.
4. Обратная функция. Сложная функция. Ограниченная функция.
5. Основные элементарные функции.
6. Понятие числовой последовательности и функции натурального аргумента.
7. Первый замечательный предел.
8. Число е. Второй замечательный предел. Предел функции одной переменной при х
→ ± ∞.
9. Предел функции одной переменной при х → х0
10. Односторонние пределы.
11. Теоремы о свойствах пределов функции одной переменной.
12. Ограниченная функция. Теоремы о пределе ограниченной функции.
13. Понятия бесконечно малой и бесконечно большой функции. Связь между
бесконечно малой и бесконечно большой функциями.
14. Сравнение бесконечно малых функций. Таблица эквивалентности бесконечно
малых функций.
15. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции.
16. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
17. Определение производной и ее физический и геометрический смысл.
18. Связь между непрерывностью функции и ее дифференцируемостью.
19. Производные элементарных функций.
20. Основные правила дифференцирования функции одной переменной. Таблица
производных.
21. Производные высших порядков. Физический смысл второй производной.
22. Производная сложной функции.
23. Дифференциал функции и его геометрический смысл.
24. Использование дифференциала для приближенных вычислений.
25. Теорема Ферма. Теорема Лагранжа.
26. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей с использованием правила
Лопиталя.
27. Необходимое условие экстремума функции.
28. Достаточные условия экстремума функции.
29. Вогнутость и выпуклость функции в промежутке. Точки перегиба.
30. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.
31. Схема исследования функции и построения ее графика.
32. Функции нескольких переменных. Область определения функции двух
переменных. Понятие производственной функции. Примеры.
33. Геометрическая интерпретация функции двух переменных. Линии уровня.
Поверхности уровня. Примеры.
34. Геометрический смысл функции двух переменных. Примеры.
35. Частные и полное приращение функции двух переменных. Примеры.
36. Частные производные первого порядка функции двух переменных. Примеры.
37. Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных.
38. Правила дифференцирования сложных функций двух переменных. Примеры.
39. Правила дифференцирования неявных функций. Примеры.
40. Производная по направлению функции двух и более переменных. Примеры.
41. Градиент функции нескольких переменных. Связь между производной по
направлению и градиентом функции нескольких переменных. Примеры.