Угол между прямыми в пространстве. Теорема о трех перпендикулярах.

Угол между прямыми в пространстве.
Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между
пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.
Теорема о трех перпендикулярах. Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна
проекции наклонной на плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Справедливо и обратное утверждение. Сформулируйте его. Сделайте чертежи,
иллюстрирующие прямую и обратную теорему о трех перпендикулярах.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна
двум пересекающим прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна любой
прямой, лежащей в этой плоскости.
Призмы
Устно
1.В кубе ABCDABC D найдите угол
D'
C'
между прямыми CB1 и AD1
A'
B'
D
C
A
2.В кубе ABCDABC D найдите угол
между прямыми CB1 и AB
B
D'
C'
A'
B'
D
C
A
3. В кубе ABCDABC D найдите угол
между прямыми BA1 и CB1
B
D'
C'
A'
B'
D
C
A
4. В кубе ABCDABC D найдите угол
между прямыми BA1 и AC
B
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
5. В кубе ABCDABC D найдите угол
между прямыми DB1 и AC
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
Работа в тетради
1. В кубе ABCDABC D найдите косинус угла между прямыми AB и CA
Решение.
D'
C'
Рассматриваем ADC . Почему?
В ADC ADC  90 0 , искомый угол
A'
B'
DCA .
DC
1
.
Объясните,
cos DCA 

AC
3
D
C
A
почему диагональ куба равна
3.
B
2.В кубе ABCDABC D найдите тангенс угла между прямыми AB и DB 
Например, рассмотрим AB D . Он
D'
C'
прямоугольный. Почему? Покажите на
чертеже прямой угол.
A'
Ответ: 2
B'
D
C
A
B
3.В кубе ABCDABC D найдите косинус угла между прямыми BD  и DB  .
Решение.
Как найти угол между диагоналями
Используем
теорему косинусов
прямоугольника?
DOD .
1
D1
B1
Ответ:
3
1
в
O
B
D
2
4.В кубе ABCDABC D точки E и F - середины ребер соответственно A1 B1 и B1C1 .
Найдите косинус угла между прямыми AE и BF .
D'
C'
F
A'
E
B'
D
C
A
B
Решение.
D'
Почему мы рассматриваем AEF1 ?
Искомый угол?
Прокомментируйте теорему косинусов в
AEF1 :
C'
F1
A'
F
E
B'
2
2
2
 2
 5  5
5 5



 

 2    2    2   2  2  2 cos 



 

D
C
4
5
Ответ: 0,8
cos  
A
B
5.В правильной треугольной призме ABCABC , все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми AB и CB .
A'
C'
B'
A
C
B
Решение.
Прямая ABAB  , значит рассматриваем CBA .
A'
Объясните, почему СB  CA  2 ?
C'
Искомый угол CBA .
1
B'
По теореме косинусов найдите косинус
этого угла.
2
2
2
Ответ:
4
A
C
B
6. В правильной треугольной призме ABCABC , все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми AB  и CB .
A'
C'
B'
A
C
B
Решение.
M
A'
C'
B'
A
C
По построению BC AM
Искомый угол B AM , который находим
из B AM
1. BA  AM  2
Как найти B M ?
По теореме косинусов в B AM :
Проверьте, что BM  3
B AM :
2.
 3   2    2 
2
Ответ:
B
2
2
 2 2  2 cos B AM
1
4
Домашнее задание.
1. В кубе ABCDABC D точки E и F - середины ребер соответственно A1 B1 и C1 D1 .
Найдите косинус угла между прямыми AE и BF .
D'
5
F
C'
Ответ:
5
A'
E
B'
D
C
A
B
2. В кубе ABCDABC D точка E - середина ребра A1 B1 . Найдите косинус угла между
прямыми AE и BD1 .
D'
A'
C'
E
B'
D
C
A
B
Ответ:
15
5
3. EFGHE1 F1G1 H1 - куб. Точки L, N , T - середины ребер F1G1 ; G1 H1 и H1 H соответственно;
K - точка пересечения диагоналей грани EE1 F1 F .
Заполните таблицу расположения прямых и углов между ними.
Прямые
Расположение
Угол между прямыми
1
LN и EG
2
F1T и FH
3
F1 N и KT
4
TN и EG
5
F1T и KN
6
KH1 и LN
Ответ:
Прямые
Расположение
Угол между прямыми
1
скрещиваются
900
LN и EG
2
пересекаются
F1T и FH
2
arctg
4
0
3
параллельны
0
F1 N и KT
4
скрещиваются
600
TN и EG
5
пресекаются
F1T и KN
5
arccos
5
0
6
скрещиваются
30
KH1 и LN
Призма
Устно
1.В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, точка D середина ребра BC . Найдите угол между прямыми BB1 и AD .
C1
B1
A1
C
D
B
A
2.В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, точка D середина ребра BC . Найдите угол между прямыми A1C1 и AD .
C1
B1
A1
C
D
B
A
3.В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, точка D середина ребра BC . Найдите угол между прямыми CB1 и AD .
C1
B1
A1
C
D
B
A
4.В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1,
найдите тангенс угла между прямыми AB и CF1
E1
D1
C1
F1
A1
B1
E
D
C
F
A
B
Работа в тетради
1.В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, точки D, E середины ребер соответственно A1 B1 и B1C1 . Найдите косинус угла между прямыми AD и
BE
C1
E
B1
D
A1
C
B
A
Решение.
C1
Прокомментируйте чертеж.
угол?
5
BE  AD 
;
2
1 1
1 1
2
ED1    2   cos120 0
4 4
2 2
Продолжите решение
Ответ: 0,7
D1
E
B1
D
A1
C
B
Искомый
A
2.В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , основания которой равны
1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми AB и CD1
E1
D1
1
E1
C1
F1
2
5
B1
E
C1
7
F1
A1
D1
A1
D
B1
E
C
F
3
F
A
D
C
B
B
A
Решение.
Объясните, почему искомый угол
Объясните длины отрезков на чертеже.
E1 D1C ?
Найдите искомый угол.
3. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , все ребра которой равны
1, найдите косинус угла между прямыми BA1 и FC1
E1
D1
C1
F1
A1
B1
E
D
C
F
B
A
Решение
E1
D1
C1
F1
A1
B1
E
D
C
F
С2
B
A
10
10
4.В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , все ребра которой равны 1,
точки G и H - середины ребер соответственно A1 B1 и B1C1 . Найдите косинус угла между
прямыми AG и BH .
A1 BC1C2 ; Искомый угол FC1C2 ; Ответ:
E1
D1
H
F1
C1
G
A1
B1
E
D
C
F
A
Решение.
B
E1
D1
C1
H
F1
G1
G
A1
AGBG1
Искомый угол - HBG1
Примените теорему косинусов в HBG1
Ответ: 0,9
B1
E
D
C
F
B
A
5.В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , все ребра которой равны 1,
точка G - середина ребра A1 B1 . Найдите косинус угла между прямыми AG и BD1 .
E1
D1
C1
F1
G
A1
B1
E
D
C
F
B
A
Решение.
E1
D1
C1
F1
G
B1
A1
E
D
H
Прокомментируйте чертеж. Искомый
угол -…
5
13
HD1 
, BD1  2, BH 
. Почему?
2
2
Продолжите вычисления для нахождения
искомогоугла.
5
Ответ:
5
C
F
A
B
Домашнее задание.
1. В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, точка D середина ребра соответственно A1 B1 . Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1
C1
Ответ:
B1
D
3 10
20
A1
C
B
A
2. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , все ребра которой равны
1, точка G - середина ребра A1 B1 . Найдите косинус угла между прямыми AG и BD1 .
E1
D1
Ответ:
C1
F1
10
4
G
A1
B1
E
D
C
F
A
B
3.В кубе ABCDA1 B1C1 D1 точка M - середина B1C1 , точка F - середина D1C1 , точка K середина DC , O - точка пересечения диагоналей квадрата ABCD . Заполните таблицу.
Прямые
Расположение
Угол между прямыми
1
A1 M и BC
2
A1 M и BK
3
C1 K и B1 F
4
C1O и AB1
5
A1 B и B1 D
Ответ:
Прямые
Расположение
Угол между прямыми
arctg 2
1
Скрещиваются
A1 M и BC
2
Скрещиваются
900
A1 M и BK
3
Скрещиваются
C1 K и B1 F
2 arcsin 0,4
4
Скрещиваются
300
C1O и AB1
5
Скрещиваются
900
A1 B и B1 D
Пирамиды.
Устно
1.В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между прямыми AB и CD
D
C
A
B
2. В правильном тетраэдре ABCD точки E и F - середины ребер соответственно BC и
BD . Найдите угол между прямыми AB и EF
D
E
C
A
F
B
3. В правильном тетраэдре ABCD точки E , F и G - середины ребер соответственно
BC , BD , AD . Найдите угол EFG
D
G
F
C
A
E
B
4.В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, точки
E и F - середины ребер соответственно AB и BC . Найдите угол между прямыми SA и
EF .
S
D
C
F
A
E
B
Работа в тетради
1.В правильном тетраэдре ABCD точка E - середина ребра AD . Найдите косинус угла
между прямыми AB и CE .
D
E
C
A
B
Решение.
Проведем PEAB , PE - средняя линия
ADB .
Тогда искомый угол PEC .
3
3
E
Объясните, почему PC 
и CE 
,
2
2
P
1
а PE  .
2
C
A
Распишите теорему косинусов в EPC .
3
Ответ:
B
6
2.В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны
1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми SA и BD .
S
Решение.
1.Объясните, почему искомый угол
EAS ?
2. Почему EA  3 ?
3.Находим искомый угол, используя
теорему косинусов в EAS .
D
E
3
Ответ:
C
F
4
D
A
B
3.В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, точки
E, F - середины ребер соответственно SB и SC . Найдите косинус угла между прямыми
AE и BF .
S
F
E
D
C
A
B
Решение.
Прокомментируйте построение искомого
угла FBE1
S
BF  BE1 
F
E1
C
A
5
2
Примените теорему косинусов в FBE1
1
Ответ:
6
FEE1 - прямоугольный: FE1 
E
D
3
2
B
4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, точки
E, F - середины ребер соответственно SC и SD . Найдите косинус угла между прямыми
AF и BE .
S
F
E
D
C
A
B
Решение.
Объясните, почему искомый угол
KEB ?
Как его найти?
5
Ответ:
6
S
F
E
-
D
C
A
K
B
5.Ребра AD и BC пирамиды DABC равны 24 см и 10 см. Расстояние между серединами
ребер BD и AC равно 13 см. Найдите угол между прямыми AD и BC .Ответ: 900
6.Угол между боковыми ребрами правильной четырехугольной пирамиды, не лежащими в
1
одной грани, равен 1200. Найти плоский угол при вершине пирамиды. Ответ: arccos
4
Домашнее задание.
1.В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, точки D, E середины ребер A1 B1 и B1C1 . Найти косинус угла между прямыми AD и BE .Ответ: 0,7
2. В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, точка D 3 10
20
3. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , все ребра которой равны
1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1 Ответ: 0,75
4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , длина стороны основания
равна 3,а длина бокового ребра равна 2. Найдите угол между прямыми A1 F и AD1 .
середина ребра A1 B1 . Найти косинус угла между прямыми AD и BC1 .Ответ:
130
52
Подготовка к самостоятельной работе
1.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB  3 , а
боковое ребро AA1  11. Найдите угол между прямыми SA и BC . Ответ: 300
2. В правильной четырехугольной призме ABCDA1 B1C1 D1 сторона основания AB  4 , а
Ответ: arccos
боковое ребро AA1  3 . Найдите угол между прямыми AB1 и BC1 . Ответ: 2 arcsin
2 2
5
Самостоятельная работа
Вариант 1
В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми AB и CA1
C1
B1
A1
C
B
A
Вариант 2
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , все ребра которой равны 1,
найдите косинус угла между прямыми AB и FE1
E1
D1
C1
F1
A1
B1
E
D
C
F
B
A
Вариант 3
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми SB и AD .
S
D
E
C
F
A
B
Вариант 4
В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите угол между прямыми A1 B и DB1
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
Вариант 5
В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите угол между прямыми A1 B и D1 B1
D'
C'
A'
B'
D
C
A
Вариант 6
B
В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми AB1 и BC1
C1
B1
A1
C
B
A
2
2
1
1
2.
3. 4. 90 5. 60 6.
4
4
4
4
Метод координат
Ответы: 1.
 
pq
При нахождении угла  между прямыми m и l используют формулу cos     , где
pq
 
векторы p и q параллельны прямым m и l .
1.В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найти угол между прямыми AE и DF , где E и F 1
1
точки, расположенные на ребрах CD и C1 D1 так, что DE  DC , C1 F  C1 D1 .
3
3
D'
F
A'
C'
B'
D
E
C
A
Решение
B
D'
Z
A'
X
C'
F
B'
D E
C
A
B
Y
 1 
 1 
 2 
; D1;0;0 ; E 1; ;0  ; F 1; ;1 ; AE 1; ;0
 3 
 3 
 3 
1 2
2
1  0    0 1
2
3 3
9
cos  


2
2
10 13
130
1
2
2

1        12
3
3
3
3
A0;0;0
 2 
DF 0; ;1
 3 
2.В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , ребра которой равны 1,
найти угол между прямыми AB1 и BF1 .
E1
D1
C1
F1
A1
B1
E
D
C
F
B
A
Решение.
Z
E1
D1 Y
C1
F1
A1
B1
E
D
C
F
O
A
B
x

1
 1
3 
3 
;1  AB1 1;0;1
A  ;
;0  , B1  ;
2 
2 
2
 2
 3 3 
1
3 
B ;
;0 , F1  1;0;1  BF1  ;
;1 ;
2
2
2
2




3
1
 1
1
2
2
cos  
 2 

8
9 3
2 2 4 2
2
 1
4 4
Векторный метод
3. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найти угол между прямыми EF и PQ , где E , F , P, Q - середины
ребер DD1 , BC , AA1 и B1C1 соответственно.
D'
C'
A'
B'
Q
E
P
D
C
F
A
B
Решение.
Введем единичные вектора:
D'
C'
A'
B'
Q
E
c
P
D
C
a
F
A
b
B
 1
 1    1  1   1 
EF  c  DF  c   b  a   a  b  c
2
2
2  2
2


1  1  1  1
PQ   c  b  a  c  a  b  c
2
2
2
2

 1

1
1
1
1
EF  PQ  a 2  b 2  c 2   1    ; cos  
4
4
4
4
2
1
2
6 6

2 2

1 4 1
 
2 6 3