Варианты заданий Залача №12 (для групп вечерней формы обучения –

Варианты заданий
(для групп вечерней формы обучения –
источник тока не рассматривается (исключить)
Мой вариант 12
Залача №12
K
R1
R2
L
C
J(t)
Пример ниже !!!
J=3A
L = 0,2 Гн
R1 = 20 Ом
R2 = 30 Ом
С = 70 мкФ
UC = ?
Волгоградский государственный технический университет
Замечания
1
2
Рейтинговая оценка
3
4
1
2
3

4
Кафедра “Электротехника”
Контрольная работа № ____
Расчет параметров переходного
процесса в цепях второго порядка
Вариант №
Выполнил:
Зарегистрирована
Дата
Подпись
студент
группа
Проверил:
Волгоград
ЗАДАНИЕ
Для электрической цепи, соответствующей номеру варианта и графа необходимо выполнить
следующие задания (указаны в содержании):
Рис. 1. Электрическая схема
Таблица 1
Номер
варианта
задания
Номер
рисунка
(графа)
кОм
25
1
1
R,
Параметры электрической схемы
L,
C,
E,
мГн
мкФ
B
10
1
36
J,
мА
Искомая величина
30
iL(t)
1) Анализ электрической цепи до коммутации:
 Провести анализ электрической цепи до коммутации. Обозначить узлы, токи ветвей.
 Определить значения токов ветвей и падений напряжений на элементах электрической цепи до коммутации;
2) Анализ электрической цепи после коммутации:
 Провести анализ электрической цепи после коммутации. Обозначить ветви, узлы, токи, указать контуры протекания токов;
 Определить значения токов ветвей и падений напряжений на элементах электрической цепи после коммутации;
3) Расчет свободных токов цепи (классический метод расчета):
 Составить систему уравнений для полученной в результате коммутации схемы;
 Определить характер переходного процесса (используя матрицу коэффициентов токов и выражение входного
сопротивления);
 Определить постоянные интегрирования;
 Графически проиллюстрировать решение относительно искомой функции.
СОДЕРЖАНИЕ
Наименование пункта
1. Анализ электрической цепи до коммутации
2. Анализ электрической цепи после коммутации
3. Расчет свободных токов цепи (классический метод расчета)
3.1. Система дифференциальных уравнений согласно правилам Кирхгофа
3.2. Определение свободных составляющих токов ветвей
3.3. Определение установившихся составляющих токов ветвей
3.4. Определение постоянных интегрирования
4. Графическая иллюстрация решения
Стр.
4) Расчет токов цепи (операторный метод расчета):
 Составить эквивалентную схему, относительно изображений параметров элементов;
 Определить изображение искомой функции времени;
 Выполнить переход от изображения к функции времени;
 Графически проиллюстрировать решение относительно искомой функции.
1. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ «ДО КОММУТАЦИИ»
1.1.Анализ электрической цепи
R
R
2R
E
R
C
J
R
3R
L
Рис.2. Схема электрической цепи «до коммутации»
Источником питания для данной схемы является источник постоянной ЭДС Е и
источник постоянного тока J. Сопротивления реактивных элементов L, C являются
частотнозависимыми:
 XL = L при
лю XL  0;

XC 
1
C
при
  0 сопротивление индуктивного элемента стремиться к ну  0 сопротивление емкостного элемента стремиться к бес-
конечности XС  ∞.
Изобразим схему электрической цепи с учетом работы реактивных элементов.
R
I1
I5
I2
R
2R
I5=I6
E
I1=I2=I3
I4
R
C
J
R
3R
I6
I3
L
Рис.3. Схема электрической цепи «до коммутации»
1.2. Расчет токов ветвей и падений напряжений на элементах электрической
цепи (“до коммутации”)
В общем случае может быть использован любой из методов определения токов
сложной цепи. В данном случае схема «до коммутации» может быть рассмотрена
как два независимых контура.
Таблица 2.
Расчет токов ветвей схемы «до коммутации»
Токи
I1(0_)
Выражение
I1  I 2  I 3 
Значение, А
9
I2(0_)
I3(0_)
E
36

 9 ( A)
R  2R  R 1  2  1
9
9
I4(0_)
XС  ∞
0
I5(0_)
I6(0_)
I5  I6  J
0,03
0,03
I7(0_)
Ключ
разомкнут
0
Напряжение емкостного элемента, определим как разность потенциалов между узлами b, c; узел а является общим для элементов R2 и R5:
Из первого контура:
I1  I 2  I 3 
E
36

 9 ( A)
R  2R  R 1  2  1
Из второго контура:
U R2  I 2  2 R  18 B
U R  I 5  R  0,03  1000  30 B
Напряжение емкостного элемента («до коммутации»):
U C 0 _   U R5  U R2  10  30  12 B
2. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ «ПОСЛЕ КОММУТАЦИИ»
2.1. Анализ электрической цепи
R
R
2R
E
R
C
J
R
3R
L
Рис.4. Схема электрической цепи «после коммутации»
Источником питания для данной схемы является источник постоянной ЭДС Е и
источник постоянного тока J. Сопротивления реактивных элементов L, C являются
частотнозависимыми:
 XL = L при   0 сопротивление индуктивного элемента стремиться к нулю XL  0;
1
 XC 
при   0 сопротивление емкостного элемента стремиться к бесωC
конечности XС  ∞.
2.2. Расчет токов ветвей и падений напряжений на элементах электрической
цепи
I1
R
a
I5
I2
2R
E
I
I4
R
II
C
R
J
R
3R
L
I6
I3
I7
Рис.5. Схема электрической цепи «после коммутации»
Из анализа данной схемы электрической цепи видно, что:
- ток ветви с емкостным элементом будет равен нулю I4us=0,
- токи I2us и I3us будут одинаковыми I2us = I3us,
- токи I5us и I6us будут одинаковыми I5us = I6us.
Для расчета токов составим систему уравнений согласно законам Кирхгофа и вычислим значения искомых токов ветвей схемы, воспользовавшись пакетом MathCad.
Äàíî
R  1000
E  36
J  0.03
I1us  0
I2us  0
Решение ищется итерационно. Необходимо задать начальные числовые значения неизвестных
(около которых будет выполняться поиск решения)
начало системы уравнений
I5us  0
Given
I1us  I2us  I5us  J
0
I1us  R  I2us  ( 2 R  R)
= - логический знак равенства, используется из панели "Булево"
E
I5us  ( R  3 R)  I2us  ( R  2 R)
0
Ius  Find( I1us  I2us  I5us )
решение системы уравнений в виде определения
вектора системы уравнений I
 0.00568 
Ius   0.01389 


 0.01042 
вывод значений вектора Ius
I1us  Ius
Выполнение переобозначений (для сопоставления с параметрами схемы)
I2us  Ius
I5us  Ius
0
1
Нумерация элементов вектора начинается с
нулевого элемента;
для задания индекса используется панель
"Матрицы"
2
Проверка решения
I1us  I2us  I5us  J  0.00000
Ток седьмой ветви (короткозамкнутый участок) – ток ветви, содержащей индуктивный элемент, определяется по первому закону Кирхгофа:
I7us = I1us – I3us, поскольку I3us = I2us,
то I1us – I3us = – 0,01958 (А).
Таблица 3.
Расчет токов ветвей схемы «после коммутации»
Токи
Значение, А
I1 us
I2 us
I3 us
I4 us
–0,00568
0,01389
0,01389
0
I5 us
I6 us
0,01042 0,01042
I7 us
–0,01958
Напряжение емкостного элемента, определим как разность потенциалов между узлами b, c; узел а является общим для элементов R2 и R5:
- падение напряжения на элементе
- падение напряжения на элементе
R2 = I2us∙2R = 27,78947 (А)
R5 = I5us∙ R = 10,42105 (А)
С учетом направлений токов (узел а, согласно принятым направлениям токов, имеет больший потенциал):
- падение напряжения на элементе R2 = I2us∙2R = – 27,78947 (А)
- падение напряжения на элементе R5 = I5us∙ R = – 10,42105 (А)
Напряжение емкостного элемента в установившемся режиме :
U C us  U R5  U R2  10,42   27,79  17,37 B
3. РАСЧЕТ СВОБОДНЫХ ТОКОВ ЦЕПИ
(КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА)
3.1.
Составить систему уравнений для полученной в результате коммутации схемы
Классический метод расчета основан на поиске решения дифференциального
уравнения в виде суммы решений – частного решения неоднородного дифференциального уравнения (установившаяся или принужденная составляющая) и общего
решения однородного дифференциального уравнения (свободная составляющая).
Частным решением – решением при заданном моменте времени (заданном значении аргумента) в электротехнических задачах выбирается момент времени достаточно удаленный от момента коммутации, что бы предполагать законченноть переходного процесса.
Однородное дифференциальное уравнение – уравнение с нулевой правой частью, составляется для электрической цепи с исключенными источниками питания.
Возможность протекания токов в такой цепи объясняется запасами энергии накопленной в магнитном и электрическом полях реактивных элементов
I1
R
a
I5
I2
II
R
2R
E
I
I4
b
I7
I5s  I4s  I6s
0
I3s  I7s  I1s
0
e
0
I1s  R  I2s  2 R  I3s  R
I5s  R  I2s  2 R 
E
1 
  I4s dt  I4s  R
C
0
1 
d
I6s  3R  L I7s  I3s  R    I4s dt  I4s  R
C
dt
L
I6
I3
0
c
3R
d
I2s  I4s  I3s
J
III
R
I1s  I2s  I5s  J
C
R
0
3.2.
Определить характер переходного процесса (используя матрицу коэффициентов токов)
Составим матрицу коэффициентов при свободных токах.
Алгебраизация дифференциальных уравнений.
Свободный ток будем искать в виде: iñâ  À  å pt .
Тогда
d
производная тока:
iñâ  p  Àå pt  p  iñâ ,
dt
I1s  I2s  I5s
0
I2s  I4s  I3s
0
I5s  I4s  I6s
0
I3s  I7s  I1s
0
I1s  R  I2s  2 R  I3s  R
I5s  R  I2s  2 R 
1
C p
1
1
 Àå pt  iñâ .
p
p
 iñâ 
интеграл от тока:
0
 I4s  I4s  R
I6s  3R  L p I7s  I3s  R 
1
C p
0
 I4s  I4s  R
0
Для задания матрицы коэффициентов и нахождения
определителя используется панель «Матрицы»
 1 1
0
1

0
0

1 0

 R 2 R
 0 2 R


0
0

0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
R
0
0
 1  R R
 C p



1
R 
 R  0
 C p

0



1
0 
0
1 

0
0


0
0


3  R L p

0
0
0
0
solve, p - найти переменную (здесь - p);
float
- символ вычисления с
плавающей точкой
(панель"Символы")
0
sol ve p

flo at 9
 395.895 


 399937 .439
Значения p – действительные, разные. Следовательно, характер переходного
процесса будет апериодическим и вид решения будет следующим:
I ñâ  À1  å p1 t  À2  å p2 t .
3.3.
Определить постоянные интегрирования
Для определения начальных условий воспользуемся независимыми начальными
условиями. Согласно законам коммутации:
 I L 0   I L 0 

U C 0   U C 0 
Ток индуктивного элемента и напряжение емкостного элемента не могут изменяться мгновенно.
Согласно независимым начальным условиям:
ток индуктивного элемента I7 (0+) = I7 (0–) = 0 (А);
напряжение емкостного эл. UС (0+) = UС (0–) = 18 (В).
Äàíî
R  1000.000
L  0.01000
J  0.03000
E  36.00000
C  0.00000
Определение падения напряжения на емкостном элементе:
Ucdo  I5do R  ( I2do 2 R)
Независимые начальные условия
I7p  I7do
I7p  0.00000
Ucp  Ucdo
Ucp  12.00000
Given
I1p  I2p  I5p  J
I2p  I4p  I3p
0
I5p  I4p  I6p
0
I3p  I7p  I1p
0
0
I1p R  I2p 2 R  I3p R
E
I5p R  I2p 2 R  Ucp  I4p R
0
I6p 3 R  ULp  I3p R  ( Ucp  I4p R)
0
 9.000 10-3 


 9.000 10-3 


 9.000 10-3 

Find( I1p  I2p  I3p  I4p  I5p  I6p  ULp) float  4  
0



-2 
3.000  10


 3.000 10-2 


 93. 
Определим зависимые начальные условия ( UL(0+) и IC(0+) ), подставив независимые начальные условия в систему уравнений, составленную для электрической цепи
получившейся после коммутации.
Напряжение на индуктивном элементе сразу после коммутации стало равным:
ULp = 93 (В). Знак “ – ” означает, что напряжение индуктивного элемента встречно
принятому в расчете условно-положительному направлению и действует от узла d к
узлу b.
Определим постоянные интегрирования.
Для определения постоянных интегрирования при решении дифференциальных
уравнений второго порядка необходимо, что бы на начальный момент времени были
определены: сама искомая величина и ее первая производная.
Для индуктивного элемента выражения электрических параметров «поле коммутации»:
- ток:
iL t   iL ñâ t   iL óñòt 
- напряжение:
u L t   u L ñâ t   u L óñòt 
iL t   A1e p1t  A2 e p2t  iL óñò;
где (из пп.2)
u L t   L
d
iL t   Lp1 A1e p1t  Lp2 A2 e p2t  u L óñò t ,
dt
iL óñò  I 7us  0,01958 , u L óñò  0
Получить выражение производной
IL( t)  A1 e
p1 t
 A2 e
p2 t
функции можно, воспользовавшись
панелью "Матанализ"
d
IL( t)  A1 p1 exp( p1 t)  A2 p2 exp( p2 t)
dt
Воспользуемся независимыми и зависимыми начальными условиями:
- ток индуктивного элемента
I7 (0+) = I7 (0–) = 0 (А);
- напряжение индуктивного элемента UL (0+) = – 93 (В).
Определим постоянные интегрирования
начальные условия
L  0.01000
I7us  0.01958
I7p  0.00000
ULus  0
ULp  93.00000
Значения корней определены ранее
p1  395.89525
p2  399937.43808
t  0
A1  1
A2  1
Given
A1  e
p1 t
 A2  e
p2 t
 I7us
I7p
L A1  p1  exp( p1  t)  L A2  p2  exp( p2  t)  ULus
ULp
A  Find( A1  A2)
Определение значений элементов вектора А
A  0.00368
Вывод значений элементов вектора А (постоянных
интегрирования)
0
A  0.02326
1
Проверка
t  0
A  L p1  exp( p1  t)  A  L p2  exp( p2  t)  93.00000
0
3.4.
1
Определение функций изменения токов и напряжений в схеме «после
коммутации»
Для индуктивного элемента выражения электрических параметров «поле коммутации»:
- ток :
- напряжение :
iL t   iL ñâ t   iL óñòt 
u L t   u L ñâ t   u L óñòt 
Полученные выражения параметров индуктивного элемента:
- ток :
iL t   iL ñâ t   iL óñòt  ;
iL t   0.00368 e 395,9t  0,02326 e 3.9993710 t  0,01958
5
- напряжение : u L t   u L ñâ t   u L óñòt ;
U L (t )  L
5
d
iL t   0,01456 e 395,9t  93,015e 3,9993710 t
dt
Графически проиллюстрировать решение относительно искомой
функции
3.5.
Графическая иллюстрация решения, с использованием пакета MathCad
IL( t) 
0 if t  0
 A  ep1 t  A  ep2 t  I7us   103 if t  0
1
 0

UL( t) 
0 if t  0
L d  A  ep1 t  A  ep2 t  I7us   ULus if t  0
  0

1

 dt

0
10
20
30
40
UL( t )
IL( t )
50
60
70
80
90
100
6
2 10
0
2 10
6
4 10
6
6 10
6
8 10
6
1 10
t
5
1.2 10 1.4 10 1.6 10 1.8 10
5
5
5
5
2 10
5
Òîê, mA
Íàïðÿæåíèå, B
Для того, что бы графически проиллюстрировать поведение искомой функции
(тока или напряжения) удобно использовать элементы программирования (панель
«Программирование»).
Для данного примера: ток и падение напряжения индуктивного элемента описывается различными функциональными зависимостями «до» и «после» коммутации.
Запись выражения осуществляется оператором присвоения и оператором «if» (панель «Программирование»). Добавление строки выполняется командой «Add line».
Добавление графической иллюстрации используется элемент «Декартов график»
(панель «Графики»). Слева вводится исследуемая функция (в зависимости от пара-
метра), если их несколько, то ввод осуществляется через запятую, внизу поля требуется ввести имя параметра. Для удобства иллюстрации графика по осям допускается
ручной ввод граничных значений исследуемого интервала изменения параметра (ось
абсцисс), изменение значения функции (ось ординат).
Скорости изменения параметров (тока и напряжения) должны быть одинаковы.
Это следует из законов Кирхгофа (законов сохранения). Иными словами, если в какой-либо части электрической цепи будет протекать переходной процесс, то и вся
цепь так же будет охвачена данным переходным процессом с теми же постоянными
времени.
Для данного примера из графика визуально не очевидно, что скорости изменения
функций тока и напряжения одинаковы. Проиллюстрируем это на математической
модели:
1.
определим интервал времени, в течение которого величина напряжения
(например) индуктивного элемента станет равной своему установившемуся
значению;
2.
подставив полученное значение времени в функцию тока, должны получить
установившееся его значение
Установившиеся значения:
I7us  0.01958
ULus  0
t  0
Given
L
p1 t
p2 t
d 
A e
 A e
 I7us   ULus
0
1


dt
T  Find( t)
T  0.05
t  T
A e
0
p1 t
 A e
1
p2 t
 I7us  0.01958
0