матемx

1.
Найти два числа, зная их сумму 168 и общий делитель 24.
Возьмем число 24.
168-24=144 24:24=1 144:24=6
Ответ: 144 и 24.
2.
В каком году родились люди, которым 1958 году исполнилось
столько лет, какова сумма цифр года их рождения?
1+9+5+8=23, значит нужно искать число меньше 23
Возьмем число 16.
1958-16=1942(год)
1+9+4+2=16.
Ответ:1942 год.
3.
Найти такое трехзначное число, удвоив которое мы получим число,
выражающее количество цифр, необходимое для написания всех
последовательных целых чисел от 1 до этого трехзначного числа.
Пусть x – искомое число
Мы знаем, что всего имеется 9 однозначных и 90 трехзначных чисел
=> трехзначных чисел до искомого числа x-99
Составим уравнение.
9+90 • 2+3 • (x-99)
9+180+3x-297=3x-108
2x=3x – 108
2x-3x= -108
-x=-108
x=108-искомое число
Ответ:108
4.
Если к некоторой сумме денег прибавить через год
1
следующий -
12
1
12
ее, а в
новой суммы, то первоначальная сумма за два года
увеличиться на 16900. Найти первоначальную сумму.
x - первоначальная сумма
1
1
1
x + 12x + 12 (12x + x)=16900 + x
25
x + x=16900 + x
144
25
x=16900
144
x=97344-первоначальная сумма.
Ответ: 97344
5.
Дана система
𝑧
𝑥+𝑦
{ 𝑧
𝑦−𝑥
= 2,
= 3,
где 𝑥>0, 𝑦>0, z>0. Что больше: z
или 𝑥?
Рассмотрим вторую систему и получим, что x<y.
Выразим x и z из первой системы.
z =2x+2y
1
x = 2z – y => z>x
Ответ: z>x
6.
Сколько всего диагоналей можно провести в многоугольнике,
имеющим 103 стороны.
Применим формулу N = n·(n – 3):2, где N-количество диагоналей,
n- число вершин многоугольника (в данном случае 103, так как 103
стороны)
N=103·( 103 – 3):2=5150
Ответ:5150 диагоналей
7.
В треугольнике АВС высота ℎ𝑎 составляет половину биссектрисы
внешнего угла этого треугольника при вершине А. Найти разность
углов В и С.
8. Найти сумму
1
√2+1
+
1
√3+√2
+ ⋯+
1
√100+√99
Каждый множитель умножим на сопряженный ему и получим выражение:
1- √100=1-10=-9
9.
Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению
𝑥 2 − 𝑦 2 = 69
13²-10²=69
35² - 34²=69
Ответ: 13 и 10; 35 и 34.
10. В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в
котором не менее 34 учеников.
Если в каждом классе учится одинаковое количество учеников, то
получится, что в каждом классе учится 33,(33) учеников
(1000:30=33(33)) такого не может быть. Именно поэтому в одном из
классов учится не менее 34 учеников.