Методическая разработка изучения темы «Иррациональные уравнения и неравенства»

1
10 ч.
11 ч.
9 ч.
8 ч.
7 ч.
Контрольная работа
Зачет
Обобщающий урок
Практические
занятия
6 ч.
5 ч.
4 ч.
Лекция
3 ч.
Тема: «Иррациональные уравнения и неравенства».
Основные понятия. Теорема о равносильности
уравнений и уравнении следствии. Алгоритм
решения иррациональных уравнений и неравенств.
Некоторые способы решения уравнений и
неравенств. Метод интервалов при решении
иррациональных
неравенств.
Иррациональные
уравнения и неравенства с параметрами.
Цель:
 ввести понятия иррационального уравнения и
неравенства,
решения
иррационального
уравнения и неравенства, представить несколько
способов решения, выработать умения решать
иррациональные уравнения и неравенства.
 Развитие
логики,
мышления,
умения
анализировать, рассуждать, обобщать, делать
выводы.
2 ч.
I. Содержание лекции
1 ч.
Методическая разработка изучения темы
«Иррациональные уравнения и неравенства»
11 класс (физико-математический профиль) Учитель: Михайлова Н.С.
Урок – лекция (2 часа)
«Иррациональные уравнение и неравенства»
Цель: ввести понятие иррациональных уравнений и неравенств; представить несколько
способов их решения; выработать умение решать иррациональные уравнения и
неравенства.
План:
I. Иррациональные уравнения
1. Определение иррационального уравнения.
2. Переход от иррационального к рациональному уравнению путём возведения в
степень обеих частей уравнения. Теорема о равносильности.
3. Посторонние корни.
4. Некоторые способы решения иррациональных уравнений:
а) уединение радикала и возведение в квадрат обеих частей уравнения
б) метод оценки;
в) определение области допустимых значений неизвестного;
г) использование свойства монотонности, ограниченности;
5. Решение некоторых типов иррационального уравнения:
а) уравнения, в которых одно или несколько подкоренных выражений точные
квадраты;
б) уравнения, содержащие несколько квадратных радикалов;
в) уравнения, содержащие корни третьей степени;
г) иррациональные уравнения, решаемые способом замены;
д) решение иррациональных уравнений типа φ (φ (х)) = х
II. Иррациональные неравенства
1. Основные методы решения иррациональных неравенств.
2. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.
III. Иррациональные уравнения и неравенства с параметром
Содержание учебного материала
Иррациональные уравнения.
Определение:
Уравнение А (х) = В (х), в котором хотя бы одно из выражений А (х), В (х) иррационально
называется иррациональным.
Например:
х  3  х  4  7 ; х 2  9  х 2  9  10  0;
уравнение вида
2 х 4  5 3х 2 
3 2
3 2
 0 -рационально, так х не находится под знаком
корня.
Понятие корня уравнения и его решения для иррациональных уравнений
определяют так же, как и для решения рациональных (корень – значение переменной,
которое обращает это уравнение в верное равенство; решить уравнение – найти все его
корни и показать, что корней нет).
Пример 1: х  3  2, х=1 – корень уравнения, так как 1  3  2 . Других корней это
уравнение не имеет. Ответ: 1.
2
Пример 2:
х  2  3 ; уравнение не имеет корней, так как
х2 0
Один из основных методов решения иррациональных уравнений – метод
возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
Рассмотрим теорему.
Теорема: Если n>0 – нечётное число, n = 2k + 1, то уравнения А n х   В n х  и
А (х) = В (х) – равносильны.
Если же n>0 – чётное число, n = 2k, то любой корень уравнения А n х   В n х 
удовлетворяет хотя бы одному из уравнений А (х) = В (х) и А (х) = -В (х).
Доказательство: Пусть α – корень уравнения А (х) = В (х). Тогда А (α) = В (α), и
потому А n    В n   , т.е. α – корень уравнения А n х   В n х  . Таким образом, всякий
корень уравнения А (х) = В (х) является корнем уравнения А n х   В n х  .
Обратно, пусть α – корень уравнения А n х   В n х  , т.е. А n    В n   . Если n
нечётно, то отсюда вытекает, что А    В   , и потому α – корень уравнения
А (х) = В (х). Значит, при нечётном n уравнения А (х) = В (х) и А n х   В n х  равносильны.
Если же n чётно, то равенство А n    В n   может иметь место либо при
А    В   , либо при А     В   , а потому α является корнем по крайней мере
одного из уравнений: А (х) = В (х), А (х) = -В (х).
Таким образом , уравнение А n    В n   при n чётном является следствием уравнения
А (х) = В (х), а при n – нечётном равносильно уравнению А (х) = В (х), следовательно, при
возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних
корней и поэтому необходима проверка корней.
Иррациональное уравнение 2n f ( x)   ( x) равносильно системе:
(1)
 ( x)  0,
Причем, приписывать неравенство f(x)≥0

2n
(2)
 f ( x)   ( x).
излишне, - оно следует из уравнения (2) системы.
Иррациональное уравнение 2n f ( x)  2n  ( x) равносильно системе:
(3)
 ( x)  0,

(4)
 f ( x)   ( x).
Рассмотрим некоторые способы решения иррациональных уравнений:
Возведение в квадрат левой и правой части
в системе
Пример1: Решим уравнение х 2  х  1  х  4.
Решение: Это уравнение равносильно системе
 х 2  х  1  ( х  4) 2

 х  4  0.
5
, который не
3
удовлетворяет неравенству х  4  0 . Поэтому данное уравнение не имеет корней.
Но уравнение х 2  х  1  ( х  4) 2 имеет единственный корень х 
Пример 2: Решим уравнение х 2  2х  10  2 х  1.
Решение: Это уравнение равносильно системе:
 x 2  2 x  10  (2 x  1) 2 ,

2 x  1  0.
3
Корнями уравнения х2+2ч+10=(2х-1)2 являются числа -1 и 3, из которых 3 удовлетворяет
неравенству 2х-1≥0. Значит, данное уравнение имеет один корень х=3.
Пример 3: Решить уравнение: 2 cos 2 x  3 sin x   2 cos x.
Уравнение равносильно системе:
 x    2n,
cos x  0,
cos x  0,



2
2
 x  2  2n, n  Z .
2
cos
2
x

3
sin

2
cos
x
2
sin
x

3
sin
x

0


3

2
 2n, n  Z .
Ответ:   2n,
3
При решении иррациональных уравнение удобно перед возведением обеих
частей уравнения в некоторую степень «уединить радикал» т.е. представить уравнение в
виде A( x)  n B( x) . Тогда после возведения обеих частей уравнения в n-ю степень
радикал справа исчезнет. Проверка корней иррационального уравнения возможна, если
множество этих корней конечно, если же их бесконечно много, то приходится поступать
иначе: устанавливать дополнительные условия, налагаемые на корни, и проверять, когда
они выполняются:
Пример 4: Решим иррациональное уравнение
x 2  6 x  9  25  10 x  x 2  8.
Решение: Дважды уединим радикал, возведя после этого обе части уравнения в квадрат,
то получим равенство
25+10х+х2=х2+10х+25, которое имеет место для всех значений х. Однако, например, число
4 не является корнем исходного уравнения, т.к. 4 2  6  4  9  25  10  4  4 2  1  9  8
посторонние корни появились потому, что в данном уравнении оба радикала должны
принимать неотрицательные значения, а это условие нарушается при возведении в
квадрат обеих частей уравнения. Из условия неотрицательности радикалов получаем, что
должны выполняться неравенства 8- 25  10 х  х 2  0 и 8  х 2  6 х  9  0.
Из первого неравенства получаем х   13;3, решением второго неравенства является
отрезок [-5;11]. Оба неравенства выполняются на пересечении этих отрезков, т.е. на
отрезке [-5;3]. Т.к. кроме этих неравенств, никаких ограничений на х не накладывается, а
уравнение, получаемое освобождением от иррациональностей, тождественно выполняется
на всей числовой прямой, решением уравнения служит найденный отрезок [-5;3].
Замечание: Уравнение можно решить иначе
воспользуемся тем, что
x 2  6x  9  х  3 ,
25  10 x  x 2  х  5 . Уравнение примет
вид х  3  х  5  8.
Разбивая числовую прямую на промежутки (-;-5],[-5;3],[3; ), где х-3 и х+5 сохраняют
знак, и, освобождаясь от знака модуля, убеждаемся, что уравнение имеет место лишь на
[-5;3].
Метод оценки.
Пример5: Решим уравнение х 2  4  х 2  9  4 .
Решение: Уравнение не имеет корней, т.к.
х 2  4  2,
х 2  9  3 , а поэтому
х 2  4  х 2  9  5.
Пример5а) Решим уравнение х 2  4  х 2  1  3  5х 2 .
Решение Метод возведения в квадрат при решении этого уравнения приводит к
громоздкому рациональному уравнению четвертой степени, корни которого найти
нелегко.
4
Заметим, что оба радикала, стоящие в левой части уравнения, существуют при любых

3 3
значениях переменной х, правая часть неотрицательна при х  
; .
5 5

Поэтому определить корни данного уравнения исходя из тех же соображений, которые
помогли нам в примере 5, не удается. Однако можно
заметить х 2  4  х 2  1  4  1  3 , что в то время, как 3-5х23
Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть равна правой части, только
если обе части одновременно, равняются З. Отсюда, находим единственное решение
исходного уравнения х = О
Ответ. О.
Метод определения допустимых значений переменной:
Пример6: Решим уравнение 5  х  7  х  2 х  15  2. Попытки решить, производя
возведение в квадрат и уединение радикала, ведут к уравнению четвертой степени.
Выпишем условия, при которых функции, входящие в данное уравнение существуют:
5  х  0,
 х  5,


Эта система содержит противоречивые неравенства и ,
  х  7,
7  х  0,
2 х  15  0;
 х  7,5.


следовательно решений не имеет. Поэтому и исходное уравнение не имеет решений.
Некоторые иррациональные уравнения удается решить, используя свойство
монотонности функций.
П р и м е р 7. Решить уравнение = 5—х.
Решение. Так как функция х  3 является возрастающей, а функция 5—х убывающей (на
общей области определения), то уравнение не может иметь более одного корня. Легко
угадывается единственный корень уравнения: х=4
Ответ. 4.
Пример 8. Решить уравнение 2 х  1  х  3 =3.
Решение. Функция 2 х  1  х  3 возрастающая на всей области определения. Легко
видеть, что х = 1 — корень уравнения. Других корней уравнение иметь не может.
Ответ. 1.
Уравнения, имеющие несколько радикалов.
Пример 9 Решить уравнение: 5х  1  3х  2  х  1  0.
Решение Допустимые значения неизвестного удовлетворяют условиям:
 х  1 / 5,
5 х  1  0,


  х  2 / 3,  х1. Уединяем один из радикалов и возводя обе части
3х  2  0,
 х  1;
 х  1  0;


уравнения в квадрат, получаем: ( 5 х  1  3х  2 ) 2  ( х  1) 2 . или
7х-2= 2 5 х  1  3х  2. Снова возводим обе части в квадрат: 49х2-28х+4=4(5х-1)(3х-2),
11х2-24х+4=0, х1=2/11, х2=2. Число х1=2/11 не принадлежит области определения данного
уравнения, поэтому не может быть его корнем. Число х 2=2 принадлежит ОДЗ, проверкой
убеждаемся, что х2=2 является корнем уравнения. Ответ: 2.
Иррациональные уравнения, имеющие радикалы третьей степени.
Пример 10. Решить уравнение 3 х  2  3 3х  4  3 х .
Решение Возведем обе части уравнения в куб по формуле (а+b)3=a3+b3+3ab(a+b).
Получим уравнение, равносильное данному:
5
4х-6+3 3 ( х  2)(3х  4) (3 х  2  3 3х  4 )  х . Заменим выражение, стоящее в скобках
выражением 3 х . Получим: 3 ( х  2)(3х  4) х  2  х . Последнее уравнение является
следствие предыдущего, поэтому необходимо будет сделать проверку. Возведем в куб
левую и правую части уравнения: х(х-2)(3х-4)=2-х. Откуда х1=1, х2=2. Проверка
показывает, что х1=1 – посторонний корень. Ответ:2.
Иррациональные уравнения, решаемые подстановкой:
Пример11: Решить уравнение 2 х  1  24 2 х  1  3 .
Решение. Пусть 4 2 х  1 =у, где у0, перепишем уравнение в виде у2-2у-3=0. Корнями
которого являются у1=3, у2=-1 ( не удовлетворяет условию у0. Имеем: 4 2 х  1 =3, х=41.
Ответ 41.
Иррациональные уравнения вида  ( ( х))  х
Пример 12. Решить уравнение: 1  х  х  1 .
Решение: Перепишем уравнение в виде 1+ 1  х =х. Рассмотрим функцию (х)=1+ х .
Тогда полученное уравнение имеет вид  ( ( х))  х . Для решения уравнений такого вида
применим теорему
 Если (х) – монотонно возрастающая функция, то уравнения  ( ( х))  х и (х)=х
равносильны. Введенная функция монотонно возрастает, поэтому перейдем к
равносильному уравнению (х)=х или 1+ х =х, решение которого найти уже

 х  ( х  1) 2 ,  х 2  3х  1  0,  х1, 2  3  5 ,
3 5
просто х  х  1  


 х1 
2
2
 х  1  0,
 х  1  0,
 х  1,

Ответ:
3 5
.
2
Иррациональные неравенства.
Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь
как правило, исключена возможность проверки и преобразования должны быть
равносильными.
Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения
исходного неравенства
к равносильной системе или совокупности систем
иррациональных неравенств..
Иррациональные неравенства часто сводятся к неравенствам вида А( х)  В( х)
или
А( х)  В( х) . Неравенства первого вида удобно решать, переходя к равносильной
 А( х)  В 2 ( х ),

системе трех неравенств:
Запомним правило: нельзя
А( х)  В( х)   А( х)  0,
 В ( х )  0.

неравенство возводить в четную степень, если хотя бы одна из его частей отрицательна,
поскольку при этом знак неравенства может измениться.
Неравенства второго типа решают, переходя к совокупности двух систем
неравенств
 А( х)  В 2 ( х),

 В( х)  0,
А( х)  В( х)  
А( х)  0,

 В( х)  0
6
Пример1 : Решим неравенство: х 2  55х  250  x  14. Так как квадратные корни
можно извлекать лишь из неотрицательных чисел, то должно выполняться условие:
х2-55х+2500. Решением этого неравенства является множество (-;5][50; ). Кроме
этого поскольку х 2  55х  250 0, имеем х-140, т.е. х[14; ). Совмещаем полученные
множества, получим множество[50; ). Возведем обе части данного неравенства в
квадрат (так они существуют и неотрицательны на [50 ; )): х2-55х+250<(х-14)2. Решим
систему неравенств:
 х  50
 х  50,

Откуда х  50 .
 2
2
 х  55 х  250  х  28 х  196  х  2.
Пример2: Решим неравенство х 2  6 х  40  х  2.
Решение. Это неравенство сводится к системам:
 х  2  0,
 x 2  6 x  40  0,
 2

2
 х  6 х  40  x  4 x  4;  x  2  0.
Решением первой системы является множество (22; ), второй (-;10). Объединим
решения, получаем решение данного неравенства: множество(-;-10)(22; ).
Более сложным является решение иррациональных неравенств вида
А( х)  В( х)  C( x). Поскольку A( x)  0 , B( x)  0 , то должны выполняться
условия А(х)0, В(х) 0, B( x)  C ( x) (соответственно A( x)  C ( x) ). На множестве, где
эти условия выполняются, данное неравенство равносильно неравенству
A( x)  (C( x)  B( x) ) 2 (соответственно неравенству B( x)  (C( x)  A( x) ) 2 ). А
далее, как уже рассматривали выше.
Пример. Решим неравенство х  х  7  6 .
Решение. Данное неравенство равносильно следующей системе неравенств:
 x  0,
 x  7  0,


 x  6,
 x  7  (6  x ) 2  36  12 x  x.

Последнее неравенство этой системы приводится к виду 12 x  29 , откуда
841
находим, что 0х<
. Таким образом решением исходного неравенства является
144
841
пересечение всех решений неравенств, входящих в систему, т.е. имеет вид [0;
).
144
При решении иррациональных неравенств можно применять метод интервалов. ( Если
функция f на интервале (a;b) непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом
интервале сохраняет постоянный знак.
Пример. Решим неравенство
4 х 2  8х  5 2 х  1

.
3
3х 2  6 х
Решение. Область определения неравенства (-;0)(2; ). На области определения
данное неравенство равносильно следующему: (2х+1)(6х-15- 3х( х  2) )  0 . Для решения
последнего неравенства применим метод интервалов. Рассмотрим функцию f (х)=
(2х+1)(6х-15- 3х( х  2) ) . Решим уравнение f (х)=0, находим ее нули:-0,5 и 3. На каждом
из промежутков (-;-0,5),(-0,5;0), (2;3), (3; ) функция непрерывна и не обращается в
7
нуль. Следовательно, на каждом из них она сохраняет постоянный знак. Далее видим, что
если x<-0,5, то f(x)>0, а если -0,5<x<0, то f(x)<0. Далее , так как f(1,5)<0, а f(4)>0, то
f(x)<0 при 2<x<3 и f(x)>0 при x>3 .
Ответ: -0,5x<0, 2<x3.
Иррациональные
уравнения и неравенства с параметрами.
Пример. Решить уравнение х 1  х  а , (а – параметр).
Решение: Перепишем уравнение в виде: х  1  х  1  1  а  0 и рассмотрим его как
квадратное относительно х  1 . Находим D = 4а-3. Уравнение имеет решение, если

1  4а  3
,
 х 1 
2
а3/4. Имеем: 

1  4а  3
.
 х 1 
2

Видим, что первое уравнение совокупности имеет решение тогда и только тогда, когда
1- 4а  3  0 , т.е. при а1. Решим оба уравнения совокупности, получим 3/4а1:
2а  1  4а  3
,
2
2а  1  4а  3
. Таким образом приходим к ответу: при
2
2а  1  4а  3
2а  1  4а  3
3/4а1 уравнение имеет два корня х1 
, х2 
; при а>1
2
2
2а  1  4а  3
уравнение имеет один корень: х 2 
; при а< решений нет.
2
Решая иррациональные уравнения с параметром, удобно использовать графический
метод решения, особенно, если в задаче ставится вопрос не решить уравнение, а указать
количество возможных решений.
х1 
х2 
Задача 1. При каких а уравнение
х 2 1  х  а не имеет решений?
Переформулируем задачу: «При каких а график функции у  х 2  1 не имеет с
графиком функции у  х  а ни одной точки пересечения?» Функция у  х  а задает
семейство всех прямых, параллельных биссектрисе нечетных координатных углов, а
у 2  х2 1
функция у  х 2  1 , равносильная системе 
- верхние полуветви равнобокой
у

0
,

гиперболы. Построив эти графики (рис), мы увидим, что график функции у  х 2  1 не
пересекает прямые с параметром а  (;1)  0;1 .
у
у
1
0
1
х
0
8
х
Задача 2. При каких а уравнение
одного решения?
3  2 х  х 2  5х 2  10 х  5  а имеет не более
Рассмотрим функцию у  3  2 х  х 2 и семейство функций у  5х 2  10 х  5  а ,
которое равносильно у  5( х  1) 2  а . Его график – семейство парабол. Далее,
 у 2  х 2  2 х  3  у 2  ( х  1) 2  4
т.е.
эта
функция
задает
у  3  2х  х 2  

у

0
у

0
,


верхнюю полуокружность радиуса 2 с центром в точке (1;0).
Полуокружность и парабола будут иметь одну общую точку (см. рис), если а = 2
(касание параболы и полуокружности), и не будут иметь общих точек, если а  2 или а а0
(а0 – значение а, при котором парабола проходит через концы полуокружности, а0 = -20).
Следовательно, данное уравнение будет иметь не более одного решения
при а  (;20)  2; , причем при а = 2 будет ровно одно решение, а при
а  (;20)  2; решений не будет.
Задача 3. При каких значениях параметра а неравенство 4  а 2  2ах  х 2  х
имеет решение?
Графиком
функции
у=х
является
прямая,
уравнению
же
2
2
 у  ( х  а)  4
соответствует семейство полуокружностей
у  4  а 2  2ах  х 2  
у  0
радиуса 2 с центром в точке (а;0).
Наличие решений у неравенства означает такое расположение прямой и
полуокружности, при котором не все точки полуокружности расположены ниже прямой.
Определим значение параметра а0, которому соответствует полуокружность, касающаяся
прямой. Поскольку треугольник ОМС равнобедренный и прямоугольный и СМ=R=2, то
ОС=2 2 , т.е. а0  2 2 . Всем а   ;2 2 будут соответствовать полуокружности с


центрами в точке С (2 2 ;0) или левее, у которых, как видно из рис, есть точки,
расположенные выше прямой у = х. Поэтому данное неравенство имеет решение для всех
а   ;2 2 .


у
у=х
М
0
С (2 2 ;0)
х
9
Используемая литература:
1. В.И. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд «Алгебра и
математический анализ», учебное пособие для классов с углубленным изучением
математики, М., Просвещение. 1997 г.
2. В.И. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов Алгебра и математический анализ. 11 класс.
Учебное пособие для учащихся
3. А.Л. Саакян и др. Сборник задач по алгебре и началам анализа. М. 2002 г.
4. А.А. Тимофеев. В.А. Тимофеев Пособие по математике для абитуриентов, Уфа,
2002 г.
5. Т.М.Королева, Е.Г.Маркарян, Ю.М. Нейман Пособие по математике (в помощь
участникам централизованного тестирования). М. Просвещение 2002 г.
6. Е.Хуторная, Е.Федосеева «Использование кривых второго порядка при решении
иррациональных уравнений, содержащих параметр»
10
II. Урок-практикум (Урок 1-2)
11 класс
«Иррациональные уравнения и неравенства»
Цель: выработать у учащихся умения и навыки в решении иррациональных уравнений и
неравенств, овладеть новыми математическими методами.
Дидиактический материал к урокам
С.М. Саакян, А.М. Гольдман Сборник задач по алгебре и началам анализа 10-11
класс
1 уровень
2 уровень
Решите уравнение
Решите уравнение
939
962
х  2  х  3  6 х  11
x  5  2 x2  13  14 x
963
х  15  х  1  х  6  х  6
3 х  3  х 2  25
964
х 1 1 
942
х  9  2  х 1
965
х  4  4  х  8  2х
943
13  4 х  1  х  3
966
х  х  3  5х  16
940
2х  3  2х  5 
941
4
2х  5
944
( х  2) х  х  20  6 х  12
945
4
2
946
3
947
967
х  1  20  х  1
969
2х  3
3х  2
3
 2,5
3х  2
2х  3
1  cos x  sin x
970
х х8
1
1
2 2


1 1 х 1 1 х
1 х
4 cos 2 x  3
2 cos x 
 cos x
1  4 cos 2 x  1  4 cos x
971
cos(

 x)  sin 2 x  1,25  0,5  cos x
3
6 sin x  cos 2 x   7 sin 2 x
x4  a2
Решите неравенство
972
956
5 x  7  2  3x
978
х 1  a
957
x2  2  x  2
x  15  5  x
979
x2  2x  8  12  2 x
948
958
960
961
(3x 2  16 x  21) 2 x  5  0
6  2x
A. Решите неравенство
980
x4
 5x  8
2x  1
982
5x2  6 x  1 
983
x 2  7 x  12
11
x
x2
( x  1)  x 2  x  6  0
3-4 урок «Иррациональные уравнения и неравенства»
(Задание по материалам централизованного тестирования)
№
Задачи
1. Если х – корень уравнения
3
2. Если х – корень уравнения
3
№2
№3
1
3
1
3
3
104
112
-112
99
-99
3
4
5
1
2
1
3
0
2
4
0
1
2
3
4
0
1
-1
2
-2
1
3
7
3
4
3
-
7
3
-
-
1  х  1  1  х  1  2, то значение
х
выражения
равно
х2
3
№1
№4
-
2
3
№5
+
2
3
24  х  2  3 5  х  2  1, то
значение выражения х (х-2) равно
3. Если х – корень уравнения
2  2  х  6 2 х  4  3 х  6 , то
значение выражения х 2  1 равно
4. Если х – корень уравнения
х  2  3х  3  6  3х  3, то
2х
значение выражения
равно
3х
5. Сумма целых корней уравнения
х 2  2 х  1  х 2  2х  1  2 равна
6. Сумма корней уравнения
х 2  х  4  х 2  х  1  2х 2  2х  9
7.
равна
Если х – корень уравнения
х
х 1
2
 3, то значение
х 1
х
х3  1
выражения 2
равно
х  х 1
8. Произведение корней уравнения
3
х  7 
4
41
2
-
41
2
43
-41
16
25
-3
16
25
4
16
-4
25
16
3
2
-9
9
7
-7
(4;6)
(4;6]
(-4;6)
(-6;-4)
(-;4)
(6;)
0
1
2
3
4
-1
-2
0
2
1
0
1
2
3
4
 43 х  7  4  0 равно
2
9. Произведение корней уравнения
-
25х  9  25х  7  2 равно
2
2
10. Сумма корней уравнения
1
3
41
-
25
16
8
4 х  4 х  8  х  4 х  3 равна
2
2
11. Сумма целых решений неравенства
х 2  2 х  15 х 2  4 <0 равна
12. Множеством решений неравенства
3х  10 > 6  х является
13. Число целых решений неравенства
х 2  2х  3 < 1 равно
14. Наибольшее целое решение неравенства
11 5х > х  1 равно
15. Число целых решений неравенства
5  х 2 < х  1 равно


12
пра
от
16. Множество решений неравенства
7  2 х < 5х  1 имеет вид
(-∞;
17. Число целых решений неравенства
2 х  14 > х  3 равно
18. Множество решений неравенства
3
 3  х < 2 имеет вид
3 х
19. Множество решений неравенства
4 х  х 2 < 4  х имеет вид
20. Множество решений неравенства
7
)
2
9
(-∞;-2)
4  х < х 2  2 х имеет вид
13
1 7
1 6
(- ; ) (- ; ]
5 2
5 7
7
8
(0;1)
(1;∞)
(-∞;-4)
(-;-4]
[0;4/3)
(-∞;4)
8
( ;∞)
3
8
( ;4]
3
(4;∞)
1
(- ;∞)
5
6
6 7
( ; ]
7 2
5
(-2;∞)
(-3;0)
4
)
3
4
(0; )
3
(2;4)
(-∞;
(-;0)
(2;)
4 урок
Тема: Иррациональные уравнения и неравенства.(11 класс)
Работа в группах:
1 группа:
(решите уравнения)
1.
2.
3 группа:
(решите уравнения)
7  x 2  4x  4  x  3
1. x  7  x 2  6 x  9  4
1  2 cos x  sin x
2.
3.
4
4. ( x 2  1) x 2  4 x  3  0
log 2  log 4 2 x  0,5
5.
3  2 cos x   3 sin x
x 1 4 3  x

 2,5
3 x
x 1
(решите неравенства)
x  5  x 1
(решите неравенства)
4.
2x7  5  x  x
3.
3
5.
6. 7  2 x  2 x 2  9 x  x  x  9
1  log 5 ( x  2)  log 5 (5 x  10)
6. 2 x 2  3x  9  2x  x  x  3
2 группа:
(решите уравнения)
4 группа:
(решите уравнения)
1. x  3  x 2  2 x  1  4
2.
2  3 sin x  2 cos x
3.
2x 2  5x  12  2x 2  5x
(решите неравенства)
5  x2  x 1
4.
5. 2
6.
1. 2  3  x 2  2 x  1  x
2 x
x
 4x  64
2.
3.
5.
6.
3x 2  6 x  7  x 2  2 x  7
5.
6.
3  x  x  1  3 2 x  3 x 2
( x  2) x 2  5 x  4
0
5 x
5  4x  2x 1
7  x  x  1  cos 2x  5
6 группа:
(решите уравнения)
x  3  x 2  6x  9  2
9  2 cos x  3 sin x
2x x  4 x 3  1  0
1.
6  x 2  4x  4  x  2
2.
1  2 sin x  cos x
x4 x
3
x 4 x
(решите неравенства)
3.
4. ( x 2  9) x 2  3x  10  0
2 x  2  x 1  3
log 3 x  2 log 9
3.
x
(решите неравенства)
4.
4  3 sin x  2 cos x
4.
5 группа:
(решите уравнения)
1.
2.
x
 0,5
3
5.
6.
2 x  5  2 x 2  5x  x  x  5
14
10  9 x  4  3 x
6 x  x5  x4 2
Контрольная работа 11ф/м класс
«Иррациональные уравнения и неравенства»
Вариант 1
Контрольная работа 11 ф/м класс
Иррациональные уравнения и неравенства»
Вариант 2
1. Решить уравнение:
a)
3x  7  x  1  2
б)
x5
x
4
4
x
x5
1. Решить уравнение:
x  34  3 x  3  1
в)
3
г)
x 2  3 x  18  4 x 2  3 x  6  0
д)
3
x7  x30
9 x  20  x
б)
x  1  4x  1  4
15  x  3  x  6
б)
1 x
1 x 5


1 x
1 x 2
x  27  3 x  10  1
в)
3
г)
( x  4)( x  1)  3 x 2  5 x  2  6
x2 3 x6  0
д)
2. Решите неравенство:
a)
a)
2. Решите неравенство:
3. Решите уравнение:
a)
3x  x 2  4  x
б)
1  x  9  4x  4
3. Решите уравнение:
2х  2 2х  1  2х  7  2х  1  4
х92 х8  х2 х8 4
4. Решите неравенство:
2  3 sin x  2 cos x
4. Решите неравенство:
1  3 cos x  sin x
15