Открытые математические проблемы Реферат на тему:

Реферат на тему:
Открытые математические проблемы
План:
Введение












1 Теория чисел
o 1.1 Гипотезы о простых числах
o 1.2 Гипотезы о совершенных числах
o 1.3 Гипотезы о дружественных числах
o 1.4 Диофантовы уравнения
o 1.5 Аналитическая теория чисел
o 1.6 Другие проблемы
2 Геометрия
3 Механика
4 Алгебра
o 4.1 Коуровская тетрадь
o 4.2 Днестровская тетрадь
5 Анализ
6 Комбинаторика
7 Теория графов
8 Аксиоматическая теория множеств
9 Теория доказательств
10 Вычислительная математика
11 Дифференциальные уравнения
12 Известные проблемы, недавно решённые
Примечания
Введение
Открытые (нерешённые) математические пробле́мы — проблемы, которые
рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез,
которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.
В научном мире популярна практика составления известными учёными или
организациями списков открытых проблем, актуальных на текущий момент. В частности,
известными списками математических проблем являются:




Проблемы Гильберта
Проблемы Ландау
Проблемы тысячелетия
Проблемы Смейла
Со временем опубликованные проблемы из такого списка могут быть решены и, таким
образом, потерять статус открытых. Например, большинство из проблем Гильберта,
представленных им в 1900 году, на данный момент так или иначе решены.
1. Теория чисел
1.1. Гипотезы о простых числах







Сильная проблема Гольдбаха. Каждое чётное число, большее 2, можно
представить в виде суммы двух простых чисел.
Слабая проблема Гольдбаха. Каждое нечётное число, большее 5, можно
представить в виде суммы трёх простых чисел (доказана для всех достаточно
больших нечётных чисел).
Гипотеза Артина о бесконечности множества простых чисел, по модулю которых
заданное целое число является первообразным корнем.
Гипотеза Лежандра. Для любого натурального n между n2 и (n + 1)2 найдётся хотя
бы одно простое число.
Гипотеза Брокарда. Для любого натурального n между и
(где pn — это n-ое
простое число) найдётся хотя бы четыре простых числа.
Гипотеза Полиньяка. Для любого чётного числа n найдется бесконечно много пар
соседних простых чисел, разность между которыми равна n.
Верно ли, что для любого положительного иррационального числа θ и любого
положительного ε существует бесконечное количество пар простых чисел (p,q), для
которых выполняется неравенство



?[1]
Сходится ли ряд
?[2]
Гипотеза Гильбрайта (англ.). Для любого натурального числа n последовательность
абсолютных разностей n-го порядка для последовательности простых чисел
начинается с 1. Абсолютные разности 1-го порядка — это абсолютные величины
разностей между соседними простыми числами:
разности 2-го
порядка — это абсолютные величины разностей между соседними элементами в
последовательности абсолютных разностей 1-го порядка:
и т.д.
Гипотеза проверена для всех n < 3×1011[3]
Открытым является вопрос бесконечности количества простых чисел в каждой из
следующих последовательностей[4]:
Последовательность
2n − 1
Название
числа Мерсенна
n2 + 1
4-я проблема Ландау
числа Каллена (англ.)
числа Ферма
Fn
пары
числа Фибоначчи
простые близнецы
пары
простые числа Софи Жермен
1.2. Гипотезы о совершенных числах


Не существует нечётных совершенных чисел.
Количество совершенных чисел бесконечно.
1.3. Гипотезы о дружественных числах


Не существует взаимно простых дружественных чисел.
Любая пара дружественных чисел имеет одинаковую чётность.
1.4. Диофантовы уравнения











Каждое ли перечислимое множество имеет однократное диофантово
представление?[5]
Может ли не иметь однократного диофантова представления объединение двух
множеств, каждое из которых имеет однократное диофантово представление?
Каждое ли перечислимое множество имеет диофантово представление в виде
уравнения степени 3 относительно всех переменных (параметров и неизвестных)?
Каждое ли перечислимое множество имеет диофантово представление в виде
уравнения степени 3 относительно неизвестных?
Аналог 10-й проблемы Гильберта для уравнений степени 3: существует ли
алгоритм, позволяющий по любому диофантовому уравнению степени 3
определить, имеет ли оно решения?
Аналог 10-й проблемы Гильберта для уравнений в рациональных числах.
Какое наименьшее число переменных может иметь универсальное диофантово
уравнение? Какую наименьшую степень оно может иметь при таком числе
переменных? Наименьший известный результат — 9 переменных. Наименьшая
известная степень уравнения при 9 переменных превышает 1045.[6]
Какое наименьшее число переменных может иметь универсальное диофантово
уравнение степени 4? Наименьший известный результат составляет 58.
Существует ли универсальное диофантово уравнение степени 3? Если да, то какое
наименьшее число переменных оно может иметь?
Какое наименьшее количество операций (сложений, вычитаний и умножений)
может иметь универсальное диофантово уравнение? Наименьший известный
результат составляет 100.
Бесконечно ли множество решений диофантова уравнения 9(u2 + 7v2) − 7(r2 + 7s2) =
2?
Многие нерешённые проблемы (например, проблема Гольдбаха или гипотеза Римана)
могут быть переформулированы как вопросы о разрешимости диофантовых уравнений 4-й
степени некоторого специального вида, однако такая переформулировка обычно не делает
проблему проще ввиду отсутствия общего метода решения диофантовых уравнений.[7][5]
1.5. Аналитическая теория чисел

Известно, что количество точек с положительными целочисленными координатами
в области, ограниченной гиперболой xy = N и положительными полуосями,
выражается асимптотической формулой
где τ(k) — количество делителей числа k, γ — постоянная Эйлера — Маскерони, а
θ может быть выбрано равным
Однако, неизвестно, при каком наименьшем
значении θ эта формула останется верной (известно, что оно не меньше чем
).[8][9][10]
1.6. Другие проблемы















Существование слегка избыточных чисел.
Существование прямоугольного параллелепипеда с тремя целочисленными
рёбрами и целочисленными диагоналями.
Существуют ли попарно различные натуральные числа
такие, что a5 +
b5 = c5 + d5?[11]
Существуют ли две различные пифагоровы тройки, имеющие одинаковое
произведение?[12]
Гипотеза Биля. Если Ax + By = Cz, где
— натуральные и
, то
имеют общий простой делитель.
Гипотеза Эрдёша (англ.). Если сумма обратных величин для некоторого множества
натуральных чисел расходится, то в этом множестве можно найти сколь угодно
длинную арифметическую прогрессию.
Насколько велика может быть сумма обратных величин последовательности
натуральных чисел, в которой никакой элемент не равен сумме нескольких других
различных элементов? (Эрдёш)[13]
Гипотеза Коллатца (гипотеза 3n+1).
Гипотеза жонглёра (англ.). Любая последовательность жонглёра достигает 1.[14]
Последовательность жонглёра описывается рекурсивной формулой
Проблема Брокарда (англ.). Имеет ли уравнение n! + 1 = m2 решения в натуральных
числах, кроме (4, 5), (5, 11) и (7, 71)?[15]
Гипотеза Томашевски. Только числа 1, 6 и 120 являются одновременно и
треугольными числами (то есть имеют вид
), и факториалами (то
есть имеют вид
).
Конечно ли множество натуральных чисел, которые нельзя представить в виде
суммы 6 кубов неотрицательных целых чисел?[16]
Конечно ли множество решений уравнения
В настоящее
[17]
время известно только 5 решений.
Busy Beaver (англ.). Сколько ходов может продержаться (незацикливающаяся)
машина Тьюринга с n состояниями и алфавитом
на заполненной нулями
ленте? Известно, что нет алгоритма (а значит, и рекурсивно аксиоматизируемой
формальной теории), который может решить этот вопрос для всех n, и пока
известны только значения для n < 5.[18]
Значения чисел ван дер Вардена (англ.). На данный момент известны значения
только 6 первых чисел: 1, 3, 9, 35, 178, 1132 (последовательность A005346 в OEIS).
Например, неизвестно, при каком наименьшем N при любом разбиении множества
на два подмножества хотя бы одно из них будет содержать
арифметическую прогрессию длиной 7 (известно, что
выражение для верхней границы использует тетрацию).[19]
, где

Значения чисел Рамсея (англ.)
. Точно известны только несколько первых
чисел. Например, неизвестно, при каком наименьшем N в любой группе из N
человек найдутся 5 человек, попарно знакомых друг с другом, или 5 человек,
попарно незнакомых друг с другом — это число обозначается
известно только, что
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

, про него
.
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 1
1
1
1
1
1
1
1
12 3
4
5
6
7
8
9
10
13 6
9
14
18
23
28
36
[40, 43]
14 9
18
25
[35, 41]
[49, 61]
[56, 84]
[73, 115]
[92, 149]
1 5 14
25
[43, 49] [58, 87]
[80, 143] [101, 216] [125, 316] [143, 442]
1 6 18
[35, 41] [58, 87] [102, 165] [113, 298] [127, 495] [169, 780] [179, 1171]
1 7 23
[49, 61] [80, 143] [113, 298] [205, 540] [216, 1031] [233, 1713] [289, 2826]
1 8 28
[56, 84] [101, 216] [127, 495] [216, 1031] [282, 1870] [317, 3583] ≤ 6090
1 9 36
[73, 115] [125, 316] [169, 780] [233, 1713] [317, 3583] [565, 6588] [580, 12 677]
1 10 [40, 43] [92, 149] [143, 442] [179, 1171] [289, 2826] ≤ 6090
[580, 12 677] [798, 23 556]
Верно ли утверждение, что квадрат всякого рационального числа представим в
виде суммы четвертых степеней четырех рациональных чисел?
2. Геометрия
















В задаче о перемещении дивана не доказана максимальность наилучшей оценки
снизу (константы Гервера).
На любой ли замкнутой кривой Жордана на плоскости можно найти 4 точки,
являющиеся вершинами некоторого квадрата?[20][21]
Существует ли такая константа A, что любое множество точек на плоскости,
имеющее площадь A, обязательно содержит вершины хотя бы одного треугольника
площадью 1?[22]
Существует ли плотное множество точек на плоскости, расстояние между каждыми
двумя точками которого рационально?[23]
Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и
площадью?[24][25]
Найдется ли в единичном квадрате точка, расстояние от которой до каждой из 4
вершин рационально?[25][26]
Задача о 9 кругах. Существует ли 9 кругов, таких, что каждые два пересекаются, и
центр каждого круга лежит вне остальных кругов? (Время выполнения
проверочного алгоритма — слишком большое).
У любого ли выпуклого многогранника существует развёртка без
самопересечений?[27]
Даны положительные действительные числа
. Существует ли
многогранник, площади граней которого равны этим числам? Какой наибольший и
наименьший объём он может иметь?
Во сколько раз объём невыпуклого многогранника может превосходить объём
выпуклого многогранника, составленного из тех же граней?[28]
При каком минимальном V любое выпуклое тело единичного объёма можно
поместить внутри какой-либо треугольной пирамиды объёма V?[29]
Чему равно контактное число в евклидовых пространствах с размерностью n > 4?
Эта задача решена лишь для n = 8 (240) и n = 24 (196 560).[30][31]
Чему равно хроматическое число n-мерного евклидового пространства? Эта задача
не решена даже для плоскости (Проблема Хэдвигера — Нельсона (англ.)); другими
словами, неизвестно, какое минимальное количество цветов нужно, чтобы ими
можно было раскрасить плоскость так, чтобы никакие две точки, находящиеся на
единичном расстоянии друг от друга, не были выкрашены в один и тот же цвет.
Задача Томсона. Как разместить n одинаковых заряженных точек на сфере, чтобы
потенциальная энергия системы (то есть сумма попарных обратных расстояний
между точками) была минимальна (задача строго решена только для n = 2, 3, 4, 6 и
12).[32] Сколько состояний равновесия (локальных экстремумов) существует для
системы из n точек?
Как разместить n точек на сфере, чтобы наименьшее из попарных расстояний
между ними было максимальным?[33]
Для каждой пары натуральных чисел (n, k) найти такое наименьшее
действительное число d(n, k), что любое множество единичного диаметра в nмерном евклидовом пространстве можно разбить на k подмножеств диаметром не
больше d(n, k). Задача решена только в нескольких частных случаях.[34][35]












Чему равна площадь множества Мандельброта? Существует оценка
1,506 591 77 ± 0,000 000 08.[36]
Задача плотнейшей упаковки шаров в n-мерном евклидовом пространстве для n >
3. Для трёхмерного пространства эта задача была решена в 1998 году: было
доказано, что гипотеза Кеплера (англ.) справедлива. Однако, существующее
доказательство чрезвычайно велико и сложно для проверки.[37]
Какое наибольшее количество непересекающихся окружностей единичного
радиуса можно разместить на сфере радиуса R?[38]
Чему равна сторона наименьшего квадрата, в который можно упаковать 2
единичных круга, один из которых разрешается разрезать по хорде на 2
сегмента?[39]
Какова наименее плотная жёсткая упаковка одинаковых кругов на плоскости?[39]
Happy Ending problem. При каком минимальном m среди любых m точек на
плоскости, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, найдутся вершины
некоторого выпуклого n-угольника? Решение известно только для n < 7. Результат
для n = 6 получен в 2006 году с помощью компьютерного анализа.
Какое наименьшее количество плиток может содержать множество плиток
Ванга (англ.), которым можно замостить плоскость только непериодически?
Наименьший известный результат — 13.
Гипотеза Келлера. Можно ли заполнить 7-мерное пространство равными 7мерными гиперкубами так, чтобы никакие два гиперкуба не имели целой общей 6мерной гиперграни? (Известно, что для пространств размерности меньше 7 ответ
отрицателен, а больше 7 — положителен)[40]
В любой ли многоугольной комнате с зеркальными стенами существует точка, при
размещении в которой источника света вся комната окажется освещённой?[41]
Можно ли разместить 8 точек на плоскости так, чтобы никакие 3 из них не лежали
на одной прямой, никакие 4 не лежали на одной окружности и расстояние между
любыми 2 точками было целым числом? Решение для 7 точек было найдено в 2007
году.[42][43][44]
Один треугольник имеет стороны a, b, c, а другой — стороны a', b', c'. Какие
условия, связывающие числа a, b, c, a', b', c', необходимы и достаточны для того,
чтобы первый треугольник можно было поместить внутрь другого?[45]
Существует ли треугольник, который можно разрезать на 7 равных треугольников?
3. Механика



Для каждого ли движения четырёх точек в пространстве можно выбрать такую
(возможно, неинерциальную) систему отсчёта, чтобы в ней траектории всех
четырёх точек оказались плоскими выпуклыми кривыми?[23]
Верно ли, что при достаточно большом количестве движущихся точек с
зацепленными траекториями (траектории называются зацепленными, если не
существует гомеоморфизма пространства, при котором они попадут внутрь
непересекающихся выпуклых множеств) в любой системе отсчёта траектории хотя
бы двух точек окажутся зацепленными?
Однородное твёрдое тело плавает в воде (выталкивающая сила направлена
нормально к поверхности и прямо пропорциональна глубине) и находится в
равновесии при любой ориентации. Можно ли утверждать, что оно является
шаром?
4. Алгебра




Обратная теорема теории Галуа. Для любой конечной группы H существуют
поля и , такие, что является расширением и
изоморфна H.
Любая конечно заданная группа, каждый элемент которой имеет конечный
порядок, — конечна. Для конечнопорождённой группы (более слабое условие) это
неверно.[46]
Существует ли простая группа, которая не является трансфинитно
сверхпростой?[47]
Алгоритмическая разрешимость проблемы умирающей матрицы для матриц
порядка 2. Существует ли алгоритм, позволяющий для данного конечного
множества квадратных матриц
определить, существует ли произведение всех
или некоторых из этих матриц (возможно, с повторениями) в каком-либо порядке,
дающее нулевую матрицу.[48]
4.1. Коуровская тетрадь
Представляет собой всемирно известный сборник нескольких тысяч нерешенных задач в
области теории групп. Издается с 1965 года с периодичностью в 2-4 года. Выпускается на
русском и английском языках.[49][50]
4.2. Днестровская тетрадь
Представляет собой сборник нескольких сотен нерешённых задач теории колец и
модулей. [51]
5. Анализ

















Гипотеза Римана. Все нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой Re(z)
= 1 / 2.
Иррациональна ли Постоянная Эйлера — Маскерони?
Иррациональна ли постоянная Каталана?
Иррациональна ли константа Бруна? Указать какую-либо рациональную верхнюю
границу для константы Бруна.
Чему равна константа Миллса (англ.)? Иррациональна ли она? Существующие
методы вычисления опираются на ещё недоказанную гипотезу Римана.
Иррациональна ли мнимая часть любого нетривиального нуля дзета-функции
Римана?
Трансцендентны ли значения дзета-функции Римана ζ(2n + 1) для всех
натуральных n?
Трансцендентны ли значения гамма-функции Γ(1 / n) для всех целых n > 1?
Трансцендентны ли постоянные Фейгенбаума?
Трансцендентна ли постоянная Пелля?[52]
Всякая ли бесконечная непериодическая непрерывная дробь с ограниченными
членами — трансцендентна?
Являются ли числа π и e — алгебраически независимыми; числа π + e, π − e —
иррациональными,[53]
, π / e, πe, ππ, ee — трансцендентными?
До сих пор ничего не известно о нормальности таких чисел, как π и e; неизвестно
даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа π
бесконечное количество раз.
Является ли всякое иррациональное алгебраическое число нормальным?
Является ли ln2 нормальным числом?[54]
Неизвестно ни одного числа, для которого было бы доказано, что среднее
геометрическое членов его разложения в непрерывную дробь стремится к
постоянной Хинчина (англ.), хотя и доказано, что этим свойством обладают почти
все действительные числа. Предполагается, что этим свойством должны обладать
числа π, Постоянная Эйлера — Маскерони, сама постоянная Хинчина и многие
другие математические константы.
Иррациональна ли постоянная Хинчина?



[55]
Сходятся ли ряды
и
Расширение класса выражений, для которых известен алгоритм, определяющий,
равно ли выражение нулю (Проблема констант (англ.)). Для каких классов
выражений эта задача алгоритмически неразрешима?
Решение уравнений Эйнштейна для столкновения ультрарелятивистских
вращающихся чёрных дыр.
6. Комбинаторика




Существование матрицы Адамара порядка, кратного 4.
Существование конечной проективной плоскости любого натурального порядка.
Неизвестно количество незамкнутых маршрутов коня.
Неизвестно минимальное количество изначально заполненных клеток в игре
судоку, при котором существует единственное решение.
7. Теория графов








Гипотеза Каццетты — Хаггвиста — ориентированный граф, имеющий n вершин,
из каждой вершины которого выходит не менее m ребер, имеет замкнутый контур
длиной не более
.[56]
Гипотеза Хадвигера — каждый n-хроматический граф стягиваем к полному графу
Kn .
Гипотеза Улама:
o а) всякий граф с более чем двумя вершинами однозначно определяется
набором графов, где каждый граф из набора получен удалением одной из
вершин исходного графа;
o б) всякий граф с более чем тремя вершинами однозначно определяется
множеством графов, где каждый граф из множества получен удалением
одной из вершин исходного графа.
Гипотеза Харари (слабая форма гипотезы Улама) — если граф имеет более трёх
рёбер, то его можно однозначно восстановить по подграфам, полученным
удалением единственного ребра.
Любой кубический граф имеет простой цикл длины 2n.[]
В любом графе можно выбрать множество простых циклов, такое, что каждое
ребро принадлежит ровно двум из них.
В любом кубическом графе можно выбрать 6 1-факторов так, чтобы каждое ребро
принадлежало ровно двум из них.
Является ли задача изоморфизма графов NP-полной?[57]
8. Аксиоматическая теория множеств


В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией
множеств является ZFC — теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора.
Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более — о существовании модели
для неё) остаётся нерешённым.
Проблема Сколема. Рассмотрим множество S функций одного натурального
переменного n, построенных из термов 1,n и замкнутых относительно сложения,
умножения и возведения в степень. Для функций f,g из этого множества будем
писать
, если
выполняется для всех достаточно больших n.
Известно, что отношение вполне упорядочивает множество S. Какой ординал
соответствует этому упорядочению? (Известно, что он не меньше чем и не
больше чем первый критический ординал
)[58][59] Аналогичные вопросы
возникают при добавлении в множество разрешённых операторов дополненная
тетрации, пентации и гипероператоров более высоких порядков (проблема
Сколема, дополненная только тетрацией, была решена в 2010 году).[60][61]
9. Теория доказательств

Какое самое короткое неразрешимое утверждение существует в арифметике
Пеано?[62] Неразрешимое утверждение теории — это утверждение, которое
невозможно ни доказать, ни опровергнуть в данной теории. Доказательства теорем
Гёделя демонстрируют, как можно строить такие утверждения, но получающиеся
утверждения оказываются весьма значительного размера, будучи записанными на
формальном языке арифметики.
10. Вычислительная математика

Определить предельный уровень аппроксимации n-стадийного метода Рунге —
Кутта (одностадийный = метод Эйлера = O(h), двухстадийный =
модифицированный метод Эйлера = O(h2), четырёхстадийный = классический
метод Рунге — Кутта = O(h4), пятистадийный = метод Фельберга = тоже O(h4)).
11. Дифференциальные уравнения

Неизвестно точное решение уравнения Ван-дер-Поля:[63]
12. Известные проблемы, недавно решённые




Проблема четырёх красок
Великая теорема Ферма
Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза о раскраске дорог (англ.)[64]
Примечания
1. Mathematical developments arising from Hilbert problems books.google.ru/books?id=4lT3M6F745sC, стр. 39
2. Weisstein, Eric W. Prime Sums - mathworld.wolfram.com/PrimeSums.html (англ.) на
сайте Wolfram MathWorld.
3. Weisstein, Eric W. Гипотеза Гильбрайта mathworld.wolfram.com/GilbreathsConjecture.html (англ.) на сайте Wolfram
MathWorld.
4. Weisstein, Eric W. Integer Sequence Primes mathworld.wolfram.com/IntegerSequencePrimes.html (англ.) на сайте Wolfram
MathWorld.
5. ↑ 1 2 Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. — Наука, 1993.
6. Jones J. P. (1980). «Undecidable diophantine equations - www.ams.org/bull/1980-0302/S0273-0979-1980-14832-6/S0273-0979-1980-14832-6.pdf». Bull. Amer. Math. Soc.
3: 859-862. DOI:10.1090/S0273-0979-1980-14832-6 - dx.doi.org/10.1090/S0273-09791980-14832-6.
7. Yuri Matiyasevich, Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done www.claymath.org/events/h10/matiyasevich2.pdf
8. А. А. Бухштаб Теория чисел eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Buhshtab1966ru.djvu. — М.: Просвещение, 1966.
9. Аналитическая теория чисел dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/190/АНАЛИТИЧЕСКАЯ
10. Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem mathworld.wolfram.com/DirichletDivisorProblem.html (англ.) на сайте Wolfram
MathWorld.
11. Unsolved Problem 18: Are there distinct positive integers, a, b, c, and, d such that
a^5+b^5=c^5+d^5? - cage.ugent.be/~hvernaev/problems/Proble18.html Unsolved
Problem of the Week - cage.ugent.be/~hvernaev/problems/archive.html. MathPro Press.
12. Weisstein, Eric W. Пифагорова тройка mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
13. Weisstein, Eric W. A-Sequence - mathworld.wolfram.com/A-Sequence.html (англ.) на
сайте Wolfram MathWorld.
14. последовательность A007320 - oeis.org/A007320 в OEIS, последовательность
A094716 - oeis.org/A094716 в OEIS
15. Weisstein, Eric W. Проблема Брокарда mathworld.wolfram.com/BrocardsProblem.html (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
16. Weisstein, Eric W. Cubic Number - mathworld.wolfram.com/CubicNumber.html (англ.)
на сайте Wolfram MathWorld.
17. Weisstein, Eric W. Число 2 - mathworld.wolfram.com/2.html (англ.) на сайте Wolfram
MathWorld.
18. последовательность A028444 - oeis.org/A028444 в OEIS
19. Weisstein, Eric W. Число ван дер Вардена mathworld.wolfram.com/vanderWaerdenNumber.html (англ.) на сайте Wolfram
MathWorld.
20. Unsolved Problem 26: Given a simple closed curve in the plane, can we always find four
points on this curve that are the vertices of a square? cage.ugent.be/~hvernaev/problems/Proble26.html Unsolved Problem of the Week cage.ugent.be/~hvernaev/problems/archive.html. MathPro Press.
21. Weisstein, Eric W. Square Inscribing mathworld.wolfram.com/SquareInscribing.html (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
22. Unsolved Problem 33: Is there a constant, A, such that any set in the plane of area A must
contain the vertices of a triangle with area 1? cage.ugent.be/~hvernaev/problems/Proble33.html Unsolved Problem of the Week cage.ugent.be/~hvernaev/problems/archive.html. MathPro Press.
23. ↑ 1 2 Улам С. Глава III // Нерешённые математические задачи. — Наука, 1964.
24. Unsolved Problem 22: Is there a triangle with integer sides, medians, and area? cage.ugent.be/~hvernaev/problems/Proble22.html Unsolved Problem of the Week cage.ugent.be/~hvernaev/problems/archive.html. MathPro Press.
25. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Rational Distance Problem mathworld.wolfram.com/RationalDistanceProblem.html (англ.) на сайте Wolfram
MathWorld.
26. Unsolved Problem 13: Is there a point in the plane that is at a rational distance from each
of the four corners of a unit square? - cage.ugent.be/~hvernaev/problems/Proble13.html
Unsolved Problem of the Week - cage.ugent.be/~hvernaev/problems/archive.html.
MathPro Press.
27. Weisstein, Eric W. Shephard's Conjecture mathworld.wolfram.com/ShephardsConjecture.html (англ.) на сайте Wolfram
MathWorld.
28. Удивительные объёмы многогранников - www.etudes.ru/ru/mov/mov002/index.php
29. Weisstein, Eric W. Tetrahedron Circumscribing mathworld.wolfram.com/TetrahedronCircumscribing.html (англ.) на сайте Wolfram
MathWorld.
30. Контактное число - www.etudes.ru/ru/mov/mov004/index.php
31. Weisstein, Eric W. Контактное число mathworld.wolfram.com/KissingNumber.html (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
32. Задача Томсона - www.etudes.ru/ru/mov/mov009/
33. Unsolved Problem 23: How should you locate 13 cities on a spherical planet so that the
minimum distance between any two of them is as large as possible? cage.ugent.be/~hvernaev/problems/Proble23.htmlUnsolved Problem of the Week cage.ugent.be/~hvernaev/problems/archive.html. MathPro Press.
34. Decomposing the 2-Sphere into Domains of Smallest Possible Diameter www.springerlink.com/content/v627up76311r463q
35. Noga Alon (англ.), Discrete mathematics: methods and challenges arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0212/0212390v1.pdf
36. Pixel Counting, Mu-Ency at MROB - www.mrob.com/pub/muency/pixelcounting.html
37. Weisstein, Eric W. Гипотеза Кеплера mathworld.wolfram.com/KeplerConjecture.html (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
38. Packing Equal Circles on a Sphere - www.buddenbooks.com/jb/pack/sphere/intro.htm
39. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Circle Packing mathworld.wolfram.com/CirclePacking.html (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
40. Weisstein, Eric W. Keller's Conjecture mathworld.wolfram.com/KellersConjecture.html (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
41. Weisstein, Eric W. Illumination Problem mathworld.wolfram.com/IlluminationProblem.html (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
42. Integer distances - www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/integer-distances.html
43. Tobias Kreisel, Sascha Kurz, There are integral heptagons, no three points on a line, no
four on a circle - www.wm.uni-bayreuth.de/fileadmin/Sascha/Publikationen2/rare.pdf
44. Erich Friedman, Unsolved Problems in Planar Geometry www.stetson.edu/~efriedma/papers/planar.ppt
45. Г. Штейнгауз Глава VII. Задачи без решения // Сто задач / Пер. с польского Г. Ф.
Боярской и Б. В. Боярского. — Изд. 2, испр.. — М.: Наука, 1976. — С. 49. — 167 с.
46. R. Grigorchuk, I. Pak Groups of Intermediate Growth: an Introduction for Beginners arxiv.org/abs/math.GR/0607384 на arXiv
47. Sharipov, R.A. (2009), "Transfinite normal and composition series of groups",
arΧiv:0908.2257 - www.arxiv.org/abs/0908.2257 [math.GR]
48. When is a pair of matrices mortal? - dspace.mit.edu/bitstream/handle/1721.1/3415/P2314-34335581.pdf
49. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kargapolov1973ru.djvu / Ред. М. И. Каргаполов,
Ю. И. Мерзляков, В. Н. Ремесленников. — 4 изд.. — Новосибирск: Институт
математики Сибирского отделения АН СССР, 1973.
50. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь math.nsc.ru/~alglog/17kt.pdf / Сост. В. Д. Мазуров, Е. И. Хухро. — 17 изд. доп.. —
Новосибирск: Институт математики Сибирского отделения РАН, 2010. — 219 с.
51. Днестровская тетрадь. Нерешённые проблемы теории колец и модулей / Сост. В. Т.
Филиппов, В. К. Харченко, И. П. Шестаков. — 4-е изд.. — Новосибирск: Институт
математики СО РАН, 1993. — 73 с.
52. Weisstein, Eric W. Постоянная Пелля mathworld.wolfram.com/PellConstant.html (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
53. Weisstein, Eric W. e - mathworld.wolfram.com/e.html (англ.) на сайте Wolfram
MathWorld.
54. Weisstein, Eric W. Натуральный логарифм 2 mathworld.wolfram.com/NaturalLogarithmof2.html (англ.) на сайте Wolfram
MathWorld.
55. Weisstein, Eric W. Flint Hills Series mathworld.wolfram.com/FlintHillsSeries.html (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
56. Caccetta-H�ggkvist Conjecture (1978) www.math.uiuc.edu/~west/openp/cacchagg.html
57. Weisstein, Eric W. Изоморфизм графов mathworld.wolfram.com/GraphIsomorphism.html (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
58. Transfinite Ordinals and Their Notations - www.ccs.neu.edu/home/pete/courses/Formalmethods/2008-Fall/readings/transfinite-ordinals-notations.pdf
59. http://www.ams.org/journals/tran/1984-286-01/S0002-9947-1984-0756043-7/S00029947-1984-0756043-7.pdf - www.ams.org/journals/tran/1984-286-01/S0002-9947-19840756043-7/S0002-9947-1984-0756043-7.pdf
60. Skolem + Tetration Is Well-Ordered www.springerlink.com/content/42378r2u48660127/
61. The Ordinal of Skolem + Tetration Is τ0 www.springerlink.com/content/fu8865j2h4841000/
62. WolframScience Conference NKS2006 - www.wolframscience.com/conference/2006/
63. М. Табор Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. пер. с англ., М.:
"Эдиториал УРСС", 2001, 320 с., тир. 1000 экз., ISBN 5-8360-0192-8, гл. 1
"Динамика дифференциальных уравнений", 1.4 "Линейный анализ устойчивости",
1.4г "Предельные циклы", с. 29
64. Решена задача о раскраске дорог mathematics.org.ua/index.php?name=News&file=print&op=PrintPage&sid=29