ПЕРВАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА 1. Описание задачи. Пусть для функции заданы значения для переменной: подобрать полином значения , равноотстоящих значений независимой , где - шаг интерполяции. Требуется степени не выше , принимающий в точках , . Условия (1) эквивалентны тому, что Интерполяционный полином Ньютона имеет вид: (1) при . . (2) Легко видеть, что полином (2) полностью удовлетворяет требованиям поставленной задачи. Действительно, во-первых, степень полинома не выше , во-вторых, Заметим, что при функции : и , . формула (2) превращается в ряд Тейлора для . Для практического использования интерполяционную формулу Ньютона (2) обычно записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введём новую переменную по формуле ; тогда получим: , где (3) представляет собой число шагов, необходимых для достижения точки , исходя из точки . Это и есть окончательный вид интерполяционной формулы Ньютона. Формулу (3) выгодно использовать для интерполирования функции в окрестности начального значения , где мало по абсолютной величине. Если дана неограниченная таблица значений функции , то число в интерполяционной формуле (3) может быть любым. Практически в этом случае число выбирают так, чтобы разность была постоянной с заданной степенью точности. За начальное значение можно принимать любое табличное значение аргумента . Если таблица значений функции конечна, то число ограничено, а именно: не может быть больше числа значений функции , уменьшенного на единицу. Заметим, что при применении первой интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей, так как тогда нужные значения разностей функции находятся в соответствующей горизонтальной строке таблицы. 2. Пример. Приняв шаг , построить интерполяционный полином Ньютона для функции , заданной таблицей 1 1,05 1,1 1,15 1,2 1,25 1,3 -3 -3,685 -4,445 -5,285 -6,207 -7,218 -8,321 Решение. Составляем таблицу разностей (таблица 1). Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (3) полагаем . Приняв , , будем иметь: , или , где Ньютона. . Это и есть искомый интерполяционный полином Таблица 1 1 1,05 1,1 1,15 1,2 1,25 1,3 -3 -3,685 -4,445 -5,285 -6,207 -7,218 -8,321 0,685 0,76 0,84 0,922 1,011 1,103 -0,075 -0,08 -0,082 -0,089 -0,092 0,005 0,002 0,007 0,003 Полученный полином дает возможность прогнозирования. Достаточную точность получаем при решении интерполяционной задачи, например, . Точность падает при решении экстраполяционной задачи, например, . Интерполяционная формула Лагранжа Поставим задачу. Требуется найти алгебраический многочлен не выше, чем , который совпадал бы с функцией точках степени в заданных . Таким образом, должны выполняться условия . Многочлен единственный. Если предположить, что существует еще один многочлен с теми же свойствами, то разность обратится в нуль в точке многочленом степени не выше, чем нулю и и будет алгебраическим , значит, разность тождественно равна . Из единственности следует, что если исходная функция алгебраическим многочленом степени всех , то она совпадает с для . Сначала найдем алгебраический многочлен степени точках сама является равен нулю, а в точке , который в равен единице. Очевидно, что , где постоянная находится из условия , т. е. . Таким образом, искомый многочлен имеет вид . Поставленную задачу решает многочлен . (1) Многочлен (1) называется интерполяционным многочленом Лагранжа. Интерполяционный многочлен Лагранжа находит применение в приближенном вычислении производных функции известны только в точках Например, если . А именно, полагают известна в точках точкам многочлен Лагранжа , когда ее значения , то, построив по этим , найдем, что .