МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Чувашский государственный университет имени И.Н.Ульянова»
Факультет дизайна и компьютерных технологий
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной работе
______________ А.Ю. Александров
«______»______________ 20__ г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«Математический анализ»
Направление подготовки
231000 Программная инженерия
Профиль подготовки
Разработка программно-информационных систем
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Чебоксары
2011
Рабочая программа основана на требованиях Федерального государственного стандарта
высшего профессионального образования по направлению подготовки 231000 Программная
инженерия, утвержденного Приказом Минобрнауки 9.11.2009 № 542.
Составитель: доцент Чечнев А.В. __________________
Рабочая программа рассмотрена и одобрена на заседании обеспечивающей кафедры –
компьютерных технологий (протокол № _____ от ___________2010 г.).
Зав. кафедрой: профессор Желтов В.П. ___________________
Рабочая программа согласована с Методической комиссией выпускающего факультета
Дизайна и компьютерных технологий.
Председатель комиссии, декан: профессор Желтов В.П. ___________________
СОГЛАСОВАНО:
Зам. начальника УМУ: доцент Харитонов М.Ю. __________________
1. Цели освоения дисциплины
Целью дисциплины является формирование у будущих специалистов основных
представлений в области математического анализа, необходимых для использования в других
математических дисциплинах; получение основных навыков решения задач математического анализа.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина входит в базовую часть математического и естественнонаучного цикла
образовательной программы бакалавра. Студент должен иметь начальные сведения об алгебре и
начале анализа в объеме школьного курса.
Дисциплина является предшествующей для изучения дисциплин «Математическая логика и
теория алгоритмов», «Дискретная математика», «Теория вероятностей и математическая
статистика».
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
-умеет использовать нормативные правовые документы в своей деятельности (ОК-5);
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
 Знать:
- основные определения и теоремы курса, предусмотренные программой.
 Уметь:
- применять формулы элементарной математики в объеме программы средней школы при
решении задач по курсу математического анализа;
- находить пределы последовательностей в метрическом пространстве Rn;
- находить пределы функций одной и многих переменных, используя основные свойства
пределов, замечательные пределы и правило Лопиталя;
- находить частные производные и дифференциалы 1-го и 2-го порядков элементарных
функций, применять методы дифференциального исчисления при исследовании функций многих
переменных на экстремум и при решении задач на максимум и минимум;
- вычислять определенные, двойные и криволинейные интегралы, применять интегральное
исчисление для нахождения площадей, длин кривых, объемов, массы, пути и работы переменной
силы;
- исследовать числовые и функциональные ряды на сходимость, равномерную сходимость,
находить область сходимости степенного ряда;
- находить разложения элементарных функций в ряды Тейлора.
4. Структура и содержание дисциплины
4.1. Структура дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 252 часа.
Неделя семестра
Семестр
№
п/п
Виды учебной работы, включая самостоятельную
работу студентов и трудоемкость (в часах)
Раздел
дисциплины
Лекции
Практ.
зан.
Лабор.
зан.
КСР
*
СРС
**
1
Введение в анализ.
Пределы и
последовательности.
1
8
4
12
2
Дифференцировани
е функции одной
переменной.
1
8
4
13
3
Дифференциальное
исчисление
функций нескольких
независимых
переменных.
1
8
4
13
4
Неопределенный
интеграл.
1
8
4
13
5
Определенный
интеграл.
2
8
4
13
6
Двойные и тройные
интегралы.
2
8
4
13
7
Криволинейные
интегралы и
интегралы по
поверхности.
2
8
4
13
8
Функциональные,
числовые ряды и
ряды Фурье.
2
8
4
13
64
32
Итого
8
103
Всего
Из
ауд.
зан. в
интер.
форме
Формы
текущего
контроля
успеваемости
(по неделям
семестра)
Форма
промежуточной
аттестации (по
семестрам)
Расчетнографическая.
Экзамен
252
Расчетнографическая.
Зачет
* Контроль самостоятельной работы: аудиторные занятия для проверки самостоятельной работы студентов,
приема зачета, проведения текущих консультаций.
** Самостоятельная работа студента, включая курсовой проект, курсовую работу, расчетно-графические работы.
4.2. Содержание лекционных занятий
1. Введение в анализ. Пределы и последовательности.
Построение графиков функций. Пределы. Сравнение бесконечно малых величин.
Непрерывность функции.
2. Дифференцирование функции одной переменной.
Производная и дифференциал. Исследование функций.
3. Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных.
Область определения функции. Линии и поверхности уровня. Производные и
дифференциалы функций нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к
поверхности. Экстремум функции двух переменных.
4. Неопределенный интеграл.
Замена переменной и интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование иррациональных дробей. Интегрирование тригонометрических функций.
Интегрирование разных функций.
5. Определенный интеграл.
Вычисление определенного интеграла. Несобственные интегралы. Вычисление площади
плоской фигуры. Вычисление длины дуги плоской кривой. Вычисление объема тела. Вычисление
площади поверхности вращения. Статистические моменты и моменты инерции плоских дуг и
фигур. Нахождение координат центра тяжести. Теоремы Гульдена. Вычисление работы и
давления. Гиперболические функции.
6. Двойные и тройные интегралы.
Двойной интеграл в прямоугольных координатах. Замена переменных в двойном интеграле.
Вычисление площади плоской фигуры. Вычисление площади поверхности. Физические
приложения двойного интеграла. Тройной интеграл. Интегралы, зависящие от параметра.
Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла. Гамма-функция. Бета-функция.
7. Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности.
Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам. Нахождение функции по ее
полному дифференциалу. Формула Грина. Вычисление площади. Поверхностные интегралы.
Формула Стокса и Остроградского-Гаусса. Элементы теории поля.
8. Функциональные, числовые ряды и ряды Фурье.
Числовые ряды. Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение функций в степенные
ряды. Приближенное вычисление значений функций с помощью степенных рядов. Применение
степенных рядов к вычислению пределов и определенных интегралов. Ряд Фурье. Интеграл
Фурье.
4.3. Содержание практических занятий
1.
Пределы и последовательности.
2.
Дифференцирование функции одной переменной.
3.
Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных.
4.
Неопределенный интеграл.
5.
Определенный интеграл.
6.
Двойные и тройные интегралы.
7.
Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности.
8.
Функциональные, числовые ряды и ряды Фурье.
5. Образовательные технологии
В процессе изучения дисциплины используются:
-раздаточный материал для изучения лекционного материала;
-учебный материал в электронном виде;
-контрольные программы по курсу для подготовки к сдаче семестровой аттестации и
экзамена;
-программное обеспечение в соответствии с содержанием дисциплины;
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные
средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины.
6.1. Перечень заданий для самостоятельной работы и проведения текущего контроля.
1. Пределы числовых последовательностей.
2. Вычисление пределов функций, свойства непрерывных функций.
3. Техника дифференцирования.
4. Исследование функций на экстремум. Построение графиков функций на ос-нове
дифференциального исчисления.
5. Методы вычисления неопределенных интегралов.
6. Определенный интеграл (методы вычисления, приложения).
7. Исследование сходимости числовых рядов.
8. Степенные ряды и их свойства. Функциональные ряды.
9. Исследование функций многих переменных на безусловный и условный экс-тремумы.
10. Методы вычисления двойных интегралов и приложения. Криволинейные интегралы.
6. 2. Перечень примерных тем курсовых работ.
1. Аксиоматическое построение множества действительных чисел с аксиомой
непрерывности Кантора. Анализ методики изучения действительных чисел в школьной
математике.
2. Аксиоматическое построение множества действительных чисел с аксиомой
непрерывности Вейерштрасса. Анализ методики изучения действительных чисел в школьной
математике.
3. Аксиоматическое построение множества действительных чисел с аксиомой
непрерывности в виде существования "разделяющего" числа. Анализ мето-дики изучения
действительных чисел в школьной математике.
4. Верхний и нижний пределы последовательности.
5. Рекуррентные последовательности и их пределы.
6. Анализ методики изучения тригонометрических и обратных тригонометри-ческих
функций, тождеств, уравнений и неравенств в школьном курсе.
7. Выпуклые функции и некоторые их применения при доказательстве некото-рых
классических неравенств.
8. Гиперболические функции и их свойства.
9. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Ана-лиз темы в
школьном курсе.
10. Построение кривых, заданных в полярных координатах.
11. Построение кривых, заданных параметрически.
12. Предел функции в средней школе.
13. Понятие "непрерывность функции" в средней школе.
14. Классические неравенства в задачах на экстремум.
15. Контрпримеры в математическом анализе.
16. Интерполяционные многочлены и их применение.
17. Квадратурные формулы.
18. Мера множества по Жордану. Значение меры Жордана в школьном курсе математики.
19. Исследование свойств обратных функций в зависимости от свойств прямых функций
(монотонности, ограниченности, непрерывности, дифференцируе-мости, интегрируемости).
Изучение обратных функций в средней школе.
20. Применение многочленов Бернштейна для разложения непрерывной функ-ции в ряд
многочленов.
21. Несобственные интегралы на ограниченном промежутке.
22. Несобственные интегралы на неограниченном промежутке.
23. Определенный интеграл в средней школе.
24. Приближение непрерывных функций тригонометрическими полиномами.
25. Признаки Абеля и Дирихле сходимости несобственных интегралов.
26. Свойства определенного интеграла. Приложения интеграла в механике и фи-зике.
27. Формула Тейлора с дополнительным членом в различных формах (Пеано, Лагранжа и
др.). Применение формулы Тейлора в приближенных вычисле-ниях.
28. Функции ограниченной вариации.
29. Экстремальные задачи в школьном курсе математики.
30. Разработка теста для контроля по теме “Числовые ряды”.
31. Декарт: его жизнь, деятельность, математические работы, вклад в развитие науки.
32. Ньютон: его жизнь, деятельность, математические работы, вклад в развитие науки.
33. Лейбниц: его жизнь, деятельность, математические работы, вклад в развитие науки.
34. Коши: его жизнь, деятельность, математические работы, вклад в развитие науки.
35. Вейерштрасс: его жизнь, деятельность, математические работы, вклад в раз-витие науки.
36. Интеграл Римана - Стильтьеса, его свойства и приложения.
37. Интегралы, зависящие от параметра. Применение теории интегралов, зави-сящих от
параметра, к вычислению некоторых несобственных интегралов.
38. Задачи линейного программирования и симплекс-метод. Задача о рационе.
39. Методы решения задач на условный экстремум для функций одной и не-скольких
переменных.
40. Экстремум квадратичных функций на полиэдральных множествах.
41. Метод множителей Лагранжа.
42. Теоремы отделимости и опорные функции множеств.
43. Элементы теории матричных игр.
44. Аддитивные функции промежутка и теория интегрирования.
45. Бета и Гамма функции (эйлеровы интегралы), формула Стирлинга, прило-жения.
46. Признаки сходимости положительных рядов. (Даламбера, Коши, Раабе, Куммера и др.).
47. Принцип сжатых отображений и его применение в математическом анализе и алгебре.
48. Пространства Банаха.
49. Свойства отображений метрических пространств, непрерывность на ком-пактных
множествах.
50. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических.
51. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах.
6.3. Перечень вопросов к промежуточной аттестации.
1.
Понятие числового ряда. Сходящийся числовой ряд, сумма ряда. Критерий Коши
сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
2.
Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения.
3.
Признаки сходимости Коши и Даламбера.
4.
Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена. Сходимость обобщенного
гармонического ряда.
5.
Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признак Дирихле. Признак Абеля. Ряд
Лейбница.
6.
Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимость
функциональной последовательности. Критерий Коши равномерной сходимости.
7.
Функциональный ряд. Сходимость и равномерная сходимость функционального ряда.
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
8.
Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда. Признак Абеля (без
док-ва).
9.
Теоремы о непрерывности предельной функции для равномерно сходящейся
последовательности и суммы равномерно сходящегося функционального ряда.
10. Предельный переход под знаком интеграла. Теорема о почленном интегрировании
равномерно сходящегося функционального ряда.
11. Предельный переход под знаком производной. Теорема о почленном
дифференцировании равномерно сходящегося функционального ряда
12. Степенные ряды. Формула Коши-Адамара. Радиус и интервал сходимости степенного
ряда.
13. Равномерная сходимость степенного ряда. Свойства суммы. Теоремы о почленном
интегрировании и дифференцировании степенного ряда.
14. Разложение функций в степенные ряды.
15. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
16. Ортогональные системы функций. Ортогональность основной тригонометрической
системы функций.
17. Ряд Фурье по данной ортонормированной системе. Экстремальное свойство частичных
сумм Фурье. Неравенство Бесселя.
18. Тригонометрический ряд Фурье. Свойство коэффициентов Фурье.
19. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье.
20. Теорема о сходимости ряда Фурье в точке.
21. Разложение в ряд Фурье функции с произвольным периодом. Комплексная форма ряда
Фурье. Ряд Фурье четных и нечетных функций.
22. Интеграл Фурье.
23. Лемма Римана.
24. Теорема о поточечной сходимости интеграла Фурье.
25. Интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье.
26. Измеримые по Жордану множества. Множество меры нуль в смысле Жордана. Мера
Жордана измеримого множества.
27. Определение кратного интеграла по измеримому множеству. Свойства кратных
интегралов.
28. Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости Дарбу. Классы интегрируемых функций.
29. Теорема о сведении кратного интеграла к повторному.
30. Замена переменных в кратном интеграле. Полярные, цилиндрические и сферические
координаты.
31. Криволинейный интеграл первого рода и его свойства. Вычисление криволинейного
интеграла первого рода.
32. Криволинейный интеграл второго рода. Вычисление криволинейного интеграла
второго рода.
33. Формула Грина.
34. Понятие поверхности. Площадь поверхности. Вычисление площади поверхности с
помощью двойного интеграла.
35. Поверхностные интегралы первого рода и их вычисление.
36. Поверхностные интегралы второго рода и их вычисление.
37.
38.
Понятие скалярного и векторного полей. Градиент, дивергенция, ротор и их свойства.
Формулы Грина, Стокса, Остроградского.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1.
Архипов, Г.И. Лекции по математическому анализу [Текст]: учеб. посо-бие/ Г.И.
Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. – М.:Дрофа, 2004. – 640 с.
2.
Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа [Текст]: учеб пособие/
Г.Н. Берман. – СПб.: Лань, 1977. – 448 с.
3.
Богданов Ю.С., Кастрица О.А., Сыроид Ю.Б. Математический анализ. Учебное пособие
(ГРИФ). М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 351 с.
4.
Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. Учебное пособие.
(ГРИФ). М.:Физматлит, 2003. - 336 с.
5.
Данилин, А.Р. Введение в математику [Текст]: учеб. пособие/ Урал. гос. пед. ун-т; А.Р.
Данилин, Т.Ф. Филиппова, Р.А. Яхин. – Екатеринбург: УрГПУ, 1997. – 128 с.
6.
Ефимов А.В., Демидович Б.П. Сборник задач по математике. 1,2.
7.
Краснов М.Л., Киселев А.И. и др. Функции комплексного переменного. Операционное
исчисление. Теория устойчивости.
8.
Математический анализ. Типовые расчеты. Части 1, 2. издание ЧГУ.
9.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1,2.
10. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для вузов / В.С. Шипачев - 6 изд., стер. – М.:
Высш. шк., 2003.- 479 с.
11.
Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. для вузов / В.С. Шипачев - 3
изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003.- 304 с.
б) дополнительная литература:
1.
Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, 656с.
2.
Шипачев В.С.Высшая математика. М.: Высшая школа, - 1996, 479с
3.
Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И.,Шумов А.С.Краткий курс высшей математики, т.1 и
т.2.1978
4.
Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С.Краткий курс высшей математики,т.2, 2-е
изд. перраб. и допол. – М.: Высшая школа – 1978, 328с.
5.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов,т.1, 12-е изд.
– М: Наука. –1985, 526с.
6.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2, 12-е изд.
– М: Наука. –1985, 575с.,
7.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, 5-е изд. перераб. и
доп. – М: Высшая школа. –1998, 478с.
8.
Высшая математика для экономистов. Под редакцией Кремера Н.Ш.- Москва: ЮНИТИ,
2000.
9.
Зайцев И.А. Высшая математика. – М: Высшая школа. –1991, 400с.
10. Бугров Я.С. ,Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление.,-М:
Высшая школа, 1980.
11. Бугров Я.С. ,Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии., - М: Высшая школа, 1980.
12. Бугров Я.С. ,Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы.
Ряды. Функции комплексного переменного. ,-Москва: Высшая школа, 1981.
13. Беклемишев Д.Б. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. –Москва:
Высшая школа,1980
14. Нефедов В.Н., Осипов В.А. Курс дискретной математики. –Москва:1992.
15. Бобков Н.К. Элементы дискретной математики. –Москва:1995.
16. Клетеник Д.В.. Сборник задач по аналитической геометрии.-М.:Наука,.2004
17. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, Изд. 8-е, М: Наука. –.
2005, 416с
18. Карасев А.И., Аксютина З.М, Савельева Т.И. Курс высшей математики для
экономических вузов. В 2-х томах.- Москва: Высшая школа, 1982.
19. Красс М.С., Чупырков Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом
образовании. М: Дело, 2001.
20. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М: ЮНИТИ, 2002.
21. Исследование операций в экономике. /Под. Ред. Н.Ш. Кремера.-М.:ЮНИТИ, 1997.
22. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении.
М.:Дело, 2002.
23. Мажукин В.И., Королева О.П. Математическое моделирование в экономике. В 2-х
частях.-М.:Флипта-МосГУ, 2004.
24. Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели. – М: ЮНИТИДАМА,2005.
25. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Череленых Ю.Н. Математические методы в
экономике. - Москва:МГУ, 1997.
26. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике, 3-е изд. перераб. и доп.- М: Высшая школа. –2004, 400с.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для обеспечения данной дисциплины необходимо: лекционная аудитория, соответствующая
действующим санитарным и противопожарным нормам.