Математическое моделирование естественных наук Направление «Математика. Компьютерные науки»

Математическое моделирование
Кафедра систем телекоммуникаций, факультет физико-математических и
естественных наук
Направление «Математика. Компьютерные науки»
Обязательная дисциплина, привязанная к семестру
Трудоемкость – 3 кредита, 2 часа лекций и 2 час лабораторных занятий в
неделю
Цель курса
Целью курса является введение учащихся в предметную область современного
математического (шире – информационного) моделирования как неизбежной
составляющей научно-технического прогресса.
В процессе преподавания курса решаются следующие задачи:
- изучение сущности методологии математического моделирования,
являющейся интеллектуальным ядром информационных технологий и
всего процесса информатизации общества;
- получение моделей на основе фундаментальных законов природы,
вариационных принципов;
- изучение основных методов исследования математических моделей,
вычислительный эксперимент.
Содержание курса
Лекции
Тема 1. «Мягкие» и «жесткие» модели.
Модель войны или сражения. Оптимизация как путь к катастрофе. Модели
Лотка-Вольтера, многоступенчатого управления, перестройки.
Тема 2. Осцилляторные модели.
Гармонический осциллятор, гармонический осциллятор с затуханием; решения,
фазовый портрет. Гармонический осциллятор, гармонический осциллятор с
затуханием; интегрирование в квадратурах. Гармонический осциллятор с
затуханием и вынуждением. Математический маятник; решения, фазовые
траектории, фазовый портрет. Математический маятник с затуханием; решения,
фазовые траектории, фазовый портрет. Математический маятник с затуханием
и вынуждением; удвоение периода, переход к хаосу.
Тема 3. Интегрирование уравнений и анализ устойчивости неподвижных
точек.
Интегрирование линейных уравнений второго порядка. Интегрирование
нелинейных уравнений второго порядка. Фазовое пространство динамической
системы, фазовые портреты консервативных систем. Линейный анализ
устойчивости неподвижных точек двумерных динамических систем.
Тема 4. Нелинейные динамические системы с неустойчивыми режимами
эволюции.
Логистическое уравнение, устойчивые и неустойчивые точки равновесия.
Логистическое уравнение; теоретическое описание удвоения периода, переход
к хаосу. Прыгающий шарик. Уравнения Лоренца. Численное интегрирование
(систем) линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого и
второго порядка. Общее линейное волновое уравнение. Методы решения.
Лабораторные занятия
1. Гармонический осциллятор с затуханием и вынуждением; решения,
фазовые траектории, фазовый портрет.
2. Математический маятник с затуханием и вынуждением; решения,
фазовые траектории, фазовый портрет.
3. Численное интегрирование линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений первого и второго порядка.
4. Численное интегрирование систем линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений первого и второго порядка.
5. Общее линейное волновое уравнение. Методы решения.
6. Логистическое уравнение; численное описание удвоения периода,
переход к хаосу.
7. Прыгающий шарик; численное описание удвоения периода, переход к
хаосу.
8. Уравнения Лоренца; численное описание удвоения периода, переход к
хаосу.
Темы контрольных работ
Промежуточный контроль знаний
Контрольная работа № 1.
Теоретические вопросы.
Гармонический осциллятор с затуханием и вынуждением.
Математический маятник с затуханием и вынуждением.
Практические задания.
Гармонический осциллятор с затуханием и вынуждением; решения, фазовые
траектории, фазовый портрет
Математический маятник с затуханием и вынуждением; решения, фазовые
траектории, фазовый портрет.
Уравнения Лоренца; численное решение, бифуркации, переход к хаосу через
удвоение периода.
Контрольная работа № 2.
Теоретические вопросы.
Интегрирование линейных уравнений второго порядка. Интегрирование
нелинейных уравнений второго порядка. Фазовое пространство динамической
системы, фазовые портреты консервативных систем. Линейный анализ
устойчивости неподвижных точек двумерных динамических систем.
Практические задания.
Численное интегрирование (систем) линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений первого и второго порядка.
Общее линейное волновое уравнение. Методы решения.
Замечание. Практическое задание включает в себя написание краткой
теоретической части, описание используемого алгоритма, написание
программы для компьютера на языке высокого уровня с необходимым
интерфейсом – прототипом товарного оформления или в рамках
математического программного пакета, демонстрацию работоспособности
программы.
Итоговый контроль знаний.
Контрольная работа № 3.
Теоретические вопросы.
Логистическое уравнение.
Прыгающий шарик. Уравнения Лоренца.
Литература
Обязательная
1. Ловецкий К.П., Севастьянов Л.А. Математическое моделирование.
Часть 1: Осциллятор. – М.: РУДН – 2007, 64 С.
2. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. – М.:
Эдиториал УРСС – 2001, 320 С.
3. Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны. – М.:
ФИЗМАТЛИТ -2001, 416 С.
Дополнительная
1. Статьи из «Соросовского образовательного журнала».
2. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. – М.:
ФИЗМАТЛИТ 2000, 296 С.
3. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. – М.: Постмаркет –
2001, 184 С.
4. Кузнецов С.П. Динамический хаос. – М.: ФИЗМАТЛИТ – 2001,296 С.
Программу составил
Севастьянов Леонид Антонович,
доктор физико-математических наук, профессор,
профессор кафедры систем телекоммуникаций,
факультет физико-математических и естественных наук.