Математический анализ - Международный факультет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУ ВПО Томский государственный университет
Международный факультет управления
Кафедра системного анализа и информационных технологий
УТВЕРЖДАЮ
Декан МФУ
_________Тарасенко П.Ф.
‘‘___’’_________2012 г.
ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Математический анализ
Направление подготовки
080700.62 Бизнес информатика
Профиль подготовки
Аналитическая поддержка управления
Квалификация выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
2012
1. Цели и задачи освоения дисциплины.
Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются:
- студент должен осознать социальную значимость своей будущей профессии, обладать
высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности (ОК-9);
- студент должен получить необходимую математическую подготовку для успешного
усвоения специальных курсов и самостоятельного изучения дополнительной
литературы по специальности;
– формирование знаний по математическому анализу, необходимых для решения
задач, возникающих в экономической деятельности
– развитие логического мышления и математической культуры;
- формирование необходимого уровня подготовки для понимания других
математических и прикладных дисциплин:
– обучение студентов методам логически строгого построения доказательств;
– формирование навыков и умений, необходимых при практическом применении
математических идей и методов для анализа и моделирования сложных систем,
процессов, явлений, для поиска оптимальных решений и выбора наилучших способов
реализации.
Задачи дисциплины:
- изучение основных понятий и методов математического анализа;
- приобретение практических навыков решения типовых задач,
способствующих усвоению основных понятий в их взаимной связи, а также
задач, способствующих развитию начальных навыков научных исследований;
- формирование умений решения оптимизационных задач с использованием
аппарата математического анализа.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Математический анализ» находится в цикле Б.2. Математический и
естественнонаучный цикл, изучается в I семестре.
Для изучения курса необходимо знание школьного курса математики.
3. Требования к результатам освоения дисциплины
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
Результаты освоения ООП бакалавриата определяются приобретаемыми выпускником компетенциями, т.е.
его способностью применять знания, умения и личные качества в соответствии с задачами профессиональной
деятельности.
В результате освоения данной ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими компетенциями.
Общекультурными компетенциями (ОК):
- способность осознать социальную значимость своей будущей профессии, обладать высокой мотивацией к
выполнению профессиональной деятельности (ОК-9);
Выпускник должен обладать следующими профессиональными компетенциями (ПК):
- способен принимать решения в условиях неопределенности и рисков (ПК-4);
- способен применять адекватные инструменты и технологии регулирующего воздействия при реализации
управленческого решения (ПК-5);
- должен владеть математическими методами решения типовых управленческих задач (ПК-1); (ПК-4); (ПК-5).
В результате освоения дисциплины «Математический анализ» бакалавр должен
сформировать общекультурные компетенции:
– способность владеть культурой мышления, умение аргументировано и ясно строить
устную и письменную речь (ОК-1);
– способность к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства (ОК-9);
– способность владеть основными методами, способами и средствами получения,
хранения переработки информации, иметь навыки работы с компьютером как
средством управления информацией (ОК-13).
В результате освоения дисциплины бакалавр должен сформировать профессиональные
компетенции:
- использовать основные методы естественнонаучных дисциплин в профессиональной
деятельности для теоретического и экспериментального исследования (ПК-19);
- использовать соответствующий математический аппарат и инструментальные средства
- для обработки, анализа и систематизации информации по теме исследования (ПК-20).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
 Знать:
– основные понятия и методы математического анализа, необходимые для
решения экономических и управленческих задач
 Уметь:
– применять методы математического анализа при решения практических задач
 Владеть:
– математическим аппаратом (вычисление пределов функций, дифференцирование и
интегрирование функций);
– навыками использования методов математического анализа при решении
практических задач.
4. Структура и содержание учебной дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц. Общий объем курса
128 часов. Из них: лекции – 32 ч., семинарские занятия – 32 ч., самостоятельная работа
студентов – 64 ч. Предусмотрено 4 контрольные работы. Экзамен по итогам курса.
Содержание курса
Вещественные (действительные) числа и множества (2ч. лек., 2ч. пр.). Основные свойства действительных
чисел и их геометрическое представление. Понятие множества, операции над множествами. Принятые
обозначения, логические символы. Числовые множества, грани числовых множеств. Абсолютная величина
действительного числа и ее свойства.
Понятие функции (2ч. лек., 2ч. пр.). Определение функции, способы ее задания. Классификация функций.
Элементарные функции и их графики. Суперпозиция функций. Общие свойства функций (однозначность,
ограниченность, монотонность, периодичность, четность, симметричность). Понятие обратной функции.
Предел числовой последовательности (4ч. лек., 4ч. пр.). Числовые последовательности и арифметические
действия над ними. Ограниченные и неограниченные последовательности, монотонные последовательности.
Определение предела числовой последовательности, понятие сходящейся последовательности, бесконечно
малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Основные свойства сходящихся
последовательностей. Предельный переход в неравенствах. Признак сходимости монотонных
последовательностей (теорема Вейерштрасса). Число «е» как предел числовой последовательности. Примеры
применения числовых последовательностей для расчетов в финансовой математике, простые и сложные
проценты, понятие эффективной годовой процентной ставки.
Предел функции (4ч. лек., 4ч. пр.). Определение предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие
функции и связи между ними. Основные теоремы о пределах функций, типы неопределенностей. Первый и
второй замечательные пределы.
Непрерывные функции (2ч. лек.). Непрерывность функции в точке и на множестве. Непрерывность сложной
функции. Арифметические действия над непрерывными функциями.
Непрерывность
элементарных
функций. Точки разрыва функции и их классификация. Основные свойства непрерывных функций.
Контрольная работа – 2 ч.
Дифференцирование (6ч. лек., 6ч. пр.). Определение производной функции в точке. Геометрический и
физический смысл производной. Правила и формулы вычисления производной функции. Производная сложной
и обратной функции, логарифмическая производная, производная показательно-степенной функции.
Производные высшего порядка. Понятие эластичности функции. Основные свойства эластичности и ее
применение в экономическом анализе. Геометрический смысл эластичности функции. Эластичности функции в
дискретном случае. Общие свойства эластичности функции и примеры ее вычисления.
Дифференциал (4ч. лек., 2ч. пр.). Определение дифференцируемой функции и дифференциала. Необходимые
и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Основные свойства и таблица формул
дифференциалов элементарных функций. Свойство инвариантности дифференциала первого порядка.
Применение дифференциала к приближенному вычислению функций. Дифференциалы высших порядков.
Основные теоремы дифференциального исчисления (4ч. лек., 4ч. пр.). Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа,
Коши. Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей типа « 0 / 0 » и « /  » ). Формулы Тейлора и
Маклорена.
Исследование поведения функций с помощью производной (2ч. лек., 2ч. пр.). Возрастающие и убывающие
функции, признак монотонности. Максимум и минимум функции, точки локального экстремума. Необходимые
и достаточные условия существования экстремума функции. Понятие выпуклой функции, точки перегиба
функции. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построение ее графика.
Контрольная работа – 2 ч.
Неопределенный интеграл (6ч. лек., 6ч. пр.). Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и
его свойства. Табличные интегралы. Основные методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по
частям. Методы интегрирования различных классов функций. Интегрирование правильных рациональных
дробей. Интегрирование простейших иррациональностей. Методы повторного интегрирования по частям.
Интегрирование некоторых трансцендентных функций. Интегрирование тригонометрических функций.
Определенный интеграл (4ч. лек., 4ч. пр.). Определение определенного интеграла с использованием предела
интегральной суммы. Геометрический смысл определенного интеграла. Основные свойства и методы
вычисления определенного интеграла. Замена переменной интегрирования в определенном интеграле, формула
интегрирования по частям. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула НьютонаЛейбница. Понятие несобственных интегралов. Некоторые приложения определенного интеграла. Вычисление
коэффициента Джини по кривой Лоренца для оценки степени неравномерности доходов населения.
Контрольная работа – 2 ч.
Функции многих переменных (6ч. лек., 2ч. пр.) Определение функций многих переменных, основные
понятия и обозначения. Понятие предела и непрерывности функции многих переменных. Дифференцирование
функции многих переменных. Частные производные первого порядка функций многих переменных. Понятие
полного дифференциала функции многих переменных. Применение полного дифференциала к приближенным
вычислениям функции многих переменных. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Производные сложных функций многих переменных. Дифференцирование неявных функций. Экстремум
функции многих переменных на примере функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия
существования локального экстремума функции двух переменных. Условный экстремум функции двух
переменных. Определение параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов.
Контрольная работа – 2 ч.
Письменный ЭКЗАМЕН
Перечень контрольных вопросов
Понятие функции. Общие свойства функций. Понятие обратной функции.
Определение числовой последовательности. Ограниченные и монотонные числовые последовательности.
Определение предела последовательности. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших
последовательностей.
4. Основные теоремы о пределах последовательностей. Предельный переход в неравенствах.
5. Число «е».
6. Определение предела функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы.
7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
8. Теоремы о пределе функций.
9. Первый и второй замечательные пределы функций.
10. Сравнение бесконечно малых функций.
11. Понятие непрерывной функции. Непрерывность функции в точке и на множестве.
12. Точки разрыва функции и их классификация. Основные свойства непрерывных функций.
13. Понятие производной функции. Определение односторонних производных.
14. Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к функции в точке.
15. Общие правила дифференцирования и вычисления производной функции.
16. Связь между понятиями дифференцируемость и непрерывность функций.
17. Вычисление производной сложной функции. Производная обратной функции. Производная неявной
функции.
18. Понятие эластичности функции. Общие свойства эластичности функции.
19. Понятие дифференциала функции и его геометрический смысл. Правила вычисления дифференциала
функции.
20. Производная и дифференциал высших порядков.
21. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
22. Правило Лопиталя.
23. Формулы Тейлора и Маклорена.
24. Исследование поведения функций с помощью производной. Возрастающие и убывающие функции,
признак монотонности.
25. Точки локального экстремума функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
функции.
26. Понятие выпуклой функции. Точки перегиба функции.
27. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функций с помощью производной.
28. Первообразная функции. Определение неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного
интеграла.
29. Методы интегрирования. Метод замены переменной интегрирования. Интегрирование по частям.
30. Определение определенного интеграла, основные свойства.
31. Интеграл с переменным верхним пределом.
32. Формула Ньютона-Лейбница.
33. Замена переменной интегрирования в определенном интеграле.
34. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
35. Понятие несобственных интегралов.
36. Основные понятия и определения функций многих переменных.
37. Понятие предела и непрерывности функций многих переменных.
38. Частные производные 1-ого и 2-ого порядков функций многих переменных. Понятие полного
дифференциала функции многих переменных.
39.Экстремум функций многих переменных на примере функций двух переменных.
40. Необходимые и достаточные условия существования локального экстремума функции двух переменных
41. Определение параметров эмпирических зависимостей методом наименьших квадратов.
Контрольные задачи и примеры приведены в задачниках и методических разработках (см. / 3-7/).
1.
2.
3.
III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ КУРСА ПО ТЕМАМ И ВИДАМ РАБОТ
№
Наименование темы
Всего
Лекции
Практика
часов
Самостоятельная
работа (с. р.)
Форма контроля
1
Общие свойства числовых
последовательностей и функций
12
4
2
(с. р.) - 4
Контр. опрос - 2
Проверка дом.
задания
2
Теория предела
20
6
6
(с. р.) - 6
Контрольный опрос
Проверка дом.
задания
Контр. Работа -2
3
Дифференцирование функций
38
8
10
(с. р.) - 18
Контрольный опрос
Проверка дом.
задания
Контр. Работа - 2
4
Основные теоремы
8
2
2
(с. р.) - 4
Контрольный опрос
Проверка дом.
задания
5
Интегрирование функций
38
8
10
(с. р.) - 18
Контрольный опрос
Проверка дом.
задания
Контр. Работа -2
6
Функции многих переменных
12
4
2
(с. р.) - 6
Контрольный опрос
Проверка дом.
задания
ИТОГО
128
64
64
64
Экзамен
5. Образовательные технологии
В процессе обучения для достижения планируемых результатов освоения дисциплины
используются следующие методы образовательных технологий:
– опережающая самостоятельная работа;
– междисциплинарное обучение;
– проблемное обучение;
– обучение на основе опыта.
Для изучения дисциплины предусмотрены следующие формы организации учебного
процесса:
лекции, практические занятия, самостоятельная работа студентов, индивидуальные и
групповые консультации.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные
средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины.
Самостоятельная работа студентов является наиболее продуктивной формой образовательной и познавательной деятельности студента в период обучения. Текущая самостоятельная работа направлена на углубление и закрепление знаний студентов, развитие
практических умений. Текущая самостоятельная работа включает в себя:
работу с лекционным материалом, опережающую самостоятельную работу, подготовку к
зачету и экзамену.
Контроль самостоятельной работы студентов и качество освоения дисциплины осуществляется посредством:
– опроса студентов при проведении практических занятий:
– проведения контрольных работ;
– проверки выполнения домашних заданий.
ФОРМА ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ – экзамен.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КУРСА
В Научной библиотеке ТГУ имеется достаточное количество необходимой учебной
литературы по дисциплине.
Основная литература
1. В.С.Шипачев. Высшая математика. 2-ое изд. М. «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 2006.
2. Н.Ш.Кремер и др. Высшая математика для экономистов. 2-ое изд. М. Изд-во «ЮНИТИ» 2008.
3. К.Н.Гунгу, Д.Т. Письменный и др. Сборник задач по высшей математике. Москва АЙРИС ПРЕС. 2005.
4. Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. 3-е изд. Москва 2008 .
Дополнительная литература
5. В.А.Кудрявцев, Б.П.Демидович. Краткий курс высшей математики. 3-е изд. М. 2008.
6. Н.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление. М. «НАУКА» 1985.
7. В.Г.Кочегурова. Математика для экономистов. Часть вторая. Изд-во «НТЛ» Томск, 1997.
8. Ю.К.Устинов. Математика для экономистов. Часть первая. Изд-во «НТЛ» Томск, 1997.
9. О.О.Замков и др. Математические методы в экономике. М Изд-во «ДИС» 1998.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению Бизнес информатика.
Автор: Шуленин Валерий Петрович – доцент кафедры САиИТ
Рецензент: Дмитриев Юрий Глебович - проф. кафедры САиИТ
Программа одобрена на заседании методической комиссии МФУ
от ”____”_____________ 2012 г., протокол №___