Дополнительный материал по Моделированию
реклама
ВОПРОСЫ К ГОСЭКЗАМЕНУ ПО
ДИСЦИПЛИНЕ "МОДЕЛИРОВАНИЕ
СИСТЕМ" ДЛЯ СТУДЕНТОВ
СПЕЦИАЛЬНОСТИ 220201.65
"УПРАВЛЕНИЕ И ИНФОРМАТИКА В
ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ"
1 Методологические основы
моделирования.
2 Классификация моделей и виды
моделирования
3 Примеры моделей систем.
4 Основные положения теории
подобия.
5 Этапы математического
моделирования.
6 Принципы построения и основные
требования к математическим моделям
систем.
7 Цели и задачи исследования
математических моделей систем.
8 Общая схема разработки
математических моделей.
9 Формализация процесса
функционирования системы.
10 Формы представления
математических моделей.
11 Методы исследования
математических моделей систем и
процессов.
12 Имитационное моделирование.
13 Методы упрощения математических
моделей.
14 Технические и программные
средства моделирования.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ
Материалы, использованные при
составлении задач, соответствуют
требованиям Федерального экзамена
профессионального экзамена по физике
(www.fepo.ru)
Задачи составил доцент кафедры
кибернетических систем Тюменского
государственного нефтегазового
университета П.И.Ковалёв
1 Материальная точка движется в
плоскости xOz по окружности,
зависимость абсциссы скорости частицы
от времени выражается линейной
убывающей функцией. Требуется
определить знак абсциссы ускорения
частицы в верхней точке её траектории.
Составьте математическую модель
задачи. Как она связана с
фундаментальными принципами механики
материальной точки? Решите задачу.
2 Механическая система образована
конечным множеством материальных
точек, известны их массы и зависимость
радиусов-векторов от времени. Требуется
определить зависимость скорости центра
масс системы от времени. Составьте
математическую модель задачи. Как она
связана с фундаментальными принципами
механики материальной точки? Объясните
роль понятия центра масс в механике.
Решите задачу.
3 Два цилиндра вращаются вокруг осей,
проходящих через центры их оснований,
массы цилиндров и радиусы их оснований
совпадают, а длина образующей первого
цилиндра больше длины образующей
второго цилиндра. Требуется определить,
у какого цилиндра больше момент
инерции. Составьте математическую
модель задачи. Как она связана с
фундаментальными принципами механики
материальной точки? Решите задачу.
4 В потенциальном поле сила,
действующая на материальную точку
пропорциональна градиенту
потенциальной энергии поля. Известно,
что потенциальная энергия поля является
возрастающей функцией расстояния от
начала координат. Требуется определить,
какому условию должна удовлетворять
эта функция, чтобы величина силы,
действующая на материальную точку,
убывала, когда она удаляется от начала
координат. Составьте математическую
модель задачи. Как она связана с
фундаментальными принципами механики
материальной точки? Решите задачу.
5 Тонкий цилиндр катится без скольжения
с заданной постоянной скоростью по
горизонтальной плоскости. Требуется
вычислить его кинетическую энергию.
Составьте математическую модель
задачи. Как она связана с
фундаментальными принципами механики
материальной точки? Решите задачу.
6 Космический корабль летит по
направлению к Земле. Когда он подлетает
к ней на заданное расстояние, он
посылает первый сигнал, а, пролетая в
непосредственной близости от Земли,
посылает второй сигнал и отмечает в
бортовом журнале, сколько времени
прошло между моментами передачи
сигналов. Дежурный в центре космической
связи на Земле записывает в свой журнал,
продолжительность интервала времени
между моментами приёма сигналов.
Скорость космического корабля известна.
Требуется определить значения, которые
содержатся в каждом журнале. Составьте
математическую модель задачи. Как она
связана с преобразованием Лоренца?
Решите задачу. (Преобразование Лоренца
имеет вид x' = ( x - v t ) ( 1 - v2 / c2 )-1/2, y' =
y, z' = z, t' = ( t - x v / c2 ) ( 1 - v2 / c2 )-1/2 )
7 В состоянии термодинамического
равновесия при температуре T плотность
вероятности величины скорости
молекулы, которая подчиняется законам
классической механики, равна 4 π ( m / ( 2
π k T ))3/2 exp ( - m v2 / ( 2 k T )) v2, k постоянная Больцмана, m - масса
молекулы, v - величина её скорости (v ≥ 0)
. Требуется определить моду величины
скорости молекулы. Постройте
математическую модель задачи. Как она
связана с основными принципами науки о
теполоте и теории вероятности? Решите
задачу.
8 В состоянии термодинамического
равновесия при температуре T плотность
вероятности величины скорости
молекулы, которая подчиняется законам
классической механики, равна 4 π ( m / ( 2
π k T ))3/2 exp ( - m v2 / ( 2 k T )) v2, k постоянная Больцмана, m - масса
молекулы, v - величина её скорости (v ≥ 0)
. Требуется определить медиану
величины скорости молекулы. Постройте
математическую модель задачи. Как она
связана с основными принципами науки о
теполоте и теории вероятности? Решите
задачу. Можно ли представить
окончательный ответ в виде
алгебраической формулы?
9 В состоянии термодинамического
равновесия при температуре T плотность
вероятности величины скорости
молекулы, которая подчиняется законам
классической механики, равна 4 π ( m / ( 2
π k T ))3/2 exp ( - m v2 / ( 2 k T )) v2, k постоянная Больцмана, m - масса
молекулы, v - величина её скорости (v ≥ 0)
. Требуется определить среднюю
величину скорости молекулы. Постройте
математическую модель задачи. Как она
связана с основными принципами науки о
теполоте и теории вероятности? Решите
задачу. Можно ли представить
окончательный ответ в виде
алгебраической формулы?
10 В состоянии термодинамического
равновесия при температуре T плотность
вероятности величины скорости
молекулы, которая подчиняется законам
классической механики, равна 4 π ( m / ( 2
π k T ))3/2 exp ( - m v2 / ( 2 k T )) v2, m масса молекулы, k - постоянная
Больцмана, v - величина её скорости (v ≥
0) . Требуется определить среднюю
кинетическую энергию молекулы.
Постройте математическую модель
задачи. Как она связана с основными
принципами науки о теполоте и теории
вероятности? Решите задачу. Можно ли
представить окончательный ответ в виде
алгебраической формулы?
11 Один моль идеального одноатомного
газа нагревают, не изменяя его объёма.
Известны начальное и конечное давление
газа, а также его объём. Требуется
определить изменение энтропии газа.
Постройте математическую модель
задачи. Как она связана с основными
принципами науки о теполоте? Решите
задачу.
12 В вертикальном цилиндре с поршнем
содержится один моль идеального
одноатомного газа. Газ нагревают, при
этом поршень движется вверх без трения.
Известны площадь основания цилиндра,
масса поршня и расстояния между
нижними основаниями цилиндра и поршня
в начале и в конце процесса
нагревания.Требуется определить
изменение энтропии газа в цилиндре.
Постройте математическую модель
задачи. Как она связана с основными
принципами науки о теплоте? Решите
задачу.
13 В вертикальном цилиндре с поршнем
содержится один моль идеального
одноатомного газа. Верхнее основание
поршня соединено с нижним концом
невесомой пружины, её верхний конец
неподвижно закреплён. Газ нагревают,
при этом поршень перемещается вверх
без трения, а пружина сжимается,
сохраняя вертикальное положение.
Требуется определить отношение работы,
совершённой поршнем, к величине тепла,
полученного газом. Составьте
математическую модель, включив в неё
дополнительные значения параметров
системы и характеристик её начального и
конечного состояний так, чтобы исходные
данные были взаимно независимыми.
Решите задачу.
14 Два точечных электрических заряда
находятся по разные стороны от
плоскости, прямая, соединяющая заряды
перпендикулярна плоскости. Известны
величины зарядов и расстояния от
зарядов до плоскости. Требуется
определить поток напряжённости
электрического поля через плоскость.
Постройте математическую модель
задачи. Как она связана с основными
принципами электростатики? Решите
задачу.
15 Плоский диск равномерно заряжен
электричеством; на прямой,
перпендикулярной диску и проходящей
через его центр, находится точечный
электрический заряд. Известны величина
этого заряда, поверхностная плотность
заряда диска, расстояние между центром
диска и точечным зарядом. Требуется
определить силу электростатического
взаимодействия между зарядом и диском.
Постройте математическую модель
задачи. Как она связана с основными
принципами электростатики? Решите
задачу.
16 Известны расстояние между двумя
прямолинейными бесконечно длинными
параллельными проводами и текущие по
ним токи. Требуется определить
геометричеческое место точек
трёхмерного пространства, в которых
индукция магнитного поля этих токов
равна нулю. Постройте математическую
модель задачи. Как она связана с
основными принципами электродинамики?
Решите задачу.
17 Бесконечно длинный прямолинейный
провод , по которому течёт заданный ток,
сгибают под прямым углом. Требуется
построить график изменения магнитного
поля тока вдоль биссектрисы этого угла.
Постройте математическую модель
задачи. Как она связана с основными
принципами электродинамики? Решите
задачу.
18 Контакты источника напряжения
соединены с прямолинейными
направляющими, лежащими в
горизонтальной плоскости параллельно
друг другу. По направляющим скользят
концы стержня (его длина равна
расстоянию между направляющими). Вся
система находится в постоянном
однородном магнитном поле, вектор
индукции которого направлен вертикально
вверх. Известны погонное электрическое
сопротивление направляющих
(сопротивление единицы длины),
электрическое сопротивление стержня,
величина индукции магнитного поля,
расстояние между направляющими, масса
стержня и величина силы трения между
стержнем и направляющими. Требуется
определить, как должна изменяться
величина источника напряжения, чтобы
стержень двигался с заданной постоянной
скоростью. Постройте математическую
модель задачи. Как она связана с
основными принципами электродинамики?
Решите задачу.
19 Кубик, сделанный из диэлектрика,
заряжен так, что плотность электрического
заряда постоянна. Требуется построить
график изменения потенциала
электрического поля, создаваемого
кубиком, вдоль оси, проходящей через
центр кубика перпендикулярно его грани.
Постройте математическую модель
задачи. Как она связана с основными
принципами электростатики? Решите
задачу. Моржно ли получить
окончательный ответ аналитическими
методами?
20 Один конец абсолютно твёрдого
невесомого стержня жёстко соединён с
материальной точкой, другой его конец
шарнирно закреплён, так, что
материальная точка может двигаться в
пространстве, однако расстояние от неё
до точки закреплпения конца стержня всё
время остаётся постоянным. Сила
сопротивления воздуха движению
материальной точки пропорциональна её
скорости, трение в шарнирном
закреплении отсутствует. Требуется
доказать, что полная энергия системы
убывает. Составьте математическую
модель задачи. Как она связана с
фундаментальными принципами механики
материальной точки? Корректно ли
сформулирован вопрос задачи? Решите
задачу.
21 Один конец абсолютно твёрдого
невесомого стержня жёстко соединён с
материальной точкой, другой его конец
шарнирно закреплён, так, что
материальная точка может двигаться в
пространстве, однако расстояние от неё
до точки закреплпения конца стержня всё
время остаётся постоянным. Сила
сопротивления воздуха движению
материальной точки пропорциональна её
скорости, трение в шарнирном
закреплении отсутствует. Требуется
определить, какому условию длжны
удовлетворять радиус-вектор
материальной точки и её скорость, чтобы
сила, действующая на стержень со
стороны материальной точки, растягивала
его. Составьте математическую модель
задачи. Как она связана с
фундаментальными принципами механики
материальной точки? Решите задачу.
22 Уравнения Максвелла для
электромагнитного поля в вакууме в
неподвижной системе координат имеют
вид:
∂E / ∂t = c rot B,
∂B / ∂t = - c rot E,
div E = 0,
div B = 0.
Определите, как они будут выглядеть в
системе координат, которая движется с
постоянной скоростью в заданном
направлении?
23 Уравнения Максвелла для
электромагнитного поля в вакууме имеют
вид:
∂E / ∂t = c rot B,
∂B / ∂t = - c rot E,
div E = 0,
div B = 0.
Известно, что в каждой точке
пространства колебания электрической
составляющей этого поля параллельны
вектору A, а колебания магнитной
составляющей параллельны вектору B.
Требуется вычислить угол между
векторами A, B. Решите задачу.
Всегда ли она имеет единственный ответ?
24 Уравнения Максвелла для
электромагнитного поля в вакууме имеют
вид:
∂E / ∂t = c rot B,
∂B / ∂t = - c rot E,
div E = 0,
div B = 0.
Известно, что электрическая
составляющая этого поля представляет
собой бегущую гармоническую плоскую
волну, колебания которой в каждой точке
пространства параллельны вектору A.
Требуется вычислить угол между
векторам A и вектором распространения
волны (волновым вектором)
электрической составляющей поля.
Решите задачу. Всегда ли она имеет
единственный ответ?
25 Уравнения Максвелла для
электромагнитного поля в вакууме имеют
вид:
∂E / ∂t = c rot B,
∂B / ∂t = - c rot E,
div E = 0,
div B = 0.
Известно, что электрическая и магнитная
составляющие этого поля представляют
собой бегущие гармонические плоские
волны, колебания которых в каждой точке
пространства параллельны векторам A, B
соответственно. Требуется вычислить
сдвиг фаз между колебаниями
электрической и магнитной
составляющими поля. Решите задачу.
Всегда ли она имеет единственный ответ?
26 Уравнения Максвелла для
электромагнитного поля в вакууме имеют
вид:
∂E / ∂t = c rot B,
∂B / ∂t = - c rot E,
div E = 0,
div B = 0.
Известно, что электрическая и магнитная
составляющие этого поля представляют
собой бегущие гармонические плоские
волны, колебания которых в каждой точке
пространства параллельны векторам A, B
соответственно. Требуется определить
связь между частотами колебаний
электрической и магнитной составляющих
поля. Решите задачу. Всегда ли она имеет
единственный ответ?
27 Уравнения Максвелла для
электромагнитного поля в вакууме имеют
вид:
∂E / ∂t = c rot B,
∂B / ∂t = - c rot E,
div E = 0,
div B = 0.
Известно, что электрическая и магнитная
составляющие этого поля представляют
собой бегущие гармонические плоские
волны, колебания которых в каждой точке
пространства параллельны векторам A, B
соответственно. Требуется вычислить
угол между векторами распространения
(волновыми векторами) электрической и
магнитной составляющих поля. Решите
задачу. Всегда ли она имеет
единственный ответ?
28 Определите, какому условию должны
удовлетворять вещественные числа A, B,
a, b, чтобы сумма гармонических
колебаний u = A cos ( a t ), v = B cos ( b t )
была периодической функцией. Укажите
область применения полученного
результата.
29 Плоская гармоническая бегущая волна
отражается от плоской поверхности
раздела двух сред, причём отражённая
волна также является плоской,
гармонической и бегущей. В каждой точке
пространства частота колебаний
падающей волны совпадает с частотой
колебаний отражённой волны, величины
фазовых скоростей обеих волн
одинаковы, а на поверхности раздела
сред разность колебаний падающей и
отражённой волн равна нулю. Требуетсяя
определить связь между векторами
распространения (волновыми векторами)
падающей и отражённой волн. Составьте
математическую модель задачи. Решите
задачу. Сколько ответов она имеет?
30 В любой точке пространства частоты
колебаний двух плоских гармонических
бегущих волн одинаковы, однако
амплитуды, фазы колебаний и векторы
распространения (волновые векторы)
могут быть различными. Обе волны
падают на плоский экран. Требуется
определить характер дифракционной
картины на экране. Составьте
математическую модель задачи. Решите
задачу. Сколько ответов она имеет?
31 Количество энергии, излучаемое с
единицы площади поверхности абсолютно
чёрного тела, нагретого до температуры T,
за единицу времени в интервале частот [
ν, ν + Δν ] с точностью до бесконечно
малых более высокого проядка, чем Δν,
вычисляется по формуле Планка: E0 ( ν, T
) = 2 π h ν3 / { c2 [ exp ( h ν / ( k T )) - 1 ] }, (
ν> 0 ). Требуется определить количество
максимумов и минимумов функции E0 ( ν,
T ) при фиксированном значении T.
Решите задачу. Можно ли получить
значения экстремумов функции E0 ( ν, T )
аналитически?
32 Количество энергии, излучаемое с
единицы площади поверхности абсолютно
чёрного тела, нагретого до температуры T,
за единицу времени в интервале частот [
ν, ν + Δν ] с точностью до бесконечно
малых более высокого порядка, чем Δν,
вычисляется по формуле Планка: E0 ( ν, T
) = 2 π h ν3 / { c2 [ exp ( h ν / ( k T )) - 1 ] }, (
ν> 0 ). Известно, что для любого
фиксированного значения T существует
единственное максимальное значение εmax
( T ) функции E0 ( ν, T ). Требуется
определить характер изменения величины
εmax ( T ) с ростом T. Составьте
математическую модель задачи. Решите
задачу. Можно ли представить ответ в
количественной форме?
33 Количество энергии, излучаемое с
единицы площади поверхности абсолютно
чёрного тела, нагретого до температуры T
за единицу времени в интервале частот [
ν, ν + Δν ] с точностью до бесконечно
малых более высокого порядка, чем Δν,
вычисляется по формуле Планка: E0 ( ν, T
) = 2 π h ν3 / { c2 [ exp ( h ν / ( k T )) - 1 ] }, (
ν> 0 ). Известно, что для любого
фиксированного значения T существует
единственное значение νT частоты ν, при
котором функция E0 ( ν, T ) достигает
максимума. Требуется определить
приближённое значение величины νT и
оценить абсолютную погрешность.
Составьте математическую модель
задачи. Решите задачу.
34 Количество энергии, излучаемое с
единицы площади поверхности абсолютно
чёрного тела, нагретого до температуры, T
за единицу времени в интервале частот [
ν, ν + Δν ] с точностью до бесконечно
малых более высокого порядка, чем Δν,
вычисляется по формуле Планка: E0 ( ν, T
) = 2 π h ν3 / { c2 [ exp ( h ν / ( k T )) - 1 ] }, (
ν> 0 ). Известно, что общее количество
энергии, излучаемое с единицы
поверхности абсолютно чёрного тела,
нагретого до температуры T за единицу
времени пропорционально степени T.
Требуется определить показатель степени
в выражении, описывающем эту
зависимость. Составьте математическую
модель задачи. Решите задачу.
35 Количество энергии, излучаемое с
единицы площади поверхности абсолютно
чёрного тела, нагретого до температуры, T
за единицу времени в интервале частот [
ν, ν + Δν ] с точностью до бесконечно
малых более высокого проядка, чем Δν,
вычисляется по формуле Планка: E0 ( ν, T
) = 2 π h ν3 / { c2 [ exp ( h ν / ( k T )) - 1 ] }, (
ν> 0 ). Известно, что общее количество
энергии, излучаемое с единицы
поверхности абсолютно чёрного тела,
нагретого до температуры T за единицу
времени пропорционально четвёртой
степени T. Требуется определить
приближённое значение коэффициента
пропорциональности в этом выражении и
его абсолютную погрешность. Составьте
математическую модель задачи. Решите
задачу.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО
ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА
Кафедра кибернетических систем
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ
Методическое пособие для студентов
направления 220200 'Автоматизация и
управление' специальности 220201.65
'Управление и информатика в технических
системах'
Ковалёв П.И., кафедра
кибернетических систем
Тюмень 2008
"Каждому
участнику
научно
педагогической деятельности
гарантируется
право
(в рамках
единого государственного
образовательного стандарта) выбора по
своему
усмотрению
учебных курсов,
метода
и методик преподавания и
обучения, задач научных исследований
и
средств их решения, а также
свободного доступа к информации,
необходимой для обеспечения учебного
процесса
и
проведения
научных
исследований." [Типовое положение об
образовательном учреждении высшего
профессионального образования (высшем
учебном
заведении)
Российской
Федерации. Утверждено Постановлением
Совета Министров - Правительства
Российской Федерации от 26 июня 1993 г.
N 597]
Государственный образовательный
стандарт высшего профессионального
образования. Направление подготовки
дипломированного специалиста 651 900
Автоматизация и управление.
Квалификация - инженер. Москва 2000 г.
"Инженер по направлению подготовки
'автоматизация и управление'... может
занимать непосредственно после
окончания вуза следующие должности:
инженер;
инженер по автоматизации и механизации
производственных процессов;
инженер-программист (программист);
инженер-электроник (электроник);
инженер по наладке и испытаниям
и другие должности, соответствующие его
квалификации.
Область профессиональной деятельности
Автоматизация и управление - область
науки и техники, которая включает в сабя
совокупность средств, способов и
методовчеловеческой деятельности,
направленных на создание и применение
алгоритмического, аппаратного и
программного обеспечения систем и
средств контроля и управления
подвижными объектами, автономныи
системами, технологическими линиями и
процессами, освобождающих человека
частично или полностью от
непосредственного участия в процессах
получения, преобразования, передачи и
использования энергии, материалов и
информации.
Объекты профессиональной деятельности
Объектами профессиональной
деятельности инженеров понаправлению
'Автоматизация и управление' являются
автоматические и автоматизированные
системы и средства контроля и
управления, их математическое,
информационное, техническое и
программное обеспечение; способы и
методы их проектирования, отладки,
производства и эксплуатации в
различных отраслях народного хозяйства.
Объектами автоматизации и управления
являются: объекты промышленности,
сельского хозяйства, энергетики,
транспорта, торговли, медицины и т.д.;
технологические и производственные
процессы; техническое диагностирование,
научные исследования и
производственные испытания.
Инженер по направлению подготовки
'Автоматизация и управление'... может
выполнять следующие виды
профессиональной деятельности:
проектно-конструкторскую;
производственно-технологическую;
научно-исследовательскую;
организационно-управленческую;
эксплуатационную...
В зависимости от вида профессиональной
деятельности выпускник должен быть
подготовлен к решению следующих
профессиональных задач:
а) проектно-конструкторская деятельность
проектирование архитектуры аппаратнопрограммных комплексов автоматических
и автоматизированных систем контроля и
управления общепромышленного и
специального назначений в различных
областях народного хозяйства...
б) научно-исследовательская
деятельность:
построение математических моделей
технических систем, технологических
процессов и производств как объектов
автоматизации и управления;
разработка алгоритмического и
программного обеспечения систем
автоматизации и управления объектами
различной физической природы;
создание современных аппаратнопрограммных средств исследования,
проектирования, технического
диагностирования и промышленных
испытаний средств и систем
автоматизации и управления;
создание и совершенствование методов
моделирования, анализа и синтеза
автоматических и автоматизированных
систем контроля и управления объектами
различной физической природы, втом
числе с использованием современных
компьютерных технологий...
Квалификационные требования.
Для решения профессиональных задач
инженер:
подготовлен к участию во всех фазах
исследования, планирования, разработки,
изготовления и эксплуатации средств и
систем автоматизации и управления;
готов к участию в научных исследованиях
и выполнению технических разработок в
своей профессиональной области;
умеет осуществлять сбор, обработку и
систематизацию научно-технической
информации по заданному направлению
профессиональной деятельности;
способен изучать специальную
литературу, анализировать достижения
отечественной и зарубежной науки и
техники в области профессиональной
деятельности;
способен взаимодействовать со
специалистами смежного профиля при
разработке математических моделей
объектов и процессов различной
физической природы, алгоритмического и
программного обеспечения систем
автоматизации и управления, в научных
исследованиях и производственноконструкторской деятельности;
способен в условиях развития науки и
изменяющейся социальной практики к
переоценке накопленного опыта, анализу
своих возможностей, умеет приобретать
новые знания, используя современные
образовательные технологии...
Требования к профессиональной
подготовленности выпускника
Инженер по автоматизации и управлению
должен уметь:
осуществлять системный анализ
технических систем, технологических
процессов и производств:
строить математические модели
технических систем;
разрабатывать алгоритмическое и
программное обеспечение систем
автоматизации и управления объектами
различной физической природы;
использовать математическое
моделирование и системы
автоматизированного проектирования при
создании и совершенствовании
программно-технических средств и систем
автоматизации и управления."
[Государственный образовательный
стандарт высшего профессионального
образования. Направление подготовки
дипломированного специалиста 220200
Автоматизация и управление.
Квалификация - инженер. Москва 2000 г.]
Воспитание толерантности, терпимости,
способности понимать другие точки зрения
Основной
особенностью
современной
сложной системы является то, что один
человек не в состоянии усвоить всю
информацию,
необходимую
для
её
проектирования, разработки, производства
и эксплуатации. Понимание системы
достигается в процессе взаимодействия
большого количества специалистов в
разных областях науки и техники, в каждой
из которых не только своя специфическая
лексика, но и свой способ мышления.
Возникающие в ходе такого взаимодействия
споры и конфликты вполне естественны,
студенты должны научиться решать все
вопросы путём взаимных компромиссов.
Применение вычислительных систем для
решения актуальных задач стабилизации
грунтовых оснований в условиях Севера
При строительстве сооружений, особенно
при сооружении технологических площадок
для сбора и подготовки нефти и газа к
транспортировке в северных регионах
Тюменской области очень важное значение
имеет решение задач, связанных с
температурной стабилизацией грунтовых
оснований. В условиях вечной мерзлоты
при сезонных повышениях температуры
происходит нагревание верхнего слоя
мёрзлых грунтов, которое приводит к
выпиранию
свай,
поддерживающих
технологические объекты. Это приводит к
порывам
трубопроводов и другим
нештатным ситуациям. Таким образом,
приходится искусственно поддерживать
низкую температуру верхнего слоя грунта.
Соответствующие математические модели
исследуются численными методами с
использованием
многопроцессорных
вычислительных
систем,
Результатом
подобных
исследований
являются
конкретные рекомендации по выбору
режимов акачки холодного воздуха с
поверхности.
Дисциплина 'Моделирование систем'
входит в перечень общих
профессиональных дисциплин,
относящихся к федеральному компоненту
Государственного образовательного
стандарта высшего профессионального
образования напрпавления подготовки
дипломированного специалиста 651900
Автоматизация и управление и
специальности 'Управление и
информатика в технических системах' .
Основные разделы дисциплины:
Классификация моделей и виды
моделирования
Примеры моделей систем.
Основные положения теории подобия.
Этапы математического
моделирования.
Принципы построения и основные
требования к математическим моделям
систем.
Цели и задачи исследования
математических моделей систем.
Общая схема разработки
математических моделей.
Формализация процесса
функционирования системы.
Формы представления математических
моделей.
Методы исследования математических
моделей систем и процессов.
Имитационное моделирование.
Методы упрощения математических
моделей.
Технические и программные средства
моделирования.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1 Советов Б.Я. Яковлев С.А.
Моделирование систем.Учебник для
вузов. - М.: Высшая школа, 2001.- 343 с.
2 Антонов А.В. Системный анализ. Учеб.
для вузов.- М.: Высшая школа, 2004.- 454
с.
3 Бусленко Н.П. Моделирование сложных
систем.- М.: Наука, 1978.- 399с.
4 Ковалёв П.И. Смысловой анализ
технического текста; Учебное пособие для
студентов специальности 210 100
Управление и информатика в технических
системах.- Тюмень: ТюмГУ, 2006.- 57 с.
Дополнительная
1 Баранов Г.Л., Макаров А.В. Структурное
моделирование сложных динамических
систем.- Киев: Наукова думка, 1986.- 272
с.
2 Карпов Ю. Имитационное
моделирование систем. Введение в
моделирование.
3 Бенькович Е. Практическое
моделирование динамических систем.2002.
4 Бенькович Е.С., Колесов Ю.Б.,
Сенченков Ю.Б. Практическое
моделирование динамических систем.СПб.: БХВ-петербург, 2002.- 464 с.
5 Бешенков С. Моделирование и
формализация. Методическое пособие.- 2002.
6 Кельтон В. Имитационное моделирование.2004.
7 Максимов И.В. Имитационное
моделирование на ЭВМ.- адио и связь, 1988.232 с.
8 Рыжиеков Ю. Имитационное
моделирование. Теория и технологии.- 2004.
9 Семененко М.Г. Введение в математическое
моделирование.- 2002.
10 Советов Б.Я. Моделирование систем.
Практикум.Учебное пособие для вузов по
специальности "Автоматизация систем
обработки информации".- М.: Высшая школа,
1985.-271 с.
11 Суворова н. Информационное
моделирование. Величины, объекты,
алгоритмы.- 2002.
12 Шенон Р. Имитационнле моделирование
систем - искусство и наука.- М.: Мир, 1978.
Воспитание толерантности, терпимости,
способности понимать другие точки зрения
Основной
особенностью
современной
сложной системы является то, что один
человек не в состоянии усвоить всю
информацию,
необходимую
для
её
проектирования, разработки, производства
и эксплуатации. Понимание системы
достигается в процессе взаимодействия
большого количества специалистов в
разных областях науки и техники, в каждой
из которых не только своя специфическая
лексика, но и свой способ мышления.
Возникающие в ходе такого взаимодействия
споры и конфликты вполне естественны,
студенты должны научиться решать все
вопросы путём взаимных компромиссов.
Применение вычислительных систем для
решения актуальных задач стабилизации
грунтовых оснований в условиях Севера
При строительстве сооружений, особенно
при сооружении технологических площадок
для сбора и подготовки нефти и газа к
транспортировке в северных регионах
Тюменской области очень важное значение
имеет решение задач, связанных с
температурной стабилизацией грунтовых
оснований. В условиях вечной мерзлоты
при сезонных повышениях температуры
происходит нагревание верхнего слоя
мёрзлых грунтов, которое приводит к
выпиранию
свай,
поддерживающих
технологические объекты. Это приводит к
порывам
трубопроводов и другим
нештатным ситуациям. Таким образом,
приходится искусственно поддерживать
низкую температуру верхнего слоя грунта.
Соответствующие математические модели
исследуются численными методами с
использованием
многопроцессорных
вычислительных
систем,
Результатом
подобных
исследований
являются
конкретные рекомендации по выбору
режимов закачки холодного воздуха с
поверхности.
1 ВВЕДЕНИЕ
Слово “модель” первоначально обозначало
предмет, обладающий внешним сходством
с каким-то сооружением или имитирующий
работу технического устройства.
«Модель-подобие какого-либо предмета, из
дерева, пробки, картона, воску, глины,
металла
или
другого
вещества,
воспроизводящее
этот
предмет
с
точностью, но в уменьшенном виде. Таким
образом, в архитектуре и в строительном
искусстве для того, чтобы давать наглядное
понятие о проектированном или уже
существующем
сооружении,
нередко
сооружается его модель, в машинном
производстве
и
в
кораблестроении
делаются для той же цели модели
различных механизмов и судов». [Брокгауз
Ф.А., Ефрон И.А. Энциклопедический
словарь, т.38.- М.: Ярославль: "Терра" "Terra", 1992.- 962 с.; стр. 581]
Со временем появились новые значения:
«Модель,,, - 1) образец какого-либо
изделия для серийного производства; 2)
тип, марка, образец конструкции чего-либо;
3)
воспроизведение
предмета
в
уменьшенном или увеличенном виде… 4)
предмет
изображения
в
искусстве,
натурщик
(натурщица),
позирующие
художнику; 5) образец предмета, служащий
для изготовления формы при отливке или
воспроизведении в другом материале; 6)
схема, изображение или описание какоголибо предмета, явления или процесса в
природе и обществе, изучаемые как их
аналог»
[
Современный
словарь
иностранных слов.- М.: Рус. яз., 1992,740с.; стр. 388].
«Модель… в логике и методологии науки аналог (схема, структура, знаковая система)
определенно фрагмента природной или
социальной
реальности,
продукта
человеческой культуры, концептуальнотеоретического образования и т.п. оригинала модели. Этот аналог служит для
хранения
и
расширения
знаний
(информации) об оригинале, его свойствах
и структуре или управления им… Модель это
"представитель",
"заместитель"
оригинала
в
познании
и
практике»
[Философский энциклопедический словарь.М.: Сов. энциклопедия, 1989.- 815с.; стр.
374].
"Под
моделью
некоторого
объекта
понимается другой объект (реальный,
знаковый или воображаемый), отличный от
исходного,
который
обладает
существенными для целей моделирования
свойствами и в рамках этих целей
полностью заменяет исходный объект...
Существует множество различных моделей,
отличающихся сложностью, разнообразием
задач и целей моделирования, областями
применения.
На
моделях
внешнего
подобия: манекенах, игрушках, моделях
самолётов
и
кораблей
проводят
предварительные испытания. Тренажёры,
эликтрифицированные учебные таблицы и
схемы, модели, имитирующие поведение
реальных объектов в сложных ситуациях
служат для обучения. Модели-эрзацы
заменяют
объект
при
выполнении
определённых функций, их называют также
функциональными.
Это
устройства
искусственной почки, система сердцелёгкие,
манипуляторы
и
др.
Исследовательские
модели
математические
и
имитационные
заменяют реальные объекты в ходе
научных исследований.
Область
знаний,
занимающаяся
разработкой разнообразных моделей, их
теорией и использованием, называется
моделированием.
С развитием кибернетики и информатики
моделирование прочно вошло в арсенал
методов,
широко
используемых
в
различных областях науки и техники и
стало одним из основных инструментов
современной
кибернетики
и
информатики."[Информатика.
Энциклопедический
словарь
для
начинающих. / Сост. Д. А. Поспелов.- М.:
.педагогика-Пресс, 1994.- 352 с.; стр.121123]
"МОДЕЛЬ - один из важнейших
инструментов научного познания, условный
образ
объекта
исследования
(или
управления).
Модель
конструируется
субъектом
исследования
так,
чтобы
отобразить
характеристики
объекта,
существенные для цели исследования.
Поэтому
вопрос
о
качестве
такого
отображения – адекватности модели
объекту – правомерно решать лишь
относительно
определенной
цели.
Практическое значение модель может
иметь при условии, что её анализ более
доступен
субъекту
исследования
в
соответствии
с имеющимися у него
средствами,
чем
непосредственное
изучение объекта. Конструирование модели
на основе предварительного изучения
объекта и выделения его существенных
характеристик,
экспериментальный
и
теоретический
образ
модели,
сопоставление результатов с данными о,
объекте, корректировка модели и т.д.
составляют
содержание
метода
моделирования.
Предпосылкой
относительно большей доступности модели
для анализа в сравнении с объектом
является то, что моделирование, как
правило, приводит к упрощенному образу
объекта.
Существует много определений и
классификаций моделей применительно к
задачам разных наук... Образ объекта
исследования,
формирующийся
у
наблюдателя в соответствии с его целью,
является...
упрощенным,
поскольку
абстрагирование,
отвлечение
от
несущественных с точки зрения данной
цели
свойств
объекта
является
необходимым
условием,
всякого
исследования. Далее наблюдатель строит
собственно модель: абстрактную или
материальную
систему,
изоморфному
сформированному
ранее
упрощенному
образу
относительно
набора
фиксированных свойств...
Модель называется абстрактной,
либо материальной в зависимости от того,
какой системой она является, т.е. выбора
средств
моделирования.
Абстрактной
моделью может быть, в частности, система
математических выражений, описывающих
характеристики объекта моделирования и
взаимосвязи между ними. Модели с
конкретными
числовыми
значениями
характеристик
называют числовыми
моделями, модели, записанные с помощью
логических выражений, - логическими
моделями, модели в графических образах –
графическими моделями. К логическим
моделям обычно относят блок-схемы
алгоритмов и программы расчетов на
электронных вычислительных машинах.
Модели,
реализованные
с
помощью
электронных
вычислительных
машин,
называют
так
же
машинными
или
электронными моделями; в зависимости от
типа вычислительных машин, на которых
осуществляется моделирование, различают
аналоговые и цифровые модели.Их основой
является
математическая
модель
в
широком значении этого термина. Вместе с
тем
аналоговые
модели
могут
рассматриваться и как материальные,
поскольку в конечном счете они основаны
на
получении
физического
образа
исследуемого
процесса.
Большое
распространение
имеют
и
такие
материальные модели, как уменьшенные
макеты, действующие модели различных
приборов и устройств, тренажеры и т.п.
Модель может отражать внутреннюю
структуру
объекта
и
воспроизводит
отношения между его элементами.... В
других случаях, когда внутренняя структура
объекта не доступна исследованию, модель
отображает лишь его поведение или
функционирование, определяя зависимости
между воздействиями на объект и его
состояниями. Модели, при построении
которых преследуется цель определения
такого состояния объекта, которое является
наилучшем в каком-либо смысле или
допустимым
сточки
зрения
субъекта
моделирования,
называются
нормативными; модели, предназначенные
для объяснения наблюдаемых фактов или
прогноза поведения объекта, называются
дескриптивными"
[Математика
и
кибернетика в экономике.- М.: Экономика,
1975.- 700 с.; стр. 332-334 ]
"СИСТЕМА (от греческого systeme - целое,
составленное из частей, соединение) объективное
единство
закономерно
связанных друг с другом предметов,
явлений, а также знаний о природе и
обществе. В науке и технике - множество
элементов (узлов, агрегатов, приборов и
т.п.), понятий, норм с отношениями и
связями
между
ними,
образующих
некоторую целостность и подчинённых
определённому руководящему принципу"
[Политехнический
словарь.М.:
Издательство 'Советская энциклопедия',
1977.- 608 с.; стр. 453]
"СИСТЕМА
(английское
system)
совокупность методов, процедур, программ
или технических средств, объединённая
определёнными
взаимоотношениями
с
целью выполнения некоторых функций"
[Программные средства вычислительной
техники:
Толковый
терминологический
словарь-справочник.М.:
Издательство
стандартов, 1990.- 368 с.; стр. 305]
"В повседневной жизни термин 'система'
используют в тех случаях, когда хотят
охарактеризовать объект как нечто целое,
сложное, о чём невозможно сразу дать
представление. Предполагается, что для
характеристики
системы
необходимо
рассмотреть
различные
аспектыеё
функционирования,
проанализировать
различные её свойства. Отметим, что
литературе
встречается
большое
количество определений системы. Все они
отражают те или иные важные стороны
данного объекта" [Антонов А.В. Системный
анализ. Учеб. для вузов.- М.: Высшая
школа, 2004.- 454 с.; стр.18]
"СИСТЕМА (от греческого systeme - целое,
составленное из частей, соединение) объективное единство закономерно
связанных друг с другом предметов,
явлений, а также знаний о природе и
обществе. В науке и технике - множество
элементов (узлов, агрегатов, приборов и
т.п.), понятий, норм с отношениями и
связями между ними, образующих
некоторую целостность и подчинённых
определённому руководящему принципу"
[Политехнический словарь.- М.:
Издательство 'Советская энциклопедия',
1977.- 608 с.; стр. 453]
"СИСТЕМА (английское system) совокупность методов, процедур,
программ или технических средств,
объединённая определёнными
взаимоотношениями с целью выполнения
некоторых функций" [Программные
средства вычислительной техники:
Толковый терминологический словарьсправочник.- М.: Издательство
стандартов, 1990.- 368 с.; стр. 305]
"С позиций современных научных
представлений системность всегда была
методом любой науки. Возможно, что
принципы системности применялись не
всегда осознанно, тем не менее, любой
учёный прошлого, который и не помышлял
о системном подходе, так или иначе имел
дело с системами и иоделями объектов
или процессов." [Антонов А.В. Системный
анализ. Учеб. для вузов.- М.: Высшая
школа, 2004.- 454 с.; стр.12]
"Свойство системности является
всеобщим свойством материи...
системность как всеобщее свойство
материи проявляется через следующие
составляющие: системность практической
деяттельности, системность
познавательной деятельности и
системность среды, окружающей
человека.
Рассмотрим практическую деятельность
человека., т.е. его активное и
целенаправленное воздействие на
окружающую среду. Покажем, что
человеческая практика системна. Отметим
очевидные и обязательные признаки
системности: структурированность
системы, взаимосвязанность
составляющихеё частей, подчинённость
организации всей системы определённой
цели. по отношению к человеческой
деятельности эти признаки очевидны.
Всякое осознанное действие преследует
определённую цель. Во всяком действии
достаточно просто увидеть его составные
части, более мелкие действия. При этом
легко убедиться, что эти составные части
должны выполняться не в произвольном
порядке, а в определённой
последовательности. Это и есть та самая
определённая, подчинённая цели
взаимосвязанность составных частей,
которая и является признаком
системности.
Название для такого построения
деятельности - алгоритмичность. Понятие
алгоритма возникло сначала в математике
и означало задание точно определённой
последоввательности однозначно
понимаемых операций над числами или
другими математическими объектами. В
настоящее время понятие алгоритма
применяется к различным отраслям
деятельности. Так, говорят не только об
алгоритмах принятия управленческих
решений, об алгоритмах обучения
написания программ, но и об алгоритмах
изобретательства. Алгоритмизируются
такие виды деятельности, как игра в
шахматы, доказательство теорем и т.п.
при этом делается отход от
математического понимания алгоритма.
Важно сознавать, что в алгоритме должна
соблюдаться логическая
последовательность действий. При этом
допускается, что в алгоритме
определённого вида могут присутствовать
неформализованные виды действия.
Важно лишь, чтобы определённые этапы
алгоритма успешно, хотя бы и
неосознанно, выполнялись человеком...
Не всякий алгоритм реальной
деятельности осознаётся - ряд процессов
человек выполняет интуитивно, т.е. его
способность решать некоторые задачи
доведена до автоматизма. Это есть
признак профессионализма, который
вовсе не означает, что в действиях
профессионала отсутствует алгоритм. В
случае неудовлетвлетворённости
результатом деятельности возможную
причину неудачи следует искать в
несовершенисве алгоритма. Это означает
пытаться выявить алгоритм, исследовать
его, искать 'слабые места', устранять их,
т.е. совершенствовать алгоритм,
следовательно, повышать системность
деятельности. Таким образом, явная
алгоритмизация любой практической
деятельности является важным
средствомеё развития" [Антонов А.В.
Системный анализ. Учеб. для вузов.- М.:
Высшая школа, 2004.- 454 с.; стр. 8 - 9]
"НАБЛЮДАТЕЛЬ - понятие, широко
используетое в кибернетике и общей
теории систем, в различных практических
ситуациях аналогично термину
'наблюдатель' используются близкик по
смыслу 'исследователь',
'экспериментатор', 'активный элемент',
'немашинная часть системы', 'субъект
управления'. Наиболее удобно
определить наблюдателя по его функции
в отношении системы - основное
содержание этой функции состоит в
формировании системы наблюдателем в
соответствии с его целями
(исследовательскими, управленческими,
организационными и т.д.). Например, если
следовать определению абстрактной
системы, данному У. Р. Эшби - как любой
совокупности переменных, то эадача
наблюдателя состоит в выборе некоторой
такой совокупности из числа переменных,
свойственных реальному объекту.
Поскольку всякий реальный объект, в
отличие от абстрактной системы, имеет
бесконечное число характеристик, то
различные наблюдатели, преследующие
различные цели и (или) имеющие
различные средства их достижения
(включая знания, инструменты и т.д.)
могут ставить в соответствие одному
реальному объекту различные системы
(модели). при таком подходе определению
системы должно предшествовать задание
наблюдателя, т.е. его целей и средств.
Пперечень переменных, определяющих
систему, может быть нестабильным (при
стабильных целях наблюдателя
относительно реального объекта) и
обычная задача наблюдателя состоит в
том, чтобы изменять этот перечень пока
не будет найдено множество переменных,
обеспечивающих требуемую точность
соответствия реальному объекту
построенной системы (модели).
Если придерживаться другого
определения системы, как множества, на
котором реализуется заранее данное
отношение с фиксированными
свойствами, то в этом случае функция
наблюдателя состоит в выделении такого
множества, определении указанных
отношения и свойств - при этом
наблюдатель также руководствуется
своими целями и средствами. Независимо
от определения системы наблюдатель
является активным элементом,
формирующим систему.
По отношению к системе наблюдатель
может занимать различные позиции - в
качестве внешнего наблюдателя ,
рассматривающего систему извне, и в
качестве части исследуемой системы,
имеющей возможность влиять на её
состояние. В первом случае поведение
системы может быть описано в терминах
цели (аксиологически) или в терминах
непосредственного влияния одних
переменных на другие (каузально), без
употребления понятий целей и средств.
Во втором случае цели системы
определяются целями наблюдателя или
хотя бы корреспондируют с ними, сама
система описывается в терминах цели и
является самоорганизующейся"
[Математика и кибернетика в экономике.М.: Экономика, 1975.- 700 с.; стр. 355]
2 КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ И ВИДЫ
МОДЕЛИРОВАНИЯ
В качестве одного из первых признаков
классификации видов моделирования
можно выбрать степень полноты модели и
разделить модели в соответствии с этим
признаком на полные, неполные и
приближенные. В основе полного
моделирования лежит полное подобие,
которое проявляется как во времени, так и
в пространстве. Для неполного
моделирования характерно неполное
подобие модели изучаемому объекту. В
основе приближенного моделирования
лежит приближенное подобие, при
котором некоторые стороны
функционирования реального объекта не
моделируются совсем... В зависимости от
характера изучаемых процессов в системе
S все виды моделирования могут быть
разделены на детерминированные и
стохастические, статические и
динамические, дискретные, непрерывные
и дискретно-непрерывные.
Детерминированное моделирование
отображает детерминированные
процессы, т. е. процессы, в которых
предполагается отсутствие всяких
случайных воздействий; стохастическое
моделирование отображает
вероятностные процессы и события. В
этом случае анализируется ряд
реализаций случайного процесса и
оцениваются средние характеристики, т.
е. набор однородных реализаций.
Статическое моделирование служит для
описания поведения объекта в какой-либо
момент времени, а динамическое
моделирование отражает поведение
объекта во времени. Дискретное
моделирование служит для описания
процессов, которые предполагаются
дискретными, соответственно
непрерывное моделирование позволяет
отразить непрерывные процессы в
системах, а дискретно-непрерывное
моделирование используется для
случаев, когда хотят выделить наличие
как дискретных, так и непрерывных
процессов. В зависимости от формы
представления объекта (системы S)
можно выделить мысленное и реальное
моделирование. Мысленное
моделирование часто является
единственным способом моделирования
объектов, которые либо практически
нереализуемы в заданном интервале
времени, либо существуют вне условий,
возможных для их физического создания.
Например, на базе мысленного
моделирования могут быть
проанализированы многие ситуации
микромира, которые не поддаются
физическому эксперименту. Мысленное
моделирование может быть реализовано
в виде наглядного, символического и
математического. При наглядном
моделировании на базе представлений
человека о реальных объектах создаются
различные наглядные модели,
отображающие явления и процессы,
протекающие в объекте. В основу
гипотетического моделирования
исследователем закладывается некоторая
гипотеза о закономерностях протекания
процесса в реальном объекте, которая
отражает уровень знаний исследователя
об объекте и базируется на причинноследственных связях между входом
и выходом изучаемого объекта.
Гипотетическое моделирование
используется, когда знаний об объекте
недостаточно для построения
формальных моделей.
Аналоговое моделирование основывается
на применении аналогий различных
уровней. Наивысшим уровнем является
полная аналогия, имеющая место только
для достаточно простых объектов. С
усложнением объекта используют
аналогии последующих уровней, когда
аналоговая модель отображает несколько
либо только одну сторону
функционирования объекта.
Существенное место при мысленном
наглядном моделировании
занимает макетирование. Мысленный
макет может применяться
в случаях, когда протекающие в реальном
объекте процессы не
поддаются физическому моделированию,
либо может предшествовать проведению
других видов моделирования. В основе
построения мысленных макетов также
лежат аналогии, однако обычно
базирующиеся на причинно-следственных
связях между явлениями и процессами в
объекте. Если ввести условное
обозначение отдельных понятий, т. е.
знаки, а также определенные операции
между этими знаками, то можно
реализовать знаковое моделирование и с
помощью знаков отображать набор
понятий, составлять отдельные
цепочки из слов и предложений.
Используя операции объединения,
пересечения и дополнения теории
множеств, можно в отдельных символах
дать описание какого-то реального
объекта.
В основе языкового моделирования лежит
некоторый тезаурус.
Последний образуется из набора
входящих понятий, причем этот
набор должен быть фиксированным.
Следует отметить, что между тезаурусом
и обычным словарем имеются
принципиальные различия. Тезаурус - это
словарь, который очищен от
неоднозначности, т. е. в нем каждому
слову может соответствовать лишь
единственное понятие, хотя в обычном
словаре одному слову могут
соответствовать несколько понятий.
Символическое моделирование
представляет собой искусственный
процесс создания логического объекта,
который замещает реальный и выражает
основные свойства его отношений с
помощью определенной системы знаков
или символов.
Математическое моделирование. Для
исследования характеристик процесса
функционирования любой системы S
математическими методами, включая и
машинные, должна быть проведена
формализация этого процесса, т. е.
построена математическая модель. Под
математическим моделированием будем
понимать процесс установления
соответствия данному реальному объекту
некоторого математического объекта,
называемого математической моделью, и
исследование этой модели, позволяющее
получать характеристики
рассматриваемого реального объекта.
Вид математической модели зависит как
от природы реального объекта, так и
задач исследования объекта и требуемой
достоверности и точности решения этой
задачи. Любая математическая модель,
как и всякая другая, описывает реальный
объект лишь с некоторой степенью
приближения к действительности.
Математическое моделирование для
исследования характеристик процесса
функционирования систем можно
разделить на аналитическое,
имитационное и комбинированное." [
Советов Б.Я. Яковлев С.А.
Моделирование систем.Учебник для
вузов. - М.: Высшая школа, 2001.- 343 с;
стр. ??]
Другие виды моделирования. При
реальном моделировании используется
возможность исследования различных
характеристик либо на реальном объекте
целиком, либо на его части. Такие
исследования могут проводиться как на
объектах, работающих в нормальных
режимах, так и при организации
специальных режимов для оценки
интересующих исследователя
характеристик (при других значениях
переменных и параметров, в другом
масштабе времени и т. д.). Реальное
моделирование является наиболее
адекватным, но при этом его возможности
с учетом особенностей реальных
объектов ограничены. Например,
проведение реального моделирования
АСУ предприятием потребует, во-первых,
создания такой АСУ, а во-вторых,
проведения экспериментов с
упрарляемым объектом, т. е.
предприятием, что в большинстве случаев
невозможно.
3 Примеры моделей систем
"ЭНЕРГОСИСТЕМА, энергетическая
система - объединение электростанций,
связанных через ЛЭП между собой и с
потребителями электроэнергии. В состав
энергосистемы входят тепловые, атомные
и гидроэлектрические станции, ЛЭП,
электрические подстанции, тепловые и
электрические сети, приёмники тепловой и
электрической энергии. Энергоснабжение
от энергосистемы имеет существенные
преимущества по сравнению с питанием
потребителей от изолированной
электростанции: улучшается надёжность
энергоснабжения, лучше испольются
энергетические ресурсы района (топливо
и водная энергия), снижается
себестоимость электроэнергии за счёт
наиболее экономичного распределения
электроэнергии между электростанциями,
появляется возможность применения
оборудования большей единичной
мощности. Энергосистема управляется
обычно из единого центра"
[Политехнический словарь.- М.:
Издательство 'Советская энциклопедия',
1977.- 608 с.; стр. 586 - 587]
"Энергетическая система - объединение
отдельных электростанций между собой
линиями высокого напряжения"
[Детская.энциклопедия. В 10-ти Т. Т. 5.
Техника. -М.: Изд-во Академии
падагогических наук РСФСР, 1960.- 599 с.;
стр.598]
События, которые описываются в
следующем отрывке. происходят в Москве
в конце двадцатых годов; многоточия в
угловых скобках указывают пропущенные
фрагменты текста.
"Их приняли сюда, на центральную
столичную электростанцию, прямо
свеженьких, сразу после защиты
вузовских дипломов. Десяток вчерашних
студентов, ещё не расставшихся с
ребяческими замашками, но уже имевших
право отныне говорить о себе с лёгкой
небрежностью: инженер-энергетик. И дело
их ожидало довольно значительное,
необычное.
По этому поводу встреча молодых была
обставлена несколько торжественно. Их
усадилив конференц-зале управления за
длинный стол с красным сукном рядом с
начальством. Из городского партийного
комитета приехал представитель<...> Он
говорил негромко, без дежурных фраз,
словно беседуя о вещах известных, но
речь его была такова, что заставляла
слушать.
Он говорил о том, что советская власть
осуществляет план электрификации
России<...> Входят в строй новые станции
- тепловые, гидравлические<...> А здесь, в
центре, в окружении Москвы... Такие
новые мощные очаги, как станции
Каширская, Шатурская<...>
- Сейчас предстоит новый шаг<...> Новые
станции меняют всю картину<...> Но пока
каждая из них сама по себе<...> Надо
собрать их вместе, соединить воедино, в
систему<...> Одна станция дополняет,
поддерживает другую. Все работают
совместно. в общий котёл. Из общего
котла черпается энергия для нужд всего
обширного района. Единая сеть, которая
должна охватить сотни и сотни
квадратных километров<...> Города,
посёлки, деревни, промышленные
предприятия, железнодорожные линии,
строительные площадки<,,,> Крупные и
малые, близкие и самые отделённые. Это
и есть то, чего требует настоящая
электрификация<...> Объединённая
энергосистема.
Но такой системы не может быть без
одного главного условия. Без
согласованности в работе, без
управления. Корабль без руля. Нпобходим
капитанский мостик, центральный пункт,
который всё знает, обнимает взглядом
всю картину, оценивает обстановку,
принимает решения и указывает курс:
куда и сколько энергии направить.
-Такой пункт сейчас и создаётся.
Центрэнерго! Он будет здесь, - Докладчик
ткнул пальцем себе под ноги. - Наш
первый опыт. А управление? Управлять
придётся вам, товарищи!<...> Стёкла
очков по очереди пересчитали каждого из
сидящих за стлом новоиспечённых
инженеров.- Вы будете, так сказать,
рулевык<...> На вас возлагается высокая
обязанность. Вам предоставляется
власть, большие права<...>
Представительгородского комитета
уехал.<...> Он спешил на другое
собрание зажигать и там. Во главе стола
занял место начальник Центрэнерго<...>
-Ну вот что, друзья хорошие! - прогудел
его хрипловатый бас, - Высокая
обязанность, большие права... Это всё
прекрасно! Но прежде всего потребуется
внимание, дисциплина! Понимаете,
дисциплина! - И начальник увесисто
припечатал стол большой мясистой
ладонью.
В этой коинате теперь почти беспрерывно
раздавались напряжённо настойчивые
голоса, когда люди говорят. не видя друг
друга. То вспыхнет крик, как будто там, на
другом конце провода, совсем оглшхли.
Это бывало, когда что-нибудь случалось.
А так как постоянно что-то случалось, то и
крику здесь, как вы понимаете, было
достаточно. Потому и комнату отвели для
этого отдельную, самую крайнюю, да и
дверь ещё обили толстым войлоком.
Дежурный пункт Центрэнерго<...>
Два стола рядом, посреди комнаты: для
дежурного и его помощника. Между ними
батарея телефонов. По телефону,
собственно, и совершалось всё то, что
носило название 'оперативное управление
энергосистемой'. Сидя за столами,
поглядывая на стрелки измерительных
приборов, на разложенные графики,
таблицы и списки, Григорий Мартьянов и
его обычный напарник Вадим Карпенко
говорили и говорили в два голоса,
стараясь не мешать друг другу и в то же
время перебивая и часто заглушая друг
друга<...>
-Станция? Какая у вас там загрузка?
Нормально? - спрашивал Вадим
-Сообщите, сколько назрузки можете
взять? - отрывисто кидал в трубку
Мартьянов, - А резерв? Что в резерве?
О резерве он никогда не забывал
напомнить и всегда требовал, чтобы
станция отвечала вполне точно: сколько
может дать дополнительной мощности. В
случае если... может ли дать сразу, когда
турбины готовы к включению, 'горячий
резерв'? Или резерв этот в холодном
состоянии и нужно будет ещё разводить
пары?
А в часы суток более спокойные, когда по
графику нагрузка предвидилась
небольшая, он сам указывал станциям:
-Выводите в резерв! Отключите второй
генератор...- И записывал в 'Книгу
распоряжений'.
Каждые полчаса они производили опрос
всех станций, независимо от того, имеют
ли там сообщить им что-нибудь новое,
желают ли. Пять разнных районов по ту
сторону проводов, и близких, и
отдалённых на сотню и на две сотни
километров, живущих своей жизнью, и
пять разных голосов оттуда со станций, то
ясно слышимых, то дребезжащих от
далёкого расстояния или от недовольства.
Им надо было всё знать здесь, на пункте
Центрэнерго,- всё, что там происходит
сейчас на каждой станции, и на
подстанциях, и на линиях, и какие
генераторы сейчас работают, и какие
трансформаторы на подстанциях
загружены, и что показывают на станциях
измерительные приборы, и какие линии
сейчас под током, и как ведут себя сейчас
потребители электроэнергии... 'Скажите
лучше чего у вас там не должны знать',иронически замечали начальники станций,
когда на них впервые обрушились все
требования пункта Центрэнерго, но
центральный пункт, помня слова о
дисциплине, требовал и требовал...<...>
Всё, что сообщали станции, Мартьянов и
Карпенко отмечали на больших листах
синьки цветным карандашом. Кружочки,
цифры, стрелки, восклицательные и
вопросительные знаки. Тот экономный
язык, который позволял им быстро
наносить обстановку, обозревать её,
представляя, что же там совершается
сейчас в разных точках, на разных
участках многокилометровых расстояний,
по всем направлениям, по всем путям, на
которых рождаются, преобразуются, по
которым текут и разливаются потоками
электроэнергии. За пестротой значков
видел теперь Мартьянов работающие
генераторы на станциях, линии
электропередач на марсианских мачтах,
шагающих по полям и просекам за
горизонты, грузные трансформаторы с
пакетами охлаждающих секций, ажурные
конструкции открытых подстанций,
тяжёлые баллоны массивных
выключателей, подземные туннели
городских кабелей... Всё, что казалось на
первых порах разобщённым,
расбросанным по разным концам
обширной схемы, таким неподатливым и
словно пропадающим куда-то за
дальностью расстояний, теперь
складывалось для Мартьянова в нечто
цельное, что можно всё-таки ухватить,
почувствовать по тоненькой линии
телефона и даже удержаьб в своём
воображении.
Всегда что-нибудь менялось в
энергосистеме - больше или меньше,
предвидимое или неопределённое.
система дышала. В разное время суток в
разную погоду, каждый раз иначе. утром
на рассвете люди поднимаются на работу;
по всему городу начинает позванивать
трамвай... И голос дежурного
центрального пуекта запрашивает
станции, как они справляются с
требованиями проснувшегося
потребителя. Вступили первые смены на
фабриках и заводах - и тысячи станков ,
машин припали к источникам энергии.
- Прибавьте нагрузки... Включите
добавочный генератор... - резко бросал
голос Мартьянова по проводам прямой
связи.
А в середине дня, когда по всем графикам
полагается установившееся равновесие, в
самый солнцепёк надвинулась вдруг с юга
тень грозовой тучи, - и в наступивших
мгновенно сумерках зажглись сразу
электрическим светом, как гигантская
вспышка, тысячи окон, не спрашивая о
том, заготовлено ли на этот случай
достаточно энергии. И вслед за тем
оттуда, с юга, кричали в ответ, что ударом
молнии выбило важный узловой
трансформатор. И большой участок
остался без тока. Надо немедленно,
срочно... Вот тебе и затишье!
Тут, за столом дежурного центрального
пункта, Григорий Мартьянов впервые
почувствовал живой смысл того, что он
читал по книгам, проходил по учебникам.
И распределение электроэнергии, и
потребление, и режим электросетей. Всё
повторялось не раз на студенческой
скамье. Но на деле всё это выглядело както по-особенному: так и в то же время не
совсем так, как об этом приходилось
читать в тумане предзачётной горячки. Он
ощущает сейчас то большое, живое,
властное, что происходит вокруг него по
всей сети объединённой системы, вокруг
этой маленькой уединённой комнаты недремлющей точки где-то на вернем
этаже кирпичного здания с окнами на
московскую набережную. вокруг бьёт
прибой энергетической жизни,
прерывистый, толчками, и, как всё живое,
по-своему изменчивый, капризный, и
Григорий Мартьянов , вглядываясь в
показания частотометра, испытывающе и
в то же время с упоением слушает это
биение пульса. Вот наступил обеденный
перерыв, на заводах останавливаются
станки, машины. Диспетчер! Нужно
выключить генераторы на станциях.
Наступеет вечер. В городах зажигается
свет. На заводское потребление
накладывается потребление
осветительное. Диспетчер! Нужно дать
команду включения резервов<...>
Втакие часы энергии часто не хватало.
Откуда её забрать? За счёт чего? У кого
отнять, кому дать?<...> Старая Москва ,
ставшая молодой красной столицей,
переживаала бурное развитие,
притягивала к себе людей, наполнялась
движением, набиралась сил, непрерывно
в ней что-нибудь восстанавливалось,
расширялось, заново отстраивалось, и
всё требовало энергии, новой добавочной
энергии. И чтобы поддерживать пульс
вечерней жизни большой столицы, как это
подобает её имени,её значению, чтобы в
залах и клубах могли происходить
собрания, конференции, конгрессы и
съезды, чтобы громыхающий тружениктрамвай мог непрерывно развозить
десятки тысяч жителей, <...> чтобы тысячи
голов могли склониться над книгой за
столами публичных библиотек при свете
уютных настольных ламп...- надо было
собирать энергию по всем звеньям
системы. И даже где-то отнимать её. Даже
при том, что в общем строю стояли новые
мощные станции и что все они работали
на пределе <...> И тогда в разных
районах, на долгое или на короткое время,
в лампочках вдруг таял свет и люди, глядя
на них, говорили 'Ну вот, опять!..'
Это дежурный инженер центрального
пункта Григорий Мартьянов, поглядывая
на список потребителей, отдавал
распоряжения:
- Снимите с напряжения объект номер
один четыре шесть... Шесть, слышите? Не
семь, а шесть...
Каждый раз там, на станциях, были
недовольны, Почему опять должен
страдать их район? Конечно,
объединённая система, общие интересы,
всё понятно, но когда у тебя в районе
целый участок остаётся без тока и ты
отнимаешь его у 'своих', то посудите
сами... И дежурные на станциях
пробовали не то, чтобы протестовать протестовать они не имели права - но хотя
бы разжалобить, тронуть 'на слезу'.
- Мы уже третьего дня лишали их. А
теперь опять. Люди обижаются в
потёмках...
- Так установлено по графику, - холодной
отчётливостью отвечал Мартьянов. Прошу выполнять. Записываю в книгу.
Объекты первый, четвёртый, шестой.
'Книга распоряжений' всегда была
последним аргументом, после чего всякие
лирические излияния становились
бесполезными. И вот эта холодная
непреклонность инженера Мартьянова,
вносившая в разговоры со станциями
нотки почти механической
исполнительности, обижала, раздражала
больнее всего<...>
Дежурство начиналось как будто
спокойно. Мартьянов и Карпенко вели в
два голоса обычный опрос станций каждые полчаса по всему кольцу подряд.
Следили за графиком нагрузки, украшали
листы синек пометками и значками.
Только группа кабелей номер восемь , как
всегда, заставляла насторожиться. Эти
кабели были проложены от довольно
старой подмосковной станции в начале
века. были они маломощными,
рассчитанными на довольно скудный
электрический паёк, которым питался
тогда город. А теперь им трудно было
справляться с потоком текущей энергии.
Больше, больше! - требовали всё новые и
новые объекты. Но куда больше, если
кабели и так едва дышат, нахрдясь всё
время под опасностью перегрузки.
- Станция,- <...> запрашивал Карпенко.Сколько даёте по линии восемь?
- Сообщите нагрузку на кабели номер
восемь. Повторяю, номер восемь,- звонил
Мартьянов на трансформаторную
подстанцию.
За ними нужно было непрерывно следить.
<...>
И всё же это была нормальная текущая
работа, за которой можно было даже и
чайку попить, и потолковать о том, о сём.
<...>
Наступал шестой час - время
приближения вечернего пика, когда от
всей энергосистемы требуется
предельное напряжение. В этот самый час
Вторая городская станция ответила, на
запрос, что прибавить мощности больше
не может, в одном из котлов давление
пара садится. Ещё полчаса назад
дежурный Второй городской отвечал, что
всё в порядке и о снижении давления ни
звука. А теперь стоило предупредить их о
прибавке мощности, как проявляется
сразу другая картина. Видно они там
начали возиться с давлением не пять
минут назад и раз уже признались, то,
вероятно, дело серьёзное. Станция
вынуждена будет снизить нагрузку.
Конечно это была неприятность, но уж не
такая, чтобы из-за неё особенно
волноваться. Вполне нормальная
неприятность. Надо только позаботиться,
чтобы восполнить некоторую потерю
мощности - занять у другой станции,
перебросить резерв. Мартьянов склонился
над схемой, отчеркнул красным
карандашом. Вот можна взять у
Восточной. <...> Но восточная отвечала
кисло. Поступает сырой торф. Не даёт
<...> настоящего огня. Восточная сама не
знает, как справится со своей нагрузкой.
Где ж тут взять лишнего? Сами просить
будем.
А-а , начинается. <...>
Красный карандаш Мартьянова скакал по
разным точкам схемы. Откуда забрать
ещё? Приближаются часы пик и мощность
требуется повсюду.. И пока он
раздумывал, резкий звонок ворвался в
деловую атмосферу центрального пункта.
_ Четвёртый линейный сообщает...
Отключилась линия! - выкрикнул
Вадим.<...>
Ещё нельзя сказать, отчего это
произошло. Что там, пробит изолятор или
что-нибудь ещё.<...> В энергосистеме
прорыв, который нужно немедленно
ликвидировать. И притом ещё, что у этих
двух станций понизилась мощность.
Скорее, скорее. Собрать сейчас по
разным станциям всё, что возможно,
перебросить недостающую мощность
туда, где обозначилась беда. Скорее,
скорее, пока не наступили часы пик, пока и
в других местах никто из потребителей
ещё не ощущает, что-то неладное, пока
ещё не тускнеет у них там волосок в
лампочках, пока станки и машины на
предприятиях не начали фальшивить и
задыхатьсяя от недостатка энергии.
********************
Поручив помощнику связываться со
станциями, Мартьянов уже расчерчивал
план чрезвычайной операции: порядок
необходимых переключений. Красный
карандаш метался по схеме. Прежде
всего оградить от неприятностей
важнейшие промышленные объекты,
правительственные учреждения, зрелища,
собрания. Кое-что можно отключить,
начиная по аварийному списку. Что
поделаешь, придётся кому-то посидеть
без света... Необходимость
разрисовывать всё это на схеме
стрелками и значками стесняла
Мартьянова. Он уже ставил только точки и
чёрточки, чтобы не терять время.
Отдельные комбинации на несколько
ходов вперёд он просто держал в голове.
И едва представив план действий, уже
бросал в телефонную трубку резкие
команды. Иногда кричал чуть не в две
трубки сразу. Телефонист прямо плясал
за коммутатором, чтобы поспеть за всеми
вызовами и соединениями. Мартьянов
связывался со станциями, вызывал
магистральные подстанции, линейные
участки. Отдавал прямые указания.
Отключить, включить, перенести на
другую линию...
- Повторите распоряжения, - требовал он
без различия, кто бы там на проводе не
оказался: случайно подошедший главный
инженер или техник на линейном участке.
Он знал, как в такие моменты люди не то
слышат или не так слышат. - Записываю в
гу, - бросал он в заключение и клал трубку
без дальнейших объяснений.
В дверях показалась грузная фигура
начальника Центрэнерго. <...> Ага! Значит
успели ему дозвониться и наговорить про
него - про Мартьянова.
Начальник стал молча сзади, <...>
заглядывая через плечо Мартьянова в
разложенные синьки. Трудно было,
конечно, свежему взгляду разобраться
сразу в этой толчее небрежных значков и
представить себе, как складывается в
действительности общая картина. может
быть начальник ждал, что Мартьянов
дсообщит ему обстановку. Но Мартьянов
ничего не стал докладывать, а продолжал
перекличку по линиям. А начальник сам
ничего не спрашивал, а всё так же стоял
стоял сзади, видимо, слушая, что говорит
в телефоны Мартьянов <...>Это
называлось среди дежурных инженеров
'быть под огнём'. Попробуй вот так
распоряжаться, когда каждое ваше слово,
каждое решение простреливается
критическим контролем.<...> ММартьянов
словно не хотел замечать этот
молчаливый контроль за собой.<...> Он
вёл сейчас схватку со станцией Южная.
Станция эта, как самая мощная, часто
чувствовала себя хозяином положения и
потому предпочитала, чтобы её просили, а
не просто приказывали. Всего лишь
маленькая уступка самолюбию, хотя
станция не могла не выполнить любое
распоряжение центрального пункта, в
какой бы форме оно не было отдано. А
Мартьянов никогда не желал пойти на
такую уступку, сменив тон.<...> Особенно
сейчас, когда каждая минута дорога и
угроза наростает. Он требовал, чтобы
Южная немедленно отключила часть
своих объектов (крупную часть) и
передала избыток мощности на
центральный участок. С той стороны
хрипела по проводам глухая я рость.
- Записываю в книгу, обрывал Мартьянов.
- Требую немедленно передать
начальнику Центрэнерго! - долетел отуда
крик главного инженера станции.
Мартьянов резко протянул трубку
стоявшей сзади фигуре. Начальник обнял
трубку своей крупной лапой и приложил к
уху.
- Ну? - густо рыкнул он. ( Это 'ну' было
хорошо знакомо всей системе).
Трубка отчаянно затарахтела.
- Сейчас расспоряжается дежурный
центрального пункта, понятно? - ответил
начальник. - Ничего не проси. Дежурный
знает всю обстановку. А ты видишь только
своё.
Он вернул трубку Мартьянову, хотя в ней
ещё вибрировал жестяной голос.
Операция переключений продолжалась.
Вдруг Вадим Карпенко, отвечая на вызов
за соседним столом, сделал испуганное
лицо.
- Северная подстанция сообщает...
Отключилась линия!
Ещё недоставало!
Мартьянов схватился за схемы. Над ним
нависла фигура начальника. Где это
может быть? Выбыла линия на северной.
Ещё одно звено выпадает. Как раз по этой
линии Мартьянов рассчитывал
перебросит резерв. Теперь манёвр
осложняется.Пока там аварийная бригада
на севернрм участке выедет на линию,
пока найдёт, где случилось... Авария
всегда грозит тем, что разрастаетсяи
разрастается, асли не принять мер.
Немедленно, Что-то предпринять, что-то,
что нужнее всего именно сейчас в данную
минуту. <...>Удобнее всего было бы
воспользоваться группой кабелей номер
восемь. Но эти бедные, тощие кабели и
так уж изнемогали от колоссальной
нагрузки после тех переключений,
которые произвёл Мартьянов раньше;
Вадим Карпенко буквально надрывался,
запрашивая непрерывно о
состояниигруппы номер восемь: сколько
киловатт, сколько киловатт?..
Надо было искать другие пути, другие
возможности переброски энергии.
Придумать какой-то обходной манвр.
Сейчас две задачи сливались вместе и
переброска, и выискивание повсюду
любых резервов, и одна задача
осложняла другую. Вечерние часы пик
были в самом разгаре. Сейчас уже ничего
не могло помочь, кроме находчивости ,
изворотливости, человеа, сидящего здсь,
на центральном пункте и пытающегося по
тоненькой нитке телефона, управлять
необозримой сетью.
Григорий Мартьянов содел за
центральным столом над листами схем,
клюя их остриём карандаша. <...> Он
лихорадочно перебирал в уме разные
варианты. что включить,? Куда
направить? Целые комбинации
отключений, включений, переключений.
Карандаш не успевал их отмечать. А
принятое решение уже разлеталось по
проводам
- Ну - ну... - изредка бубнил над ним
начальник. Догадался ли он? Догадался
ли, что Мартьянов чуть не натворил? Вот
только что, когда он, казалось бы, так
уверенно раздавал команды? То ли он не
разглядел на схеме довольно стёртый
значок, то ли забыл о нём в горячке
спешных переключений, но когда он
крикнул в провод на подстанцию:
'Включите масляник номер двенадцать',
оттуда грубо, нарушая всякую
официальность ответили: 'Да ты что,
линия двенадцать на ремонте, там люди
работают...' Выполни техник на
подстанции его указание, включи номер
двенадцать и ... До сих пор при мысли об
этом Мартьянова обдаёт жаром. Но тогда
он успел только подумать: 'Заметил
начальник или нет?' И тут же, против
своего обыкновения оглушительно заорал
в трубку: 'Да не двенадцать, а тринадцать!
Слушайте хорошенько! Масляник номер
тринадцать!'
Начальник ничего не сказал, но проклятый
номер двенадцать долго мерещился даже
вово сне. <...>
Всё сошло благополучно. Ночь дежурства
подходила к концу. <...> Ушёл и
начальник.
- А ты, брат, комбинатор.- сказал он на
прощание Мартьянову.
<...>
Он <Мартьянов> сидит за столом
дежурного на центральном пункте, держит
нити управления, дёргает то за одну, то за
другую ниточку, покрикивает в
телефонную трубку, а что там происходит
в это время в энергосистеме? Как она
откликается на его вмешательство? <...>
Чувство такое, будто всё время что-то
уплывает из рук, растворяется там, за
дальностью расстояний. Хотя он знает
всю систему чуть ли не наизусть и
старается отмечать все перемены в ней.
Листы синек. Сколько он скачет по ним
карандашом. Значки и значки, наспех
набросанные перечёркнутые и вновь
проставленные. Они-то и должны
представлять это вечно меняющееся лицо
энергрсистемы. Если, конечно, успеваешь
зарисовать перемены??, а потом
разложить всё одно к одному, чтобы
обнять общим взглядом. <...> А всегда ли
можно делать, всегда ли есть время? Не
потому ли все дежурные прибегают к
старому, не очень надёжному, но пока
неизбежному средству - памяти и
воображению.
И всё же... Чувство такое, что не видишь,
управляешь вслепую, и гордость первых
дней, и упоение своей властью над
системой давно притупилось. Вместо них
поднималось другое: сомнение,
недовольство и чем дальше, тем сильнее.
<...>
Энергосистема развивалась,
расширялась. <...> Теперь уже одних
разъеденителей и масляных
выключателей, разбросанных по системе,
важных, узловых, требующих к себе
непрерывного внимания, насчитывалось
сверх сотни. Всякий раз вставала
нелёгкая задача: из множества этих
элементов составить такую комбинацию,
чтобы наилучшим образом ответить на
жёсткое, непременное условие бесперебойное энергоснабжение.
Снабжение промышленного, густо
населённого района в десятки тысяч
квадратных километров. Увлекательно?
Да, пожалуй, если глядеть со стороны.
Но Мартьянов испытывал на себе, чего
это стоит - решать такую задачу, особенно
когда складывается сложная обстановка,
когда систему лихорадит и когда там, на
огромной необъятной сети, как
сговорившись, начинают возникать
аварии, угрозы аварий, срывы всяких
расписаний. <...>
Нет, задачки, которые приходилось
решать им, молодыминженерам, на
центральном пункте, были всё же далеко
не простым упражнением на
сообразительность. <...>
Вот смотрите... Главный инженер
срывается с места и ныряет по коридору в
соседнее здание. Начальник Центрэнерго
распахивает дверь своего кабинета и
крупным шагом шествует туда же. Так
почти каждый раз, как там, за стеной,
случается что-нибудь серьёзное. Они
бегут туда, оставляя всякие телефонные
переговоры, чтобы самим всё увидеть.
Увидеть! <...> Хорошо, когда станция
рядышком. На другую так не побежишь, и
ты знаешь только то, что захотят или
сумеют оттуда сообщить по телефону, и
видишь только то, что из этих сообщений
ты сумеешь запомнить или зарисовать в
виде иероглифов.
"[Вебер Ю.Г. Когда приходит ответ.
Повесть.- М.; Дет. лит., 1977.- 351 с.; стр. 8
- 15]
4 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
ПОДОБИЯ
Модель и отображаемый ею объект
находятся в отношении сходства, а не
тождества. Это означает, что модель по
определённым признакам подобна
изучаемой системе, а по каким-то может
быть от неё отлична. Важное условие при
проведении исследований - реализовать
подобие по наиболее важным признакам с
точки зрения проведения конкретного,
данного исследования. Понятие модели
взаимно связано с понятием подобия.
Модель обеспечивает подобие тех
процессов, которые удовлетворяют
критериям, полученным с помощью
теории подобия...
Существуют разные виды подобия.
Первый тип подобия - это подобие,
устанавливаемое в результате
физического взаимодействия в процессе
создания моделей. приведём примеры
такого подобия. Прежде всего это
масштабированные модели
гидротехнических сооружений, самолётов,
кораблей, автомобилей, макеты зданий и
т.п. Такое подобие называется прямым.
Только при прямом подобии возможна
взаимозаменяемость модели и оригинала.
Но даже в случае проведения
исследований на модлелях, которые
являются макетом, созданным путём
реализации отношения прямого подобия,
возможны сложности с переносом
результатов моделирования на норигинал.
Например, при исследовании влияния
водной среды на гидротехнические
сооружения можно промасштабировать не
только само сооружение, но и часть
условий, в которых проводятся
исследования (скорость течения воды,
высоту волн), однако часть факторов не
масштабированию не поддаётся,
например, вязкость воды, сила тяготения.
В результате задача пересчёта данных,
полученных при проведении модельного
эксперимента, на реальные условия
становится нетривиальной.
Второй тип подобия - косвенное подобие.
Косвенное подобие объективно
существует в природе, обнаруживаеься в
виде совпадений или достаточной
близости оригинала и модели. Если
установлена близость абстрактных
моделей рассматриваемых объектов
(оригинала и модели), то можно
переходить к использованию их в практике
реального моделирования. Наиболее
известным примером косвенного подобия
является подобие некоторых
электрических и механических процессов,
описываемых одинаковыми уравнениями.
Различие в уравнениях состоит лишь в
различной физической интерпретации
переменных, входящих в эти уравнения.
Рассмотрим примеры сходства
математических описаний процессов
различной физической природы:
электрических, механических,
гидравлических, процессов динамики
жидкости и газа и пр.
Закон Кулона:
F = q1 q2 / ( 4 π ε r 2 )
Закон Ньютона:
F = γ m1 m2 / r 2
Уравнение электрической цепи:
u = Je re + Le dJe / dt + 1 / Ce Je dt
Уравнение гидравлической цепи:
P / ρm = Jg rg + Lg dJg / dt + 1 / Cg Jg dt
Принцип непрерывности электрического
тока:
S je dS
= - dg / dt (интеграл вдоль
замкнутой поверхности S)
Принцип непрерывности потока жидкости:
S jg dS
= - dm / dt (интеграл вдоль
замкнутой поверхности S)
Закон сохраненения энергии:
We = ρe ( E h + ke v 2 ) + ΔWT = const
Уравнение Бернулли:
P = ρm ( g h + v 2 / 2 ) + ΔPT = const
Законы Кулона и Ньютона описывают
силу, действующую на ежиничные
электрические заряды q1 и q2 или тела,
массой m1 и m2, находящиеся друг от
друга на расстоянии r, достаточно
больших по сравненю с геометрическими
размерами несущих их тел.
Уравнения электрической и
гидравлической цепей описывают
поведение потока зарядов
(электрического тока Je ) и потока
жижклсти (гидравлического тока Jg ) сквозь
электрические и гидравлические
сопротивления re, rg, индуктивности Le, Lg
и ёмкости Ce, Cg. В этом случае аналогом
напряжения электрической цепи является
давление P в расчёте на единицу обёмной
плотности роm текущей среды,
заполняющей гидравлическую цепь.
Принципы непрерывности электрического
тока и неразрывности жидкости означают,
что суммарный поток заряжов Je и
суммарный ток жидкости Jg, проходящие в
единицу времени сквозь любую замкнутую
поверхность S, в точности равны скорости
изменения соответственно заряда или
массы внутри этой поверхности. Эти
принципы представляют собой законы
сохранения вещества (заряда или маввы)
при любых преобразованиях, кроме
аннигиляции. Из закона сохранения
энергии в установившемся режиме
течения следует, что плотность полной
электрической We или механической
энергии постоянна вдоль всей цепи, хотя и
может перераспределяться между
потенциальной, кинетической и тепловой
формами. В уравнениях используются
обозначения: роe и роm - объёмные
плотности заряда и массы, g - ускорение в
поле земного тяготения, h - расстояние от
источника электрической энергии до
данного места цепи или высота уровня
жидкости над данным
местомгидравлической цепи
соответственно, ke - коэффициент,
характеризующий геометрию цепи, v скорость течения зарядов или жидкости.
Убедившись в схожести описаний
процессов различной физической
природы, можно заменить исследование
одних из них изучением других. Так,
вместо громоздкого и сложнлгл
экспериментирования с механическими
объектами можно производить опыты с
электрической схемой, исследовать при
этом различные варианты, не
переделывая механическую конструкцию.
Примером косвенного подобия является
проведение исследований на аналоговых
вычислительных машинахъ. В своё время
масштабы использования аналоговых
вычислительных машин были очень
широки.
Третий класс моделей - это модели,
подобие которых оригиналу не является
ни прямым, ни косвенным, а
устанавливается в результате
соглашения. Такое подобие называется
условным. Примерами условного подобия
являются схемы (модели будущих
объектов), карты (модели местности),
сигналы (модели сообщений). Условное
подобие не требует фактического
сходства, но, несмотря на это, оно должно
строиться с учётом особенностей
человека - создателя и потребителя
моделей условного подобия...
Теория подобия включает в себя такое
обширное понятие, как которое
объединяет геометрическое,
динамическое, кинематическое, тепловое
и другие виды подобия. При
геометрическом подобии отношение
любых сходных отрезков равно одному и
тому же постоянному числу. Иными
словами, изучаемый объект подобен
первоначальному, когда он получается
путём изображения его в другом
геометрическом масштабе.
Кинематическое подобие означает, что в
любых сходныхточках систем скорости
движущихся объектов параллельны и
пропорциональны друг другу, т.е.
отношение между их скоростями
одинаково во всех точках системы. Если
система рассматривается как состоящая
из отдельных частей, то у подобных
систем отношение масс элементов между
собой представляет постоянное число.
Динамическое подобие заключается в
параллельности и пропорциональности
сил в сходных точках. Тепловое подобие
означает пропорциональность друг другу
всех характеризующих тепловое явление
величин: температур, теплоёмкостей,
тепловых потоков, коэффициентов
теплопроводности и т.д.
Приведём математическую формулировку
подобия. Пусть l1 и l2 - сравниваемые
отрезки длин первого и второго объектов,
v1 и v2 - скорости объектов, m1 и m2 массы, f1 и f2 - сравниваемые силы. Тогда
можно записать
??
Коэффициенты, определяющие
отношение длин cl, скоростей cv, масс cm
и сил cf, называются константами
подобия. Для каждого вида величин
константы имеют свою особую численную
величину...
Подобие явлений можно выражать не
только константами подобия, но и так
называемыми инвариантами подобия. Для
пояснения понятия инварианта подобия
необходимо перейтит от абсолютной
системы единиц измерений к
относительной. С этой целью
требуетсяортонормировать величины
каждого из подобных объектов. При этом
за базовое значение принимаются
характеристики объектов, измеренные в
сходных точках, например, объект
характеризуется линейными размерами:
длиной l1, шириной d1 и высотой h1.
Возьмём один из параметров за базовый,
остальныеортонормируем относительно
него, получим
??
Аналогичные действия проведём для
объекта, находящегося в отношении
подобия к первому объекту, при этом в
качестве базового возьмём аналогичный
параметр, что и для первого объекта, в
нашем случае это высота. В результате
получим
??
Поскольку первый и второй объекты
находятся в отношении подобия,то для
них выполняется условие ??? , откуда
получаем
??
!!тогда
" [Антонов А.В. Системный анализ. Учеб.
для вузов.- М.: Высшая школа, 2004.- 454
с.; стр.141 - 145 ]
5 ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
"В настоящее время при анализе и
синтезе сложных (больших) систем
получил развитие системный подход,
который отличается от классического (или
индуктивного) подхода. Последний
рассматривает систему путем перехода от
частного к общему и синтезирует
(конструирует) систему путем слияния ее
компонент, разрабатываемых раздельно.
В отличие от этого системный подход
предполагает последовательный переход
от общего к частному, когда в основе
рассмотрения лежит цель, причем
исследуемый объект выделяется из
окружающей среды.
... Специалисты по проектированию и
эксплуатации сложных систем имеют дело
с системами управления различных
уровней, обладающими общим свойством:
стремлением достичь некоторой цели...
Система - S целенаправленное множество
взаимосвязанных элементов любой
природы. Внешняя среда Е - множество
существующих вне системы элементов
любой природы, оказывающих влияние на
систему или находящихся под ее
воздействием.
В зависимости от цели исследования
могут рассматриваться разные
соотношения между самим объектом S и
внешней средой Е... Объект исследования
может выделяться по-разному и могут
иметь место различные взаимодействия
этого объекта с внешней средой. С
развитием науки и техники сам объект
непрерывно усложняется, и уже сейчас
говорят об объекте исследования как о
некоторой сложной системе, которая
состоит из различных компонент,
взаимосвязанных друг с другом...
При системном подходе к моделированию
систем необходимо прежде всего четко
определить цель моделирования.
Поскольку невозможно полностью
смоделировать реально
функционирующую систему (системуоригинал, или первую систему), создается
модель (система-модель, или вторая
система) под поставленную проблему.
Таким образом, применительно к
вопросам моделирования цель возникает
из требуемых задач моделирования, что
позволяет подойти к выбору критерия и
оценить, какие элементы войдут в
создаваемую модель М. Поэтому
необходимо иметь критерий отбора
отдельных элементов в создаваемую
модель.
... Важным для системного подхода
является определение структуры системы
совокупности связей между элементами
системы, отражающих их взаимодействие.
Структура системы может изучаться извне
с точки зрения состава отдельных
подсистем и отношений между ними, а
также изнутри, когда анализируются
отдельные свойства, позволяющие
системе достигать заданной цели, т. е.
когда изучаются функции системы. В
соответствии с этим наметился ряд
подходов к исследованию структуры
системы с ее свойствами, к которым
следует прежде всего отнести
структурный и функциональный.
При структурном подходе выявляются
состав выделенных элементов системы S
и связи между ними. Совокупность
элементов и связей между ними
позволяет судить о структуре системы.
Последняя в зависимости от цели
исследования может быть описана на
разных уровнях рассмотрения.
Наиболее общее описание структуры - это
топологическое описание, позволяющее
определить в самых общих понятиях
составные части системы и хорошо
формализуемое
на базе теории графов.
Менее общим является функциональное
описание, когда рассматриваются
отдельные функции, т. е. алгоритмы
поведения системы, и реализуется
функциональный подход, оценивающий
функции, которые выполняет система,
причем под функцией понимается
свойство, приводящее к достижению
цели...
При наличии некоторого эталона
сравнения можно ввести количественные
и качественные характеристики систем.
Для количественной характеристики
вводятся числа, выражающие отношения
между данной характеристикой и
эталоном. Качественные характеристики
системы находятся, например, с помощью
метода экспертных оценок.
Проявление функций системы во времени
S(t), т. е. функционирование системы,
означает переход системы из одного
состояния в другое, т. е. движение в
пространстве состояний Z. При
эксплуатации системы S весьма важно
качество ее функционирования,
определяемое показателем
эффективности и являющееся значением
критерия оценки эффективности.
Существуют различные подходы к выбору
критериев оценки эффективности.
Система S может оцениваться
либо совокупностью частных критериев,
либо некоторым
общим интегральным критерием...
Наиболее просты по представлению
модели, в которых сохраняется прямая
аналогия явления. Применяют также
модели, в которых нет прямой аналогии, а
сохраняются лишь законы и общие
закономерности поведения элементов
системы S...
Простой подход к изучению взаимосвязей
между отдельными
частями модели предусматривает
рассмотрение их как отражение
связей между отдельными подсистемами
объекта. Такой классический подход
может быть использован при создании
достаточно простых моделей.Реальный
объект, подлежащий моделированию,
разбивается на отдельные подсистемы, т.
е. выбираются исходные данные Д для
моделирования и ставятся цели Ц,
отображающие отдельные стороны
процесса моделирования. По отдельной
совокупности исходных данных Д ставится
цель моделирования отдельной стороны
функционирования системы, на базе этой
цели формируется некоторая компонента
К будущей модели. Совокупность
компонент объединяется в модель М.
Таким образом, разработка модели М на
базе классического подхода означает
суммирование отдельных компонент в
единую модель, причем каждая из
компонент решает свои собственные
задачи и изолирована от других частей
модели. Поэтому классический подход
может быть использован для реализации
сравнительно простых моделей, в которых
возможно разделение и взаимно
независимое рассмотрение отдельных
сторон функционирования реального
объекта. Для модели сложного объекта
такая разобщенность решаемых задач
недопустима, так как приводит к
значительным затратам ресурсов при
реализации модели на базе конкретных
программно-технических средств. Можно
отметить две отличительные стороны
классического подхода: наблюдается
движение от частного к общему,
создаваемая модель (система) образуется
путем суммирования отдельных ее
компонент и не учитывается
возникновение нового системного
эффекта.
С усложнением объектов моделирования
возникла необходимость наблюдения их с
более высокого уровня. В этом случае
наблюдатель (разработчик)
рассматривает данную систему S как
некоторую подсистему какой-то
метасистемы, т. е. системы более
высокого ранга, и вынужден перейти на
позиции нового системного подхода,
который позволит ему построить не
только исследуемую систему, решающую
совокупность задач,
но и создавать систему, являющуюся
составной частью метасистемы.
Например, если ставится задача
проектирования АСУ предприятием, то с
позиции системного подхода нельзя
забывать о том, что эта система является
составной частью АСУ объединением.
Системный подход получил применение в
системотехнике в связи с необходимостью
исследования больших реальных систем,
когда сказалась недостаточность, а иногда
ошибочность принятия каких-либо
частных решений. На возникновение
системного подхода повлияли
увеличивающееся количество исходных
данных при разработке, необходимость
учета сложных стохастических связей в
системе и воздействий внешней среды Е.
Все это заставило исследователей
изучать сложный объект не изолированно,
а во взаимодействии с внешней средой, а
также в совокупности с другими
системами некоторой метасистемы.
Системный подход позволяет решить
проблему построения сложной системы с
учетом всех факторов и возможностей,
пропорциональных их значимости, на всех
этапах исследования системы S и
построения модели М. Системный подход
означает, что каждая система S является
интегрированным целым даже тогда,
когда она состоит из отдельных
разобщенных подсистем.
Таким образом, в основе системного
подхода лежит рассмотрение системы как
интегрированного целого, причем это
рассмотрение при разработке начинается
с главного - формулировки цели
функционирования... На основе исходных
данных Д, которые известны из анализа
внешней системы, тех ограничений,
которые накладываются на систему
сверху либо исходя из возможностей ее
реализации, и на основе цели
функционирования формулируются
исходные требования Т к модели системы
S. На базе этих требований формируются
ориентировочно некоторые подсистемы П,
элементы Э и осуществляется наиболее
сложный этап синтеза - выбор В
составляющих системы, для чего
используются специальные критерии
выбора КВ.
При моделировании необходимо
обеспечить максимальную эффективность
модели системы. Эффективность обычно
определяется как некоторая разность
между какими-то показателями ценности
результатов, полученных в итоге
эксплуатации модели, и теми затратами,
которые были вложены в ее разработку и
создание." [ Советов Б.Я. Яковлев С.А.
Моделирование систем.Учебник для
вузов. - М.: Высшая школа, 2001.- 343 с;
стр. 20 - 24]
6 ЭТАПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
"На базе системного подхода может быть
предложена и некоторая
последовательность разработки моделей,
когда выделяют две основные стадии
проектирования: макропроектирование и
микропроектирование.
На стадии макропроектирования на
основе данных о реальной
системе S и внешней среде Е строится
модель внешней
среды, выявляются ресурсы и
ограничения для построения модели
системы, выбирается модель системы и
критерии, позволяющие оценить
адекватность модели М реальной системы
S. Построив модель системы и модель
внешней среды, на основе критерия
эффективности функционирования
системы в процессе моделирования
выбирают оптимальную стратегию
управления, что позволяет реализовать
возможности модели по воспроизведению
отдельных сторон функционирования
реальной системы S.
Стадия микропроектирования в
значительной степени зависит
от конкретного типа выбранной модели. В
случае имитационной
модели необходимо обеспечить создание
информационного,
математического, технического и
программного обеспечений системы
моделирования. На этой стадии можно
установить основные характеристики
созданной модели, оценить время работы
с ней и затраты ресурсов для получения
заданного качества соответствия модели
процессу функционирования системы S." [
Советов Б.Я. Яковлев С.А.
Моделирование систем.Учебник для
вузов. - М.: Высшая школа, 2001.- 343 с;
стр. ??]
7 ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К
МАТЕМАТИЧЕСКИМ МОДЕЛЯМ
"Независимо от типа используемой
модели М при ее построении
необходимо руководствоваться рядом
принципов системного подхода:
1) пропорционально-последовательное
продвижение по этапам
и направлениям создания модели;
2) согласование информационных,
ресурсных, надежностных и других
характеристик;
3) правильное соотношение отдельных
уровней иерархии в системе
моделирования;
4) целостность отдельных обособленных
стадий построения
модели.
Модель М должна отвечать заданной цели
ее создания, поэтому
отдельные части должны компоноваться
взаимно, исходя из единой системной
задачи. Цель может быть
сформулирована качественно, тогда она
будет обладать большей
содержательностью и длительное время
может отображать объективные
возможности данной системы
моделирования. При количественной
формулировке цели возникает целевая
функция, которая точно отображает
наиболее существенные факторы,
влияющие на достижение цели.
Построение модели относится к числу
системных задач, при
решении которых синтезируют решения на
базе огромного числа
исходных данных, на основе предложений
больших коллективов
специалистов. Использование системного
подхода в этих условиях позволяет не
только построить модель реального
объекта, но и на базе этой модели
выбрать необходимое количество
управляющей информации в реальной
системе, оценить показатели ее
функционирования и тем самым на базе
моделирования найти наиболее
эффективный вариант построения и
выгодный режим функционирования
реальной системы S." [ Советов Б.Я.
Яковлев С.А. Моделирование
систем.Учебник для вузов. - М.: Высшая
школа, 2001.- 343 с; стр. ??]
8 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ
"Одним из наиболее важных аспектов
построения систем моделирования
является проблема цели. Любую модель
строят в зависимости от цели, которую
ставит перед ней исследователь, поэтому
одна из основных проблем при
моделировании - это проблема целевого
назначения. Подобие процесса,
протекающего в модели М, реальному
процессу является не целью, а условием
правильного функционирования модели, и
поэтому в качестве цели должна быть
поставлена задача изучения какой-либо
стороны функционирования объекта. Для
упрощения модели М цели делят на
подцели и создают более эффективные
виды моделей в зависимости от
полученных подцелей моделирования.
Можно указать целый ряд примеров целей
моделирования в области сложных
систем. Например, для АСУ предприятием
весьма существенно изучение процессов
оперативного управления производством,
оперативно-календарного планирования,
перспективного планирования и здесь
также могут быть успешно использованы
методы моделирования...
Если цель моделирования ясна, то
возникает следующая проблема, а именно
проблема построения модели М.
Построение модели оказывается
возможным, если имеется информация
или выдвинуты гипотезы относительно
структуры, алгоритмов и параметров
исследуемого объекта. На основании их
изучения осуществляется идентификация
объекта. В настоящее время широко
применяют различные способы оценки
параметров: по методу наименьших
квадратов, по методу максимального
правдоподобия, байесовские, марковские
оценки...
Если модель М построена, то следующей
проблемой можно
считать проблему работы с ней, т. е.
реализацию модели, основные задачи
которой - минимизация времени
получения конечных результатов и
обеспечение их достоверности.
Для правильно построенной модели М
характерным является
то, что она выявляет лишь те
закономерности, которые нужны
исследователю, и не рассматривает
свойства системы S, несущественные для
данного исследования. Следует отметить,
что оригинал и модель должны быть
одновременно сходны по одним
признакам и различны по другим, что
позволяет выделить наиболее важные
изучаемые свойства. В этом смысле
модель выступает как некоторый
"заместитель" оригинала,
обеспечивающий фиксацию и изучение
лишь некоторых свойств реального
объекта.
Таким образом, характеризуя проблему
моделирования в целом,
необходимо учитывать, что от постановки
задачи моделирования
до интерпретации полученных
результатов существует большая
группа сложных научно-технических
проблем, к основным из которых можно
отнести следующие: идентификацию
реальных объектов, выбор вида моделей,
построение моделей и их машинную
реализацию, взаимодействие
исследователя с моделью в ходе
машинного эксперимента, проверку
правильности полученных в ходе
моделирования результатов, выявление
основных закономерностей,
исследованных в процессе
моделирования. В зависимости от объекта
моделирования и вида используемой
модели эти проблемы могут иметь разную
значимость. В одних случаях наиболее
сложной оказывается идентификация, в
других - проблема построения
формальной структуры объекта.
Возможны трудности и при реализации
модели, особенно в случае имитационного
моделирования больших систем. При этом
следует подчеркнуть роль исследователя
в процессе моделирования. Постановка
задачи, построение содержательной
модели реального объекта во многом
представляют собой творческий процесс и
базируются на эвристике. И в этом смысле
нет формальных путей выбора
оптимального вида модели. Часто
отсутствуют формальные методы,
позволяющие достаточно точно описать
реальный процесс. Поэтому выбор той
или иной аналогии, выбор того или иного
математического аппарата
моделирования полностью основывается
на имеющемся опыте исследователя и
ошибка исследователя может привести к
ошибочным результатам моделирования...
Средства вычислительной техники,
которые в настоящее время
широко используются либо для
вычислений при аналитическом
моделировании, либо для реализации
имитационной модели системы, могут
лишь помочь с точки зрения
эффективности реализации сложной
модели, но не позволяют подтвердить
правильность той или иной модели.
Только на основе обработанных данных,
опыта исследователя можно с
достоверностью оценить адекватность
модели по отношению к реальному
процессу.
Если в ходе моделирования существенное
место занимает реальный физический
эксперимент, то здесь весьма важна и
надежность используемых
инструментальных средств, поскольку
сбои и отказы программно-технических
средств могут приводить к искаженным
значениям выходных данных,
отображающих протекание процесса. И в
этом смысле при проведении физических
экспериментов необходимы специальная
аппаратура, специально разработанное
математическое и информационное
обеспечение, которые позволяют
реализовать диагностику средств
моделирования, чтобы отсеять те ошибки
в выходной информации, которые
вызваны неисправностями
функционирующей аппаратуры. В ходе
машинного эксперимента
могут иметь место и ошибочные действия
человека-оператора.
В этих условиях серьезные задачи стоят в
области эргономического обеспечения
процесса моделирования." [ Советов Б.Я.
Яковлев С.А. Моделирование
систем.Учебник для вузов. - М.: Высшая
школа, 2001.- 343 с; стр. ??]
"Под математическим моделированием
будем понимать процесс установления
соответствия данному реальному объекту
некоторого математического объекта,
называемого математической моделью, и
исследование этой модели, позволяющее
получать характеристики
рассматриваемого реального объекта.
Вид математической модели зависит как
от природы реального объекта, так и
задач исследования объекта и требуемой
достоверности и точности решения этой
задачи. Любая математическая модель,
как и всякая другая, описывает реальный
объект лишь с некоторой степенью
приближения к действительности.
Математическое моделирование для
исследования характеристик процесса
функционирования систем можно
разделить на аналитическое,
имитационное и комбинированное. Для
аналитического моделирования
характерно то, что процессы
функционирования элементов системы
записываются в виде некоторых
функциональных соотношений
(алгебраических, интегродифференциальных, конечно-разностных
и т. п.) или логических условий.
Аналитическая модель может быть
исследована следующими методами: а)
аналитическим, когда стремятся получить
в общем виде явные зависимости для
искомых характеристик; б) численным,
когда, не умея решать уравнений в общем
виде, стремятся получить числовые
результаты при конкретных начальных
данных; в) качественным, когда, не имея
решения в явном виде, можно найти
некоторые свойства решения (например,
оценить устойчивость решения).
Наиболее полное исследование процесса
функционирования системы можно
провести, если известны явные
зависимости, связывающие искомые
характеристики с начальными условиями,
параметрами и переменными системы S.
Однако такие зависимости удается
получить только для сравнительно
простых систем. При усложнении систем
исследование их аналитическим методом
наталкивается на значительные
трудности, которые часто бывают
непреодолимыми. Поэтому, желая
использовать аналитический метод, в
этом случае идут на существенное
упрощение первоначальной модели,
чтобы иметь возможность изучить хотя бы
общие свойства системы. Такое
исследование на упрощенной модели
аналитическим методом помогает
получить ориентировочные результаты
для определения более точных оценок
другими методами. Численный метод
позволяет исследовать по сравнению с
аналитическим методом
более широкий класс систем, но при этом
полученные решения
носят частный характер. Численный метод
особенно эффективен
при использовании ЭВМ.
В отдельных случаях исследования
системы могут удовлетворить и те
выводы, которые можно сделать при
использовании качественного метода
анализа математической модели. Такие
качественные методы широко
используются, например, в теории
автоматического управления для оценки
эффективности различных вариантов
систем управления.
В настоящее время распространены
методы машинной реализации
исследования характеристик процесса
функционирования больших систем. Для
реализации математической модели на
ЭВМ необходимо построить
соответствующий моделирующий
алгоритм.
При имитационном моделировании
реализующий модель алгоритм
воспроизводит процесс
функционирования системы S во времени,
причем имитируются элементарные
явления, составляющие процесс, с
сохранением их логической структуры и
последовательности протекания во
времени, что позволяет по исходным
данным получить сведения о состояниях
процесса в определенные моменты
времени, дающие возможность оценить
характеристики системы S." [ Советов Б.Я.
Яковлев С.А. Моделирование
систем.Учебник для вузов. - М.: Высшая
школа, 2001.- 343 с; стр. ??]
9 ОБЩАЯ СХЕМА РАЗРАБОТКИ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
"Наибольшие затруднения и наиболее
серьезные ошибки при моделировании
возникают при переходе от
содержательного к формальному
описанию объектов исследования, что
объясняется участием в этом творческом
процессе коллективов разных
специальностей: специалистов в области
систем, которые
требуется моделировать (заказчиков), и
специалистов в области машинного
моделирования (исполнителей).
Эффективным средством для нахождения
взаимопонимания между этими группами
специалистов является язык
математических
схем, позволяющий во главу угла
поставить вопрос об адекватности
перехода от содержательного описания
системы к ее математической схеме, а
лишь затем решать вопрос о конкретном
методе получения результатов с
использованием
ЭВМ: аналитическом или имитационном, а
возможно, и комбинированном, т. е.
аналитико-имитационном. Применительно
к конкретному объекту моделирования, т.
е. к сложной системе, разработчику
модели должны помочь конкретные, уже
прошедшие апробацию для данного
класса систем математические схемы,
показавшие свою эффективность в
прикладных исследованиях на ЭВМ и
получившие название типовых
математических схем...
Исходной информацией при построении
математических моделей
процессов функционирования систем
служат данные о назначении и условиях
работы исследуемой (проектируемой)
системы S.
Эта информация определяет основную
цель моделирования системы S и
позволяет сформулировать требования к
разрабатываемой математической модели
М. Причем уровень абстрагирования
зависит от круга тех вопросов, на которые
исследователь системы хочет получить
ответ с помощью модели, и в какой-то
степени определяет выбор
математической схемы...
Введение понятия 'математическая схема'
позволяет рассматривать математику не
как метод расчета, а как метод мышления,
как средство формулирования понятий,
что является наиболее важным при
переходе от словесного описания
системы к формальному представлению
процесса ее функционирования в виде
некоторой математической модели
(аналитической или имитационной). При
пользовании математической схемой
исследователя системы S в первую
очередь должен интересовать вопрос об
адекватности отображения в виде
конкретных схем реальных процессов в
исследуемой системе, а не возможность
получения ответа
(результата решения) на конкретный
вопрос исследования. Например,
представление процесса
функционирования информационновычислительной системы коллективного
пользования в виде сети схем массового
обслуживания дает возможность хорошо
описать процессы, происходящие в
системе, но при сложных законах
распределения входящих потоков и
потоков обслуживания не дает
возможности получения результатов в
явном виде...
Математическую схему можно определить
как звено при переходе
от содержательного к формальному
описанию процесса функционирования
системы с учетом воздействия внешней
среды, т. е. имеет место цепочка
'описательная модель математическая
схема математическая [аналитическая или
(и) имитационная] модель'. Каждая
конкретная система S характеризуется
набором свойств, под которыми
понимаются величины, отражающие
поведение моделируемого объекта
(реальной системы) и учитывающие
условия ее функционирования во
взаимодействии с внешней средой
(системой) Е. При построении
математической модели системы
необходимо решить вопрос об ее полноте.
Полнота модели регулируется в основном
выбором границы 'система S - среда Е '.
Также должна быть решена задача
упрощения модели, которая помогает
выделить основные свойства системы,
отбросив второстепенные. Причем
отнесение свойств системы к основным
или второстепенным существенно зависит
от цели моделирования системы
(например, анализ вероятностновременных характеристик процесса
функционирования системы, синтез
структуры системы и т. д.)...
Модель объекта моделирования, т. е.
системы S, можно представить в виде
множества величин, описывающих
процесс функционирования реальной
системы и образующих в общем случае
следующие подмножества:
совокупность входных воздействий на
систему xi i= 1,...,nX ;
совокупность воздействий внешней среды
vl l= 1,...,nV ;
совокупность внутренних (собственных)
параметров системы hk k= 1,...,nH ;
совокупность выходных характеристик
системы yj j= 1,...,nY ;
При этом в перечисленных
подмножествах можно выделить
управляемые и неуправляемые
переменные. В общем случае xi , vl , hk , yj
являются элементами непересекающихся
подмножеств и содержат как
детерминированные, так и стохастические
составляющие.
При моделировании системы S входные
воздействия, воздействия внешней среды
Е и внутренние параметры системы
являются независимыми (экзогенными)
переменными, которые в векторной
форме имеют соответственно вид x( t ) = (
x1( t ), x2 ( t ),..., xnX ( t )), v( t ) = ( v1( t ), v2 (
t ),..., vnV ( t )), h( t ) = ( h1( t ), h2 ( t ),..., hnH (
t )), а выходные характеристики системы
являются зависимыми (эндогенными)
переменными и в векторной форме имеют
вид y( t ) = ( y1( t ), y2 ( t ),..., ynY ( t )).
Процесс функционирования системы S
описывается во времени оператором FS,
который в общем случае преобразует
экзогенные переменные в эндогенные в
соответствии с соотношениями вида
y( t ) = FS( x, v, h, t )1S.
(2.1)
Совокупность зависимостей выходных
характеристик системы от времени yj( t )
для всех видов j = 1,...,nY( t ) называется
выходной траекторией y( t ). Зависимость
(2.1) называется законом
функционирования системы S и
обозначается FS. В общем случае закон
функционирования системы FS может
быть задан в виде функции, функционала,
логических условий, в алгоритмической и
табличной формах или в виде словесного
правила соответствия. Весьма важным
для описания и исследования системы S
является понятие алгоритма
функционирования AS, под которым
понимается метод получения выходных
характеристик с учетом входных
воздействий x( t ),воздействий внешней
среды v( t ), и собственных параметров
системы h( t ). Очевидно, что один и тот
же закон функционирования FS системы S
может быть реализован различными
способами, т. е. с помощью множества
различных алгоритмов функционирования
AS.
Соотношения (2.1) являются
математическим описанием поведения
объекта (системы) моделирования во
времени t, т. е. отражают его
динамические свойства. Поэтому
математические модели такого вида
принято называть динамическими
моделями (системами)...
Для статических моделей математическая
модель (2.1) представляет собой
отображение между двумя
подмножествами свойств моделируемого
объекта Y и { X, V, Н }, что в векторной
форме может быть записано как
y=f(x,v,h).
(2.2)
Соотношения (2.1) и (2.2) могут быть
заданы различными способами:
аналитически (с помощью формул),
графически, таблично и т. д. Такие
соотношения в ряде случаев могут быть
получены через свойства системы S в
конкретные моменты времени,
называемые состояниями. Состояние
системы S характеризуется векторами
z'=(z'1,z'2,...,z'k) и z"=(z"1,z"2,...,z"3),
где z'1=z1(t'), z'2= z2(t'),+,, . z'k(t') в момент
t"е(t0, T); z"1=z1(t"), z'{=z2(t"), .... zk=zk(t") в
момент t"e(t0, Т) и т. д., k=l, nz.
Если рассматривать процесс
функционирования системы S как
последовательную смену состояний z1(t),
z2(t), ..., zk(t), то они могут быть
интерпретированы как координаты точки в
fe-мерном фазовом пространстве, причем
каждой реализации процесса будет
соответствовать некоторая фазовая
траектория. Совокупность всех возможных
значений состояний {z} называется
пространством состояний объекта
моделирования Z, причем zkeZ.
Состояния системы S в момент времени
f0< t* &#8804; t полностью определяются
начальными условиями z0=(z01,. Z02, ...,
z0k) [где z01=z1(t0), z02=z2(t0), ...,
z0k=zk(t0)], входными воздействиями x(t),
внутренними параметрами h(t) и
воздействиями внешней среды v(t),
которые имели место за промежуток
времени t* t0, с помощью двух векторных
уравнений
z (t)=Ф (z0, x,v,h,t);
(2.3)
y(t)=F(z,t).
(2.4)
Первое уравнение по начальному
состоянию z0 и экзогенным переменным х,
v, h определяет вектор-функцию z(t), а
второе по полученному значению
состояний z(t) эндогенные переменные
на выходе системы у (t). Таким образом,
цепочка уравнений объекта "вход
состояния выход" позволяет определить
характеристики системы
y(t)=F[Ф(z0,x,v,h,t)].
(2.5)
В общем случае время в модели системы
S может рассматриваться на интервале
моделирования (0, Т) как непрерывное,
так и дискретное, т. е. квантованное на
отрезки длиной &#916;t временных единиц
каждый, когда T=m&#916;t, где m=l, mT
число интервалов дискретизации.
Таким образом, под математической
моделью объекта (реальной системы)
понимают конечное подмножество
переменных {х(t), v(t), h(t)} вместе с
математическими связями между ними и
характеристиками у (t) [7,26].
Если математическое описание объекта
моделирования не содержит элементов
случайности или они не учитываются, т. е.
если
39
можно считать, что в этом случае
стохастические воздействия внешней
среды v(t) и стохастические внутренние
параметры h(t) отсутствуют, то модель
называется детерминированной в том
смысле, что характеристики однозначно
определяются детерминированными
входными воздействиями
y(t)=f(x,t).
(2.6)
Очевидно, что детерминированная
модель является частным случаем
стохастической модели.
Типовые схемы. Приведенные
математические соотношения
представляют собой математические
схемы общего вида и позволяют описать
широкий класс систем. Однако в практике
моделирования объектов в области
системотехники и системного анализа на
первоначальных этапах исследования
системы рациональнее использовать
типовые математические схемы:
дифференциальные уравнения, конечные
и вероятностные автоматы, системы
массового обслуживания, сети Петри и т.
д.
Не обладая такой степенью общности, как
рассмотренные модели, типовые
математические схемы имеют
преимущества простоты и наглядности, но
при существенном сужении возможностей
применения. В качестве
детерминированных моделей, когда при
исследовании случайные факторы не
учитываются, для представления систем,
функционирующих в непрерывном
времени, используются
дифференциальные, интегральные,
интегродифференциальные и другие
уравнения, а для представления систем,
функционирующих в дискретном времени,
конечные автоматы и конечно-разностные
схемы. В качестве стохастических
моделей (при учете случайных
факторов) для представления систем с
дискретным временем используются
вероятностные автоматы, а для
представления системы с непрерывным
временем системы массового
обслуживания и т. д.
Перечисленные типовые математические
схемы, естественно, не могут
претендовать на возможность описания на
их базе всех процессов, происходящих в
больших информационно-управляющих
системах. Для таких систем в ряде
случаев более перспективным является
применение агрегативных моделей [3].
Агрегативные модели (системы)
позволяют описать широкий круг объектов
исследования с отображением системного
характера этих объектов. Именно при
агрегативном описании сложный объект
(система) расчленяется на конечное число
частей (подсистем), сохраняя при этом
связи, обеспечивающие взаимодействие
частей.
Таким образом, при построении
математических моделей процессов
функционирования систем можно
выделить следующие основные подходы:
непрерывно-детерминированный
(например, дифференциальные
уравнения); дискретно-
детерминированный (конечные автоматы);
дискретно-стохастический (вероятностные
автоматы); непрерывно-стохастический
(системы массового обслуживания);
обобщенный, или универсальный
(агрегативные системы)." [ Советов Б.Я.
Яковлев С.А. Моделирование
систем.Учебник для вузов. - М.: Высшая
школа, 2001.- 343 с; стр. ??]
10 Формализация процесса
функционирования системы.
11 Формы представления математических
моделей.
12 МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ
И ПРОЦЕССОВ
"Любая математическая модель, как и
всякая другая, описывает реальный
объект лишь с некоторой степенью
приближения к действительности.
Математическое моделирование для
исследования характеристик процесса
функционирования систем можно
разделить на аналитическое,
имитационное и комбинированное. Для
аналитического моделирования
характерно то, что процессы
функционирования элементов системы
записываются в виде некоторых
функциональных соотношений
(алгебраических, интегродифференциальных, конечно-разностных
и т. п.) или логических условий.
Аналитическая модель может быть
исследована следующими методами: а)
аналитическим, когда стремятся получить
в общем виде явные зависимости для
искомых характеристик; б) численным,
когда, не умея решать уравнений в общем
виде, стремятся получить числовые
результаты при конкретных начальных
данных; в) качественным, когда, не имея
решения в явном виде, можно найти
некоторые свойства решения (например,
оценить устойчивость решения).
Наиболее полное исследование процесса
функционирования системы можно
провести, если известны явные
зависимости, связывающие искомые
характеристики с начальными условиями,
параметрами и переменными системы S.
Однако такие зависимости удается
получить только для сравнительно
простых систем. При усложнении систем
исследование их аналитическим методом
наталкивается на значительные
трудности, которые часто бывают
непреодолимыми. Поэтому, желая
использовать аналитический метод, в
этом случае идут на существенное
упрощение первоначальной модели,
чтобы иметь возможность изучить хотя бы
общие свойства системы. Такое
исследование на упрощенной модели
аналитическим методом помогает
получить ориентировочные результаты
для определения более точных оценок
другими методами. Численный метод
позволяет исследовать по сравнению с
аналитическим методом
более широкий класс систем, но при этом
полученные решения
носят частный характер. Численный метод
особенно эффективен
при использовании ЭВМ.
В отдельных случаях исследования
системы могут удовлетворить и те
выводы, которые можно сделать при
использовании качественного метода
анализа математической модели. Такие
качественные методы широко
используются, например, в теории
автоматического управления для оценки
эффективности различных вариантов
систем управления.
В настоящее время распространены
методы машинной реализации
исследования характеристик процесса
функционирования больших систем. Для
реализации математической модели на
ЭВМ необходимо построить
соответствующий моделирующий
алгоритм.
При имитационном моделировании
реализующий модель алгоритм
воспроизводит процесс
функционирования системы S во времени,
причем имитируются элементарные
явления, составляющие процесс, с
сохранением их логической структуры и
последовательности протекания во
времени, что позволяет по исходным
данным получить сведения о состояниях
процесса в определенные моменты
времени, дающие возможность оценить
характеристики системы S.
Основным преимуществом имитационного
моделирования по
сравнению с аналитическим является
возможность решения более сложных
задач. Имитационные модели позволяют
достаточно просто учитывать такие
факторы, как наличие дискретных и
непрерывных элементов, нелинейные
характеристики элементов системы,
многочисленные случайные воздействия и
др., которые часто создают трудности при
аналитических исследованиях. В
настоящее время
имитационное моделирование - наиболее
эффективный метод исследования
больших систем, а часто и единственный
практически доступный метод получения
информации о поведении системы,
особенно на этапе ее проектирования...
Когда результаты, полученные при
воспроизведении на имитационной
модели процесса функционирования
системы S, являются реализациями
случайных величин и функций, тогда для
нахождения характеристик процесса
требуется его многократное
воспроизведение с последующей
статистической обработкой информации и
целесообразно в качестве метода
машинной реализации имитационной
модели использовать метод
статистического моделирования.
Первоначально был разработан метод
статистических испытаний,
представляющий собой численный метод,
который применялся для моделирования
случайных величин и функций,
вероятностные характеристики
которых совпадали с решениями
аналитических задач
(такая процедура получила название
метода Монте-Карло). Затем
этот прием стали применять и для
машинной имитации с целью
исследования характеристик процессов
функционирования систем, подверженных
случайным воздействиям, т. е. появился
метод статистического моделирования...
Таким образом, методом
статистического моделирования будем в
дальнейшем
называть метод машинной реализации
имитационной модели,
а методом статистических испытаний
(Монте-Карло)
численный метод решения аналитической
задачи. Метод имитационного
моделирования позволяет решать задачи
анализа больших систем S, включая
задачи оценки: вариантов
структуры системы, эффективности
различных алгоритмов управления
системой, влияния изменения различных
параметров системы.
Имитационное моделирование может
быть положено также в основу
структурного, алгоритмического и
параметрического синтеза больших
систем, когда требуется создать систему,
с заданными характеристиками при
определенныхограничениях, которая
является оптимальной по некоторым
критериям оценки эффективности. При
решении задач машинного синтеза систем
на основе их имитационных моделей
помимо разработки моделирующих
алгоритмов для анализа фиксированной
системы необходимо также разработать
алгоритмы поиска оптимального варианта
системы. Далее в методологии машинного
моделирования будем различать два
основных раздела: статику и динамику,
основным содержанием которых являются
соответственно вопросы анализа и
синтеза систем, заданных
моделирующими алгоритмами...
Комбинированное (аналитикоимитационное) моделирование при
анализе и синтезе систем позволяет
объединить достоинства аналитического и
имитационного моделирования. При
построении комбинированных моделей
проводится предварительная
декомпозиция процесса
функционирования объекта на
составляющие подпроцессы и для тех из
них, где это возможно, используются
аналитические модели, а для остальных
подпроцессов строятся имитационные
модели. Такой комбинированный подход
позволяет охватить качественно
новые классы систем, которые не могут
быть исследованы
с использованием только аналитического
и имитационного моделирования в
отдельности." [ Советов Б.Я. Яковлев С.А.
Моделирование систем.Учебник для
вузов. - М.: Высшая школа, 2001.- 343 с;
стр. ??]
13 ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
"Натурным моделированием называют
проведение исследования
на реальном объекте с последующей
обработкой результатов эксперимента на
основе теории подобия. При
функционировании
объекта в соответствии с поставленной
целью удается выявить
закономерности протекания реального
процесса. Надо отметить,
что такие разновидности натурного
эксперимента, как производственный
эксперимент и комплексные испытания,
обладают высокой степенью
достоверности.
С развитием техники и проникновением в
глубь процессов,
протекающих в реальных системах,
возрастает техническая оснащенность
современного научного эксперимента. Он
характеризуется широким использованием
средств автоматизации проведения,
применением весьма разнообразных
средств обработки информации,
возможностью вмешательства человека в
процесс проведения эксперимента, и в
соответствии с этим появилось новое
научное направление автоматизация
научных экспериментов...
Отличие эксперимента от реального
протекания процесса заключается в том,
что в нем могут появиться отдельные
критические ситуации и определяться
границы устойчивости процесса.
Можно выделить три основные группы
блоков: блоки, характеризующие
моделируемый процесс
функционированиясистемы S: блоки,
отображающие внешнюю среду и ее
воздействие на реализуемый процесс;
блоки, играющие служебную
вспомогательную роль, обеспечивая
взаимодействие первых двух, а также
выполняющие дополнительные функции
по получению и обработке результатов
моделирования. Кроме того,
имитационная система характеризуется
набором переменных, с помощью которых
удается управлять изучаемым процессом,
и набором начальных
условий, когда можно изменять условия
проведения машинного
эксперимента.
Таким образом, имитационная система
есть средство проведения
машинного эксперимента, причем
эксперимент может ставиться
многократно, заранее планироваться,
могут определяться условия его
проведения. Необходимо при этом
выбрать методику оценки адекватности
получаемых результатов и
автоматизировать как процессы
получения, так и процессы обработки
результатов в ходе машинного
эксперимента." [ Советов Б.Я. Яковлев
С.А. Моделирование систем.Учебник для
вузов. - М.: Высшая школа, 2001.- 343 с;
стр. ??]
14 МЕТОДЫ УПРОЩЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
"При построении математической модели
системы необходимо решить вопрос об ее
полноте. Полнота модели регулируется в
основном выбором границы 'система S среда Е '. Также должна быть решена
задача упрощения модели, которая
помогает выделить основные свойства
системы, отбросив второстепенные.
Причем отнесение свойств системы к
основным или второстепенным
существенно зависит от цели
моделирования системы (например,
анализ вероятностно-временных
характеристик процесса
функционирования системы, синтез
структуры системы и т. д.)" [ Советов Б.Я.
Яковлев С.А. Моделирование
систем.Учебник для вузов. - М.: Высшая
школа, 2001.- 343 с; стр. ??]
15 ТЕХНИЧЕСКИЕ И ПРОГРАММНЫЕ
СРЕДСТВА МОДЕЛИРОВАНИЯ
"Исторически первым сложился
аналитический подход к исследованию
систем, когда ЭВМ использовалась в
качестве вычислителя по аналитическим
зависимостям. Анализ характеристик
процессов функционирования больших
систем с помощью только аналитических
методов исследования наталкивается
обычно на значительные трудности,
приводящие к необходимости
существенного упрощения моделей либо
на этапе их построения, либо в процессе
работы с моделью, что может привести к
получению недостоверных результатов.
Поэтому в настоящее время наряду с
построением аналитических моделей
большое внимание уделяется задачам
оценки характеристик больших систем на
основе имитационных моделей,
реализованных на современных ЭВМ с
высоким быстродействием и большим
объемом оперативной памяти. Причем
перспективность имитационного
моделирования как метода исследования
характеристик процесса
функционирования больших систем
возрастает с повышением
быстродействия и оперативной памяти
ЭВМ, с развитием математического
обеспечения, совершенствованием банков
данных и периферийных устройств для
организации диалоговых систем
моделирования. Это, в свою очередь,
способствует появлению новых "чисто
машинных" методов решения задач
исследования больших систем на основе
организации имитационных
экспериментов с их моделями. Причем
ориентация на автоматизированные
рабочие места на базе персональных
ЭВМ для реализации экспериментов с
имитационными моделями больших
систем позволяет проводить не только
анализ их характеристик, но и решать
задачи структурного, алгоритмического и
параметрического синтеза таких систем
при заданных критериях оценки
эффективности и ограничениях...
Достигнутые успехи в использовании
средств вычислительной техники для
целей моделирования часто создают
иллюзию, что применение современной
ЭВМ гарантирует возможность
исследования системы любой сложности.
При этом игнорируется тот факт, что в
основу любой модели положено
трудоемкое по затратам времени и
материальных ресурсов предварительное
изучение явлений, имеющих место в
объекте-оригинале. И от того, насколько
детально изучены реальные явления,
насколько правильно проведена их
формализация и алгоритмизация, зависит
в конечном итоге успех моделирования
конкретного объекта.
Средства моделирования систем.
Расширение возможностей
моделирования различных классов
больших систем неразрывно связано с
совершенствованием средств
вычислительной техники и техники связи.
Перспективным направлением является
создание для целей моделирования
иерархических многомашинных
вычислительных систем, включающих в
себя центральный вычислительный
комплекс из больших ЭВМ и множество
связанных с ним каналами связи
удаленных локальных вычислительных
сетей и персональных ЭВМ, работающих в
режиме телеобработки...
При создании больших систем их
компоненты разрабатываются
различными коллективами, которые
используют средства моделирования при
анализе и синтезе отдельных подсистем.
При этом разработчикам необходимы
оперативный доступ к программнотехническим средствам моделирования, а
также оперативный обмен результатами
моделирования отдельных
взаимодействующих подсистем.Таким
образом, появляется необходимость в
создании диалоговых систем
моделирования, для которых характерны
следующие особенности: возможность
одновременной работы многих
пользователей, занятых разработкой
одной или нескольких систем, доступ
пользователей к программно-техническим
ресурсам системы моделирования,
включая, базы данных и знаний, пакеты
прикладных программ моделирования,
обеспечение диалогового режима работы
с различными вычислительными
машинами и устройствами, включая
цифровые и аналоговые вычислительные
машины, установки натурного и
физического моделирования, элементы
реальных систем и т. п., диспетчирование
работ в системе моделирования и
оказание различных услуг пользователям,
включая обучение работе с диалоговой
системой моделирования.
В зависимости от специфики исследуемых
объектов в ряде случаев эффективным
оказывается моделирование на
аналоговых вычислительных машинах
(АВМ). При этом надо иметь в виду, что
АВМ значительно уступают ЭВМ по
точности и логическим возможностям, но
по быстродействию, схемной простоте
реализации, сопрягаемости с датчиками
внешней информации АВМ превосходят
ЭВМ или по крайней мере не уступают им.
Для сложных динамических объектов
перспективным является моделирование
на базе гибридных (аналого-цифровых)
вычислительных комплексов. Такие
комплексы реализуют преимущества
цифрового и аналогового моделирования
и позволяют наиболее эффективно
использовать ресурсы ЭВМ и АВМ в
составе единого комплекса. При
использовании гибридных моделирующих
комплексов упрощаются вопросы
взаимодействия с датчиками,
установленными на реальных объектах,
что позволяет, в свою очередь, проводить
комбинированное моделирование с
использованием аналого-цифровой части
модели и натурной части объекта... Такие
гибридные моделирующие комплексы
могут входить в состав многомашинного
вычислительного комплекса, что еще
больше расширяет его возможности с
точки зрения моделируемых классов
больших систем." [ Советов Б.Я. Яковлев
С.А. Моделирование систем.Учебник для
вузов. - М.: Высшая школа, 2001.- 343 с;
стр. 10 - ??]
"Эксперимент с имитационной моделью
требует серьезной подготовки, поэтому
имитационная система характеризуется
наличием математического,
программного, информационного,
технического, эргономического и других
видов обеспечения.
Математическое обеспечение
имитационной системы
включает в себя совокупность
математических соотношений,
описывающих поведение реального
объекта, совокупность алгоритмов,
обеспечивающих как подготовку, так и
работу с моделью. Сюда могут быть
отнесены алгоритмы ввода исходных
данных, имитации, вывода, обработки.
Программное обеспечение по своему
содержанию включает в себя
совокупность программ: планирования
эксперимента, имитационной модели,
проведения эксперимента, обработки и
интерпретации результатов. Кроме того,
программное обеспечение имитационной
системы должно обеспечивать
синхронизацию процессов в модели, т. е.
необходим блок, организующий
псевдопараллельное
выполнение процессов в модели.
Машинные эксперименты с
имитационными моделями не могут
проходить без хорошо разработанного и
реализованного информационного
обеспечения.
Информационное обеспечение включает в
себя средства
и технологию организации и
реорганизации базы данных
моделирования, методы логической и
физической организации массивов,
формы документов, описывающих
процесс моделирования и его результаты.
Информационное обеспечение
имитационной системы является
наименее разработанной частью,
поскольку только в настоящее время
наблюдается переход к созданию
сложных имитационных моделей и
разрабатывается методология их
использования при анализе и синтезе
сложных систем с использованием
концепции базы данных и знаний.
Техническое обеспечение имитационной
системы включает
в себя прежде всего средства
вычислительной техники, связи и обмена
между оператором и сетью ЭВМ, ввода и
вывода информации, управления
проведением эксперимента. К
техническому обеспечению
предъявляются весьма серьезные
требования по надежности
функционирования, так как сбои и отказы
технических средств, ошибки оператора
ЭВМ могут резко увеличить время работы
с имитационной моделью и даже привести
к неверным конечным результатам.
Эргономическое обеспечение
имитационной системы представляет
собой совокупность научных и прикладных
методик и методов, а также нормативнотехнических и организационнометодических документов, используемых
на всех этапах взаимодействия
человека-экспериментатора с
инструментальными средствами
(ЭВМ, гибридными комплексами и т. д.).
Эти документы, используемые на всех
стадиях разработки и эксплуатации
имитационных систем и их элементов,
предназначены для формирования и
поддержания эргономического качества
путем обоснования и выбора
организационно- проектных решений,
которые создают оптимальные условия
для высокоэффективной деятельности
человека во взаимодействии с
моделирующим комплексом.
Таким образом, имитационная система
может рассматриваться
как машинный аналог сложного реального
процесса. Она позволяет заменить
эксперимент с реальным процессом
функционирования системы
экспериментом с математической
моделью этого процесса в ЭВМ. В
настоящее время имитационные
эксперименты широко используют в
практике проектирования сложных систем,
когда реальный эксперимент невозможен.
Возможности машинного моделирования.
Несмотря на то что имитационное
моделирование на ЭВМ является мощным
инструментом исследования систем, его
применение рационально не во всех
случаях. Известно множество задач,
решаемых более эффективно другими
методами. Вместе с тем для большого
класса задач исследования и
проектирования систем метод
имитационного моделирования
наиболее приемлем. Правильное его
употребление возможно лишь в случае
четкого понимания сущности метода
имитационного моделирования и условий
его использования в практике
исследования реальных систем при учете
особенностей конкретных систем и
возможностей их исследования
различными методами.
В качестве основных критериев
целесообразности применения
метода имитационного моделирования на
ЭВМ можно указать
следующие: отсутствие или
неприемлемость аналитических,
численных и качественных методов
решения поставленной задачи; наличие
достаточного количества исходной
информации о моделируемой системе S
для обеспечения возможности построения
адекватной имитационной модели;
необходимость проведения на базе других
возможных методов решения очень
большого количества вычислений, трудно
реализуемых даже с использованием
ЭВМ; возможность поиска оптимального
варианта системы при ее моделировании
на ЭВМ.
Имитационное моделирование на ЭВМ,
как и любой метод
исследований, имеет достоинства и
недостатки, проявляющиеся
в конкретных приложениях... К числу
основных достоинств
метода имитационного моделирования
при исследовании
сложных систем можно отнести
следующие: машинный эксперимент с
имитационной моделью дает возможность
исследовать особенности процесса
функционирования системы S в любых
условиях; применение ЭВМ в
имитационном эксперименте существенно
сокращает продолжительность испытаний
по сравнению с натурным экспериментом;
имитационная модель позволяет включать
результаты
натурных испытаний реальной системы
или ее частей для
проведения дальнейших исследований;
имитационная модель обладает известной
гибкостью варьирования структуры,
алгоритмов и параметров моделируемой
системы, что важно с точки зрения поиска
оптимального варианта системы;
имитационное моделирование сложных
систем часто является единственным
практически реализуемым методом
исследования процесса
функционирования таких систем на этапе
их проектирования. Основным
недостатком, проявляющимся при
машинной реализации метода
имитационного моделирования, является
то, что решение, полученное при анализе
имитационной модели М, всегда носит
частный характер, так как оно
соответствует фиксированным элементам
структуры, алгоритмам поведения и
значениям параметров системы S,
начальных условий и воздействий
внешней среды Е.
Поэтому для полного анализа
характеристик процесса
функционирования систем, а не
получения только отдельной точки
приходится многократно воспроизводить
имитационный эксперимент, варьируя
исходные данные задачи. При этом, как
следствие, возникает увеличение затрат
машинного времени на проведение
эксперимента с имитационной моделью
процесса функционирования исследуемой
системы S.
Эффективность машинного
моделирования. При имитационном
моделировании, так же как и при любом
другом методе анализа
и синтеза системы S, весьма существен
вопрос его эффективности.
Эффективность имитационного
моделирования может оцениваться рядом
критериев, в том числе точностью и
достоверностью результатов
моделирования, временем построения и
работы с моделью М, затратами
машинных ресурсов (времени и памяти),
стоимостью разработки и эксплуатации
модели. Очевидно, наилучшей оценкой
эффективности является сравнение
получаемых результатов с реальным
исследованием, т. е. с моделированием
на реальном объекте при проведении
натурного эксперимента. Поскольку это не
всегда удается сделать, статистический
подход позволяет с определенной
степенью точности при повторяемости
машинного эксперимента получить какието усредненные характеристики
поведения системы. Существенное
влияние на точность моделирования
оказывает число реализаций, и в
зависимости от требуемой достоверности
можно оценить необходимое число
реализаций воспроизводимого случайного
процесса. Существенным показателем
эффективности являются затраты
машинного времени. В связи с
использованием ЭВМ различного
типа суммарные затраты складываются из
времени по вводу и выводу данных по
каждому алгоритму моделирования,
времени на проведение вычислительных
операций, с учетом обращения к
оперативной памяти и внешним
устройствам, а также сложности каждого
моделирующего алгоритма. Расчеты
затрат машинного времени являются
приближенными и могут уточняться по
мере отладки программ и накопления
опыта у исследователя при работе с
имитационной моделью. Большое
влияние на затраты машинного времени
при проведении имитационных
экспериментов оказывает рациональное
планирование таких экспериментов.
Определенное влияние на затраты
машинного времени могут оказать
процедуры обработки результатов
моделирования, а также форма их
представления. Построение
имитационных моделей больших систем и
проведение
машинных экспериментов с этими
моделями представляют
собой достаточно трудоемкий процесс, в
котором в настоящее
время много неизученного. Однако
специалисты в области проектирования,
исследования и эксплуатации больших
систем должны в совершенстве знать
методологию машинного моделирования,
сложившуюся к настоящему времени,
чтобы быть готовыми к появлению ЭВМ
следующих поколений, которые позволят
сделать еще один существенный шаг в
автоматизации построения моделей и
использования имитационного
моделирования систем." [ Советов Б.Я.
Яковлев С.А. Моделирование
систем.Учебник для вузов. - М.: Высшая
школа, 2001.- 343 с; стр. ??]
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1 МАТЕМАТИКА
1.1 Векторы
1.1.1Определение вектора
В любой системе координат n-мерного
пространства вектор задается своими
координатами – набором n чисел. Если
(u1,.., un ) – координаты вектора U в
системе координат x1,…xn, (v1,…, vn ) – его
координаты в системе координат y1,…, yn,
причем,
yi = ai1 x + … +
ain xn + bi
для всех i = 1,…, n, то
vi = ai1 u1 + … +
ain un.
Таким образом, при переходе от одной
системы координат к другой системе
координат с тем же самым началом
координаты вектора преобразуются так
же, как координаты точки.
1.1.2Операции над векторами.
При сложении двух векторов их
одноименные координаты складываются;
при умножении вектора на вещественное
число каждая его координата умножается
на это число.
Пусть (u1,..,un ) и (v1,…,vn ) –
координаты
векторов
U
и
V
соответственно в некоторой координатной
системе x1,…xn. Сумма произведений их
одноимённых координат u1v1 +…+ un vn
обозначается символом U V и называется
скалярным произведением векторов U и V,
число ( U U ) 1/2 называется длиной (или
величиной) вектора U в координатной
системе x1,…xn и обозначается так: | U |; |
U | = 0 тогда и только тогда, когда вектор
U нулевой, т.е. все его координаты равны
нулю.
Если а – число, U, V – векторы,
то
| a U |=| a ||U |
||U | - |V || ≤ |U+V
| ≤ |U | +|V |
| U V | | ≤ | U | | V |.
Пример.
1.1.3 Направленные отрезки
Примером вектора может служить
направленный
отрезок,
который
соединяет точки M и N прямой, плоскости
или
пространства.
Он обозначается
символом MN. Для вычисления координат
направленного отрезка MN. следует из
координат его конца ( точки N ) вычесть
соответствующие координаты начала (
точки M ), они совпадают с его
проекциями на оси координат.. Частным
случаем направленного отрезка является
радиус-вектор точки, он соединяет начало
координат с этой точкой. Отметим, что
направленные
отрезки,
имеющие
одинаковую
длину
и
направление,
представляют один и тот же вектор.
При переходе к новой системе координат
меняются лишь координаты вектора, а
сам вектор остаётся прежним. Сложнее
обстоит дело с радиусом-вектором точки он изменяется в случае выбора нового
начала координат: O'M = O'O + OM, где
OM - радиус-вектор точки M в системе
координат с yfxfkjv в точке O, O'M радиус-вектор той же точки в системе
координат с началом в точке O'.
Координаты направленного отрезка длины
1, лежащего в плоскости, xOy
и
образующего угол φ с осью Ox, равны (
cos φ, sin φ, 0 ). Ненулевые
направленные отрезки U, V лежат на
одной прямой или параллельны между
собой тогда и только тогда, когда
существует вещественное число a, для
которого, V = a U.
Направленные отрезки складывают
по правилу параллелограмма или по
правилу
треугольника.
Скалярное
произведение направленных отрезков
получается перемножением их длин и
косинуса угла между ними; проекция
направленного отрезка на ось равна его
скалярному произведению на отрезок
единичной длины, направленный вдоль
оси.
1.1.4 Уравнение плоскости
Пусть R0 – радиус-вектор какой-то
фиксированной точки M0 плоскости E, R -
радиус-вектор произвольной точки M
трёхмерного пространства, N - вектор,
перпендикулярный плоскости E. Точка M
принадлежит плоскости E тогда и только
тогда, когда векторы M0M и N взаимно
перпендикулярны – когда их скалярное
произведение равно нулю: M0M N = 0
или ( R – R0 ) N = 0. Вектор N называется
нормальным вектором плоскости E, он
перпендикулярен любой прямой, лежащей
в этой плоскости. Векторное уравнение
плоскости: E имеет вид NR + d = 0, d = R0 N.
1.2 Функции
1.2.1
Определение
предела
функции
Число b называется пределом
функции f ( x ) при x стремящемся к a,
если для любого положительного числа ε
можно указать такое положительное число
δ, что | f ( x ) – b | < ε, когда x
принадлежит
области
определения
функции f, | x - a | < δ и x не равно a.
Таким образом, по мере того, как x
приближается к a, f ( x ) приближается к
b. Предел функции f ( x ) обозначается
символом lim f ( x ).
Во многих задачах наряду с
обычными
числами
приходится
рассматривать бесконечно удаленные
элементы ∞, +∞, -∞. Число b называется
пределом функции f ( x ) при x
стремящемся к +∞, если для любого
положительного числа ε можно указать
такое положительное число d, что | f ( x ) –
b | <
ε, когда x > d.
Аналогично
определяются
бесконечные
и
односторонние пределы.
1.2.2 Свойства пределов
Предел
постоянной
функции
равен этой постоянной. Если при x
стремящемся к a определены пределы
lim f ( x ) и lim g ( x ) , то lim ( f ( x ) + g (
x ) ) = lim f ( x ) + lim g ( x ), lim ( f ( x ) g (
x ) ) = lim f ( x ) lim g ( x ).. Эти формулы
можно
распространить
на
случай
бесконечно
удаленных
элементов,
полагая b +∞ = + ∞ +∞= +∞, b - ∞ = -∞ -∞
=-∞ Значения выражений + ∞ - ∞, ∞/∞,
0/0 не определены.
1.2.3 Непрерывные функции
Функция f ( x ) называется непрерывной
в точке а, если она определена в этой
точке и lim f ( x ) = f ( а ) когда x
стремится к a (малому приращению
аргумента
соответствует
малое
изменение функции). Если функция
f
непрерывна в точке x0 и f ( x0 ) > 0 (
соответственно, f ( x0 ) < 0 ), то значение
функции
f
будет положительным (
соответственно, отрицательным ) в
каждой точке некоторого интервала,
содержащего x0 .
Пусть функция
f
непрерывна в
каждой точке интервала [ a, b ], тогда она
принимает на этом интервале
все
значения, заключённые между f ( a ) и f (
b ). Таким образом, если функция
непрерывна в каждой точке своей области
определения, то ее график можно
нарисовать, не отрывая карандаша от
бумаги.
Элементарные функции (постоянные,
степенные,
показательные,
тригонометрические), а также функции,
которые получаются из них с помощью
операций
сложения,
вычитания,
умножения,
деления,
подстановки
функции
вместо
аргумента
другой
функции и перехода к обратной функции,
непрерывны во всех точках, где они
определены.
1.2..4 Производная
1.2.4.1 Определение производной
Производной функции f в точке x
называется
предел
отношения
приращения функции к приращению
аргумента в этой точке, когда приращение
аргумента стремится к нулю:
f'( x ) = lim ( f ( x + h ) – f ( x ) )
/ h , (h стремится к 0).
1.2.4.2 Пример
Пусть f ( x ) = x, g ( x ) = x2 , тогда
fґ( x ) = lim ( ( x + h ) – x ) / h =
lim h / h = 1
g' ( x ) = lim ( ( x + h )2 – x2 ) / h = lim ( 2
x h + h2) / h = lim ( 2 x + h ) = 2 x;
(h стремится к 0)
Если функция имеет производную в
точке x, то она непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно: функция
f ( x ) = | х | непрерывна, но не имеет
производной в нуле.
1.2.4.3
дифференцирования
Правила
( f( x ) + g ( x ))' = f' ( x ) + g' ( x );
( a f ( x ))' = a f' ( x );
( f( x ) g( x )) ' = f'( x ) g ( x ) + f (
x ) g' ( x );
( f ( g ( x ) )' = f' ( g ( x ) ) g' ( x );
( f ( a x + b ) = a f’ ( a x + b ).
1.2.4.4 Производные
функций
элементарных
Производная постоянной функции равна
нулю.
( x )’ = 1
(xa )' = a xa-1
( ex )' = ex
( sin x )' = cos x
( cos x )' = -sin x
( ln | x | )' = 1 / x
1.2.4.5. Формула Тейлора.
Если функция f имеет производную в
каждой точке, расположенной вблизи
точки
x,
то
можно
определить
производную второго порядка функции f в
точке x:
/h
f΄΄( x )= lim ( f'( x + h ) – ( f'( x ) )
(h стремится к 0 )
Таким образом, вторая производная – это
«производная производной». Аналогично
определяются
производные
более
высокого порядка.
Пусть функция f имеет производные
порядка n + 1 в каждой точке замкнутого
интервала, концами которого служат
числа x0 , x0 + h
( n - целое
неотрицательное число ), тогда внутри
этого интервала существует такая точка ξ,
что
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + f' ( x0 ) h + f'' ( x0 ) h2 /
2! + ... + f( n ) ( x0 ) hn / n! + f( n+1 ) ( ξ ) hn+1 / (
n + 1 )!
( формула Тэйлора ),
n! ( читается 'эн факториал' ) равно
произведению чисел 1 2 ... n.
1.2.5
Исследование функций
Пусть областью определения
функции служит числовой интервал. Если
в каждой его точке производная функции
положительна, то функция возрастает:
большему значению аргумента
соответствует большее значение
функции; если же в каждой точке этого
интервала её производная отрицательна,
то функция убывает: большему значению
аргумента соответствует меньшее
значение функции. Если производная
функции в каждой точке равна нулю, то
функция постоянна. Все эти утверждения
сразу вытекают из формулы Тейлора.
Функция
a0 x n + a1 x n-1 +…+ an-1 x + an
называется многочленом, а вещественные
числа a0 ,… an - его коэффициентами;
если a0 отлично от нуля, то степень
многочлена равна n . Многочлены нулевой
степени
являются
постоянными
функциями. Если степень многочлена n >
0,
то
степень
производной
этого
многочлена равна n - 1 ; таким образом,
его производная порядка n + 1
равна
нулю. Значения x , при которых многочлен
обращается в нуль, называются его
корнями. Многочлен степени n > 0 имеет
не более n корней.
Основанием показательной функции
ex или exp( x ) служит число Эйлера e =
2.71828… . Все значения показательной
функции положительны, она переводит
сумму в произведение, а разность – в
отношение:
exp ( x + y ) = exp ( x )
exp ( y ),
exp ( x – y ) = exp ( x )
/ exp ( y ),
exp ( -x ) = 1 / exp ( x
).
1.2.6. Производная векторной функции.
Векторная функция задается в
каждой системе координат n-мерного
пространства
набором
n
функций,
которые преобразуются при переходе от
одной системы координат к другой так же,
как векторы. Координаты производной
векторной функции равны производным
соответствующих координат исходной
вектор-функции; аналогично определяется
вторая производная векторной функции.
Пусть U(x), V(x) – векторные функции,
f(x) – скалярная (числовая) функция, тогда
( U ( x ) + V ( x ))΄ = U΄ ( x ) + V΄
( x );
( f ( x ) U ( x ))΄ = f΄( x ) U ( x ) +
f ( x ) U΄(x);
( U ( x ) V ( x ))΄ = U΄( x ) V ( x )
+ U ( x ) V΄( x );
( | U ( x ) |2 )ґ = ( U ( x ) U ( x )
)’ = 2 U ( x ) Uґ( x ).
1.2.7. Первообразная
неопределенный интеграл
функция
и
1.2.7.1 Определение первообразной
функции
Функция h ( x ) называется
первообразной функции f ( x ), если обе
они имеют одну и ту же область
определения, в каждой точке которой h’( x
) = f ( x ). Множество всех первообразных
функции называется ее неопределенным
интегралом и обозначается символом
f(x)
dx
Если
h ( x ) – первообразная
функции f ( x ), то
f ( x )
dx = h ( x ) + c,
это значит, что, прибавляя к функции h ( x
) постоянные, мы получим все остальные
первообразные
1.2.7.2
функций
Интегрирование элементарных
0 dx = c,
dx = x + c,
x dx = = x 2 / 2 + c,
x a dx = x
не равно -1 ),
a+1
/(a+1)
( число a
( 1 / x ) dx = ln | x | + c.
1.2.7.3 Правила интегрирования
( f ( x )) + g ( x )) dx = f ( x ) dx + g ( x
) dx,
a f ( x ) dx = a f ( x ) dx.
1.2.7.3.1 Правило замены переменной
Если h – первообразная функции f, то
f ( g ( x ) ) g’( x ) dx =
h’( g ( x )) g’( x ) dx =
= ( h ( g ( x ) ) )’ dx = h
( g ( x )) + c.
Произведение g΄( x ) dx называют
дифференциалом
функции
g
и
обозначают символом dg. Таким образом,
если формула
g)
f ( g ) dg = h (
справедлива, когда
g – независимая
переменная,
то
она
остаётся
справедливой, когда g
является
функцией..
В частности, если h - первообразная
функции f, a, b - вещественные числа, a
отлично от нуля, то
f ( a x + b ) dx = h ( a x + b ) / a +c.
1.3 Дифференциальные уравнения
1.3.1 Простейшее дифференциальное
уравнение имеет вид yґ = f ( x ): требуется
найти функцию y(x), для которой yґ( x ) =
f ( x ). Решением этого уравнения служит
любая первообразная функции f ( x ):.
Для того, чтобы выделить из множества
всех
первообразных
ту,
которая
описывает ход конкретного процесса или
режим работы устройства, используют
дополнительные условия.
1.3.1.1 Пример.
Найти решение дифференциального
уравнения y΄ = q, где q - вещественное
число.
Решение
y( x ) =
q dx = q x +
c,
c – произвольная постоянная.
1.3.2
Метод разделения переменных
1.3.2.1
Постоянная функция y (
x ) = c является решением уравнения
yґ = f( y ) тогда и только тогда, когда f (
c ) = 0.
. Для того, чтобы найти его
решение, отличное от постоянной,
разделим левую и правую части
уравнения на f ( y ), а затем выполним
интегрирование::
=
1 / f ( y ( x )) y’( x ) dx
dx,
Применяя правило замены переменной
в интеграле, получим:
1.3.2.1.1
1 / f ( y ) dy = x +
c.
Интеграл в левой части находим так,
как если бы символ у обозначал
независимую переменную. Постоянная
величина
c
определяется
дополнительными
условиями.
Можно
показать, что для любой точки x области
определения полученного решения y f ( y
( x ) ) не равно нулю, поэтому деление
обеих частей уравнения на f ( y ) не
приводит к появлению особенностей в
подынтегральном выражении 1.3.2.1.1.
1.3.2.2 Пример
Решить уравнение
y΄ + p y + q = 0,
p, q – вещественные числа, . p
равно нулю..
не
Решение
y΄= - p y - q,
1 / ( y + q / p) y’=
-p,
1 / ( y + q / p) y’ dx = -
p dx + c,
ln | y + q / p | = - p x + c ,
y + q / p = exp (
c ) exp ( - p x )
1.3.2.2.1
x)– q/p.
y = c exp ( - p
Примечание. Чтобы избавиться от
символа абсолютной величины, мы
должны поставить перед множителем exp(
c ) знак плюс или минус; тогда он будет
принимать
любые
ненулевые
вещественные значения, когда
c
пробегает
множество
вещественных
чисел. Для простоты мы написали вместо
exp ( c ) просто c.
Найдём
постоянное
решение
дифференциального уравнения 1.3.2.2:,
решая алгебраическое уравнение
p y+q=0:
y ( x ) = - q / p.
Это решение
получается из общего
решения 1.3.2.2.1 при
c = 0; таким
образом, в формуле 1.3.2.2.1 постоянная
c
принимает любое вещественное
значение;
Проверка.
( с exp ( -p x ) – q / p )΄ + p ( с
exp ( -p x ) – q / p ) + q = -p с exp ( px)+
+ p с exp ( -p x ) – q
+ q = 0.
1.3.3
Уравнения, допускающие
понижение порядка
Наибольший
порядок
производной,
входящей
в
дифференциальное
уравнение,
называется
порядком
дифференциального уравнения. Если
уравнение содержит лишь производные
неизвестной функции, то его порядок
можно понизить. Рассмотрим уравнение
второго порядка
y΄΄= f ( x, y΄).
Обозначая производную неизвестной
функции
через
u,
получим
дифференциальное уравнение первого
порядка: u΄= f ( x, u ). Функция у
выражается через u
с помощью
неопределенного интеграла:
u ( x ) dx = y’( x
) dx = y ( x ) +c.
1.3.3.1 Пример
Найти решение дифференциального
уравнения
y΄΄ + p y΄
+q=0,
где p , q - вещественные числа,
отлично от нуля.
p
Решение
Выполнив замену неизвестной функции
y΄ = u , получим дифференциальное
уравнение первого порядка:
u΄ + p
u+q=0
Его решение имеет вид
u = c exp ( -p
x)–q / p
( 1.3.2.1.1 );
y΄ = c exp ( -p x
)–q / p,
y ( x ) = ( c exp ( -p x ) – q / p ) dx
= -c exp ( -p x ) / p – q x / p + b ,
b, c – произвольные постоянные.
Для простоты обозначим отношение -c
/ p снова через c , тогда
y ( x ) = c exp ( -p x )
–qx /p+b.
1.3.3.2 Пример.
Найти
решение
векторного
дифференциального уравнения
R΄΄ + p R΄ + A
=0,
где p - отличное от нуля вещественное
число, A - вектор.
Решение.
Пусть r1,
r 2,
r3
- координаты
неизвестной векторной функции R, Пусть
a1 , a2 , a3 - координаты вектора A.
Представим
векторное
дифференциальное
уравнение
в
координатной форме:
r 1΄΄ + p r 1΄ + a
1
=0,
r 2΄΄ + p r 2΄ +
a2 = 0 ,
r 3΄΄ + p r 3΄ + a
3
=0,
Решая
получим
каждое
их
этих
уравнений,
r 1 ( x ) = c 1 exp ( -p x ) – a 1
x / p + b1
r 2 ( x ) = c 2 exp ( -p x ) – a 2
x / p + b2
r 3 ( x ) = c 3 exp ( -p x ) – a 3
x / p + b3
Обозначим через B (соответственно, C
) вектор, координатами которого служат
числа b 1 , b 2 , b 3 (соответственно, c 1 , c
2 , c 1 ). Тогда
R ( x ) = C exp ( -p x ) – A x
/ p+B
Проверка:
( C exp ( -p x ) – A x / p + B )΄΄ + p (
C exp ( -p x ) – A x / p + B )΄ + A =
= p2 C exp ( -p x ) – p2 C
exp ( -p x ) – A + A = 0.
1.3.3.3 Пример
Пусть U , V , A - векторы, p - отличное
от нуля вещественное число; найти
решение векторного дифференциального
уравнения
R΄΄ + p R΄ + A
=0,
удовлетворяющего условиям R ( x0 ) = U,
R΄ ( x 0 ) = V, где x 0 - заданное значение
аргумента.
Решение.
В силу 1.3.3.2
1.3.3.3.1
p x ) – A x / p + B,
R ( x ) = C exp ( -
R΄ ( x ) = - p C exp ( -p x ) –
A / p.
векторы B , C должны быть выбраны так,
чтобы выполнялись начальные условия:
C exp ( -p x 0 ) – A x 0 / p
+ B = U,
- p C exp ( -p x 0 ) – A / p
= V.
Из последнего
значение C :
уравнения
получаем
C = - ( V + A / p ) exp ( p x 0 ) / p =
- ( A + p V ) exp ( p x 0 ) / p 2
тогда
B = U + A x 0 / p - C exp ( -p x 0 ) =
U + A x 0 / p + ( A + p V ) / p 2.
Остаётся подставить значения B , C
правую часть формулы 1.3.3.3.1.
в
Ответ
R ( x ) = - ( A + p V ) exp ( - p ( x – x 0 ) )
/ p2 – A x / p + U + A x0 / p +
+ ( A + p V ) / p2 = U + ( A + p V )
( 1 - exp ( - p ( x – x 0 ) ) / p 2 –
- A ( x – x0 ) / p
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1.3.4 Линейное дифференциальное
уравнение второго порядка
1.3.4.1
уравнение
Линейное
однородное
Представление
дифференциального уравнения
решения
y’΄+ p y΄+ q y =
0,
где
p, q - вещественные числа,
определяется значением дискриминанта
d = p2 / 4 – q:
d > 0: y = exp ( -p x / 2) ( b exp ( d
x) + c exp ( -d1/2 x ) ) ;
1/2
d = 0: y = exp ( -p x / 2) ( b + c x ) ;
d < 0: y = exp ( -p x / 2) ( b sin ( | d |1/2
x ) + c cos ( | d |1/2 x ) ).
a, b - произвольные постоянные.
1.3.4.2
Линейное
уравнение
Рассмотрим
уравнение
неоднородное
дифференциальное
y΄΄+ p y΄+ q y +
а=0,
где а – вещественное число. Если q = 0,
то оно решается с помощью понижения
порядка (замена u = y΄); если же q
отлично от нуля, то выполняем замену
неизвестной функции: y = u - a / q: y΄ =
u΄, y΄΄ = u΄΄
и уравнение становится
однородным
u΄΄ + p u΄+ q
u = 0.
Решения уравнений 1.3.2.2, 1.3.3.1 –
1.3.3.3, 1.3.4.1., 1.3.4.2 определены на
всей числовой прямой.
1.3.5 Теоремы единственности
1.3.5.1 Пример.
Положим для a > 0 ya ( x ) = 0 , когда
x ≤ a и ya ( x ) = ( x – a )3, когда х > а;
если х < а, то yaґ( x ) = 0, если х > а, то
yaґ( x ) = 3 ( х – а )2 = 3 ( ya ( x ) )2/3
Вычислим производную функции ya( x ) в
точке х = а . Пусть h > 0 , тогда
( ya ( a + h ) - ya ( a ) ) / h = h3
/h,
( ya ( a – h ) - ya ( a ) ) / (-h ) =
0 / ( -h ) = 0
ya ‘( a ) = lim ( ya ( a + h )
- ya ( a )) / h = 0, h стремится к 0
Таким образом, все функции
ya( x )
являются
решениями
дифференциального уравнения y΄ = 3 y2/3
и принимают в точке
значение.
x = 0
нулевое
1.3.5.2
Теорема
решения
дифференциального
первого порядка.
единственности
векторного
уравнения
Пусть
F - векторная функция,
заданная на подмножестве E n-мерного
пространства, c- такое положительное
число, что | F ( Y1 ) – F ( Y2 ) | ≤ c | Y1 Y2 | для всех Y1 , Y2 , принадлежащих
множеству Е. Если векторные функции
U, V , определенные на интервале I,
являются
решениями
векторного
дифференциального уравнения R΄ = F (
R)
и U ( a ) = V ( a ) в некоторой
точке а из I , то U = V .
Уравнение
примера
1.3.5.1
не
удовлетворяет
условию
теоремы
единственности
решения
дифференциального уравнения.
1.3.5.3
Теорема
решения
дифференциального
второго порядка.
единственности
векторного
уравнения
Пусть F – отображение подмножества
E
2n-мерного пространства в n-мерное
пространство, c - такое положительное
число, что | F ( Y1, Z1) - F ( Y2 , Z2 | ≤ c ( |
Y1 - Y2 | + | Z1 - Z2 |) для всех пар nмерных векторов (Y1 ,Z1,), ( Y2 , Z2 ),
принадлежащих множеству
Е. Если
векторные функции U, V , определенные
на интервале
I, являются решениями
векторного
дифференциального
уравнения R΄΄ = F ( R, R΄ ) и U (a) = V ( a
) , U΄ ( a ) = V΄ ( a ) в некоторой точке а из
I , то U = V .
1.4 Частные производные
1.4.1 Определение частной
производной
Частной производной функции f ( x, y )
по первой переменной в точке ( x, y )
называется предел
lim ( f ( x + h, y ) – f ( x, y ) ) / h ,
стремится к 0),
(h
она обозначается символом ∂f ( x, y) / ∂x.
Если мы зафиксируем аргумент y, то
получится функция fy ( x ), которая имеет
только один аргумент - x, в этом случае ∂f
( x, y) / ∂x = f'y ( x ). Аналогично
определяются частная производная ∂f ( x,
y ) / ∂y функции f ( x, y ) по второму
аргументу и частные призводные второго
порядка ∂2f ( x, y ) / ∂x2, ∂2f ( x, y ) / ∂y2, ∂2f (
x, y ) / ∂x ∂y, ∂2f ( x, y ) / ∂y ∂x
Для того, чтобы найти частную
производную функции f ( x, y ) по
аргументу x, мы дифференцируем её как
обычную функцию аргумента x, считая y
постоянной величиной.
Пример:
∂ ( a x2 + 2 b x y + c y 2 ) / ∂x = 2 a x + 2
b y,
∂ ( a x2 + 2 b x y + c y 2 ) / ∂y = 2 b x + 2
c y,
∂2 ( a x2 + 2 b x y + c y 2 ) / ∂x2 = 2 a,
∂2 ( a x2 + 2 b x y + c y 2 ) / ∂y2 = 2 с,
∂2 ( a x2 + 2 b x y + c y 2 ) / ∂x ∂y =
= ∂2 ( a x2 + 2 b x y + c y 2 ) / ∂y ∂x = 2
b.
1.4.2 Свойства частных производных
Пусть функция f ( x, y ) определена в
каждой точке прямоугольника Q = { ( x, y )
: a < x < b, a1 < y < b1 }, a, b, a1, b1 -
произвольные вещественные числа:
если ∂ f / ∂x = 0, то f ( x, y ) не зависит от x,
т.е. на интервале ] a1,b1 [ существует
функция g, для которой f ( x, y ) = g ( y ),
когда ( x, y ) принадлежит Q;
если частные производные второго
порядка ∂2f ( x, y ) / ∂x2, ∂2f ( x, y ) / ∂y2, ∂2f (
x, y ) / ∂x ∂y, ∂2f ( x, y ) / ∂y ∂x функции f
непрерывны, то её смешанные
производные равны между собой ∂2f / ∂x ∂y = ∂2f / ∂y ∂x.
2 МЕХАНИКА.
2.1 Понятие макроскопической частицы
Множество связанных друг с другом
физических
объектов
называется
физической
системой.
Состояние
физического объекта задаётся с помощью
набора наблюдаемых величин
Простейшая
физическая
система
образована единственным физическим
объектом – макроскопической частицей.
Состояние системы в момент времени t
определяется радиусом-вектором частицы
R ( t ). Разность векторов R ( t + h ) – R ( t
) называется перемещением частицы за
время [t, t + h] , а отношение ( R ( t + h )
– R ( t ) ) / h -- ее средней скоростью.
Скоростью частицы в момент времени t
называется предел её средней скорости в
течение интервала времени, содержащего
t, когда продолжительность интервала
стремится к нулю:
V ( t ) = lim ( R ( t + h ) – R
( t ) ) / h,
.
следовательно, V ( t ) = R’( t ).
2.1.1 Пример
Частица
движется
с
постоянной
скоростью, определите, как изменяется её
состояние с течением времени.
Решение
Будем рассматривать движение
частицы в декартовой системе координат,
в которой скорость частицы постоянна. В
момент времени t состояние системы
определяется радиусом-вектором R ( t )
точки пространства, в которой находится
частица,
его
координаты
будем
обозначать ( r1, r2, r3 ). Пусть V– вектор
скорости частицы, (v1,v2 ,v3 )
– его
координаты,
тогда Rґ = V
или в
координатной форме
r1'=
v1
r2'=
v2
r3'=
v3
В силу 1.3.1.1
r1 ( t ) = v1 t + c1
r2, ( t ) = v2 t + c2
r3 ( t ) = v3 t + c3
c1, c2, c3
– вещественные числа; в
векторной форме:
R ( t )= V t + R0 ,
R0 - вектор с координатами ( c1, c2, c3 ).
Проверка.
Дифференцируя координаты ( v1 t + c1
, v2 t + c2 , v3 t + c3 ) радиуса-вектора
частицы в момент времени t, получим,
что координаты ее скорости равны (v1 , v2
, v3).
2.1.2 Пример
Определить, каким условиям должен
удовлетворять радиус-вектор частицы,
которая движется прямолинейно.
Решение
Пусть частица движется вдоль
прямой,
параллельной
ненулевому
вектору N , R 0 - радиус- вектор какой-то
точки этой прямой, тогда вектора R ( t ) - R
и N параллельны. Следовательно,
0
существует такая числовая функция r ( t ),
что R ( t ) - R 0 = r ( t ) N . Умножим обе
части этого равенства на N:
( R ( t ) - R0 ) N = r ( t
) | N |2 ,
r ( t ) = ( R ( t ) - R0 )
N / | N |2 .
Таким
образом,
функция
r
(t
)
определена однозначно.
Ответ. Частица движется вдоль прямой,
проходящей через точку M0 параллельно
вектору N, тогда и только тогда, когда
существует такая числовая функция r ( t
), что
R ( t ) = R0 + r ( t ) N ,
где R0 - радиус-вектор точки M0.
Задача. В момент времени t0 cамолёт
начал двигаться от здания аэровокзала
под углом α к оси юг - север, величина его
скорости была равна v. В момент времени
t1 он повернулся на угол β и остановился в
начале взлётной полосы. В момент
времени t2 он получил разрешение на
взлёт и стал разгоняться с постоянным
ускорением, величина которого была
равна a. В момент времени t3 он
оторвался от земли и продолжал
двигаться равномерно и прямолинейно
под углом γ к поверхности Земли. В
момент времени t4 он достиг требуемой
высоты h и взял курс на пункт назначения.
Определите величину средней скорости
самолёта в течение интервала времени [
t0, t4 ]; v, a, h, t0, t1, t2, t3, t4 положительные вещественные числа, t0 <
t1 < t2 < t3 < t4.
Задача. Частица движется с постоянным
ускорением A. Какому условию должен
удовлетворять вектор A, чтобы средняя
скорость частицы в течение любого
интервала времени был равен полусумме
её скоростей в начале и в конце этого
интервала.
Задача. Частица движется с постоянным
ускорением A. Какому условию должен
удовлетворять вектор A, чтобы радиусвектор
частицы в середине любого
интервала времени был равен полусумме
её радиусов-векторов в начале и в конце
этого интервала.
Задача. Скорость движения частицы в
середине любого интервала времени
равна полусумме её скоростей в начале и
в конце этого интервапа, в момент
времени t0 её скорость равна V0, а в
момент времени t1 её скорость равна V1;
t0, t1 - вещественные числа, V0, V1 векторы. Определите скорость частицы в
произвольный момент времени t.
Указание. Рассмотрите случай, когда
частица в течение интервала времени [ t h, t + h ] движется вдоль координатной
оси, разложите скорость частицы по
формуле Тейлора, устремите h к нулю.
Задача.
Радиус-вектор
частицы
в
середине любого интервала времени
равна полусумме её радиусов-веторов в
начале и в конце этого интервапа, в
момент времени t0 её радиус-вектор равен
R0, а в момент времени t1 её радиусвектор равен R1; t0, t1 - вещественные
числа. Определите радиус-вектор частицы
в произвольный момент времени t.
Указание. Рассмотрите случай, когда
частица в течение интервала времени [ t h, t + h ] движется вдоль координатной
оси, разложите координату частицы по
формуле Тейлора, устремите h к нулю.
2.2 Сила
2.2.1 Законы Ньютона
В
задачах
механики
связи
физических объектов друг с другом и с
объектами внешних систем представляют
с помощью особых векторных величин,
они
называются силами. Условия,
которым должны удовлетворять силы,
сформулированы в виде трех законов
Ньютона.
«Lex prima. Если на частицу не
действуют никакие силы, то она будет
сохранять состояние своего движения, т.е.
продолжать двигаться по прямой линии с
постоянной скоростью.
Lex secunda. Если на частицу действуют
силы, то скорость изменения её импульса
равна полной силе, действующей на нее.
Импульс частицы определяется как
произведение массы частицы на ее
скорость.
Lex
tertia.
Когда
две
частицы
взаимодействуют друг с другом, то сила,
действующая со стороны первой частицы
на вторую, равна по величине, но
противоположна по направлению силе,
действующей со стороны второй частицы
на первую (действие и противодействие,
action est reatio)
Говоря о частице, мы будем иметь в
виду… точечную частицу (материальную
точку), т.е. объект, характеризуемый своей
массой
m, радиус-вектором R
и
скоростью V, определяемой производной
от R по времени:
2.2.1.1
V = dR / dt
где через t обозначено время…
В математической форме
Ньютона записываются так:
Lex :prima
const .
законы
Если F = 0, то v =
Lex secunda:
2.2.1.2
F = d ( m V) /
dt
Lex tertia:
2.2.1.3
F21 = 0
F12=-F21 или
F12 +
В этих равенствах через F обозначена
полная сила, действующая на частицу, а
через F12 (F21) – сила, действующая на
частицу 2 (1) со стороны частицы 1 (2).
При
условии,
что
m
является
постоянной величиной, уравнение (2.3.2)
можно переписать также в виде
F = m a,
a=
dV / dt
где через а обозначено ускорение
частицы. Последняя форма второго
закона
Ньютона
–
сила
равна
произведению массы на ускорение –
несколько более распространена, однако
любопытно отметить, что сам Ньютон
пользовался
формулировкой
(2.2.2),
которая справедлива и в том случае, если
масса m – величина переменная, как это
имеет место, например, при движении
ракеты…
Иногда называют четвертым законом
Ньютона правило, согласно которому
силы, действующие на материальную
точку, складываются по правилу сложения
векторов.
Такое
предположение
действительно молчаливо содержится в
уравнениях (2.2.1.2) и (2.2.1.3), поскольку
силы уже с самого начала обозначались
как векторы». [тер Хаар Д. Основы
гамильтоновой механики. – М.: Наука,
1974. – 223 с.; стр. 9-11].
Уравнение второго закона Ньютона
предполагает, что частица движется
достаточно плавно, поскольку ее радиусвектор
имеет
производную
второго
порядка в любой момент времени. Если
бы частица, неподвижная при t < 0, в
момент времени t = 0
стала бы
перемещаться с постоянной скоростью, то
ее ускорение было бы нулевым при t,
отличном от нуля, а при t = 0 было бы
неопределенным; следовательно, сила,
действующая на частицу, также была бы
неопределенной в начальный момент
времени.
Второй
закон
Ньютона
запрещает мгновенные рывки.
Единица измерения силы называется
ньютоном, она сообщает частице с массой
1 кг ускорение 1 м/с2: 1н = 1 кг м/с2.
2.2.2 Сила тяжести
Мы будем изучать физические системы,
находящиеся возле поверхности земли.
Интенсивность
гравитационного
взаимодействия их элементов с Землей
намного
больше
интенсивности
взаимодействия
с
другими
телами.
Экспериментально доказано, что сила, с
которой частица притягивается к Земле
(сила тяжести), направлена вертикально
вниз, ее величина пропорциональна массе
частицы.
Коэффициент
пропорциональности
называется
ускорением силы тяжести или ускорением
свободного падения и обозначается
символом g. На уровне моря на широте
45-60 градусов g равно 9, 81 м/с2. Таким
образом, если ось Oz
направлена
вертикально вверх, то сила тяжести,
действующая на частицу массы m , имеет
координаты (0, 0, -mg.).
2.2.3 Деформирующие силы.
2.2.3.1 Определение деформации
Изменение формы или размеров тела в
результате
внешних
воздействий
(контактов с другими телами, изменения
влажности, нагревания, охлаждения и пр.)
называется деформацией. Различают
упругую и пластичную деформацию
твердых
тел.
Упругая
деформация
исчезает после устранения вызвавших ее
факторов.
В
механике
причиной
деформации считают силы, приложенные
к
различным
частям
тела
(деформирующие силы). Для упругих
деформаций справедлив закон Гука:
деформация
пропорциональна
деформирующим силам.
2.2.3.2 Упругая нить
Простейшим
видом
деформации
является растяжение абсолютно упругой
невесомой
нити.
Характеристическим
параметром нити является ее длина а в
нерастянутом состоянии. Пусть один
конец нити находится в точке М, другой –
в точке N, и никакие точки нити, за
исключением концов, не соприкасаются с
другими телами. В том случае, когда
расстояние между М и N больше а,
деформирующая (растягивающая) сила,
приложенная к нити в точке N, равна с
(М N - U), где U – отрезок длины а,
направление
которого
совпадает
с
направлением вектора
МN,
с –
коэффициент упругости нити. Если | МN |
≤ a
, то нить не растянута,
деформирующая сила равна нулю.
МОДЕЛИРОВАНИЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Компонентами электрической цепи служат
двухполюсники: источники напряжения,
сопротивления (резисторы),
индуктивности (катушки), ёмкости
(конженсаторы). Двухполюсник имеет два
контакта, которые соединяются с
контактами других двухполюсников в
узлах цепи. Двухполюсник
характеризуется параметром - величиной
двухполюсника, а его состояние в каждый
момент времени определяется током,
лроходящим через него от одного узла к
другому; состояние узла задаётся его
потенциалом. Величина двухполюсника,
ток и проходящий через него ток,
потенциал узла выражаются
вещественными числами или
вещественными функциями, аргументом
которых служит время. Сумма токов,
поступающих в узел через все
соединённые с ним двухполюсники, равна
нулю (правило Кирхгофа). Пусть ab -
двухполюсник, соединяющий узлвы a и
b, Ua - потенциал узла a , Ub потенциал узла b, Iab - ток, проходящий
через двухполюсник от узла a к узлу b.
Тогда справедливы следующие
утверждения:
токи Iab, Iba, проходячщие через
двухполюсник от узла a к узлу b и от узла
b к узлу a имеют одинаковые
абсолютные величины и противоположгые
знаки;
если ab - (идеальный) источник
напряжения, то Ua- Ub = U, U - величина
источника напряжения;
если ab - сопротивление. то Ua - Ub = Iab
R, R - величина сопротивления (закон
Ома).
∂vx / ∂t + vx ∂ vx / ∂x + vy ∂vx / ∂y + vz ∂vx /
∂z = X - 1 / ρ ∂p / ∂x + ν (
∂2 vx/ ∂x2 + ∂2
vx / ∂y2 + ∂2 vx / ∂z2 )
u = umax ( 1 - r 2 / r02 ) ,
R = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 ,
η ( dv / dn ) 4.2
μ
Ααβγδεζηθικλμνξοπρςστυφχ
ψωΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚΛΛΜΝΞΟΠΡΣ
ΤΥΦΧΨΩ≤≥
u = umax ( 1 - r 2 / r02 ) ,
R = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 ,
η ( dv / dn ) 4.2
<...> <...>
