Многогранник и мерзость Левита: конгитивные (познавательные

Многогранник и мерзость Левита: когнитивные стили в математике
Из М. Дуглас «Сочинения в социологии восприятия», Routledge and Kegan Paul, 1982 г.
Дэвид Блур
Каким образом социальные и институциональные обстоятельства связаны со знанием,
которые дают ученые? Для ответа на данный вопрос необходимо пойти на риск: должны
быть предложены гипотетические, но тестируемые теории. Моей целью является
объяснить и, затем, применить одну из таких теорий. Это позволит мне предложить
гипотезу о связи между социальными процессами и стилем, а также содержанием
математических знаний.
Для этого я соберу воедино идеи из двух книг. Одна из них, книга Имре Лакатоса
«Доказательства и опровержения» (1976) (1), в ней описывается история математических
дебатов, она также является частью защиты философии математики. Вторая книга,
«Естественные символы» (1973), написанная Мэри Дуглас, содержит отображения
ограничения и религиозную космологию. Обе книги имеют общую тему: они описывают
то, как люди реагируют на вещи, которые не вписываются в рамки общепринятого
мышления; они описывают аномалии к общепринятым схемам классификации.
Независимо от того, является это контрапримером к доказательству; животным, которое
не вписывается в местную таксономию; или это анормальное лицо, которое нарушает
существующие моральные нормы, генерируется одинаковый диапазон воздействия. Оба
автора составили диаграмму и проиллюстрировали данный диапазон.
После того, как была определена схожесть их заключений, данные представления могут
быть переведены с одной работы в другую. Важно то, что у Мэри Дуглас есть
объяснение причин существования различного реагирования на вещи, которые выходят за
обычные рамки нашего мышления: они являются характерными для различных
социальных структур. Ее теория объясняет, почему так происходит, а также описывает
некоторые механизмы, связывающие социальные и когнитивные (механизмы). Это
означает, что мы можем предугадывать социальные обстоятельства, которые лежат за
различной реакцией, о которой математики беспокоятся в своих доказательствах. Это
первое, на что надо обратить тщательное внимание в математической философии
Лакатоса.
1.
Все помнят о том, что учебники по математике, которые начинаются со сложных и
длинных определений, сначала заявляют об поразительной теореме и затем, дают простые
и неопровержимые доказательства. Определения; теорема; доказательство; QED. Нет,
утверждает Лакатос, все перевернуто. На самом деле, сначала идут не определения, а
проблемы и решения, связанные с ними. Теоремы являются гипотезами
(предположениями). Как и все гипотезы, они нуждаются в проверке. (3) В
противоположность обычным догматическим и формальным идеям о математике Лакатос
предпочитает «ошибочный» подход. Он представляет себя, как последователя Поппера и
Гегеля. (4)
Доказательства начинаются с «мысль-эксперимент», или они разрабатывают некоторые
квази-эмпирические процедуры для того, чтобы разрушить проблемную гипотезу,
вкладывая ее в то, что может быть достаточно выраженным познанием. Каждый шаг в
данной декомпозиции теоремы становится возможным источником ошибки. Этого не
произойдет, если найдутся исключения к данной теореме. Лакатос называет исключение
1
из шагов доказательства «локальными контрапримерами»; исключения из первоначальной
гипотезы являются «глобальными» контрапримерами. После того, как доказательство
внесено, первоначальная гипотеза становится более уязвимой, чем ранее, так как теперь
она подвергает риску, как локальные, так и глобальные возражения.
Основным примером, который использует Лакатос для того, чтобы проиллюстрировать
данную идею, является теорема Эйлера, в которой количество граней (F), ребер (E) и
вершин (V) многогранника связаны формулой V-E+F = 2. Такое предположение, впервые
выдвинутое в 1758 году, можно легко проверить в отношении кубов, призм и пирамид, но
можно ли его применить ко всем многогранникам? История данной гипотезы – это
история несостоявшихся доказательств, контрапримеров и пересмотренных доказательств.
Этот аргумент, сохранявшийся до работы Пуанкаре в 1899 году, кажется, прекратил
пререкания. (5)
Лакатос начал рассказ с доказательства, основанного на работе Коши, Крелля и Кэли.
Представьте, что многогранник – это квази-эксперимент. Одну грань удаляют таким
образом, что V-E+F = 1, при условии, что первоначальная гипотеза является верной. Затем
многогранник растягивают на плоскости, к вершинам строятся дополнительные линии
таким образом, что грани превращаются в группу (возможно, криволинейных)
треугольников. Каждое новое ребро дает новую грань так, что уравнение V-E+F = 1 не
нарушается. Затем, треугольники удаляют один за другим. Это можно сделать таким
образом, чтобы количество ребер, граней и вершин, исчезающих с каждым удалением
треугольника, не изменяли само уравнение. В конце концов, остается один треугольник,
для которого V=3, E=3 F=1, таким образом, уравнение V-E+F = 1 все еще действительно.
Условием сохранения данного уравнения являлось то, что первоначальная гипотеза
является верной; процедура доказательств не меняла значение V, E, F, поэтому,
первоначальная гипотеза является верной.
Так ли это? Сначала теорему Эйлера критиковали с помощью контрапримеров. Могут ли
все многогранники быть равномерно растянуты? Что можно сказать о фигурных формах?
(picture frame shape) даже, если их можно растянуть, могут ли грани всегда быть
триангулированы без нарушения уравнения? Что можно сказать о кубе с другим кубом,
находящимся на его вершине в центре одного из его граней (6) – «увенчанный куб»?
Линия, соединяющая внутреннюю и наружную вершины прямоугольной границы вокруг
вершины куба, не увеличивает количество граней, таким образом, триангуляция в данном
случае разрушается. Критика и исключения подобного рода приводят к
усовершенствованию и модификации процедуры доказательств: она должна быть
ограничена «простыми» многогранниками, которые топологически равны сфере таким
образом, что они могут равномерно растягиваться, при удалении одной грани. Также, она
должна быть ограничена многогранниками с «просто соединенными» гранями для того,
чтобы исключить кольцеобразные области, для которых триангуляция не действует. (7)
Далее рассматриваются глобальные возражения. Здесь идут постоянные споры
относительно определений. Например, что можно сказать о кубе с другим кубом,
вложенным в середине? Для таких «вложенных» кубов V-E+F = 4. Впервые о них
упомянул Люилье в 1812 году, Гессель снова открыл их в 1832 году; оба рассматривали
кристаллы, которые иногда принимали такую форму. (8). И, опять, что можно сказать о
тетраэдре, присоединенном к вершине? Каждый из них в отдельности удовлетворяет
теореме, но Сиамские близнецы – нет: V-E+F = 3 (9) Или что относительно цилиндра? Он
не имеет вершин, только два ребра и три грани, V-E+F = 1. Проблема заключается в том,
действительно ли это контрапримеры или они относятся к исключениям, которые
опровергают теорему, так как они не относятся к тому, с чем связана гипотеза. В конце
2
концов, что такое многогранник? На первый взгляд, это очевидно – он означает форму
«подобную» кубу и призме. Цилиндр, конечно, не является многогранником, но почему
бы и нет? Контрапримеры заставляют границы категорий выглядеть более
проблематичными.
Таково происхождение этих сложных определений. Оно показывает, что многогранник не
следует рассматривать, как нечто однородное, это система полигональных поверхностей;
на каждом ребре должно быть две грани; можно переходить с одной грани на другую, не
пересекая вершину; с любой произвольной точки должно быть возможно провести грань ,
которая разделит многогранник на только одну секущую поверхность и т.д и т.п. (10)
Такие оговорки отслеживают историю борьбы между теми, кто поддерживает гипотезу и
теми, кто предлагает контрапримеры. Как утверждает Лакатос, они не предшествуют
доказательству, а идут после них
До сих пор все это можно принять без изменений обычного догматичного взгляда на
математику. Все знают, что аргумент помогает обнаружить
пробелы в наших
рассуждениях. Разве математики не будут спорить, пока кто-то не найдет истинное
доказательство и затем, споры прекратятся? В точке зрения Лакатоса это пропущено. Для
того, чтобы узнать причину, нам следует заглянуть глубже в то, что он утверждает, в
частности, в то, что он называет «растягиванием понятий».
II
Мы признали, что доказательство начинается с изобретения техники или процедуры,
подобной растягиванию или триангуляции.
Это может быть осуществлено на
ограниченном количестве известных фигур, но все, окружающее эту узкую область
достижений, является, сначала, просто белым пятном. Такое достижение умалчивает о
своей задаче и более широкой области случайностей, к которым оно может применяться.
Оно ничего не говорит о том, что делают данные «вложенные кубы» или тетраэдрыблизнецы или даже, что могут делать, существовать; или могут ли они иметь отношение к
изучению многогранника.
Такой подход к доказательствам можно назвать «ограниченным» (11). Самое главное в
том, что процедура доказательства не имеет ряда предопределенных подразумеваемых
утверждений за пределами непосредственного содержания использования. Лакатос
изучает как раз то, каким образом данные подразумеваемые утверждения согласуются и
расширяют содержание использования. Он не утверждает, что подразумеваемые
утверждения существуют для чего-то, но мы не знаем, что они собой представляют:
подразумеваемые утверждения ждут, чтобы мы их создали. В частности, вопрос о том,
являются ли данные контрапримеры процедурой доказательств, заранее не определен.
Наш привычный образ мышления не позволяет нам воспринять такую поразительную
идею. Предположим, что гипотеза не содержит контрапримеров; уверены ли вы в том, что
существует только два возможных объяснения? Контрапримеры существуют на самом
деле, но никто не замечал их; или область случаев, которые можно привести в качестве
контрапримеров, была уже исчерпана. Является ли реальность складом всех возможных
случаев и не определяет ли это верность или ошибочность теоремы? Варианты этой
неопровержимой точки зрения обычно называются «Платонизм». Большинство из нас
большую часть времени, цитируют последователей учения Платона. Мы обычно считаем,
что математические объекты или структуры подпадают под уникальную, естественную
группу предметов или видов, как если бы существовали специально привилегированные
3
«реальные» границы, которые разделяют различные виды предметов. Другими словами,
мы подразумеваем ограниченное количество эссенций или форм.
Лакатос отрицает это. Он рассматривает математические «виды», как наши творения. Мы
устанавливаем предельные линии. Классификация является нашим достижением и нашей
проблемой. Ничего нельзя добиться, если рассматривать различные предельные линии,
как более или менее соответствующие «реальным». Но это не все. Для Лакатоса, мир
плоно населен объектами всех форм и размеров, включая множество воображаемых
процедур, которые могут быть на них основаны, а также неопределенно большое
количество различных предельных линий, которые мы можем логически провести. В
отличие от скудной картины мира, предлагаемой последователями учения Платона, там,
где существуют четкие пробелы между различными типами предметов, мир Лакатоса
является более плотно заселенным. В нем всегда будет некоторый эквивалент этому
неожиданному потоку вложенных кубов, увенчанных кубов, тетраэдров-близнецов и
визуальных фрейм (или системы координат) которые описываются далее и угрожают
поглотить теорию Эйлеровской гипотезы.
Можем ли мы избежать такого затруднения, используя очень простые принципы
классификации? Даже, если мы не можем решить что должно считаться многогранником,
можем ли мы с уверенностью решить раз и навсегда, что считать, например, вершиной
или ребром или плоскостью? Если мы вернемся к использованию абсолютно простых и
понятных терминов, мы сможем создать из них более сложную классификацию. Затем,
наши рассуждения будут такими четкими, что каждый всегда будет точно знать, что было
сказано. Возможны: решающее доказательство или решающее опровержение. Могут
существовать некоторые словесные различия, но, по крайней мере,
будет ряд
достижений, которые отлично защитят от дальнейших контрапримеров или разногласий.
Нет, - снова утверждает Лакатос: простые идеи всегда могут перейти в сложные и
проблема опять возникнет. Вера в установленный базовый словарь четко установленных
терминов является иллюзией, созданной нашими вербальными привычками. Мы
привыкаем к определенному использованию в конкретном контексте; это становится
«очевидным», транспарентным и прямым. Мы считаем, что мы точно будем знать, как
использовать слово во всех случаях,
как если бы существовал уникальный и
естественный путь расширения его границ за их пределами. Это ошибочно, так как новые
процедуры доказательства могут разрушить любую идею, даже простую. Они приносят в
нее новое значение, предполагают новые дополнительные оттенки и таким образом,
наделяют ее новой, внутренней сложностью. То, что сделала процедура доказательства
Коши для нашей идеи многогранника, может быть сделано для любого другого понятия,
включая элементы и линии. Наша концепция всегда может быть «растянутой».
Утверждает ли Лакатос, что контрапримеры к теоремам всегда будут существовать? В
некотором смысле, - да; всегда будут существовать объекты, которые могут быть
использованы для того, чтобы высмеивать наши классификации. Но, потенциально, это
еще не фактически; для того, чтобы что-то действительно считалось контрапримером.
Необходимо предпринять еще один шаг: это зависит от соответствия данному статусу.
Быть контрапримером – это роль, которая возлагается на кого-либо, и это зависит от того,
как она используется. Когда мы говорим, что мы «признаем» объекты, как
контрапримеры, мы не должны думать, что мы непосредственно предполагаем истинный
и постоянный характер предметов; визуальная метафора, с ее обычным дополнительным
значением последователей Платона, это ошибочно. Мы должны использовать слово
«признавать», так же, как когда мы говорим о том, что человек добился признания, будучи
его достоин. Присвоение рыцарского звания не означает, что человек все время был
4
рыцарем. «Контрапримерность» подобна социальному достижению, люди постоянно
толкают и тянут границы своих понятий, пытаясь достичь лучшего или другого порядка,
и, конечно, используя различные концепции порядка для того, чтобы они соответствовали
их различным целям. Как только порядок достигнут в одном месте, он будет нарушен в
других местах. Будет создано больше аномалий, и предыдущие достижения будут
выброшены из джойнта. Например, Коши использовал понятие «многогранник» для того,
чтобы примерно описать то, что мы можем назвать «выпуклым многогранником». (12)
Гипотеза Эйлера при использовании выглядит, как основная теорема, которая охватывает
все вещи, называемые «многогранником». Когда данный класс растягивают для того,
чтобы включить в него фигуры, которые ранее игнорировались, процедура доказательства
перестает быть общепринятой и первоначальная гипотеза часто нарушается. Это не
является отдельным случаем; подобное происходит с идеей «функции». (13)
Затем Лакатос использует свою ограниченную идею процедуры доказательства для
устранения гарантии против контрапримеров, и с другой стороны, он вводит свое
предположение о сложности и свою картину растягивания концепции, которое между
ними гарантирует то, что всегда будут предметы, которые можно использовать как
контрпримеры. Прежде, чем взглянуть на более широкое значение данного заключения,
нам следует рассмотреть некоторые возражения относительно того, как это было
достигнуто, и ответить на них.
III.
Можно сказать, что Лакатос доказывает обыденное, чисто устное положение: когда
меняется значение слова, предложения, которые ранее были верными, становятся
ошибочными. Если «растянуть» слово «холостяк» в отношении тех мужчин, которые
ведут себя как холостяки, тогда оно будет ошибочным в том смысле, что все холостяки
являются неженатыми мужчинами – хотя в первоначальном значении данного слова оно
остается верным.
Это разрушает точку зрения Лакатоса. Он утверждает, что растягивание понятия и
перечерчивание границ классификации является неотъемлемой частью математических
рассуждений. Испытание различных применений концепции и внесение соответствующих
корректировок в теорему и определения – это то, что происходит постоянно. Изменение
значения концепций, таким образом, является приемом, который следует сбросить со
счетов, как если бы контрапримеры, которые он создал, являются несущественными. (14)
Так происходит потому, что наши интеллектуальные суждения руководствуются
свойствами нашей общей системы мышления, а не его изолированными элементами. В
интересах общей согласованности, любое конкретное достижение может быть
опровергнуто и любая теорема может быть модифицирована: «Нельзя отделить
опровержения и доказательства с одной стороны и изменения в концептуальной,
таксономической, лингвистической структуре с другой стороны» (15).
Последователям теории Платона будет нетрудно найти аргумент, чтобы выразить его
неприязнь к данному заключению. Конечно, он скажет, если растягивание понятия
является правдоподобным, термин не может растягиваться по желанию. (16) Теорема о
многограннике не может быть фактически опровергнута путем цитирования одного из
свойств цилиндра в качестве контрапримера. Если термин «многогранники» был растянут
в отношении цилиндра, то он просто создаст двусмысленность в значении слова. Он будет
использоваться применительно к двум различным предметам. Если мы не впадем в
замешательство, то наши слова должны относиться к естественным границам между
различными видами предметов. После того, как данное препятствие установлено,
5
продолжают последователи Платона, а утверждения Лакатоса терпят неудачу: нет
гарантии того, что гениальные или точно выраженные контрапримеры могут быть
получены только путем переклассификации или растягивания понятий.
Конечно, в этом и заключается проблема: существуют ли границы, которые наши слова
должны соблюдать? Именно это, прежде всего, отличает Лакатоса от последователей
Платона. Что дает последователям Платона ее вероятность, и что является верным в
отношении опровержении предыдущего параграфа, существуют ли ограничения
количества и направления растягивания понятий и переклассификации. Точное свойство
этих препятствий на самом деле, является неразрешимой проблемой, но ясно одно;
препятствия можно рассматривать, как относительное, а не абсолютное. Их можно
объяснить прагматичными соображениями,
относящимися к трудностям развития
совместной и осуществимой формы знаний из закрепленных интересов и привычек
прошлого. Их не следует объяснять предполагаемой необходимостью наших слов для
того, чтобы отразить, в конечном итоге, фактические разграничения между предметами.
Мы должны помнить о той свободе, которой мы пользовались в прошлом для того, чтобы
перечертить принятые границы между различными видами предметов. В истории науки
модель должна быть уложена на модель, метафора на метафору. Добавьте к этому разные
интересы, которым служило знание, и препятствия, которые встречают последователи
Платона, покажутся скорее историческими случайностями, нежели несвоевременной
необходимостью.
Теперь мы можем отойти от идеи о том, что критицизм в математике просто устраняет
ошибку и обнажает правду; ситуация является более сложной и более интересной.
Лакатос утверждает, что стабильность и область действия любой теоремы являются
случайными: важный аргумент и корректировка являются, в принципе, бесконечными; не
существует окончательной истины, которую надо открыть, существует только
разветвленная и взаимосвязанная сеть утверждений и контра-утверждений, которые
необходимо балансировать и стабилизировать. (17)
Однако, существует дальнейший шаг, который Лакатос не предпринял, но который
предполагается в его точке зрения. Если поток потенциальных контрапримеров является
бесконечным, то процессы, которые мы представляем или не представляем, и их
признание должны быть постоянно в работе. Без их безжалостной работы и сил, которые
ими управляют, не будет порядка или последовательности в математических знаниях. Ее
классификация, ее контрапримеры и ее теоремы не имели бы согласований друг с другом.
Огромное значение работы Лакатоса заключается в том, что она заставляет управлять
ответами на аномалии основных математических знаний: они являются неотъемлемой
частью этих знаний.
Метафора может помочь. Мы можем сказать, что Лакатос показал нам, что математика
является чем-то, что можно обсуждать. Логически, она полностью недоопределена, но
если это настоящие знания, что-то объективное, нежели смешение субъективных мнений,
тогда это необходимо каким-то образом определить. Ответ неофициально определен в
ходе переговоров: математика является тем, что является следствием или результатом, и
ничем более. Лакатос, однако, дал нам только абстрактное мнение об этих переговорах.
Поставленные напрямик, факты или обстоятельства являются в опасности, но Лакатос не
уточняет, в какой опасности, поэтому мы знаем только половину версии. Для того, чтобы
собрать всю версию, нам необходимо знать, существуют ли общие шаблоны в этих
бесконечно неизбежных переговорах, а также то, какая валюта используется для расчета
прибыли и убытков. Какие инвестиции есть у людей для того, чтобы изменить или
удержать границы математических понятий?
6
Что касается самих шаблонов, то Лакатос информативен и гениален. Он играет с
историей Эйлеровской теоремы в форме воображаемых дебатов между учителем и, не по
годам развитыми, учениками, называемыми Альфой, Бетой и т.д., происходящими в
классе. Ученики применяют различную методологическую стратегию: Альфа кидает
контрапримеры в теорему и доказывает ее несостоятельность, в то время как Дельта
защищает ее путем разумного изменения определений и других уловок. Ученики
представляют фактических математиков, которые боролись с этой теоремой, и аргументы,
произнесенные в классе, были отобраны из записи этого и других подобных событий. К
сожалению, такая форма презентации имеет свои загвоздки, так как она опять является
абстрактной. Это приводит к тому, что шаблон дебатов выглядит так, как будто он не
зависит ни от чего, кроме как личных симпатий или «интеллектуальной потребности»
отдельных лиц. (18) Фактически, это должно быть помещено в социальные рамки и,
именно там, находится теория, разработанная Мэри Дуглас.
Антропологи дают нам подробные исследования о том, как различные социальные группы
снабжают свой мир умственной связи. Они находят систематически различные понятия
осквернения и мусора, пригодности к употреблению в пищу и административных
правонарушений. Соответствующий порядок социального поведения и отношений,
домашнего хозяйства, времяпрепровождение и разделение труда – все это, в своем роде,
классификации, которые должны быть защищены от нарушений Со времен Дюркгейма
антропологи спорили о том, что шаблоны домашней и общественной жизни часто могут
быть определены в более широкой системе классификации группы: те, что стоят выше
уровня животных и растительного мира, и, в конечном счете, выше всего естественного
порядка. Ссоры из-за жен и соседей, болезней, подарков и контрактов находят партнеров,
верящих в Бога и Природу, а также возвышенные силы, дисциплинирующие мир. (19)
Почему так происходит? Одна из теорий заключается в том, что люди используют свои
идеи о Природе и Божественности для легализации своих институтов. Определено, что
отклонение является неестественным, неприятным богу, нездоровым, дорогим и
требующим много времени. Эти инстинктивные уловки отображают природу общества.
Природа становится шифром для разговоров об обществе, языком, на котором могут быть
выражены доказательства и опровержения. Она является посредником социального
взаимодействия.
Социальная структура также может быть использована в качестве модели для восприятия
физического или метафизического порядка предметов. Она является насыщенным
кладезем метафорических ресурсов, хотя условия, побуждающие к их использованию
таким способом, еще не полностью поняты. Но, опять, результатом является создание
структурного тождества между социальным и естественным порядком. (20) В любом
случае, легко увидеть, что классификационные аномалии могут преобразовывать
моральный смысл. Такими скрытыми путями они приобретают дополнительные значения
непостоянного социального поведения, что заставляет срочно найти ответ на них.
Одним из ответов является определение «табу» на аномалии, которые нарушают
классификацию, провозглашая ее мерзостью и рассматривая ее, как символ опасности и
беспорядка. Каковы были мерзости Левита, спрашивает Мэри Дуглас, но список аномалий
к классификации животных тщательно дан в Пятикнижие. Свинья, например, не
удовлетворяет всем соответствующим условиям для того, чтобы считаться жвачным
животным: она не является парнокопытной и не жует жвачку. Данный принцип также
объясняет, почему упомянутый список включает угрей, горных барсуков и других
животных, чей статус в качестве мерзости, всегда ставил в тупик комментаторов библии.
7
Их общей чертой является то, что все они неуклюже расставляют предельные линии
дифференциации Бога. Нам следует понять, почему евреи не едят свинину, когда мы
видим социальное значение, присоединенное к данной классификационной схеме. (21)
Общества с осквернением являются обычно небольшими, и часто разделены
конкуренцией и конфликтующей лояльностью. Они выживают за счет угрозы изгнания
или снова подвергаются расколу. Часто они подвергаются угрозе со стороны и,
следовательно, вся система их классификации наполнена дихотомией между внутренним
добром и злом, а также искаженным внешним миром. Им необходимо использовать и
символизировать высокий групповой контроль. Строгое соблюдение групповой системы
классификации отличает преданного инсайдера от предателя и возни - отсюда
использование животной таксономии для того, чтобы ввести диетарные ограничения.
Внутренние разногласия интерпретируются в смысле проникновения и осквернения
внешними силами. Наилучшим примером таких групп являются деревни Центральной
Африки, которые проводят свою политику с помощью обвинения в черной магии. (22)
Интересно обратиться к Лакатосу и обнаружить, что это как раз то, что Дельта отвечает на
аномалии, подобные кубу внутри другого куба, высеченного из его середины. «Это
чудовище, патологический случай, а не контрапример», - восклицает он. Подобное
вычерчивание границ риторики исключений обнаруживается у Жонтре , который
утверждает, что рамка кадра является просто «полиэдральным комплексом», а не
многогранником « в обычном смысле этого слова». (27) Schlafli, также утверждает, что
небольшой звездчатый додекаэдр, не является «истинным многогранником» (25) и Балцер
идет еще дальше, утверждая « Будет более подходящим подобрать специальное название
для не-истинного (uneigentliche) многогранника» (например, для такого, в котором VE+F=2 (26))
Такой стиль ответа, который кажется выдающимся в истории математики, Лакатос
называет «устранителями монстров». (27) Он не смог подобрать лучшего названия. Далее,
Лакатос демонстрирует свое понимание осквернения, когда Дельта произносит: «Я
постепенно теряю интерес к вашим монстрам. Меня берет отвращение от ваших
несчастных «многогранников», для которых неверна прекрасная теорема Эйлера. Я ищу
порядка и гармонии в математике, а вы только распространяете анархию и хаос». (28) И
снова, такое высказывание не является фантазией Лакатоса» он заставляет Дельта
перефразировать письмо Эрмита к Стилтьесу, хотя в нем предметом является теория
реальных функций. (29)
Легко увидеть, как математические контрапримеры могут вызвать устранение монстров.
Представьте закрытую группу практиков с руководителем, чьи полномочия зависят,
скажем, от открытия теоремы. Контрапример становится основой революции. Противники
могут использовать его, как оправдание для наследования. Отношения к контрапримерам
должны будут определены особым образом. С одной точки зрения, это на самом деле
символ чудовищной опасности. Только вытекающее из этого противоборство решит,
является ли аномалия, скажем, многогранником или нет. В данном случае, у реальности
нет другой основы. Личные пристрастия не играют большой роли в данном процессе.
Предположим, что выступает сторонник компромисса. До тех пор, пока возможны полная
победа, пойти на компромисс означает, что одна сторона или другая отступают; никто не
может позволить слушать, поэтому знанием будут полярность и исключительные
границы. После того, как споры улягутся, остальные узнают об этом следующим образом.
Подробные высказывания о многограннике могут быть предполагаемыми
высказываниями об обществе: сущность учения Платона будет отражать социальную
власть.
8
Теперь, давайте, рассмотрим более подробный ответ на аномалию. Представьте себе
огромную, диверсифицированную, но стабильную систему институтов. Многие интересы
в нем улажены и возникли сложные взаимоотношения между сегментами общества.
Соответственно, требуются сложные концептуальные согласования для того, чтобы их
обосновать и доступно передать. Именно здесь создаются тщательно продуманная
теология и метафизика. Почти не надо будет беспокоиться об осквернении, так как не
будет социальной диксотомии для символизации. Основной проблемой будет внутренняя
структура границ. Существенным будет автоматический ответ тем, кто нарушает сложное
равновесие. Предметом будет эффективность полученных форм и символов, ритуал,
нежели осквернение. Природа будет рассматриваться таким образом, что она
поддерживает данный шаблон; институциональные рамки будут рассматриваться как
границы между божественными силами или частью природы. Все это предполагает
обширный набор методов реагирования на аномалии и их повторной классификации. Они
куда-нибудь подойдут, или классификационная схема будет расширена. Сложные
ритуалы искупления; продвижение и понижение, специальные исключения, различия,
ассимиляция и юридические выдумки будут умножаться. И, распространение
использования этих методов будет неопределенным смыслом доминирующего единства.
И опять, существует потрясение от признания движения от «Естественных символов» к
«Доказательствам и опровержениям». Эти методы подробно описаны в докладе Лакатоса,
он называет их методами «исправлением монстров» (30) и устранения исключений (31).
Исправление монстров применяется казуистическим Ро, показывающим, что мы можем
научиться видеть многие контрапримеры так, что они, в конце концов, соответствуют
теореме Эйлера. Нам необходимо понять, что многогранники имеют «скрытые» ребра.
Как говорит Mattiessen: «любой многогранник можно проанализировать таким образом,
чтобы он подтверждал теорему Эйлера…В каждом таком случае мы можем
продемонстрировать, что многогранник имеет скрытые грани и ребра, которые оставляют
формулу V-E+F=2 незапятнанной, даже для таких, казалось бы, неподчиняющихся
случаев. (32)
Устранение исключений является одинаково «схоластичным», приспосабливая аномалию
путем вычерчивания больших частей. Можно начертить границу между формулой и
подтвержденными исключениями к ней. Все, что создает контрапример – это
ограничивает область формулы: ее достоверность остается неизменной, но сфера ее
полномочий, становится уже, чем предполагалось.
В том же духе, Коши в 1821 году высказывался о том, что мы никогда не относим к
формуле область определения общезначимости. В реальности, большинство формул (в его
работе “Cours d'analyse”) являются достоверными только, при соблюдении определенных
условий.” (33). В 1818 Берард утверждал, что «Не следует смешивать ложные формулы с
формулами, подлежащими некоторым ограничениям». (34) (ср. описание Жергорном
способа, в котором теорема Эйлера и исключения из нее были найдены в различных
частях мемуаров Люилье, и описании
Zacharia
подобного распространенного
соотнесения к различным категориям. (35)
Удаления исключений, подобно исправлению монстров, также ведет к определенной
форме математической общности. Знание, в данном случае, является добавочным и
сегментированным – по крайней мере, в глазах ее критиков. В случае с теоремой Эйлера
формула V-E+F=2 дополняется терминами, которые приспосабливают многогранник,
являющийся исключением из первоначальной формулы, случай за случаем. Сначала это
V-E+F=2 (n-1) для сфероидальных многогранников, первоначальная формула
используется для специальных случаев поли-сфероидальных многогранников. Затем:
9
k
V-E+F*2-2 (n-1)+∑ еК
К=1
Для n-сфероидальных и n-мерно связанных многогранников с ребрами eK, которые можно
удалить без уменьшения количества граней. Затем, для многогранников с полостями,
применяется формула
k
V-E+F= ∑ {2-2 (nj-1)+∑ еКj}
j=1
К=1
Для многих математиков, сражавшихся с теоремой Эйлера, последняя формула или ее
варианты, являются высшим достижением. Они надеются, что это было действительно
общим. (36) Для них такой порядок формулы показал раскрытие единого принципа
порядка: «Не является ли данное удивительное раскрытие скрытых ниш тривиальной
стартовой точкой?» - спрашивает Альфа, удивляясь вместе с Платоном тому, что «одной
аксиомы может хватить для создания целой системы» (37)
Для того, чтобы объяснить удаление исключений и исправление монстров нам
необходимо только представить математиков, работающих в многочисленных,
независимых институтах. Там не будет возможности собрать поддержку исключительных
границ. Тем не менее, сторонники контрапримеров могут громко провозгласить, что
теорема была опровергнута, создатель теоремы может горячо утверждать, что
контрапримеры являются монстрами, и, тем не менее, их достижения будут жить бок о
бок друг с другом, изолированные институциональными рамками. Общественная форма
знания будет отражать отношения между их институтами, но не их индивидуальные
намерения. Постепенно, другие смогут принять такое сосуществование, как жизненный
факт. Так как ни одно из достижений нельзя исключить, предпочтением для расширения
области будет изобретения способа их соединения. Наград для математиков, тем, кто
изобрел полностью новый подход или процедуру доказательства. Это не решит проблему
сосуществования теоремы и контрапримеров, только добавит другой результат к уже
существующему. Таким образом, знания будут умножаться, как продемонстрировано
выше: диверсифицированная картина полномочий оставит свой знак в формуле и методе.
Собственная позиция Лакатоса такова, что нам следует отрицать и усовершенствовать все
математические стили, которые мы знаем. Аномалии должны быть публично приняты.
Классификационные схемы являются средством, от которого можно отказаться,
изменения открывают путь к прогрессу. Конечно, необходимо будет рискнуть, н-р,
игнорируя некоторые изначальные опровергающие инстанции. Лучше установить
доказательства гипотезы, про которую ты знаешь, что она будет опровергнута, чем
преждевременно отказываться от нее. Только существуя некоторое время «в кредит»,
новые концептуальные ресурсы могут найти применение в будущем (38). Теперь, образ
социальной неравномерности начинает выглядеть привлекательным:
Если вы хотите научиться чему-то, по-настоящему, серьезно, то нам понадобится изучить
это не в его «обычной» форме, а в критическом состоянии… Если вы хотите знать
функции, изучайте необычайности. Если вы хотите знать об обычных многогранниках,
изучайте их границы, противоречащие здравому смыслу. (39)
«Боязнь контрапримеров» с ее догмой и противоречиями, «монотонным увеличением
достоверности» ушла в прошлое. (40)
10
Как утверждает Зета, надо всегда быть готовым «отказаться от первоначальной проблемы
в процессе решения и заменить ее другой» (41) В конце концов, кто заявил о том, что
термин «Эйлеровский» возник тогда, когда Бог проектировал Вселенную? (42) С другой
стороны, даже если мы останемся с той же проблемой, один подход должен установить
«единство, настоящее взаимодействии между доказательствами и контрапримерами» (43)
Новые формы классификации должны представить теорему и контрапримеры в новом
свете. Такой способ использования контрапримеров углубляет доказательства, которые
Лакатос называет «способ доказательств и опровержений»; он утверждает, что это
«диалектический метод».
Существует ли социальная организация, которая создает такой стиль? Нам следует
спросить, какие социальные формы оказывают давление на инновации и изобретения,
поощряя операции в рамках существующих классификационных схем, растворяя их в
изменения? Где еще, отсутствие последовательности является более желанным, нежели
последовательность! Где еще, можно терпеть ошибки и рисковать? Где еще, чувствуется
напряжение между упущенными возможностями и сопротивлением к изменениям,
упуская их вследствие отсутствия непрерывного приложения? Какое общество
осуществляет данное противоречие в самой структуре? Ответ: индивидуальные,
плюралистические, конкурентные и прагматичные социальные формы.
Здесь не может быть ни надежды на всеобщую и постоянную победу, ни стабильного
компромисса. Награды достанутся тем, кто может придумать новые перспективы, нежели
тем, кто сохраняет старые достижения. Знания не формируются более в связи с чем-то
конкретным и специфичным; они отражают стремление к универсальности – или, по
крайней мере, общей конкурентной среде, являющейся его двигателем. В таком
конкурентном окружении вопрос: где находятся границы, отделяющие «истинный»
многогранник, не могут быть заданы. У него нет интеллектуального смысла, так как нет
социального значения; не существует стабильных эссенций по Платону, так как не
существует стабильных социальных эссенций.
V
Мэри Дуглас предлагает простой способ описания регулярного характера свойств,
описанных выше. В книге «естественные символы» она показывает, как данные шаблоны
могут быть выражены через два теоретических измерения, называемых «разметки» и
«группы». (44)
Граница, отделяющая членов социальной группы от посторонних, называется просто
«групповая граница», и ее состав меняется от небольшой до большой группы. Очень
высокое положение на групповой оси представляет социальную группу, в которой одни и
те же люди работают вместе, отдыхают вместе, женятся друг с другом и живут по
соседству. Если появляется возможность уйти от давления на личность, поменяв работу,
или друзей, то рейтинг группы снижается.
Шаблон ролей и статусов рассматривается, как разметка внутренних границ. Признание
сильной разметки означает поиск расширенных градаций ряда, разновидности, связанной
с изменяющимися правами и обязанностями и ожидаемыми типами поведения. Армия или
бюрократия являются сильной разметкой. Открытая конкуренция, когда единственные
правила являются абстрактными принципами справедливого сравнения, является низкой
разметкой.
11
Теория разметки и группы, применяемая в данных Лакатоса, затем дает гипотезу,
соединяющую математические знания с социальной структурой. Общества, осознающие
осквернение, устранители монстров были описаны таким образом, что это делает их
низкими на оси разметки, но сильными на групповой оси: они являются обществами с
низкой разметкой и сильной группой. Высокие разметки и сильные группы являются
более статичными, сложными и диверсифицированными обществами, сохраняющими
последовательность устранения монстров и удаления исключений. Простое
сосуществование теорем и контрапримеров, без каких-либо попыток синтеза, указывает
на сильно изолированные границы, без группового давления, т.е. сильная разметка, слабая
группа. Конкурентные и индивидуалистические общества, в которых всегда есть место
для инноваций и изменений, в которых правила конкурентной игры, являются
единственно принятой социальной формой, вполне очевидно, относятся к низкой
разметке, слабой группе. Объединяющая идея теории заключается в том, что реакция на
аномалию, и, следовательно, вычерчивание интеллектуальных границ, будет обсуждаться
с ориентацией на шаблоны социальных границ. Полная гипотеза приведена на рис. 9.1.
Одно наблюдение относительно данной диаграммы заслуживает внимания. Не следует
предполагать, что угол низкой разметки, слабой группы есть на любой рис. 9.1..
Ось разметки
Простое сосуществование теоремы и
контрапримеров (примитивное удаление
исключений)
Диалектический метод доказательств и
опровержений
Исправление монстров и удаление
исключений
Устранение монстров
Ось группы
Предсказуемые отношения между математическими знаниями и социальной структурой
получены от общего смысла работ Лакатоса и Дуглас, - область низкого «социального
давления». Может возникнуть искушение предположить, что знания и воля отдельного
индивида «свободны от общества». Это неверно. Все данные изменения являются формой
социального давления, возможно, от личного давления до межличностного. Будет лучше
сказать, что груз социального значения, который несет знание, является одинаковым
везде, но даже эта формулировка может быть усовершенствована. Взять учеников в классе
Лакатоса: они пересказывают стили жизни и шаблоны социального взаимодействия, а
также ходы математической игры. Но, делая это, они не делают два разных дела или
иногда одно, затем – другое; знание есть то, чем оно является, делая одно, они делают
другое. См. рис. 9.2.
Ось разметки
Каппа
Ламбда
Зета
Тета
Пи
Гамма
Бета
Сигма
Ро
Эпсилон
Омега
Альфа (поздняя)
Альфа (ранняя)
Дельта
Эта
Ось группы
12
Рис. 9.2. Подразумеваемый социальный стиль в реакции учеников на аномалию
Теперь о проблеме проверки теории. Примем, как должное то, что проблема
приписывания относительной позиции разметки и группы по отношению к институтам и
проблема признания различных стилей знания, могут быть решены приближенно и
быстро. Демонстрации аналогий с идеальными типами примеров должно быть достаточно
для проверки полномочий объяснить теорию. (45). Проблема, которую я собираюсь
объяснять, заключается в том, каким образом сама теория относится к выражению
индивидуальной веры. Это, вполне очевидно, будет важно, так как свидетельства за или
против теории, примут данную форму. Например, если отдельный математик занимается
риторикой и практикой устранения монстров, утверждает ли в данном случае теория, что
он должен находиться в небольшой, дезорганизованной или опасной группе? Или,
предположим, что мы отмечаем нечто странное в том, как Коши отвечает на звездчатые
многогранники, и мы с Лакатосом приходим к заключению, что «Коши знал их, но его
разум был странным образом разделен; когда у него появлялась интересная идея о
звездчатых многогранниках, он обнародовал это; но он игнорировал звездчатые
многогранники, когда представлял контрапримеры к своим основным формулам
многогранника» (46). Предсказывает ли теория, что такое странное разделение должно
быть отражением разделения существования высокой разметки и сильной группы, и
именно здесь Коши должен быть социально расположен?
В отдельных предсказаниях подобного типа есть разумный смысл. В рамках данной
социальной среды будут эффективны только определенные формы убеждения и
доказательства; остальное будет впустую. Не имеет смысла апеллировать к лояльности
группы для того, чтобы давить на людей, если движения внутри группы являются
простыми, или апеллировать к тому, что является подходящим для исполнителей
определенной роли, если все меняется. Также как и в случае с Коши, нельзя ожидать
больше, чем собрание несвязанных результатов, если обоснованность и значение каждого
результата связано с одним из четко определенных ролей, которые он выполнял.
Ось разметки
Коши
Абель
Legendre
Hermite
Сейдел
weierstrass
Гессель
Люильер
Жергонн
Пуансо (1858)
Matthiessen
Hoppe
Becker
Жонгер
Mobius
Baltzer
Schifli
Пуансо(1810)
Пуанкаре
Ось группы
Рис. 9.3. Возможное расположение отдельных математиков, исходя из работы Лакатоса
(объяснения даны ниже).
Характерные формы аргументов возникнут в социальной среде с помощью процесса
селективного закрепления согласно их частотности. Это предоставит каждой социальной
структуре ее доминирующие знания ясной легитимации и ее характерного стиля знаний.
13
Тогда умозаключение к поведению индивида является обоснованным, вследствие высокой
возможности того, что каждый индивид продемонстрирует характерную форму.
Исходя из этого, высказывание, данное на рис.9.3. о социальном расположении отдельных
математиков кажется возможным, принимая во внимание описание их математических
пристрастий (Доказательства и опровержения»). Интересны личности, подобные Пуансо.
В 1810 году он настоятельно советовал использовать контрапримеры по отношению к
формулам; в 1858 году он занимался исправлением монстров. Отдельная версия такой
теории предполагает некоторые соответствующие изменения в его социальной среде,
подтолкнувшие это. К сожалению, легко увидеть, что основа, на которой строятся данные
предположения, может быть оспорена. Проблему можно проиллюстрировать, апеллируя
снова к ученикам Лакатоса, см. рис. 9.2. Исходя из их утверждаемых заявлений, я дал
отдельным ученикам различные положения на диаграмме разметка/группа, отнеся их к
различной социальной среде. Не является это ошибочным, так как все ученики, как
утверждается, взаимодействуют друг с другом в классе, разделяя и создавая одну и ту же
социальную среду? Собственная презентация Лакатоса должна заставить учеников
принадлежать к низкой разметке и слабой группе, конкурентному углу диаграммы. Если
смотреть под таким углом, то
«Доказательства и опровержения» противоречат
предсказуемым корреляциям и, скорее опровергают «Естественные символы», нежели
поддерживают их.
Без сомнения, класс Лакатоса является воображаемым. Возможно, математики, которых
представляли ученики, распределялись на диаграмме предсказанным путем. Это только
уклоняет от ответа. Проблема заключается в том, что, оказывая давление друг на друга,
люди могут предоставлять аргументы, использовать идеализированные социальные
образы, делать утверждения и предлагать ценности, которые, будучи взятые изолированно
«принадлежат» к другой социальной среде, нежели та, в которой они находятся. Такие
высказывания могут зависеть больше от их целей и стремлений, нежели от их настоящего
месторасположения.
Легко увидеть, как это может произойти в среде с низкой разметкой и слабой группой.
Всегда будут попытки избежать жесткой конкуренции и обезопасить прошлые
достижения, установить монополию, закрыть групповые границы или достичь стабильной
адаптации и понимания. Другим положением на диаграмме разметка и группа будет
поиск ее сторонников. Возможно, это не характерно для конкурентной социальной
структуры. Во всех социальных позициях люди будут стараться выдвинуть свои
институты в другие формы, некоторые захотят увеличить мобильность и конкуренцию,
другие – постараются снизить ее. Если такое утверждение верно, то оно может
уничтожить любую точную корреляцию между изолированным высказыванием индивида
и социальным положением.
Очевидно, что данный вопрос является эмпирическим, даже если индивидуальные
прогнозы теории будут неверными, то собранная информация все равно будет ценной.
Она будет полезной, если существует любое систематическое изменение, до той степени,
когда существуют объединения убеждений индивидов вокруг прогнозируемого
характерного стиля. Меняется ли она в диаграмме разметка и группа, или изменяется в
ответ на другие подобные обстоятельства? Или возможно, она совпадает с периодами
нормальной или революционной науки. Или можно будет изолировать характеристики тех
индивидов, кто это делал и тех, кто этого не делал, согласно прогнозу теории, с
социальной или психологической точки зрения.
14
Существует, однако, менее индивидуалистический подход к пониманию теории, который
переживет провал прогноза только что рассмотренной теории. В этой, более четкой
социологической версии, теория рассматривается, как соединяющая общественные,
объективные формы знаний с социальной структурой, и не комментирующая
непосредственно убеждения индивидов. В конце концов, общество не является группой
индивидов, оно является системой, через которою индивиды проходят, и теория может
быть
разбита на данном структурном уровне. Например, мы видели, что двух
математиков, каждый из которых является «устранителем монстров, заставили признать,
что всеобщее направление математики является не устранителем монстров, а
исправителем монстров. Прямой вывод о структуре общественных знаний от их
изолированных индивидуальных убеждений будет ошибкой, и наоборот. Свидетельство
индивида всегда должно быть изложено в контексте, в котором можно оценить его
типичность и вклад в общий шаблон. Такой всеобщий шаблон является системой границ
и классификаций – это стиль знаний и именно в этом заключается данная теория. (47)
На первый взгляд, данный подход, кажется, имеет свою опасность. Кажется, что стиль
знаний можно создать с помощью группы индивидуальных работ, ни одна из которых
сама по себе не содержит или не выражает данный стиль через свое собственное
содержание. Это может означать, что теория никогда не будет информативной об
отдельных частях работы и не сможет быть использована для их объяснения. Это сделает
стиль знаний чисто совокупным эффектом, оторванным от содержания знания. Пример
двух устранителей монстров, который я использовал, показывает, что это может быть
верно на время, но только на некоторое время. Всеобщий стиль, «совокупный стиль»,
является сам по себе тем, что может быть осознано социальными партнерами. Это может
быть воспринято, как должное и взято в качестве основы для дальнейшей работы третьим
субъектом вместе с теми двумя, чьи работы внесли в нее вклад. После того, как это
произошло, стиль, в его совокупном смысле, воплощается в индивидуальные выводы или
убеждения. Это становится «естественным стилем», то есть, стилем, который может быть
обнаружен и продемонстрирован в индивидуальных работах, содержащих, возможно, и
невысказанные предположения, или их способ применения установленных результатов и
ресурсов.
Продолжая рассматривать тот же упрощенный пример, мы можем видеть, что взятые в
отдельности, индивидуальные работы теперь равны двум, в стиле устранителей монстров
и одному, в стиле исправителей монстров; более того, последний стиль может быть
истолкован в подразумеваемую структуру, нежели обоснован полными и обоснованными
утверждениями. Если данное свидетельство интерпретируется индивидуально, оно
покажется слабым основанием теории разметка и группы: два случая явно отрицательные,
один – положительный. Взятые в контексте, однако, эти три случая взаимообоснованны и
все они вносят вклад в ту же картину основного содержания знаний, развиваясь таким
путем, который несет в себе прогнозированный знак его социальной структуры. Даже в
своей строго социологической форме, существует внутренняя связь между теорией и
индивидуальными убеждениями, только теперь эта связь является более сложной, чем
ранее, и является предметом для подробного исследования и теоретической
интерпретации.
VI
В данном разделе я обрисую в общих чертах и затем, дам оценку социологическому
ответу на одну из основных исторических проблем, сформулированных в тексте
Лакатоса: почему в 1840 году произошла революция в математике? Он утверждает, что до
1840 годов математики не думали об использовании контрапримеров диалектически для
15
того, чтобы вытеснить скрытые предположения и улучшить их доказательства. Это «было
виртуально неизвестным в неформальной математике начала двадцатого века» (48) «Им
(Коши или Абелю), никогда не приходило на ум, что если они обнаруживали исключение,
то они должны были снова взглянуть на свои доказательства» (49) в девятнадцатом веке
(50) тон задавали устранители монстров и исправители монстров. Например, Коши
считал, что он доказал то, что ограничительная функция любого сходящегося ряда
непрерывных функций была, сама по себе, непрерывной; Абель и Фурье знали об
исключениях и ссылались на определенный ряд тригонометрических функций. В
промежуток между 1821 и 1847 годами данный вопрос оставался без изменений. До тех
пор, пока Сейдел не придумал концепцию единой конвергенции, было непонятно, какие
последующие ограничения должны быть наложены до того, как они будут
соответствовать условиям теоремы Коши, а также то, что было такого в ряде Абеля, что
сделало их исключениями. (51) Открытие Сейделя было, в тоже время, достаточно
скромным объявлением нового диалектического способа доказательств и опровержений.
Прежде же всего, нам необходимо убедиться в том, что вопрос о революции в математике
в 1840 годах интерпретировался, как вопрос об объективных знаниях, нежели как вопрос
об индивидуальном мыслительном процессе. Неправдоподобно предлагать, что Сейдел
открыл и применил новый способ человеческого мышления. Проблема должна была
заключаться в следующем: почему естественная способность думать диалектически была,
предположительно, уникальной, а не применяемой в математике до 1840 года. Лакатос
говорит об изобретении методологии, сделанного индивидом. (52) Мы должны обсуждать
скорее запрещение или поддержку общих примеров, а также демонстрацию данного
методологического стиля.
Собственное объяснение Лакатоса является слабым. В сущности, он утверждает, что люди
не могли сделать данное методологическое открытие, так как они находились в тисках
неправильной методологии. (53) Для того, чтобы выйти из этого тривиального круга
идей, использованного для их объяснения, нам необходимо спросить о планах и цели тех,
кто применяет их, и это, в свою очередь, будет относиться к социальному контексту.
Каковы были преобладающие социальные проблемы, овладевшие вниманием
математиков в 1840 годах?
К. С. Тернер в своих увлекательных исследованиях развития профессиональных
исследований в Пруссии дает ответы на данный вопрос. (54) Он пускается в объяснения о
том, сто изобретение открытия становится частью роли академика в Германии. Он
начинает описывать закрытый, академический характер большинства Германских
университетов восемнадцатого века: они сохраняют некоторые средневековые
гильдейские привилегии, будучи в тисках меркантильных ограничений студентов и
профессоров. Прежде всего, они контролировали свои собственные должности, которые
гарантировали господство групповой лояльности. Как и ожидалось, эти небольшие
группы были расколоты внутренними конфликтами, были распространены обвинения в
коррупции и аморальности. К этому добавилась опасность снижения количества
студентов в начале девятнадцатого века. Реформа кабинета министров, последовавшая за
поражением Пруссии с Наполеоном в 1806 году, начала создавать новую систему школ и
университетов. Духовно, университеты были символом регенерации и единства;
практически, им необходимо было выпускать компетентных учителей школ и
чиновников: лояльных деятелей культуры и моральной неподкупности. Такова была
задача возрожденного факультета философии. Те, кто обучал на факультетах, были
самыми лучшими: интеллектуалы с широкими интересами и славой. Для достижения этой
цели государственные власти взяли под контроль назначения на кафедры университетов.
Чиновники применяли стандарты, которые они могли понять и которыми могли
16
манипулировать, игнорируя протесты,
и будучи неприкосновенными, благодаря
критерию университетской пригодности. Они читали публикации кандидатов и проводили
консультации для своих коллег в Европе. Дисциплинарные достижения были новым
критерием и, все университеты должны были конкурировать друг с другом в борьбе за
студентов, преподавателей и интеллектуальную славу.
Целью являлось просто достижение совершенства, которое могло вытекать из
эзотерической эрудиции или крупных синтезированных достижений, а не создание
инноваций. Увеличение детализированного обучения в определенных областях было
объединено с преобладающим чувством органичного единства знаний. Следовательно,
положительная поддержка предоставлялась специалистам по истории и филологии, также
как и синтезу Германского идеализма.
Результатом, однако, стало то, что конкурентные специальности превалировали над
гармоничным сбором и органическим синтезом. Аналитическая интенсивность подробных
исследований и бесконечные поиски открытий перевешивали более статичную групповую
лояльность и смутную философскую систему, которая их символизировала. Причина
заключалась в том, что создание открытий стало необходимостью для тех, кто стремился к
получению должности: простая компиляция, распространение или усовершенствование
установленных знаний в учебниках, переводах и энциклопедиях, ушли в прошлое.
Такое движение не являлось простым «отражением» общеевропейского движения к
конкурентным индивидам, хотя и являлось его результатом. Это было результатом
непосредственного административного вмешательства, которое, по иронии, было
реакцией против ценностей либерализма. Также, согласно Тернеру, рост конкуренции в
Германских университетах не может быть объяснен с теологической точки зрения,
обращением к установленным требованиям науки. Специализация, фактически, сначала
произошла в гуманитарных науках, и это было желанием подражать этим престижным и
принятым академическим формам, а также освободить науки от пятна простой
практичности, которая вела к их принятию математики и наук. Конкурентные,
новаторские результаты, которые дали Германии ее лидирующую роль в науке
девятнадцатого века, являлись непреднамеренным результатом введения критериев
централизованного бюрократического назначения на должности.
Можно рассматривать работу Тернера, как описание меняющихся характеристик разметки
и группы Прусских университетов. Легко рассматривать его работу в качестве подробного
отчета о небольшом обществе с низкой разметкой и сильной группой, преобразованного
для того, чтобы сделать его частью более крупной системы с высокой разметкой и
сильной группой. Фактически, следствием, как мы видим, являлось создание структуры с
низкой разметкой, слабой группой. Данное следствие представлено на рис. 9.4.
Ось разметки
Предполагаемый результат реформ
1812 года
Фактический результат реформ
1812
года:
конкурентная
структура
Корпоративные
восемнадцатого века
университеты
Ось группы
17
Рис. 9.4. Разметка и группа, воспроизводящая доклад Тернера о реформе Прусских
университетов.
Тернер четко определяет вид подробного, институционального описания, которое может
объяснить даты методологической революции Лакатоса. Обратите внимание на то, что
институциональная среда, которую он рассматривал, является той, что непосредственно
рассматривает математика, как математика. Результатом воздействия на более крупное
общество является то, насколько оно нарушает эту роль. В 1840 году конкурентная среда
была четко установлена, по крайней мере, в отношении части институциональной среды
Европейских математиков. И, такая среда, без сомнения, является той, что способствует
развитию диалектического подхода к доказательствам и опровержениям. (55)
Нам необходимо двигаться с осторожностью, хотя данные Тернера относятся только к
Пруссии, персонаж Лакатоса Сейдел, был из Мюнхена. (56) Открытия Тернера должны
быть указаны в настоящем контексте, в качестве примера указанного вида объяснения.
Одинаково подробные отчеты, скажем, академического общества во Франции, возможно,
даст различную картину. Ничего удивительного не будет в открытии того, что
определенные институты, сохранившие закрытую элитную и эксклюзивную структуру,
успешно шли против волны Европейских социальных изменений. Что можно с этим
сделать? Самым непосредственным результатом является то, что нам следует ожидать
разношерстности институционального применения диалектического метода. Но,
существует еще более интересное заключение: мы должны сопротивляться искушению
рассматривать историю, как неустанное движение к низкой разметке, слабой группе, т.е.
ставить диалектический метод во главу прогресса и рассматривать исключения, как
«культурные сдвиги».
На место этого наивного «прогрессевистского» предположения мы можем поставить
установившуюся теорию или некоторый эквивалент геологического униформизма.
Возможно, нам следует ожидать, как общее правило, что организованные группы будут
циркулировать вокруг диаграммы разметка/группа: будучи поставленными в
конкурентные отношения; двигаясь назад по оси группа; обнаружив себя ограниченными
рядом сделок и обязательств и т.д. В конце концов, конкурентный индивидуализм
является очень старой социальной формой. Существуют примитивные культуры с
отсутствием научно-технического прогресса, которые, как и мы, являются вечными,
прагматичными и индивидуальными. Наша точка зрения на мир не является новой; мы
здесь уже были. (57)
Нам не следует ожидать, что появление диалектического метода в математике является
феноменом раз и навсегда – типа «большой взрыв» в методологии. Можно ожидать, что
он постепенно исчез при некоторых обстоятельствах после 1847 года, важного для
Лакатоса и существовал до этого времени. Ранние циклы через конкурентные социальные
формы должны найти математиков, думающих диалектически.
VII
Надеюсь, что было высказано достаточно для того, чтобы показать пользу от того, чтобы
вытащить теорию разметки и группы из ее антропологического контекста и применить ее
к научным знаниям. Ясно, что такой подход не ограничивается математическими
примерами, но должен также пролить свет на работы естественных наук. Например,
полезно будет показать, когда и почему аномалия превращается в провоцирующую кризис
аномалию в смысле Куна, или почему в терминах Лакатоса исследовательскую программу
можно назвать вырождающейся. (58). Конечно, данный подход не относится ко всем
18
аспектам знаний. Например, в настоящем случае, он не иллюстрирует происхождение
процедуры доказательств или первоначального восприятия того, что объект может быть
рассмотрен в качестве контрапримера. (59) Но, вряд ли критикой теории является то, что
она не соответствует общей оценке знаний. В любом случае, ни одна теория не может
показать, что знания были «чисто социальными», и что наша психологическая и
физическая натура никогда не может игнорироваться.
При оценке теории разметки и группы существует важный пункт. Бесполезно иметь идеи
такие как «интерес» или «ресурс» или «переговоры» или «представление», если они не
согласованы с объединяющей теоретической схемой. В настоящее время эти идеи обычно
используются совершенно особым путем. (50). Теория разметки и группы заслуживает
нашего внимания потому, что она помогает устранить данный недостаток. Это не
означает, что ее применение будет понятным или непроблематичным; совсем наоборот:
фактически, она сразу увеличит количество проблем, например, известит о проблемах,
которые ранее можно было игнорировать. Но создание проблем является сильным
аргументом в пользу теории, также как и аргументом против нее; это обязательно
произойдет, если разнообразие эмпирических открытий и существующий набор
концепций относятся к новой теоретической идее. Как утверждал Лакатос, новые
доказанные идеи в математике фактически увеличивают область критицизма, поэтому нам
следует ожидать объяснительную теорию, которая имеет такое же влияние на
социологию знаний. (61)
ПРИЛОЖЕНИЕ: НАСКОЛЬКО РАДИКАЛЬНЫМ ЯВЛЯЕТСЯ ЛАКАТОС?
Поразительная странность существует между оболочкой книги «Доказательства и
опровержения», которую необходимо сделать ясной для того, чтобы не изменить
интерпретацию книги. Я ссылаюсь на содержание вмешательства издателей. У каждого
есть причина быть благодарным издателям, Джону Уораллу и Элли Захар, за то, что они
взяли на себя публикацию книги Лакатоса «Доказательства и опровержения», после его
смерти в 1974 году. Но они странно выполнили свою обязанность: они вставили
определенное количество сносок, отмеченных звездочкой, в которых они поспешили
убедить читателя, что Лакатос изменил, или мог изменить свое мнение по определенным
темам. Они подчеркнули достижения современной логики и отметили, насколько она
отличается от тех случаев, которые совпадают с подходом Лакатоса. Нетрудно увидеть,
что вызывает эти беспокойства издательской деятельности: они происходят всякий раз,
когда Лакатос становится слишком радикальным.
Например, он заставляет ученика Каппу утверждать, что «расширение понятий
опровергает всякое утверждение» (п.99). (62) Любая инстанция понятия, независимо от
того, насколько центральным или стабильным оно может показаться, всегда может быть
снова пояснена. Мы уже видели, что это является причиной того, что ни одна теорема
никогда не имела совершенно стабильную область действия или статус. Утверждение
Каппы обобщает основной пункт аргумента Лакатоса. Издатели, однако, уверяют
читателей, что Каппа «ошибается, считая, что всегда можно создать контрапримеры
«растягиванием понятий» (п.100). Понятно, что если редакторы правы, то ошибается
Лакатос. Давайте, изучим данный вопрос.
Их аргументы:
Согласно определению, ценным доказательством является то, в котором независимо от
того, как интерпретируются описательные
термины, оно никогда не создает
контрапримеры, т.е. его ценность не зависит от значения описательных терминов, которые
могут быть растянуты так, как ему нравится. (стр.100)
19
Смысл данного утверждения можно легко продемонстрировать. Форма аргумента «Если
все А являются B и C является А, тогда C является B, не зависит от значения А, B и C. Их
значение можно изменить по желанию, не меняя ценности предположения. Таким
образом, издатели утверждают, что доказательство, фактически, является дедуктивным
шагом, движением от «если» к «затем», и значение имеет важность шага, а не содержание
предпосылки или заключения. Данная проблема существует с формой, нежели с
содержанием, именно то, что Русел имел в виду в своем известном изречении о том, что
«математику можно определить, как предмет, в котором мы никогда не знаем, о чем мы
говорим, или является ли то, что мы утверждаем, верным» (63)
Очевидный ответ – отметить то, что аргумент издателя зависит от смутного
предположения о том, что только описательные термины могут быть растянуты и что
логические слова в рассуждениях являются устойчивыми к растягиванию. Решительный
Каппа должен был настоять на том, что, что даже важные, формальные и логические
аргументы могут быть составлены так, чтобы иметь контрапримеры, растягивая значение
терминов, которые они содержат – почему «все» и «некоторые» и «если» и «затем»
должны отличаться от остального языка? Если позиция Лакатоса является на самом деле,
общей, если она не будет сокращена, то это один из путей, который можно выбрать. В
конце концов, никто еще не преуспел в отделении «логических» слов в нашем языке от
других, и, демонстрируя то, что их особенность заключается в нерастягиваемости. Не
было обнаружено ни одного принципа, который не разделял бы их: существующее
разделения является правилом. (64)
Существует, однако, более похожий ответ, который отменяет необходимость бороться с
логиками на их территории. Ошибочно представлять математику, как если бы она была по
существу, бессодержательным сплетением умозаключений. Основной идеей работы
Лакатоса является напомнить нам о трудноуловимом и субстанциальном характере
понятий A, B и С, который логик игнорирует, так как он вставляет их в свои стереотипные
дедуктивные шаги. Почему мнение Лакатоса о математике воспринимается, скорее как
математика, которую мы знали по лекциям, вопреки всем недостаткам педагогики, нежели
работа логиков? Ответ таков: потому, что он изменил порядок приоритетов, которые
доминировали в философских суждениях. Они позволили субстанции отойти на задний
план и выдвинули на передний план субстанцию доказательств. Он утверждает, что
важной частью математики является содержание, которое не принимается во внимание,
когда внимание обращают на формальные логические отношения. Каким образом
отношения соединения и разъединения, отрицания и материальных утверждений
показывают с лучшей стороны процессы, подобные воображению о том, что
многогранник сделан из резины, равномерно растянут, созданию триангулированной сети,
и затем, удалению треугольников друг за другом? Они не могут собрать все эти предметы,
и тем не менее, все доказательства включают некоторые из этих шагов.
На все вышесказанное могут возникнуть решающие возражения. Что это такое, что дает
предполагаемую сущность математики? Чем больше мы спорим о том, что важны не шаги
умозаключений между предпосылками и заключениями, а сами предпосылки и
заключения, тем более нам необходимо определить, к чему относятся данные
предположения. Если истина математики заключается не только в верных предпосылках,
верных «если затем», то должны быть верные утверждения о чем-то – но о чем? Нам
необходимо определить онтологию. Может, нас заставляют вернуться к платонизму,
принять без доказательства мир математических объектов для упомянутых теорем?
Возможно, Эйлеровская теорема относится, в конце концов,
к идеальному
20
многограннику. Будет ужасно признать, что Лакатос являлся скрытым последователем
Платона, потому что он отрицал «if theunism» (65)
К счастью, существует другая возможность. Нам не надо выбирать между Платоном и if
theunism. Содержание математических идей можно проследить в материальном мире,
наших психологических планах, структуре метафор, построенных на нашем опыте. У нас
формируется идея о том, что такое многогранник, сфера, числа, расстояния, вращение,
переносы, превращения, шаблоны, которые можно построить с их помощью, все, исходя
из нашего опыта. Отсюда, важное значение «квази-экспериментов» в утверждениях
Лакатоса. Конечно, необходимо многое еще сказать, но независимо от того, насколько
немодными могут быть «психологические» теории математики и насколько странным
может показаться их ассоциация с именем Лакатоса, они дают ответ на вопрос, который
мы рассматриваем. (66)
Другое вмешательство издателей происходит тогда, когда Лакатос утверждает, что нам
надо «отказаться от идеи о том, что наш дедуктивная интуиция является нерушимой. (стр.
138n) Редакторы заявляют, что «этот путь кажется нам неверным и у нас нет сомнений в
том, что Лакатос, уделивший самое большое внимание формальной дедуктивной логике,
сам изменил ее» (стр 138n) Такой пример подачи себя имеет некоторые занимательные
последствия. На стр. 52 один из учеников цитирует Пуанкаре «В наши дни достигнута
абсолютная строгость». Лакатос встречает такое хвастовство «смешками в классе» и в
примечании, слегка напоминает нам о том, что класс является очень продвинутым. В
противоположность этому (стр. 53n)
редакторы торжественно заявляют, что
«современная логика» дает нам четкую характеристику общезначимости и что, таким
образом «логика определенно может заставить нас поверить в любой аргумент». Далее,
они добавляют, что после того, как математические доказательства были выброшены в
«системы» Расселя и Фреджа. «Нет серьезного смысла в том, что такие доказательства
являются ошибочными» (стр.57n) Поэтому, издатели, по крайней мере, не
присоединились к смешкам.
Фактически, Лакатос дает свой собственный ответ редакторам. У него есть своя
собственная причина отрицать идею о том, что доказательства должны быть сравнимы с
формальными структурами умозаключений от «если» до «затем». Он утверждает, что до
того, как квази-эксперименты неформальной математики могут быть оформлены в
формальную логику, их необходимо тщательно разобрать и построить заново в новом,
более простом логическом материале. Для того, чтобы изменить метафору: их надо
перекодировать или переместить. Всех проблем, которые унаследовали математики,
нельзя избежать, поставив их в «непогрешимую» логику, их необходимо только
переместить. Вытесненные из одного места, они возникнут в другом: в аргументах о
процессе перемещения. (стр. 123). Уоррал и Захар, упоминая о таком перемещении,
отмечают, что перемещение математики в «непогрешимую логику» признается
ошибочным, но они ничего с этим не делают. На самом деле, их позиция подразумевает,
что аргументы относительно такого процесса перемещения не являются аргументами о
доказательствах, как таковых, потому что для них доказательство является только
формальной структурой умозаключений, после того, как они были перемещены. Но это
отговорки; она просто основывается на изменении значения слова «доказательство».
Направление такого издательского вмешательства является понятным. Оно представляет
вторжение философии формализма, которой избегает Лакатос в своей книге.
Как могла возникнуть такая странная ситуация? Она, без сомнения, заслуживает
некоторого объяснения. Одна гипотеза заключается в том, что отступление в формализм
является результатом беспокойства за то, как будет использована работа Лакатоса,
21
например, в работах, относящихся к социологии, таких как эта. Возможно, она
происходит от желания сохранить некоторую небольшую область непередаваемой
объективности от релятивизма, который угрожает поглотить знания. (67) Если это так, то
историки и социологи хорошо сделают, игнорируя издательские льстивые речи, так как
они ничто, кроме как стратегия для защиты дисциплинарных границ. Относительно
теории разметки и группы мы можем предположить, что издатели нашли себя дальше
групповой оси, чем это сделал Лакатос, или они стараются передвинуть ось, закрывая
ряды. Они, вполне очевидно, не хотят брать на себя риски, связанные с интеллектуальной
средой более низкой разметки и слабой группы. Это вовлечет их в сделки с
установившимися
академическими границами. Вкратце, мы рассматриваем их
отступление в формализм, как еще один случай устранения монстров. Возможно, он
представляет понимание того, что работа Лакатоса по математике является потенциально
разрушительной, по крайней мере, с точки зрения обычных философских процедур и
компетенции. Такое беспокойство обосновано, так как книга
«Доказательства и
опровержения» открывает двери социологическому подходу к математике.
ПРИМЕЧАНИЯ
* Данная работа впервые опубликована в издании «Британский журнал истории науки»,
т.11, ноябрь 1978 года, стр. 245-72 и напечатана в данном сборнике с разрешения
издателя.
Данная работа начала свое существование, как обзорное эссе о книге Имре
Лакатоса «Доказательства и опровержения: логика математических открытий»,
Кэмбридж, Кэмбридж Юниверсити Пресс, 1976 год. Я глубоко благодарен редактору
данного журнала за его терпение и понимание, позволившим изменить работу таким
образом.
Я особенно признателен профессору Мэри Дуглас за ее огромную поддержку и
помощь. Мне очень помогли критические и конструктивные замечания Барри Барнс,
Алекса Беллами, Сели Блур, Кена Канева, Николаса Фишера, Дональда Макензи,
Мартина Рудвика, Стивена Шапина, Франа Васова и Питера Уиттингема. Я осознаю, что я
только смог ответить на некоторые, нежели на все вопросы, которые они поднимали.
1. Имре Лакатос, «Доказательства и опровержения: логика математических
открытий», Кэмбридж, 1973 год
2. Мэри Дуглас, «Естественные символы: Исследования в космологии»,
Хармондсуос, 1973 год
3. Цитируемая работа (1) стр. 74-5.
4. там же, стр. 139, 144-6.
5. там же, глава 11
6. Цитируемая работа (1) стр. 34
7. там же, стр. 36
8. там же, стр. 13
9. там же, стр. 15
10. Цитируемая работа (1) стр. 34, стр. 15-21
11. данный технический термин используется здесь в смысле, установленном Мэри
Гесс в ее работе « Структура научных выводов», Лондон, 1974 год, глава VIII.
12. Цитируемая работа (1) стр. 87
13. там же, стр. 151
14. там же, стр. 86
15. там же, стр. 93
16. там же, стр. 102
17. Моя интерпретация идей Лакатоса оказалась под влиянием сходства, которое они
внесли в общее описание научных понятий, данных Мэри Гесс в ее цитируемой
22
работе (11). Доступность всех утверждений или классификаций является главным
для ее «сетевой модели». Отрицание Лакатосом прекрасно истолкованного словаря
простых терминов является, по существу, таким же, что и отрицание чистого
«языка наблюдений» эмпиризма Гесс. Общие структурные условия нашей системы
, «условия последовательности» Гесс, по крайней мере, частично, даны в стратегии
Лакатоса, выбранной для реагирования на контрапримеры.
Для того, чтобы увидеть как Лакатос доказывает, что все классификации и,
следовательно, все теоремы и доказательства могут обсуждаться, необходимо
прочитать формулировку Лакатоса, которая было оспорена, его собственными
издателями. Этот важный вопрос обсуждался в Приложении, приведенном в конце
данной книги.
18. Цитируемая работа (1) стр. 29
19. Классический отчет Э. Дюркгейма и М. Мосс «Примитивная классификация»,
Лондон, 1963 год (впервые опубликован в 1903 году). Относительно двух
последних исследований в этой области смотри работу Р. Балмер «Почему казуар
не птица? Проблема зоологической таксономии среди Карам Новой Гвинеи, Мэн,
1967 год, 5-25, а также С. Дж. Тампиан «О животных хорошо думать и хорошо
запрещать», Этнология, 1969, 8, 424-59.
20. Р Нортон утверждает, что в примитивных обществах социальные структуры дают
модели для природы, так как социальное знание является наиболее лоступным
стабильным интеллектуальным ресурсом. Смотри его «Традиционная Африканская
мысль и западная наука», Африка, 1967 год, 37, 50-71, 155-87. Математический
пример, в котором социальное рассматривается как метафора, смотри работу Пола
Формана, Веймарская культура, казуальность и квантовая теория, 1918-1927:
адаптация
Германскими
физиками
и
математиками
к
враждебной
интеллектуальной среде, «Исторические исследования в физических науках», 1971
год, 1, 1-115. Раздел 11.4 об интуитивизме ярко иллюстрирует, каким образом
промежуточные образы культурного кризиса были использованы для того, чтобы
характеризовать и создать смысл математического кризиса. Этот эпизод можно
также рассматривать как пример растягивания понятий, когда преднамеренное
ограничение в области принятых математических процедур поддерживается для
того, чтобы создать контрапримеры и аномалии там, где ранее их не существовало.
21. Первоначальная теория о том, что мерзость являлась категорией нарушителем,
была предложена Мэри Дуглас в ее работе «Чистота и Опасность: Анализ
представлений об осквернении и табу, Лондон, 1966 год. Усовершенствованный
вариант данной теории, описывающий исторические события, придающие особое
значение потреблении в пищу мяса свиньи, можно найти в ее работе «Скрытые
значения: Эссе по антропологии», Лондон, 1975 год, глава XVII.
22. См. Дуглас Цитируемая работа (2) стр. 87
23. Цитируемая работа (2) стр. 14
24. Там же, стр., 21.
25. Там же, стр., 17
26. Там же, стр., 16
27. Там же, стр., 14
28. Там же, стр., 19
29. Там же
30. Там же, стр., 30
31. Там же, стр., 24
32. Там же, стр., 39
33. Там же, стр., 26
34. Там же, стр., 24
35. Там же, стр., 36
23
36. Там же, стр., 79, 97
37. Там же, стр., 81
38. Там же, стр., 75
39. Там же, стр., 23
40. Там же, стр., 4, 5, 37.
41. Там же, стр., 68
42. Там же
43. Там же, стр., 30, 37.
44. Такие размеры впервые были введены в работе Дуглас, цитируемой (2), главы IV и
VI. Форма диаграммы, использованной на стр. 129, соблюдается скорее здесь, чем
в более ранних, иногда более сложных фигурах.
45. Эта теория применялась к данным опроса современных ученых С. Блура и Д.
Блура.
46. Цитируемая работа (1) стр. 84
47. Биолог Бейтсон привык произносить, что не растения важны, а системы; сравни У.
Колем, Бейтсон и хромосомы: консервативные идеи в науке, «Сентаврус», 1970
год, 15, 228-314. Я использовал данную потрясающую идею параграфом выше. Для
того, что обсудить «структурные» пояснения в социологии, а также сравнить с
подобными выводами в других областях науки, смотри работу С. Б. Барнс
«Интересы и рост знаний», Лондон, 1977, глава III.
48. Цитируемая работа (1) стр. 48
49. Там же, стр. 55
50. Там же, стр. 81
51. Там же, стр. 131
52. Там же, стр. 136
53. Там же
54. Р. Стивен Тернер. Рост профессорских исследований в Пруссии, 1818-1848 –
причины и содержание, «Исторические исследования в физических науках», 1971
год, 3, 137-82; Реформаторы университетов и образование профессоров в
Германии, 1760-1806, в Л. Стоун (ред.), «Университеты в обществе», Оксфорд,
1875, ii, 495-531.
55. Работу Тернера можно сравнить с трактовкой Дж. Бен-Дэвида того же факта,
резюме которого дано в «Роль ученого в обществе: сравнительные исследования»,
Инглвуд Клиф, 1971, глава VII. В обеих работах согласны с главным вопросом о
том, что конкурентная система была установлена в середине девятнадцатого века.
56. Дж. С. Погендор (ред), «Bibliographisch-Literariaches Handworterburch zur
Geschichte der exakten Wissenschaften», Лейпциг, 1863 год, ii, 896-7
57. Смотри, например, описание «Бигмен – общества в Новой Гвинее», Мэри Дуглас,
цитируемая работа (2).
58. Например, Юджин Франклин в «Корпускулярной оптике и волновой теории света:
наука и политика в революции физики, «Социальные исследования науки», 1976
год, 6, 141-84, описывает каким образом борьба за власть между сторонниками и
оппонентами Лапласа в Парижской Академии наук ускорила кризис
корпускулярной теории оптики. Его мнение совпадало с описанием устранения
монстров против устранения теоремы в обществах с сильной группой, низкой
разметкой. Еще один пример был предоставлен тем же институтом позднее, но в
этот раз, в нем победу одержали устранители монстров. Это происходило тогда,
когда Пастер опровергнул «некомпетентные» эксперименты Пуше, верившего в
самопроизвольные преобразования. Смотри Дж. Фарли и П. Гейсон, Наука,
политика и спонтанные преобразования во Франции девятнадцатого века: дебаты
Пастера-Пуше», «Бюллетень истории медицины», 1974 год, 48, 161-98.
24
59. Это не означает, что теория никогда не может внести вклад в такое объяснение,
или то, что такие предметы выпадают из области социологии; ничуть. Процедуры
доказательства могут часто возникнуть, если продлить уже существующие,
ставшие привычными или их можно объяснить социальными интересами,
выдвинув на первый план эмпирические процессы, которые могут быть составлены
на основе новых процедур. Например, смотри отзывы о том, как евгенические
проблемы влияют на рост статистических идей Галтона и Пирсона в работе Рут С.
Кован, Статистические идеи Фрэнсиса Галтона: влияние евгеники, «Изис», 1972
год, 63, 509-28 и Д. Макензи, Развитие статистичсекой теории в Британии, 18651925: исторические и социологические перспективы, докторская диссертация
университета Эдинбург, 1978 год.
60. Обратите внимание на отсутствие единой теории в работе С. Б. Барнс «Научные
знания и социологическая теория», Лондон, 1974 год и Д. Блур «Знания и
социальные представления», Лондон, 1976 год.
61. Проблема, которую я имел в виду, заключается в следующем: например: каким
образом представления о разметке и группы относятся к идее роли? Может ли
существовать единая оценка разметка и группы для индивидов по мере того, как
он переходит от одной роли к другой? Или взять случай последователей Weirstrass,
представленных как слабая группа с низкой разметкой. Их включили сюда из-за их
диалектической методологии и первоначального отрицания устранения монстров,
и т.д. Но их отношение к контрапримерам, воспроизведенное позднее в работе
Кантора, было явное использование устранителей монстров (Лакатос, цитируемая
работа (1), стр. 50). Эта изощренная модель различных методологий, принятых в
различных обстоятельствах, обусловленная изменяющимися требованиями
целесообразности, является проблемой, ждущей своей теории. Сравни также тот
путь, который Жонкьер использовал «устранение монстров против полостей и
туннелей, а исправление монстров против увенчанных кубов и звездчатых
многогранников», (Там же, стр. 38). Однако, только те, кто хочет увидеть, чтобы
теория провалилась, предположит на данной стадии, что данные проблемы
являются опровергающими фактами.
62. Все ссылки в данном Приложении относятся к цитируемой работе Лакатоса (1)
63. Бертран Русел, «Мистика и логика», Лондон, 1963 год, (впервые опубликован в
1910 году), стр. 59.
64. В 1935 году Тарский сформулировал проблему о том, как отделить логические
слова от других. Поппер считал, что он решил эту проблему в 1947 году, но сейчас
считает, что это не так, он скептично относится к успеху в будущем. Сравни, Карл
Поппер Логика без допущений, «Процедуры Аристотелевского общества» 1947
год, 47, 251-92, а также Ответы моим критикам, в работе П. А. Шлип (Schilpp) (ред)
«Философия Карла Поппера», Ля Саль, 1974 год, стр. 1096. Факт таков, что
логические слова являются растяжимыми. Например, они должны растягиваться
для того, чтобы справиться с введением метода истинностных таблиц.
65. Для более ясного описания «if-thenism» смотри работу Алана Масгрейва, Еще раз
о логицизме, «Британский журнал философии науки», 1977 год, 28, 99-127. На стр.
123 Масгрейв предположил, что идеи Лакатоса о математике основываются на
наивном платонизме.
66. «Психологическая» теория математики, которую. Дж. С. Милл ни во что не ставил,
недавно была поддержана и развита Д. Блуром, цитируемая работа (60), глава V.
67. Риторика Поппера против опасности «чистоты субъективного релятивизма», см.
Алан Маскгрейв, Объективизм эпистемологии Поппера, в работе П. А. Шлип (ред)
цитируемая работа (64), стр. 568.
68. Вместо того, чтобы отступить к формализму, издатели скорее помогли, нежели
препятствовали развитию исследовательской программы Лакатоса, обратив
25
внимание на другую работу подобного рода в логике и математике. Например, те,
на кого произвели впечатление достижения Лакатоса, узнают многое из
непосредственных и убедительных подходов к решению Альфреда Сидвика на
формальную логику в его работе «Использование слов в доказательствах», Лондон,
1901 год. Он также пришел к заключению, что «Предложить доказательство,
значит предложить определенные подходы к решению», (стр. 82). Сидвик
разделяет отношение Лакатоса к контрапримерам: «Различие предложенного
метода заключается не в том, чтобы уделять внимание только правилам и
исключениям из них, а в том, чтобы избегать и приветствовать открытия
исключений из правил», (стр. 130). Но, если и есть книга, заслуживающая
подробного сравнения с книгой «Доказательства и опровержения», то это книга
Виттенштайна «Замечания по основам математики», Оксфорд, 1964 год. Оба
автора отрицают общее мнение о том, что математика имеет свои «основы» в
обычной логической начальной точке; оба осведомлены о напускном и искаженном
влиянии
перемещения
существующих
и
возникающих
понятий
в
усовершенствованный аппарат формальной логики; оба являются магистрами
гуманитарных наук, определившие альтернативы к шагам выявления причин того,
что выглядит «непреодолимым», или выводами, которые выглядят
«неизбежными»; у обоих авторов имеется «ограниченная» картина математических
доказательств; оба являются известными критиками гладкого «Платонизма» или
«Реализма», превалирующего в логике и математике. На самом деле, тот факт, что
оба автора глубоко реагируют на социальные характеристики знаний, придает силу
их работам.
26