ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 1. Введение. Краткая история.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
доцент Александр Иванович Черных
1. Введение. Краткая история.
2. Сходство с электродинамикой и отличие от нее. Универсальность гравитационного
взаимодействия и геометризация.
3. Уравнения движения. Геодезические. Ньютоновское приближение.
4. Основы римановой геометрии. Параллельный перенос, символы Кристоффеля,
ковариантное дифференцирование. Тензор Римана, его свойства, тождества
Бьянки.
5. Относительное ускорение двух тел.
6. Уравнения Эйнштейна. Линейное приближение, закон Ньютона.
7. Неизбежность нелинейности. Снова уравнения движения. Неизбежность тензорной
теории.
8. Линейные эффекты. Красное смещение, отклонение света Солнцем.
9. Вариационный принцип. Тензор энергии-импульса.
10. Решение Шварцшильда. Решение Нордстрема.
11. Вращение перигелия Меркурия.
12. Задержка луча света.
13. Квазимагнитные эффекты. Прецессия гироскопа на орбите, спин-орбитальное и
спин-спиновое взаимодействия. Сдвиг фазы света.
14. Гравитационные волны. Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля.
Квадрупольное излучение.
15. Излучение релятивистских частиц. Электромагнитное излучение. Резонансное
взаимодействие электромагнитной и гравитационной волн во внешнем поле.
Гравитационное излучение.
16. Горизонт поля Шварцшильда.
17. Метрика Керра. Эргосфера.
18. Судьба массивной звезды. Коллапс.
19. Черные дыры, их свойства.
20. Космологические решения. Возраст Вселенной.
21. Реликтовое излучение. Инфляционная модель.
Литература
1. Берков А.В., Кобзарев И.Ю. Теория тяготения Эйнштейна. Общие принципы и
экспериментальные следствия. М: МИФИ, 1989.
2. Берков А.В., Кобзарев И.Ю. Приложения теории тяготения Эйнштейна к
астрофизике и космологии. М: МИФИ, 1990.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т. 2 Теория поля. М: Наука,
1988.
4. Хриплович И.Б. Лекции по общей теории относительности. НГУ, 2001.
5. Хриплович И.Б. Общая теория относительности. Ижевск: РХД, 2002.
Программа семинаров
1.
2.
3.
4.
5.
Релятивистская ракета.
Параллельный перенос и кривизна на сфере и конусе.
Тензор кривизны в двумерном и трехмерном пространстве.
Свойства символов Кристоффеля и тензора кривизны.
Векторный анализ в криволинейных координатах.
6. Электродинамика в криволинейных координатах.
7. Тензор энергии-импульса для точечной частицы и электромагнитного поля.
8. Искривление лучей и задержка света при распространении вблизи Солнца.
9. Круговые орбиты в метрике Шварцшильда.
10. Четырехмерный вектор спина.
11. Влияние вращения тяготеющего тела на распространение света.
12. Влияние вращения тяготеющего тела на сдвиг перигелия планеты.
13. Падение света и вещества на черную дыру.
14. Гравитационное излучение тесной двойной системы.
Контрольная работа: проводится по группам перед началом контрольной недели.
Коллоквиум: проводится после окончания контрольной недели.
Задания
ЗАДАНИЕ №1
(сдать до 25 октября)
1. В точке xi = 0 задана локально-геодезическая система координат. Показать, что
преобразование
1
x i  x i  c ij k l x  j x k x l
6
оставляет систему координат локально-геодезической. Вычислить


j ik  l  ij k
l
x 
x
в точке xi = 0.
2. Пусть P1, P2, P3 — вершины геодезического треугольника в 2-мерном римановом
пространстве с углами φ1, φ2, φ3 в них. Вектор из точки P1 параллельно
переносится вдоль сторон треугольника снова в вершину P1. Определить угол
поворота вектора.
3. Ввести систему координат на торе (двумерной поверхности бублика в трехмерном
пространстве). Вычислить все компоненты gij, Γijk и Rijkl.
4. Пусть A ≡ det(Aμν), где Aμν – тензор второго ранга. Скаляр ли это? Вычислить
ковариантную производную A;λ.
ЗАДАНИЕ №2
(сдать до 25 ноября)
5. Как выглядит обычная оптическая линза, которая имитирует отклонение луча света
гравитационным полем звезды? Как меняется толщина такой линзы с радиусом? В
центре линзы следует поместить "черную маску" – диск, имитирующий
поглощение света звездой конечного радиуса.
6. Найти сферически симметричное решение уравнений Эйнштейна с
космологической постоянной. Оценить ограничения на величину этой постоянной,
полагая, что даже для Плутона (радиус орбиты ~1015 см) законы Кеплера
выполняются с точностью не хуже, чем 10-5.
7. Найти первую неисчезающую поправку по v/c к сечению гравитационного захвата
нерелятивистской частицы полем Шварцшильда.
8. Найти первую неисчезающую поправку по mc2/E к сечению гравитационного
захвата ультрарелятивистской частицы полем Шварцшильда.
9. Определить систематическое (вековое) изменение орбитального момента планеты,
движущейся в поле центрального тела, связанное с вращением последнего
ЗАДАНИЕ №3
(сдать до 25 декабря)
10. Лучи света, выходящие из вершины квадрата A, движутся по
путям ABC и ADC и интерферируют на экране,
ортогональном диагонали AC в вершине C. В центре
квадрата вращается тело с осью вращения,
перпендикулярной плоскости квадрата. Оценить численно
сдвиг интерференционной картины при изменении
направления вращения, если тело — это Земля, а сторона
квадрата равна ее диаметру.
11. Тонкая сферическая оболочка радиуса R вращается с угловой скоростью Ω. Ее
полная масса M распределена равномерно. Найти метрику вне и внутри оболочки,
считая ее отклонение от плоской малым. Найти угловую скорость ω увлечения
инерциальных систем внутри оболочки.
12. Ультрарелятивистский электрон рассеивается внешним электромагнитным полем
на большой угол. Найти мгновенную интенсивность гравитационного излучения.
Основной механизм гравитационного излучения в данном случае — резонансная
перекачка электромагнитного синхротронного излучения в гравитационное. (Эта
задача не обязательная.)