Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования Нижегородский государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева Кафедра «Вычислительные системы и технологии» Курсовая работа по дисциплине “Основы теории управления” Вариант № 58 Выполнилт: Студенты группы 10-В-1 Скорынин С.С. Маясов Д.А Проверил: Никулин.Е.А г. Нижний Новгород 2013 г. 1 Содержание 2 1. Построение всех частотных характеристик блоков структурной схемы разомкнутой системы и принципиальных схем моделирования каждого блока каскадом на операционном усилителе. Структурная схема устройства Типовые звенья W2 (K) = Ks K W3 (K) = s W6 (K, T, ξ) = K 1 + 2ξTs + T 2 s2 Передаточная функция: y W(s) = x, где - измерение или выходной сигнал измерительного устройства - управление или входной сигнал регулятора 1. Блок W2 (K) = Ks .Функциональное уравнение y W s - передаточная функция, где x – управление или входной сигнал регулятора, y – x измерение или выходной сигнал измерительного устройства (ИУ); d y W ( s) * x , заменяем s , далее приводим к конечному виду dt Функциональное уравнение для блока W2: W2 k k * s - интегратор (интегрирующее устройство), где k – коэффициент усиления, [k] = сек, d s - оператор дифференцирования, [s] = сек-1 dt k 0.25 W2 0,25 0.25 * s y 0.25 * s x y 0.25 xs yt 0.25x - Алгебраическое уравнение. Звено не имеет переходного режима. 1.1 1.2. Синтез схемы моделирования на ОУ Для блока W2: a) W2 s ks k=-0.25 Эскизная схема: 3 Запишем как W2 s ks k=0.25 Вычислим суммы передаточных функций по прямому и инверсному входам S1 s 0 S 2 s 0.25s S1 s 1 S 2 s 0 1 0.25s Условие баланса не выполняется, поэтому необходимо подобрать передаточные функции 𝑊10 (𝑠) и 𝑊20 (𝑠) с положительными коэффициентами, удовлетворяющие условию. S1 W10 1 S 2 W20 0 W10 1 0.25s W20 Получим W10 1 0.25s W10 1 0.25s , W20=0 Операторная схема: z10W10 const z11W11 0 , z11 0 - провод Так как входное сопротивление операционного усилителя бесконечно велико, то входной ток будет равен нулю, поэтому 𝑧10 - любой элемент. Примем его за проводник, z10 – провод (R10=0) Для инверсного входа: z z 21 0 0.25s z 21 * 0.25s z 0 1 За z21 возьмем z 21 , т.е конденсатор, так как при выборе конденсатора в уравнении C 21 s z 21 * 0.25s z 0 сократится 𝑠 и схему нужно будет дополнить резистором, что является оптимальным решением. 0.25s z0 C 21 s 4 0.25 C 21 1 z0 R0 4C 21 z0 Для того, чтобы реальный операционный усилитель можно было с достаточной точностью считать идеальным, нужно выбирать сопротивления всех навесных резисторов хотя бы на порядок (в 10 раз) меньше паспортного значения Rвх и на порядок больше значения Rвых. Таким образом, с учетом параметров реальных операционных усилителей разных серий рекомендуемый диапазон номиналов всех сопротивлений схемы составляет [1 кОм, 10 МОм]. C21 = 1 мкФ → R0 = 250 КОм Итоговая схема: b) k = -2,5 Аналогичные рассуждения. Получим, z10W10 const z11W11 0 Так как входное сопротивление операционного усилителя бесконечно велико, то входной ток будет равен нулю, поэтому 𝑧10 - любой элемент. Примем его за проводник, z11 – провод (R11=0) k , подставим k z0 C 21 2 .5 z0 C 21 C21 = 2.5 мкФ → R0 = 1 Мом Итоговая схема c) k=0.25 W2 s ks Эскизная схема: 5 k=0.25 Вычислим суммы передаточных функций по прямому и инверсному входам S1 s 0.25s S 2 s 0 S1 s 1 S 2 s 0.25s 1 Условие баланса не выполняется, поэтому необходимо подобрать передаточные функции 𝑊10 (𝑠) и 𝑊20 (𝑠) с положительными коэффициентами, удовлетворяющие условию 0.25s W10 1 W20 Получаем, что W20 = 0.25s, W10 = 1 Операторная схема: Для прямого входа: W11z11 = W10z10 0.25s* z11 = z10 1 За z11 примем конденсатор, так как при выборе конденсатора в уравнении сократится 𝑠 и C11 s схему нужно будет дополнить резистором, что является оптимальным решением. 0.25 z10 C11 z10 R10 – резистор 0.25 R10 C11 R10 = 1 МОм С11 = 0.25 мкФ Для инверсного входа: z W20 0 z 20 Подставим значение W20 = 0.25s 0.25s*z20 = z0 6 Примем за z 20 1 C 20 s конденсатор, тогда z 0 R0 0.25 z0 R0 C 20 R0 = 1 МОм С20 = 0.25 мкФ Итоговая схема: 1.3. Полный набор частотных характеристик (7 штук) Каждое из звеньев структурной схемы имеет следующие частотные характеристики: 1) Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) P ReW j 2) Мнимая частотная характеристика (МЧХ) Q ImW j 3) Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) A W j P 2 Q 2 Q 4) Фазочастотная характеристика (ФЧХ) arctg P 5) Годограф A(φ) или амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) строится как параметрическая функция частоты по значениям пары {P(ω), Q(ω)} 6) Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) L 20 lg A 7) Логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФЧХ) Ф(ω) строится в логарифмическом масштабе по оси частот и равномерном масштабе по оси фазового угла Временные характеристики 1) Временные (импульсная w(t) , переходная h(t)) характеристики. Для блока W2: Этот блок имеет буквенный параметр в передаточной функции. Поэтому каждая частотная характеристика будет строиться для трех значений параметра с разными модулями и знаками. Передаточная функция: W2 s ks Частотные характеристики а) k=-0.25, поэтому W2 s 0.25 * k ВЧХ: P ReW j 0 МЧХ: Q ImW j Im 0.25 * j 0.25 * АЧХ: A W j P2 Q2 0.25 Q arctg 90 ФЧХ: arctg P ЛАЧХ: L 20 lg A 20 lg 0.25 12,04 20 lg b) k=0.25, поэтому W2 s 0.25 * k ВЧХ: P ReW j 0 МЧХ: Q ImW j Im2.5 * j 0.25 * АЧХ: A W j P 2 Q 2 0.25 * 7 Q arctg 90 ФЧХ: arctg P ЛАЧХ: L 20 lg A 20 lg 0.25 12 20 lg c) k= -2.5, поэтому W2 s 2.5 * k ВЧХ: P ReW j 0 МЧХ: Q ImW j Im 2.5 * j 2.5 * АЧХ: A W j P 2 Q 2 2.5 Q arctg 90 ФЧХ: arctg P ЛАЧХ: L 20 lg A 20 lg 2.5 7,96 20 lg Временные характеристики ℎ(𝑡)-переходная характеристика 𝑤(𝑡)-импульсная характеристика 𝑊2 (𝑠) = 𝐾𝑠 𝑊2 (𝑠) ℎ(𝑡) = 𝐿−1 ( ) = 𝐿−1 (𝐾) = 𝐾𝐿−1 (1) 𝑠 По таблице обратного преобразования Лапласа, изображение 𝐹(𝑠) = 1 соответствует оригиналу 𝑓(𝑡) = 𝛿(𝑡) ℎ(𝑡) = 𝐾𝛿(𝑡) 𝑤(𝑡) = 𝐾𝛿′(𝑡) ВЧХ ВЧХ нулевой из-за отсутствия вещественной части передаточной функции. ВЧХ не зависит ни от модуля, ни от знака параметра k. МЧХ 8 С ростом модуля коэффициента K, происходит растяжение графика характеристики МЧХ по оси Q. Изменение знака коэффициента приводит к отражению графика МЧХ относительно оси ω. АЧХ Увеличение модуля К приводит к растяжению графика АЧХ по оси Q. Знак коэффициента на АЧХ не влияет. Годограф Представление на 3 графиках для обеспечения большей наглядности. Увеличение модуля K приводи к увеличению скорости движения точек по годографу и уменьшению их плотности. График строится на ограниченном диапазоне частот, поэтому годограф на графике ограничен. Годограф начинается в начале координат и стремится к ∞ при К>0 и к -∞ при К<0 по оси ω.Изменение знака K отражает годограф от начала координат. ФЧХ 9 Изменение знака K смещает характеристику ФЧХ на 180 градусов. Модуль коэффициента на ФЧХ не влияет. ЛАЧХ Увеличение модуля К приводит к параллельному сдвигу характеристики ЛАЧХ вверх. Знак коэффициента на ЛАЧХ не влияет. ЛФЧХ Изменение знака коэффициента сдвигает ЛФЧХ на 180 градусов. Модуль коэффициента на эту характеристику не влияет. Временные характеристики 10 Переходная h(t) характеристика k= -2.5 k=0.25 k=-0.25 Увеличение модуля растягивает график характеристики по оси h. Изменение знака коэффициента приводит к отражению переходной характеристики от оси времени. Импульсная w(t) характеристика Увеличение модуля коэффициента К растягивает импульсную характеристику по оси w. Изменение знака К отражает характеристику от оси времени. K Блок W3 (K) = s 2.1 Функциональное уравнение для блока W3: k W3 k s k 2 2 W3 2 s 2 y s x sy 2 x dy 2x dt y 2x y t 2 x d алгебраическое уравнение. 0 11 2.2 Синтез схемы моделирования на ОУ k W3 s s k=2 Эскизная схема Вычислим суммы передаточных функций по прямому и инверсному входам 2 S 1 s s S 2 s 0 S1 s 1 S 2 s 2 1 0 s Условие баланса не выполняется, поэтому необходимо подобрать передаточные функции 𝑊10 (𝑠) и 𝑊20 (𝑠) с положительными коэффициентами, удовлетворяющие условию S1 W10 1 S 2 W20 2 W10 1 W20 s Получим W10 1 2 W20 s Операторная схема zijWij = const Для прямого входа: z11W11 = z10W10 W z z11 10 10 W11 2 * z11 1 * z10 s 12 1 примем конденсатор , так как при выборе конденсатора в уравнении сократится 𝑠 и C10 s схему нужно будет дополнить резистором, что является оптимальным решением. 1 s z11 z10 z10 2 2 s 1 Выберем z10 - конденсатор C10 s s 1 z11 2 C10 s 1 z11 R11 - резистор 2C10 Для инверсного входа: z z 20 0 W20 1 Примем z 0 - конденсатор, тогда C0 s z s z 20 0 z 0 2 2 s s 1 1 ; z 20 z 20 R20 C0 * 2 2 C0 s 1 R20 2C 0 1 R11 2C10 C10 = 0.5 мкФ, C0 = 0.5 мкФ, R11 = 1 МОм, R20 = 1 МОм Для того, чтобы реальный операционный усилитель можно было с достаточной точностью считать идеальным, нужно выбирать сопротивления всех навесных резисторов хотя бы на порядок (в 10 раз) меньше паспортного значения Rвх и на порядок больше значения Rвых. Таким образом, с учетом параметров реальных операционных усилителей разных серий рекомендуемый диапазон номиналов всех сопротивлений схемы составляет [1 кОм, 10 МОм]. Итоговая схема. За z10 Частотные характеристики для W3: k Передаточная функция: W3 s s 2 k=2, поэтому W3 s s ВЧХ: P ReW j 0 13 МЧХ: Q ImW j Imk 2 АЧХ: A W j P 2 Q 2 2 ФЧХ: arctg Q arctg Q arctg 90 P 0 2 ЛАЧХ: L 20 lg A 20 lg 6 20 lg( ) Временные характеристики ℎ(𝑡)-переходная характеристика 𝑤(𝑡)-импульсная характеристика 𝑊3 (𝑠) = 2 𝑠 𝑊3 (𝑠) 2 1 ) = 𝐿−1 ( 2 ) = 2𝐿−1 ( 𝑛 ) 𝑠 𝑠 𝑠 По таблице обратного преобразования Лапласа, 1 изображение 𝐹(𝑠) = 𝑠𝑛 ℎ(𝑡) = 𝐿−1 ( 𝑡 𝑛−1 соответствует оригиналу 𝑓(𝑡) = (𝑛−1)! , где n=2 𝑡 2−1 = 2𝑡 (2 − 1)! 2 1 𝑤(𝑡) = 𝐿−1 (𝑊3 (𝑠)) = 𝐿−1 ( ) = 2𝐿−1 ( ) 𝑠 𝑠 По таблице обратного преобразования Лапласа, 1 изображение 𝐹(𝑠) = 𝑠𝑛 ℎ(𝑡) = 2 𝑡 𝑛−1 соответствует оригиналу 𝑓(𝑡) = (𝑛−1)! , где n=1 𝑤(𝑡) = 2 𝑡1−1 =2 (1 − 1)! ВЧХ: P ReW j 0 МЧХ: Q ImW j Imk 2 14 АЧХ: A W j P 2 Q 2 2 Годограф A(φ) строится как параметрическая функция частоты по значениям пары {P(ω), Q(ω)} ФЧХ: 2 Q Q arctg arctg arctg arctg 90 0 P 0 15 2 ЛАЧХ: L 20 lg A 20 lg =6-20lg( ) ЛФЧХ Переходная h(t) характеристика 16 Импульсная w(t) характеристика 5 1 4s 2 3.1 Функциональное уравнение для блока W6: K W6 ( K , T , ) 1 2Ts T 2 s 2 k 5, T 2 , 0 5 y W6 (5,2,0) 2 x 1 0 4s 5 y W6 (5,2,0) 1 4s 2 x 5 y 2 x 1 4s 5 x 1 4s 2 y Блок W6 5 x y 4 ys 2 d2y dt 2 5 x y 4 y - дифференциальное уравнение 2 порядка. Система имеет переходные процессы. 5x y 4 17 2.2 Синтез схемы моделирования на ОУ Для блока W6: 𝑊6 (𝑠) = 5 1 + 4𝑠 2 Эскизная схема Вычислим суммы передаточных функций по прямому и инверсному входам 5 𝑆1 (𝑠) = 1 + 4𝑠 2 𝑆2 (𝑠) = 0 𝑆2 (𝑠) + 1 = 1 5 ≠1 1 + 4𝑠 2 Условие баланса не выполняется, поэтому необходимо подобрать передаточные функции 𝑊10 (𝑠) и 𝑊20 (𝑠) с положительными коэффициентами, удовлетворяющие условию 𝑆1 (𝑠) + 𝑊10 (𝑠) = 𝑆2 (𝑠) + 1 + 𝑊20 (𝑠) Получим 5 + 𝑊10 (𝑠) = 1 + 𝑊20 (𝑠) 1 + 4𝑠 2 Возьмем 20 * s 2 20 * s 2 - годится, т.к все коэффициенты >0 5 1 4* s2 1 4* s2 20𝑠2 𝑊10 (𝑠) = 1+4𝑠2 , тогда 𝑊20 (𝑠) = 4 5 20𝑠 2 5(1 + 4𝑠 2 ) 1 + 𝑊20 (𝑠) = + = =5 1 + 4𝑠 2 1 + 4𝑠 2 1 + 4𝑠 2 5=5 Операторная схема Для прямого входа: 5 20𝑠 2 𝑧 (𝑠) = 𝑧 (𝑠) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 1 + 4𝑠 2 11 1 + 4𝑠 2 10 18 За 𝑧10 = С 1 10 𝑆 𝑧11 = 4𝑠 2 𝑧10 примем конденсатор, чтобы уменьшить степень s. Это позволит дополнить схему индуктивностью, что является оптимальным решением. 4𝑠 2 4𝑠 𝑧11 = = С10 𝑠 С10 4 𝑧11 – индуктивность , L11 С10 Если С10 1мкФ , то L11 4МГн Для инверсного входа: 4𝑧20 (𝑠) = 𝑧0 (𝑠) 1 𝑧20 = 𝑧0 4 Пусть 𝑧0 = 𝑅0 - резистор с сопротивлением 𝑅0 , тогда 1 𝑧20 = 𝑅0 4 Если 𝑅0 = 4 кОм, то 𝑅20 = 1 кОм Итоговая схема Частотные характеристики для W6 K Передаточная функция: W6 (K, T, ξ) = 1+2ξTs+T2 s2 k = 5, T=2, 0 поэтому W6 s 5 1 4s 2 ВЧХ: P 5 1 4 2 МЧХ: Q 0 АЧХ: A P 2 Q 2 5 1 4 2 5 ФЧХ: arg W j arctg 2 1 4 Q (0, если w <1/T и pi, если w >1/T) ЛФЧХ : arctg P 5 ЛАЧХ :𝐿(𝜔) = 20𝑙𝑔 (1+4𝜔2) Временные характеристики 𝑾𝟔 ℎ(𝑡)-переходная характеристика 𝑤(𝑡)-импульсная характеристика 𝑊6 (𝑠) = 5 1 + 4𝑠 2 19 𝑊6 (𝑠) 5 𝑠 ) = 𝐿−1 ( ) = 5𝐿−1 ( ) 2 1 𝑠 1 + 4𝑠 𝑠 + 4𝑠 По таблице обратного преобразования Лапласа, 𝑠 изображение 𝐹(𝑠) = 1+2ξTs+T2𝑠2 ℎ(𝑡) = 𝐿−1 ( 1 𝜔 соответствует оригиналу 𝑓(𝑡) = − 𝜔𝑇 3 𝑒 −𝛽𝑡 sin(𝜔𝑡 − 𝜑), где 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 𝛽 ), 𝛽𝑇 = 𝜉, 𝑇 = 2, 𝜉 = 0 𝜉 0 = =0 𝑇 2 𝜔 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) = 90 0 1 ℎ(𝑡) = − sin(𝜔𝑡 − 90) 8𝜔 5 1 𝑤(𝑡) = 𝐿−1 (𝑊6 (𝑠)) = 𝐿−1 ( ) = 5𝐿−1 ( ) 2 1 + 4𝑠 1 + 4𝑠 2 По таблице обратного преобразования Лапласа, 1 изображение 𝐹(𝑠) = 1+2ξTs+T2𝑠2 𝛽= 1 соответствует оригиналу 𝑓(𝑡) = 𝜔𝑇 2 𝑒 −𝛽𝑡 sin(𝜔𝑡) , где 𝛽𝑇 = 𝜉, 𝑇 = 2, 𝜉 = 0 𝜉 0 𝛽= = =0 𝑇 2 1 𝑤(𝑡) = sin(𝜔𝑡) 4𝜔 ВЧХ: P 5 1 4 2 МЧХ: Q 0 20 АЧХ: A P 2 Q 2 5 1 4 2 Годограф ФЧХ: ЛАЧХ: L 20 lg A 20 lg 5 2 1 4 21 ЛФЧХ Переходная h(t) характеристика Импульсная w(t) характеристика 22 2. Получение передаточной функции разомкнутой системы Wр(s) W s y x e1 = x – W3e2 e2 = W2e1 – y y = e1W2W6 + e2W3 e2 = W2(x – W3e2) – (x – W3e2)W2W6 – e2W3 e2 = W2x – W2W3e2 – W2W6x + W2W6W3e2 – W3e2 e2 (1 + W2W3 – W2W6W3 + W3) = x (W2 – W2W6) W2 W2W6 e2 x 1 W2W3 W2W6W3 W3 Подставим полученное значение в первое уравнение системы: W2W3 W2W6W3 1 W2W3 W2W6W3 W3 W2W3 W2W6W3 e1 x W3 e2 x x x 1 W2W3 W2W6W3 W3 1 W2W3 W2W6W3 W3 1 W3 = x 1 W2W3 W2W6W3 W3 W W W2W6W3 W2W3 W2W6W3 W2W6 W2W3 y W2W6 e1 W3 e2 2 6 x x 1 W2W3 W2W6W3 W3 1 W2W3 W2W6W3 W3 5 2 , W3 2 W2 k ks , W6 5,2,0 2 s 1 4s 5 2 ks * ( ) ks * 2 W2W6 W2W3 y 5 1 4s W р s 2 5 2 2 x 1 W2W3 W2W6W3 W3 1 ks * ks * ( )* 5 1 4s 2 5 s 5ks 5ks 2k (1 4s 2 ) 2k 1 4s 2 1 4s 2 2 * 5 * k 2 (1 2k )( s (1 4s 2 )) 10ks 2(1 4s 2 ) 1 2k 1 4s 2 s s (1 4s 2 ) (5ks 2k (1 4s 2 )) s (1 4s 2 ) 5ks2 2ks(1 4s 2 ) (1 4s 2 )((1 2k )( s 4s 3 ) 10ks 2 8s 2 ) s 4s 3 2ks 8ks3 10ks 2 8s 2 5ks2 2ks(1 4s 2 ) 5ks2 2ks 8ks3 8ks3 4s 3 8s 2 8ks s 2 s 3 (8k 4) 8s 2 s(1 8k ) 2 Подставив k=-0.25, получим: 8s 3 5s 2 2 s W р s 3 8s 32s 2 12s 8 Проверка с помощью MathCAD: 23 Ответы, полученные с помощью MathCAD и вручную, одинаковы 24