Цифровой фильтр нижних частот.

УМЕНЬШЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ СИГНАЛОВ ФОТОПРОВОДИМОСТИ И ФОТОМАГНИТНОГО ЭФФЕКТА В ПЛЕНКАХ УЗКОЗОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ P-ТИПА С ПОМОЩЬЮ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Оглавление:
Введение. ................................................................................................................................... 1
Аппаратурно-методический комплекс. .................................................................................. 2
Цифровая фильтрация.............................................................................................................. 3
Типы цифровых фильтров. Их преимущества и недостатки. .......................................... 3
Характеристики измеряемого сигнала. .............................................................................. 4
Цифровой фильтр нижних частот....................................................................................... 5
Построение фильтра с линейной фазовой характеристикой. .......................................... 8
Результаты практического применения. .............................................................................. 10
Выводы. ................................................................................................................................... 10
Введение.
CdxHg1-xTe является основным материалом для создания фото-приёмных матриц
тепловизоров. Практически линейная зависимость ширины запрещённой зоны КРТ от
мольного состава кадмия, позволяет управлять длинноволновой границей чувствительности в широких пределах – от 2 мкм до 20 мкм. В этом диапазоне КРТ обладает высокой чувствительностью по сравнению с другими материалами.
Для измерения рекомбинационно-диффузионных параметров таких плёнок нужен
сложный автоматизированный комплекс, позволяющий быстро обрабатывать полученные данные. Важной проблемой такого комплекса является очистка полезного сигнала
от помех радио-, телевещания, мобильной связи, электросети и других источников
электромагнитных волн. Подавление шума приводит к уменьшению погрешностей измерений, что, в конечном счете, сказывается на эффективности всего комплекса.
Ранее для этих целей применялись аналоговые фильтры, но они имеют ряд недостатков и ограничений [1, С355-357]:
1. Невозможность получить абсолютно линейную фазовую характеристику
2. Производительность зависит от изменений среды (например, температуры)
3. Точность ограничена используемыми компонентами (например, затухание в полосе подавления невозможно сделать больше 60-70Дб)
Поэтому сейчас большое внимание уделяется цифровым фильтрам. Цифровые
фильтры имеют ряд преимуществ [1, С27-29]:
1. Гарантированная точность. На неё влияет только количество используемых битов.
2. Совершенная воспроизводимость. Можно идентично воспроизвести любой элемент.
3. Отсутствие искажения характеристик из-за температуры или старости.
1
4. Большая гибкость. Такие системы можно быстро перепрограммировать без изменения оборудования.
5. Производительность. Их можно использовать для выполнения функций, которые
невозможны при аналоговой обработке сигналов. Например, можно построить
фильтр с линейной фазовой характеристикой.
6. Если фильтр построен с использованием программируемого процессора, его частотная характеристика может настраиваться автоматически (используется для
создания адаптивных фильтров).
7. Один цифровой фильтр можно использовать при обработке нескольких входных
сигналов или каналов, без дублирования аппаратных блоков.
8. Как фильтрованные, так и нефильтрованные данные можно сохранить для последующего использования.
9. Цифровые фильтры могут использоваться при очень низких частотах, где применять аналоговые фильтры не практично.
Цифровые фильтры, по сравнению с аналоговыми также имеют ряд недостатков:
1. Ограничение скорости. Максимальная ширина полосы сигналов, которые в реальном времени способны обрабатывать цифровые фильтры, значительно уже,
чем у аналоговых фильтров. Наивысшую частоту дискретизации, с которой может работать фильтр, ограничивают физические возможности аналогоцифровых преобразователей (АЦП).
2. Влияние конечной разрядности. Цифровые фильтры подвержены шуму АЦП,
происходящему от квантования непрерывного сигнала, и шуму округления, который вводится при вычислениях. При использовании рекурсивных фильтров
высоких порядков накопление шума округления может привести к неустойчивости фильтра.
Цифровые фильтры используют свёртку во временной области сигнала с импульсной характеристикой. В результате получается выходной сигнал без помех, или со
значительно сниженными помехами. С появлением мощных вычислительных систем
появилась возможность использовать цифровые фильтры для обработки сигналов. Были разработаны методы синтеза цифровых фильтров по аналоговым моделям [4].
Аппаратурно-методический комплекс.
Для автоматизации оцифровки используется АЦП, соединенный с компьютером и
программа, для управления АЦП и обработки результатов. Программа реализована на
языке С++ с использованием интегрированной среды разработки приложений C++Builder 5.
В программе функция получения измерений, запущенная отдельным потоком, запускает измерение АЦП в течение эксперимента один раз в секунду. Каждое измерение
содержит блок данных, при этом измерение ведется по двум каналам одновременно и
на один канал приходится около 300 значений.
2
Рисунок 1. Программа, используемая для обработки данных.
Далее данные передаются в цифровой фильтр, реализованный в виде функции в
этой программе.
Цифровая фильтрация.
Типы цифровых фильтров. Их преимущества и недостатки.
Задача построения цифрового фильтра оказалась нетривиальной, поэтому применяется множество методов и разновидностей фильтров, каждый из которых эффективен
для определенных задач. Существуют более простые и менее эффективные методы, а
также более сложные и требовательные к вычислительным мощностям, но обеспечивающие наилучшие результаты.
Различают два основных вида цифровых фильтров – фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры или не рекурсивные) и фильтры с бесконечной
импульсной характеристикой (БИХ-фильтры или рекурсивные) [1, С357-358].
Выбор между КИХ- и БИХ-фильтрами зависит от относительных преимуществ
обоих типов:
1. КИХ-фильтры могут иметь строго линейную фазовую характеристику. Следовательно, фильтр не вводит фазового искажения в сигнал, что важно во многих сферах.
2. КИХ-фильтры реализованы нерекурсивно, т.е. они всегда устойчивы.
3. Для реализации фильтров используется ограниченное число битов. Практические последствия этого (например, шум округления и ошибки квантования)
значительно менее существенны для КИХ-фильтров, чем для БИХ-фильтров.
4. Чтобы получить конечную импульсную характеристику с помощью фильтров
с резкими срезами характеристики, потребуется больше коэффициентов, чем
для получения бесконечной импульсной характеристики. Следовательно, для
3
реализации КИХ-фильтра потребуется больше коэффициентов, чем для аналогичного БИХ-фильтра.
В предлагаемой работе используется фильтр с конечной импульсной характеристикой, так как его фазовая частотная характеристика является линейной.
В некоторых программных пакетах существуют целые наборы методов по расчету
цифровых фильтров, например в программе Matlab есть 24 стандартных набора амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) [5]. По уже выбранной АЧХ реализовать фильтр
можно несколькими способами (например, БИХ-фильтр низкой частоты можно реализовать с помощью методов Баттерворта, Чебышева или эллиптического метода).
Конкретный метод выбирается исходя из того, что должно получиться на выходе,
обычно проверяются все возможные варианты. Наибольшей гибкостью обладает метод
Чебышева, т.к. позволяет задать все параметры фильтра и получить на выходе его коэффициенты. Фильтр, построенный этим методом, является оптимальным, т.е. нельзя
построить фильтр такой же эффективности с меньшим числом коэффициентов. Метод
основан на нахождении коэффициентов соответствующих минимальной величине отклонения реальной импульсной характеристики от идеальной [1, С405-417].
В предлагаемой работе описана реализация КИХ- фильтра нижних частот, построенного методом взвешивания. Фильтр используется для извлечения низкочастотного сигнала из получаемых с аналого-цифрового преобразователя данных, содержащих шумы более высоких частот (50Гц и более).
Характеристики измеряемого сигнала.
Сигнал представляет собой результат измерения зависимостей от магнитного поля эффекта Холла, проводимости, фотопроводимости или фотомагнитного эффекта [2]
для полупроводникового образца. Данные зависимости имеют плавный характер, не
содержат резонансных пиков и сравнительно медленно меняются при изменении магнитной индукции от 0 до максимального значения 2 Тл. Основные шумы приходятся на
частоту 50Гц и представляют собой электромагнитные наводки.
Для приёма и оцифровки сигнала используется аналого-цифровой преобразователь, подключенный к компьютеру. Программа получает данные и начинает их обработку. Обработка данных состоит из двух этапов – фильтрация данных и построение
графика. Для наглядности строятся два графика, один из них содержит нефильтрованный сигнал с шумами, а другой – сигнал, полученный из фильтра [3].
Полезный входной сигнал имеет низкую частоту, а шумы гораздо более высокую
(от 50Гц). Таким образом, для обеспечения выделения полезного сигнала и гашения
шума нужно использовать фильтр нижних частот.
4
Цифровой фильтр нижних частот.
Фильтр – это система, избирательно меняющая форму сигнала (амплитудночастотную или фазово-частотную характеристику).
На рисунке 2 показана АЧХ фильтра нижних частот, этот фильтр пропускает
нижние частоты, а все остальные старается отсечь (полоса подавления), или ослабить
(полоса перехода).
В зависимости от реализации фильтра его АЧХ будет иметь свои особенности,
например при использовании метода оптимальных коэффициентов амплитуда отклонений в полосе подавления одинакова и не уменьшается, а при использовании метода
взвешивания она уменьшается по мере роста частоты. В представленной работе фильтр
реализован методом взвешивания, с использованием весовой функции Блэкмена [1,
С394-397]. Она обеспечивает высокий уровень затухания сигнала в полосе подавления
(75Дб), ширина перехода у неё составляет ∆F=5,5/N, где N – длина фильтра (количество коэффициентов в используемой импульсной характеристике). Таким образом,
видно, что ширина полосы перехода зависит от длины фильтра и чем больше длина,
тем меньше полоса перехода, т.е. фильтр приближается к идеальному фильтру нижних
частот.
Идеальный фильтр нижних частот реализовать невозможно. Но к нему можно
приблизиться с произвольной точностью. Частотная характеристика идеального фильтра – прямоугольник, т.е. полоса перехода в нём отсутствует, а амплитуда сигнала в полосе подавления равна нулю.
Рисунок 2. Амплитудно-частотная характеристика фильтра
Степень приближения реального фильтра к прямоугольной АЧХ идеального
определяется длиной (порядком) фильтра.
Цифровой фильтр работает по принципу накопления сигнала, т.е. его текущий результат зависит от N-1 предыдущих значений входного сигнала. Величина N соответствует длине фильтра.
5
Если применить обратное преобразование Фурье к АЧХ H(w) будет получена импульсная характеристика цифрового фильтра:
1 𝜋
ℎ(𝑡) = 2𝜋 ∫−𝜋 𝐻(𝑤)𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑤 (1)
Импульсная характеристика является реакцией цифрового фильтра на единичный
импульс u0, определяемый формулой:
1, 𝑛 = 0
𝑢0 = {
(2)
0, 𝑛 ≠ 0
Также существует единичный скачок, определяемый формулой:
1, 𝑛 ≥ 0
𝑢1 = {
(2)
0, 𝑛 < 0
На рисунке 3 видно, что реакция цифрового фильтра на скачок не является абсолютно идеальной, это связано с тем, что фильтр формирует свои значения на основе
предыдущих, поэтому для перехода из одного состояния в другое нужен некоторый
промежуток времени.
Step Response
1
0.8
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Samples
Рисунок 3. Реакция цифрового фильтра на единичный импульс.
Идеальной АЧХ для фильтра нижних частот является, как уже упоминалось, прямоугольник, но для использования фильтра нужна импульсная характеристика. При
получении импульсной характеристики путем применения обратного преобразования
Фурье к идеальной АЧХ получается идеальная импульсная характеристика, при её получении пределы интегрирования берут по частоте среза wc, так как на частотах больше
wc идеальная АЧХ равна нулю, тогда:
1
𝜋
1
2𝑓𝑐 sin(𝑛𝑤𝑐 )
𝑤
h𝐷 (𝑛) = 2𝜋 ∫−𝜋 1 ∗ 𝑒 𝑖𝜔𝑛 𝑑𝑤 = 2𝜋 ∫−𝑤𝑐 𝑒 𝑖𝜔𝑛 𝑑𝑤 = {
𝑛𝑤𝑐
, 𝑛 ≠ 0 (3)
2𝑓𝑐 , 𝑛 = 0
Полученная идеальная импульсная характеристика является бесконечной, т.е. её
значения не становятся точно равными нулю, после некоторого N, фильтр с такой характеристикой КИХ-фильтром не является. Если просто отбросить лишние значения
импульсной характеристики появляется достаточно сильный эффект Гиббса (неравномерности и выбросы). Для этого идеальную импульсную характеристику перемножают
с некоторой весовой функцией с конечной длительностью, получившаяся импульсная
характеристика гладко затухает до нуля, что существенно снижает эффект Гиббса.
6
𝑐
В нашей реализации используется весовая функция Блэкмена (рисунок 4):
2𝜋𝑛
4𝜋𝑛
𝑤(𝑛) = 0,42 + 0,5 cos ( ) + 0,08 cos ( ) (4)
𝑁−1
𝑁−1
Она обеспечивает высокое затухание сигнала в полосе подавления (75Дб).
Рисунок 4. Импульсная и амплитудно-частотная характеристики весовой функции Блэкмена.
Использование весовых функций имеет свои преимущества и недостатки:
 Данный метод очень прост в реализации, его просто применить и легко
понять. Этот метод включает минимальный объём вычислений.
 Главный недостаток метода – отсутствие гибкости. Максимальная неравномерность в полосе пропускания и неравномерность в полосе подавления
примерно равны, так что разработки может получить фильтр с либо слишком маленькой неравномерностью в полосе пропускания, либо со слишком
большим затуханием в полосе подавления.
 Вследствие того, что в методе фигурирует свертка спектра вырезающей
функции и желаемой характеристики, невозможно точно задать граничные
частоты полосы пропускания и полосы подавления.
 Для данной функции максимальная амплитуда колебаний в характеристике
фильтра фиксирована вне зависимости от того, насколько большим делать
N.
Формула самого цифрового фильтра выглядит следующим образом:
𝑦(𝑛) = ∑𝑁−1
𝑘=0 ℎ(𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘) (5)
По сути – это свёртка импульсной характеристики и входной последовательности.
Данный фильтр обладает линейной фазовой характеристикой, поэтому при фильтрации не искажает вид сигнала. Однако этот фильтр вносит во временную область задержку, называемую фазовой, равную:
𝑁−1
T𝑝 = 2 (6)
Поэтому для восстановления положения сигнала после фильтрации он сдвигается
на эту же величину в противоположную сторону.
Реальная АЧХ фильтра выглядит следующим образом:
7
Magnitude Response (dB)
4.9624
-6.9403
-18.8431
-30.7458
Magnitude (dB)
-42.6485
-54.5513
-66.454
-78.3568
-90.2595
-102.1623
-114.065
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Normalized Frequency ( rad/sample)
0.7
0.8
0.9
Рисунок 5. Реальная АЧХ цифрового КИХ-фильтра.
Построение фильтра с линейной фазовой характеристикой.
Самое важное свойство КИХ-фильтров – это возможность получения линейной
фазовой характеристики. При прохождении сигнала через фильтр модификации подвергается амплитуда и/или фаза данного сигнала. Природа и величина изменения сигнала зависят от амплитудной и фазовой характеристик фильтра. Мерой модификации
фазовой характеристики сигнала является фазовая или групповая задержка.
Фазовая задержка фильтра – это величина временной задержки, которую испытывает каждый частотный компонент сигнала при прохождении через фильтр. Групповая
задержка – это средняя временная задержка составного сигнала. Математически фазовая задержка равна:
T𝑝 = −𝜃(𝑤)/𝑤 (7)
Групповая задержка:
T𝑔 = −𝑑𝜃(𝑤)/𝑑𝑤 (8)
Фильтр с нелинейной фазовой характеристикой будет искажать фазу сигнала, проходящего через этот фильтр. Это объясняется тем, что частотные компоненты сигнала будут задерживаться на величину, не пропорциональную частоте, нарушая таким образом
их гармоническую связь. Подобное нарушение нежелательно во многих ситуациях и
его можно избежать, используя фильтры с линейными фазовыми характеристиками в
рабочем диапазоне частот.
8
Рисунок 5. Линейная фазовая характеристика цифрового фильтра является линейной только в полосе пропускания.
Говорят, что фильтр имеет линейную фазовую характеристику, если выполняется
одно из следующих соотношений:
𝜃(𝑤) = −𝛼𝑤 (9)
𝜃(𝑤) = 𝛽 − 𝛼𝑤 (10),
где α и β – константы.
Фазовая задержка фильтра является линейной, если импульсная характеристика
фильтра обладает положительной симметрией, фазовая характеристика в этом случае
является просто функцией длины фильтра (6).
Рисунок 6. Импульсная характеристика цифрового фильтра с линейной фазовой
характеристикой.
Условие (10) удовлетворяется, когда фильтр имеет только постоянную групповую
задержку. В этом случае импульсная характеристика фильтра имеет отрицательную
симметрию.
9
Существует важное ограничение – фильтры, имеющие отрицательную симметрию, не могут быть фильтрами нижних частот, а фильтры, имеющие положительную
симметрию, не могут быть фильтрами верхних частот.
Результаты практического применения.
В результате мы получили систему, фильтрующую входной сигнал, и выводящую
результаты своей работы на график. На практике это выглядит следующим образом:
Исходный график с шумами показан красным, выходной график с фильтра
показан синим:
Рисунок 7. Результаты применения цифрового фильтра к реальному сигналу.
Фильтр убирает высокочастотные колебания, оставляя плавное изменение
сигнала. Но имеется недостаток – так как цифровой фильтр для построения текущего
значения использует N-1 предыдущее значение сигнала, то для первых N-1 точкек он
возвращает неверные значения. Так же за счет фазового сдвига график приходится
возвращать на (N-1)/2 позиций в обратную сторону, в итоге края графика теряются.
Однако данную проблему можно решить экстраполированием, продолжив сигнал в
неизмеренную область по магнитному полю.
Также возможное решение этой проблемы заключается в увеличении числа
записываемых точек, что позволит использовать более длинный фильтр и получать
более гладкую выходную функцию, а также существенно снизит потерю сигнала по
краям графика, так как количество точек будет существенно больше, чем длина
фильтра.
Выводы.
В данной работе реализован цифровой фильтр с конечной импульсной характеристикой, обеспечивающий подавление шума в измеренных при помощи АЦП магнитополевых зависимостях эффекта Холла, проводимости, фотопроводимости и фотомагнитного эффекта. Для лучшего затухания сигнала в полосе подавления используется
весовая функция Блэкмена. Наилучшая эффективность цифрового фильтра для данной
задачи достигается при длине фильтра – 25 коэффициентов.
При этом используется фильтр с линейной фазовой характеристикой и положительной симметрией коэффициентов.
10
Цифровые фильтры – очень мощный и гибкий инструмент, для подавления шума
в полезном сигнале. Большое разнообразие из реализаций позволяет выбрать наиболее
подходящий, реализовать его, испытать и при необходимости подкорректировать. Используя цифровой фильтр, приходится делать выбор либо в пользу эффективности, либо в пользу меньшего числа коэффициентов. Одновременно и то и другое получить не
удастся, так как для получения более эффективного фильтра нужно большее количество коэффициентов.
Для проверки эффективности работы различных реализаций фильтров можно использовать среду MatLab, так как она позволяет быстро, задав все необходимые параметры фильтра получить его амплитудную, частотную, фазовую, импульсную характеристики, групповую и фазовую задержки, а также реакцию на единичный скачок.
В данной работе при создании фильтра расчет его коэффициентов производился
самостоятельно, так как одним из требований к программе обработки является её автономность и независимость от другого программного обеспечения.
Список использованных источников:
1. Айфичер Э, Джервис Б, «Цифровая обработка сигналов. Практический подход»,
2004, 989с.
2. Костюченко В.Я., Протасов Д.Ю. «Фотоэлектромагнитный комплекс методов
определения рекомбинационно-диффузионных параметров носителей заряда в
эпитаксиальных плёнках кадмий-ртуть-теллур p-типа», Вестник НГУ. Серия Физика, 2011, Т.6, вып.1, С. 104-115
3. Трифанов А.В., Костюченко В.Я., Протасов Д.Ю., Войцеховский А.В. «Автоматизированный комплекс для определения рекомбинационно-диффузионных параметров в плёнках узкозонных полупроводников p-типа», Российское совещание
Фотоника 2011: сб. тезисов докладов. – Новосибирск: ИФП СО РАН, август 2011.
4. Шилин А. Н., Крутякова О. А. «Анализ методов синтеза цифровых фильтров по
аналоговым моделям», Цифровая обработка сигналов, 2009, выпуск 4, С. 3-7.
5. MatLab R2012a Filter Builder User’s, 2012, версия 4.2.
11
СПИСОК
научных и учебно-методических трудов
ТРИФАНОВ АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ
№ Наименование
п/п работы
1
Автоматизация эксперимента по исследованию фотопроводимости и фотомагнитного
эффекта в плёнках узкозонных полупроводников p-типа
2
Автоматизированный
комплекс для определения рекомбинационно-диффузионных параметров в плёнках
узкозонных полупроводников p-типа
Характер
трудов
Печатная
Печатная
Выходные данные
Объем, Соавторы
п.л.
LIX
студенческая 0,1
научно-техническая
конференция
СГГА
[Текст]: сб. тезисов
докладов. – Новосибирск: СГГА, 2011.
В печати
Российское совеща- 0,1
В. Я. Коние Фотоника 2011
стюченко, Д.
[Текст]: сб. тезисов
Ю. Протадокладов. – Новосисов,
А.В.
бирск: ИФП СО РАН,
Войцеховавгуст 2011.
ский
В печати
12