1. Моделирование радиосигналов - Казанский государственный

Федеральное агентство Российской Федерации
по образованию
Балтийский государственный технический университет
«ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф.Устинова
Кафедра радиоэлектронных систем управления
Методы
математического моделирования
радиотехнических систем
Учебное пособие
Под редакцией Ю.В.Петрова
Санкт-Петербург
2005
2
Авторский коллектив:
Ю.В. Петров, канд. техн. наук, доц.; В.А. Иванов, канд. техн. наук;
С.Н.Аникин, асп.; М.В.Вишенцев, асп.; В.А.Рогожин, асп.
УДК 621.396
Методы математического моделирования радиотехнических
систем:
Учебное
пособие
/
Под
ред.
Ю.В.Петрова; Балт. гос. техн. ун-т. СПб, 2005. 111 с.; 87 ил.
Учебное пособие содержит основные методы математического моделирования случайных величин, векторов, процессов, потоков и полей, используемых при проектировании и исследовании радиотехнических устройств и систем. Приведены типовые алгоритмы, примеры, иллюстрации. В последней
главе содержится описание практикума «Моделирование радиосигналов и радиопомех», примеры заданий и выполнения лабораторных работ по дисциплине «Моделирование систем».
Предназначено для студентов старших курсов кафедры «Радиоэлектронные системы управления» факультета информационных и управляющих
систем, обучающихся по специальности «Информационные системы и технологии». Может быть полезно студентам инженерных специальностей при изучении ими курсов, связанных с моделированием устройств и систем.
УДК 621.396
Рецензенты
……………………………………………………
……………………………………………………
© БГТУ, СПб, 2005
3
Введение
Введение
В настоящее время наблюдается постоянный рост сложности разрабатываемой радиотехнических систем. Одновременно повышаются требования к сокращению сроков и повышению качества проектных работ. Эти требования являются противоречивыми, и удовлетворить их можно только при широком использовании вычислительной техники и математического моделирования на
всех этапах разработки и испытаний сложных радиотехнических систем.
Проведение моделирования с использованием математических, полунатурных и имитационных моделей позволяет во многих случаях проводить комплексное исследование радиосистем, невозможное при натурных испытаниях.
Моделирование позволяет провести испытания различных вариантов решения
и выбрать лучший из них, причем сделать это быстро, учесть всевозможные
факторы и возмущения.
Воспроизведение в моделях случайных факторов приводит к статистическому моделированию. По результатам статистического моделирования определяют оценки вероятностных критериев качества, характеризующих функционирование и эффективность радиосистем. Поэтому основное внимание в пособии
уделено методам статистического моделирования радиосигналов и радиопомех.
Пособие состоит из 7 глав и введения. В первой главе приведены сведения об основных методах математического моделирования радиосигналов, радиотехнических систем и устройств. Вторая и третья главы посвящены моделированию случайных величин и векторов соответственно. Большое внимание в
пособии (глава 4) отведено моделированию случайных гауссовых и негауссовых процессов. Рассмотрены основные методы моделирования случайных потоков (глава 5) и полей (глава 6). В главе 7 содержится описание практикума
«Моделирование радиосигналов и радиопомех». Приведено большое количество типовых алгоритмов, примеров, иллюстраций.
Учебное пособие не претендует на полноту изложения, но дает начальные
сведения, необходимые студентам и специалистам при моделировании ими различных устройств и систем. Авторы выражают благодарность студентам Кобякову А.В. и Чиненову М.Е. за участие в подготовке учебного пособия.
4
Введение
Основные определения
Моделирование – это метод научного познания, при котором исследуемый
объект замещается другим, более простым, называемым моделью. Как результат изучения модели возникает новая информация об объекте.
Виды моделирования
В зависимости от способа воплощения оригинала в модели различают 3
вида моделирования:
 физическое;
 полунатурное;
 математическое.
При физическом моделировании объект заменяется физической моделью,
которая воспроизводит изучаемый объект с сохранением всех физических процессов (в радиотехнике такой процесс называют макетированием).
При математическом моделировании исследуемый объект заменяется математической моделью.
При полунатурном моделировании часть блоков системы заменяется математическими моделями, а в качестве остальных используются оригиналы (реальная аппаратура).
Из этих трех видов моделирования в последние годы особое внимание отводят математическому моделированию. Это связано с возрастанием стоимости
и уменьшением сроков проектирования, необходимостью повышения качества
функционирования готовых систем.
Этапы математического моделирования
Исследование радиотехнических систем (РТС) с помощью метода математического моделирования состоит из следующих этапов:
1)
составление описания исследуемой системы;
2)
разработка математической модели;
3)
реализация модели на ПК;
4)
исследование модели;
5
5)
Введение
интерпретация полученных результатов.
Самым сложным из этих этапов является процесс создания математиче-
ской модели.
Основные части математических моделей РТС
Модель любой РТС можно условно представить в виде 4-х блоков (рис.
В.1).
Рис. В.1 Структурная схема модели РТС
Иногда первые два блока называют формирующей частью модели (формирует сигналы и помехи), а остальные два блока – преобразующей частью
модели РТС.
Математические модели радиосигналов и радиопомех
Математическими моделями радиосигналов, радиопомех и различных
комбинаций сигналов и помех являются, в общем случае, случайные функции
времени (случайные процессы), которые условно можно представить в следующем виде:
s(t , x1 , x2 ,..., y1 , y2 ,...)  Ft  f1 t , x1 , x2 ,..., f 2 t , x1 , x2 ,...,..., v1 t , y1 , y2 ,..., v2 t , y1 , y2 ,...,..., 1 t ,  2 t ,... ,(В.1)
где t – непрерывное или дискретное время;
f1 t , x1 , x2 ,..., f 2 t , x1 , x2 ,...,... - детерминированные функции параметров x1 , x2 ,... ;
v1 t , y1 , y2 ,..., v2 t , y1 , y2 ,...,... - функции со случайными параметрами y1 , y2 ,... ;
1 t , 2 t ,... - случайные процессы (шумы) с заданными свойствами;
6
Введение
Ft - символ некоторого преобразования, зависящего в общем случае от
времени.
Преобразование Ft включает в себя различные операции, осуществляемые, например, при модуляции сигналов или при взаимодействии сигналов и
помех (суммирование в случае аддитивной смеси).
k -реализация (выборочная функция) случайного процесса является детерминированной функцией.




s k (t )  Ft f1 t , x1 , x2 ,...,..., v1 t , y1k , y 2k ,... ,..., 1k t ,  2k t ,... ,
(В.2)
где y1k , y2k ,... и 1k t ,  2k t ,... - k -реализации соответствующих случайных величин и
случайных процессов соответственно.
Моделирование радиосигналов со случайными параметрами
Функции со случайными параметрами являются разновидностями случайных процессов, отличающихся способом их задания. Их иногда называют параметрически заданными случайными процессами, в отличие от 1k t ,  2k t ,... , задаваемых другими способами, например, с помощью многомерных плотностей
распределения вероятностей, и называемых просто случайными процессами.
Параметры y1 t , y2 t ,... могут быть как непрерывными, так и дискретными
случайными величинами. Обычно предполагается, что известны их плотности
распределения вероятностей W  y1 , y2 ,....
В качестве примера рассмотрим сигнал со случайной фазой:
s( , t , a)  A( , t )  cosc  t  a(t ).
Если
случайная
фаза
(В.3)
принимает
случайное
значение
a(t )  ak
(k -
реализация), то моделирование такого сигнала не отличается от детерминированного случая, а получение случайных значений a k производится методами
формирования случайных величин с заданными законами распределения.
Если сигнал содержит не один, а N случайный параметр, то для его формирования производится выборка из N случайных величин в соответствии с их
законами распределения.
Описание радиосигналов
7
Введение
В обеих частях модели РТС мы имеем дело с узкополосными (квазигармоническими) сигналами, которые можно представить в следующем виде:


s, t   Re S , t   exp  jc t  ,
(В.4)
где exp  jct  - комплексная несущая сигнала;
S , t  - комплексная огибающая сигнала:
S  , t   A , t  exp jФ , t   0 ,
(В.5)
где A, t  - закон амплитудной модуляции (АМ);
Ф, t  - закон фазовой модуляции (ФМ);
 0 - начальная фаза;
 - информационное сообщение, которое передается с помощью сигнала
s, t  .
Информационное сообщение может представлять собой:
  12 n  - множество чисел, предаваемых по каналу связи, например, последовательность нулей и единиц (01101010).
  1 (t ), 2 (t ), n (t ) - функции времени.
   (t , x, y, z),  - функции времени и координат, например, в задачах
радиолокации.
Методы формирования математических моделей РТС
В зависимости от способа формирования и преобразования сигналов и помех различают следующие методы математического моделирования РТС:
1) Метод несущей, при котором воспроизводится непосредственно сигнал на
несущей частоте.
Рис. В.2 Амплитудно-модулированный радиосигнал на несущей частоте
8
Введение
Как известно, по теореме Котельникова любой сигнал можно абсолютно
точно восстановить по его спектру, если выбрать интервал дискретизации по
времени, равный t 
1
2 f C макс
.
Таким образом, для восстановления гармонического сигнала достаточно было
бы взять 2 точки на период, но на практике этого недостаточно и для его нормального отображения, например, на экране ПК, берут 10-20 точек (рис. В.3).
Рис. В.3 Разбиение одного периода гармонического колебания несущей на 20 точек
Главное преимущество данного метода моделирования - полная достоверность результатов, но этого требуются значительные затраты машинного времени, так как при большой несущей частоте требуется брать очень малый интервал дискретизации по времени t .
2) Метод комплексной огибающей, при котором моделируется только огибающая сигнала и ее преобразование.
Рис. В.4 Изменение огибающей сигнала во времени
3) Методы, моделирующие изменение информационного сообщения и его преобразование
9
Введение
Рис. В.5 Изменение информационного сообщения во времени
3.1) Если информационное сообщение и его преобразование могут быть
представлены в виде формул или схем, тогда используют так называемый метод структурных схем или формульный метод (иногда его называют еще метод
информационного параметра).
3.2) Если не удается выразить преобразование информационного сообщения в виде формул или схем, тогда используется метод статистических эквивалентов, при котором оригинал заменяется моделью с теми же статистическими
характеристиками.
Способы реализации
Все вышеперечисленные методы можно использовать при моделировании:
1) с помощью дифференциальных уравнений или
2) с помощью функционального моделирования.
Типовые звенья РТС
При функциональном моделировании любую РТС представляют состоящей
из отдельных элементарных звеньев, описываемых операторами трех типов:

линейный;

линейный инерционный;

нелинейный безынерционный.
Способы функционального моделирования
Возможны идеальный и неидеальный способы функционального моделирования. При идеальном моделировании предполагается, что все операции, выполняемые типовыми звеньями РТС, реализуются идеально. При неидеальном
моделировании предполагается, что все операции реализуются с погрешностя-
10
Введение
ми. При этом необходимо располагать численными характеристиками искажений сигналов и погрешностей выполнения отдельных операций типовыми звеньями РТС. Однако эти данные можно получить лишь на завершающей стадии
разработки РТС.
11
Моделирование радиосигналов
1. Моделирование радиосигналов
1.1 Моделирование методом несущей
Формирующая часть модели
В этом методе предполагается моделирование сигнала в виде


s, t   Re S , t   exp  jc t  .
(1.1)
При цифровом моделировании сигнал необходимо представить в дискретном
виде. Переход от непрерывного времени к дискретному осуществляется заменой аргумента непрерывного времени t на аргумент дискретного времени:
t  n  t ,
(1.2)
где n - номер отсчета;
t - интервал дискретизации по времени (рис. 1.1).
Рис. 1.1 Интервал дискретизации по времени
Таким образом, исходный сигнал (1.1) принимает следующий вид:


s, nt   Re S , nt   exp  jc nt  .
(1.3)
При таком описании сигнала его реализация на ПК сопряжена с огромными
затратами машинного времени, т.к. для достаточно точного его воспроизведения необходимо при большой частоте несущей  c брать весьма малые интервалы дискретизации по времени t .
Пример 1.1
Для моделирования сигнала на частоте f c =100 МГц необходимо взять интервал дискретизации по времени t , равный
1
 0,5 10 9 = 0,5 нс. Если время
f c  20
моделирования при этом задано равным 1 секунде, то потребуется 2 10 9 дискретных отсчета сигнала.
12
Моделирование радиосигналов
Поэтому при моделировании на несущей иногда применяют масштабирование. Выполняют масштабные преобразования:
 несущей частоты сигнала  c :
 мc  M   c ,
 полос пропускания отдельных элементов РТС  :
 полосы, занимаемой спектром сигнала  c :
 м  M    ,
 м c  M c   c ,
где M  , M  , M c - масштабные коэффициенты,
 мс ,  м ,  мc - значения параметров, используемых в модели.
Равенство всех масштабных коэффициентов ( M   M   M c  M t ) не дает никаких преимуществ, т.к. число рассчитываемых при этом точек на заданном интервале времени останется таким же. Поэтому необходимо, чтобы, по крайней
мере, M   M t .
Применение масштабирования основывается на том, что при выполнении
определенных граничных соотношений между частотой несущей  c и полосой,
занимаемой спектром сигнала  c , выбор несущей не влияет на качество передачи информации.
Например, при передаче сигнала посредством АМ-сигнала, считается, что допустимо, когда
c  10  20 2  f max ,
(1.4)
где f max - верхняя граничная частота спектра сигнала информационного процесса.
Рис. 1.2 Применение масштабирования при моделировании методом несущей
(понижение несущей частоты сигнала)
Преобразующая часть модели
При идеальном функциональном моделировании на несущей все типовые элементы РТС удобно разбить на линейные и нелинейные:
13
Моделирование радиосигналов
1) к линейным элементам относятся фильтры, сумматоры, усилители, интеграторы, линии задержки;
2) к нелинейным – модуляторы, демодуляторы, преобразователи частоты,
детекторы, ограничители, корреляторы.
С точки зрения функционального моделирования эти элементы являются
безынерционными
нелинейными
звеньями
(дополненными
последующими
фильтрующими звеньями).
При математическом моделировании перечисленных выше элементов необходимо использовать следующие соотношения:
оператор преобразова-
звено
ния
линейное
операция
y (t )  a  x(t )
усиление
y (t )  x(t )  b
смещение
y(t )  x(t   З )
задержка
y (t ) 
dx(t )
dt
дифференцирование
t
y (t )   x( )d
линейное инерционное
интегрирование
0
t
y (t )   x( )  g (t   )d
фильтрация
0
нелинейное безынерци-
y(t )  x(t )
онное
нелинейное инерционное
t
y(t )   [ x( )]  g (t   )d
*)
*)
0
нелинейное преобразование
нелинейное преобразование с фильтрацией
Нелинейное инерционное звено моделируется последовательным включени-
ем нелинейного безынерционного и линейного инерционного звеньев.
1.2 Метод комплексной огибающей
Если сигнал является узкополосным, то его можно представить в следующем виде:


s, t   Re S , t  exp  jc t  .
(1.5)
14
Моделирование радиосигналов
Если центральная частота системы обработки  0 не совпадает с несущей частотой (центральной частотой спектра сигнала  C ), то появляется расстройка сигнала   O  C . Тогда сигнал можно записать в следующем виде:


s, t   Re S 1 , t   exp  j0t  ,
(1.6)
где S1 , t   S , t  exp  j  t  .
В этом случае вся информация о сигнале заключена в комплексной огибающей S1 , t  , а комплексная несущая
 j0t 
никакой информации не содержит
и при моделировании может быть отброшена.
Комплексную огибающую общепринято представлять в виде вектора на
комплексной плоскости (рис. 1.3).
Рис. 1.3 Представление комплексной огибающей на комплексной плоскости
В полярной системе координат он задается длиной и углом наклона, а в декартовой характеризуется двумя квадратурными составляющими (квадратурами):
S 1 (, t )  S11 (, t )  jS12 (, t ) ,
(1.7)
S11 ( , t )  A( , t )  cos[Ф( , t )  0    t ] ;
(1.8)
S12 ( , t )  A( , t )  sin[ Ф( , t )  0    t ] .
(1.9)
где
Амплитуда (модуль) и фаза комплексной огибающей сигнала выражается через
квадратурные составляющие следующим образом:
A( , t )  S112 ( , t )  S122 ( , t ) ,
Ф( , t )   0    t  arctg
S12 ( , t )
     .
S11 ( , t )
(1.10)
(1.11)
15
Моделирование радиосигналов
Пример 1.2
Комплексная огибающая гармонического колебания.
s(t )  ReS 0  exp( jc t );
S 0  A0  exp( j0 )  A0  cos0  jA0  sin 0 .
Рис. 1.4 Представление комплексной огибающей гармонического колебания
на комплексной плоскости
Пример 1.3
Комплексная огибающая узкополосного случайного процесса (шума).


sш (t )  Re S ш (t )  exp( j0t ) ;
 0  c ;
S ш  Aш (t )  exp  jш (t )  Aш (t )  cosш (t )  jAш (t )  sin ш (t ) .
Рис. 1.5 Представление комплексной огибающей шума на комплексной плоскости
Квадратуры узкополосного шума имеют нормальный закон распределения, амплитуда распределена по закону Релея, а фаза – по равномерному закону от 0
до 2 .
Формирующая часть модели
Общий случай
В общем виде комплексная огибающая сигнала может быть представлена следующим образом:
S 1 ( , t )  A( , t )  exp jФ( , t )  0  exp( jt )  S11 ( , t )  jS12 ( , t ) ,
(1.12)
16
Моделирование радиосигналов
где A, t  - закон амплитудной модуляции сигнала,
 , t  - закон фазовой модуляции сигнала.
Квадратурные составляющие комплексной огибающей сигнала будут иметь
вид:
S11 ( , t )  A( , t ) {cos[Ф( , t )   0 ]  cos(   t )  sin[ Ф( , t )   0 ]  sin(   t )};
S12 ( , t )  A( , t ) {cos[Ф( , t )   0 ]  sin(   t )  sin[ Ф( , t )   0 ]  cos(   t )}.
(1.13)
Частные случаи
1) Амплитудная модуляция (АМ)
Пусть закон АМ имеет следующий вид:
A( , t )  A0  [1  ma   (t )],
(1.14)
Ф( , t )  0,
где ma - коэффициент АМ.
Подставив выражения (1.14) в выражение (1.13) для квадратурных составляющих комплексной огибающей сигнала, получим:
S11 ( , t )  A0  [1  ma   (t )]  cos  0  cos  t   sin  0  sin   t ;
S12 ( , t )  A0  [1  ma   (t )]  cos  0  sin   t   sin  0  cos  t .
(1.15)
Если расстройка сигнала отсутствует (   0 ), то квадратурные составляющие комплексной огибающей сигнала принимают следующий вид:
S11 ( , t )  A0  [1  ma   (t )]  cos  0 ;
S12 ( , t )  A0  [1  ma   (t )]  sin  0 .
Рис. 1.6 Представление комплексной огибающей АМ сигнала
на комплексной плоскости
2) Фазовая модуляция (ФМ)
Пусть закон ФМ имеет следующий вид:
(1.16)
17
Моделирование радиосигналов
Ф( , t )   м   (t ),
(1.17)
A( , t )  A0 ,
где  м - максимальная девиация фазы.
Подставив выражения (1.17) в выражение (1.13) для квадратурных составляющих комплексной огибающей сигнала, получим:
S11 ( , t )  A0  cos м   (t )   0  cos(   t )  sin  м   (t )   0  sin(   t );
S12 ( , t )  A0  cos м   (t )   0  sin(   t )  sin  м   (t )   0  cos(   t ).
(1.18)
Если расстройка сигнала отсутствует (   0 ), то квадратурные составляющие комплексной огибающей сигнала принимают следующий вид:
S11 ( , t )  A0  cos м   (t )   0  cos(   t );
S12 ( , t )  A0  sin  м   (t )   0  cos(   t ).
(1.19)
Рис. 1.7 Представление комплексной огибающей ФМ сигнала
на комплексной плоскости
3) Частотная модуляция (ЧМ)
Пусть ЧМ-сигнал имеет следующий вид:
S 1 ( , t )  S 0  exp{ j[m   (t )   ]  t} .
(1.20)
где S 0 - комплексная огибающая гармонического сигнала ( S 0  A0  exp( j0 ) );
m - максимальная девиация частоты;
 0 - начальная фаза сигнала.
Квадратурные составляющие комплексной огибающей сигнала:
S11 ( , t )  A0  cos  0  cosm   (t )     t   sin  0  sin m   (t )     t ;
S12 ( , t )  A0  cos  0  sin m   (t )     t   sin  0  cosm   (t )     t .
(1.21)
Если расстройка сигнала отсутствует (   0 ), то квадратурные составляющие комплексной огибающей сигнала принимают следующий вид:
S11 ( , t )  A0  cos  0  cosm   (t )  t   sin  0  sin m   (t )  t   A0  cosm   (t )  t   0 ;
S12 ( , t )  A0  cos  0  sin  m   (t )  t   sin  0  cosm   (t )  t   A0  sin  m   (t )  t   0 .
(1.22)
18
Моделирование радиосигналов
Преобразующая часть модели
1. Линейное безынерционное звено
При сложении нескольких сигналов на одной несущей частоте их комплексные огибающие складываются:
N
S  ( , t )   S i ( , t ) .
(1.23)
i 1
При идеальном усилении сигнала его комплексная огибающая умножается
на коэффициент усиления:
S k (, t )  k  S (, t ) ,
(1.24)
где k - коэффициент усиления.
2. Нелинейное безынерционное звено
При идеальном функциональном моделировании таких звеньев используется
их аппроксимация нелинейной степенной функцией следующего вида:
  s  (t ), s  0;
y(t )  
s  0.
 0,
(1.25)
Рис. 1.8 Нелинейная степенная функция
При   0 характеристика соответствует идеальному амплитудному ограничителю, при   1 – линейному детектору, а при   2 – квадратичному детектору.
Рис. 1.9 Прохождение узкополосного сигнала s ( , t )
через нелинейное устройство
19
Моделирование радиосигналов
Если пропустить узкополосный сигнал s ( , t ) через нелинейное устройство
(рис. 1.9), то сигнал на его выходе примет следующий вид:

y ( , t )  A ( , t )   C ( , m)  cosm  (0   )  t  m  [Ф( , t )   0 ] ,
(1.26)
m 0
где C ( , m) - некая функция, в которую входят функция Бесселя и гаммафункция.
Как и следовало ожидать, выходной сигнал y ( , t ) представляет собой
сумму колебаний частоты m  (0   ) с фазами m  0  m  Ф( , t ) . Огибающая этих
колебаний A ( , t ) пропорциональна  -ой степени амплитуды входного сигнала.
а) линейное и квадратичное детектирование
Если фильтр, включённый на выходе детектора, пропускает только ту
часть спектра, которая лежит в области нулевой частоты, то m  0 . Тогда все
остальные гармоники можно не моделировать.
Рис. 1.10 Спектр сигнала на выходе детектора и АЧХ фильтра
Тогда для линейного детектора (   1 ) получаем:
y ( , t ) 

 A( , t ) ;

(1.27)
Для квадратичного детектора (   2 ):
y ( , t ) 

4
 A 2 ( , t ) .
(1.28)
В результате детектирования информация о фазе сигнала теряется. Поэтому комплексная огибающая выходного сигнала будет содержать только действительную составляющую (косинусную квадратуру), мнимая составляющая
(синусная квадратура) будет равна нулю (рис. 1.11).
20
Моделирование радиосигналов
Рис. 1.11 Представление сигнала после детектирования на комплексной плоскости
б) ограничение амплитуды
После амплитудного ограничителя всегда ставят фильтр, который вырезает
первую гармонику, поэтому m  1 . Кроме того, идеальному амплитудному ограничителю соответствует   0 .
При этих значениях m и  выходной сигнал амплитудного ограничителя y ( , t )
примет вид:
y(, t )  ReY1 (, t )  exp( j    t ),
где Y1 ( , t ) 
2 

Y11 ( , t ) 
Y12 ( , t ) 
(1.29)
 exp  j[Ф( , t )   0 ] exp{ j    t}  Y11 ( , t )  j  Y12 ( , t ) ;
2 

2 

 cos[Ф( , t )   0 ]  cos(   t )  sin[ Ф( , t )   0 ]  sin(   t ) ;
 cos[Ф( , t )   0 ]  sin(   t )  sin[ Ф( , t )   0 ]  cos(   t ).
Следует отметить, что фазовые соотношения выходного сигнала амплитудного ограничителя совпадают с фазовыми соотношениями входного сигнала
(см. 1.13), а амплитуда постоянна и не зависит от A, t  .
В отличие от идеального, амплитуда выходного сигнала реального ограничителя зависит от амплитуды входного сигнала следующим образом (сравните с
рис. 1.8 при   0 ).
Рис. 1.12 Характеристика реального амплитудного ограничителя
21
Моделирование радиосигналов
в) фазовое детектирование
В большинстве реальных схем фазовых детекторов (ФД) информация извлекается в результате взаимодействия сигнала s ( , t ) с некоторым опорным
напряжением sОП (t ) . Результат такого взаимодействия (с последующей фильтрацией) приблизительно описывается следующим соотношением:
y( , t )  k  s( , t )  sОП (t ) .
(1.30)
Если сигнал является узкополосным, а фильтр на выходе детектора пропускает только НЧ часть результирующего сигнала, то выходной сигнал фазового детектора имеет вид:
y ( , t ) 


k
k

 Re S ( , t )  S ОП (t )   S11 ( , t )  S ОП 1 (t )  S12 ( , t )  S ОП 2 (t ) .
2
2
(1.31)
Как и при амплитудном детектировании, информация о фазе сигнала теряется. Поэтому комплексная огибающая выходного сигнала будет содержать только действительную составляющую (косинусную квадратуру), мнимая составляющая (синусная квадратура) будет равна нулю.
3. Линейное инерционное звено (на примере избирательной системы)
Такое звено в общем случае описывается интегралом свертки или интегралом Дюамеля:
t
y(t )   x( )  g (t   )d
(1.32)
0
или в дискретном виде (дискретная свертка)
n
n
k 1
k 1
y n  y (n  t )   x(k  t )  g (n  k )  t  t  t   xk  g nk .
(1.33)
Цифровая модель линейного инерционного звена на основе дискретной
свертки
Если раскрыть выражение (1.33), то получим:
yn  t  x1  g n1  x2  g n2    xn  g 0  ,
(1.34)
22
Моделирование радиосигналов
из которого видно, что выходной сигнал получается взвешенным суммированием отсчетов входного сигнала с весами g n1 , g n2 ,, g 0 .
Если импульсная характеристика затухает медленно, то объем вычислений
для расчета каждого отсчета выходного сигнала будет значителен. Поэтому
этот метод моделирования – метод дискретной свертки – используют только тогда, когда импульсная характеристика g (t ) системы достаточно быстро затухает
или когда невозможно использование других методов.
Рис. 1.13 Импульсные характеристики системы
Метод дискретной свертки обычно используют при моделировании избирательных систем. При этом импульсную характеристику удобно представить в
следующем виде:
g (t )  G (t )  cos[0  t   g (t )] ,
(1.35)
где  0 - центральная частота системы обработки;
G (t ) - медленно меняющаяся огибающая.
Рис. 1.14 Вид импульсной характеристики
В общем случае импульсную характеристику можно представить в виде:
g (t )  ReG(t )  exp( j0t ),
где G (t )  G (t )  exp( j g (t ))  G1 (t )  j  G2 (t ) - комплексная огибающая.
(1.36)
23
Моделирование радиосигналов
Если на входе такой избирательной системы присутствует сигнал с комплексной огибающей S 1 (t ) , то сигнал на выходе будет равен:
t
1
Y 1 (t )    G( )  S 1 (t   )d .
2 0
(1.37)
Эту формулу можно назвать математической моделью избирательной системы (комплексная свертка).
1 t
  G1 ( )  j  G2 ( )   S11 (t   )  j  S12 (t   ) d ;
2 0
t
1 t

Y11 (t )    G1 ( )  S11 (t   )d   G2 ( )  S12 (t   )d ;
2 0
0

t
t
1 

Y12 (t )    G1 ( )  S12 (t   )d   G2 ( )  S11 (t   )d .
2 0
0

Y 1 (t )  Y11 (t )  j  Y12 (t ) 
(1.38)
В дискретном виде сигнал на выходе избирательной системы представляется в
виде:
n
t  n
   G1k  S11nk   G2 k  S12 nk ;
k 1

2  k 1
n
t n
    G1k  S12 nk   G2 k  S11nk .
k 1

2  k 1
Y11n 
Y12 n
(1.39)
где G1k , G2 k - дискретные отсчеты комплексной огибающей импульсной характеристики;
S11 , S12 - дискретные отсчеты квадратурных составляющих входного сигнала.
Пример 1.4
Моделирование однокаскадного УПЧ на связанных контурах
Комплексный коэффициент передачи такого УПЧ имеет вид:
K ( p)  
j  (1   2 )
2


p 
1

  2



  

,
где  - полоса пропускания УПЧ;
 - коэффициент связи между контурами (   01 ).
Импульсная характеристика

1
1  2
G (t ) 
  K ( p)  exp( p  t )dp     j 
   exp(   t )  sin(     t )
2 
2
или в дискретном виде:
24
Gk  G(k  t )   j 
1  2
2
Моделирование радиосигналов
   exp(   k  t )  sin(     k  t )  G1k  jG2 k ,
где действительная часть G1k  0 , а
мнимая G2 k  
1  2
2
   exp(   k  t )  sin(     k  t ) .
Поэтому
Y11n 
n
t 1   2




S12 nk  exp(   k  t )  sin(     k  t ) ,

2 2
k 1
Y12 n  
n
t 1   2




S11nk  exp(   k  t )  sin(     k  t ) .

2 2
k 1
Цифровая модель линейного инерционного звена на основе рекуррентных уравнений
Рекуррентные уравнения используют значения, рассчитанные на нескольких предыдущих шагах, и поэтому являются более экономичными с точки зрения вычислительных затрат.
Пусть линейное инерционное звено описывается дробно-рациональной
функцией следующего вида:
K ( p) 
A( p)
.
B( p)
(1.40)
Найдем корни этой функции pk (k  1l ) - полюса передаточной характеристики
K ( p ) звена.
В этом случае импульсная характеристика может быть описана в виде суммы:
n
g (t )   C k  exp( pk  t ) ,
(1.41)
k 1


 A( p) 
где коэффициенты C k  
.
dB( p) 

dp  p  pk

Подставляем выражение для импульсной характеристики (1.41) в интеграл
свертки (1.32):
n

y(t )   x( )   Ck  exp  pk  (t   )   d .
 k 1

0
t
(1.42)
25
Моделирование радиосигналов
Если выполнить приближенное интегрирование по методу прямоугольников, то
получим:
n
y n   (b1k  y n1  a1 k  xn ) ,
(1.43)
k 1
где b1k  exp( pk  t ) , a1k   pk  t .
Если использовать приближенное интегрирование по методу трапеции, то получим:
n
y n   (a1k  xn  a2 k  xn1  b1k  y n1 ) ,
(1.44)
k 1
где a1k 
t
t
 C k , a2 k   C k  exp( pk  t ) , b1k  exp( pk  t ) .
2
2
Пример 1.5
Модель линейного инерционного звена 1-го порядка (ФНЧ)
Комплексный коэффициент передачи такого звена имеет вид:
K ( p) 
K0
,
T  p 1
где K 0 - коэффициент передачи фильтра на нулевой частоте;
T  R  C - постоянная времени;
R - величина сопротивления;
C - емкость конденсатора.
Передаточная характеристика имеет один полюс: p1  
1
.
T
K
dB( p)
 T  Ck  0 .
dp
T
Таким образом, используя метод прямоугольников, получаем следующую модель ФНЧ:
t
 t 
y n  exp     y n1   xn ,
T
 T 
а используя метод трапеции:
yn 
t K 0
t K
 t 
 t 

 xn   0  exp     xn1  exp     y n1 .
2 T
2 T
 T 
 T 
26
Моделирование радиосигналов
Пример 1.6
Модель однокаскадного УПЧ на связанных контурах
Комплексный коэффициент передачи такого УПЧ имеет вид:
K ( p)  
j  (1   2 )


p 
2
  
1 
  

2

A( p)
.
B( p)
Передаточная характеристика имеет два комплексно-сопряженных полюса:
p1, 2    (1  j ) .
dB( p)
p  1
2  (  p )

 2  1 

;

dp
 2
   
C1, 2  


j  1   2  2
2    p 

p  p1, 2




j  1   2  2
1   2  
.

2       1  j 
2
Используя метод прямоугольников, получаем следующее уравнение для моделирования однокаскадного УПЧ на связанных контурах:
2
y n   (b1k  y n1  a1k  xn )  b11  y n1  a11  xn  b12  y n1  a12  xn  xn  (a11  a12 )  y n1  (b11  b12 ) 
k 1
  xn  t  ( p1  p2 )  y n1  exp( p1  t )  exp( p2  t ).
Найдем отдельно сумму полюсов передаточной характеристики K ( p ) и сумму
экспонент в данном уравнении:
p1  p2    (1  j 1  j )  2 ;
exp( p1  t )  exp( p2  t )  exp(   (1  j )  t )  exp(   (1  j )  t ) 
 exp(   t )  exp( j    t )  exp(   t )  exp(  j    t ) 
 exp(   t )  cos(     t )  j sin(     t )  cos(     t )  j sin(     t ) 
 exp(   t )  2 cos(     t );
Таким образом, подставляя полученные выражения, получаем конечное уравнение для модели однокаскадного УПЧ:
yn  xn  t  2  yn1  exp(   t )  2 cos(    t ) .
27
Моделирование радиосигналов
1.3 Метод структурных схем
В ряде случаев для упрощения исследования РТС целесообразно отказаться от воспроизведения в модели всех деталей и особенностей РТС (тогда отсутствует необходимость воспроизведения несущей и огибающей сигнала) и используют метод структурных схем или формульный метод (иногда его называют
еще метод информационного параметра). В этом методе РТС используют модели, которые с достаточной достоверностью воспроизводят только внешние характеристики системы.
В общем случае внешние характеристики радиосистемы описываются соотношением, устанавливающим связь между информационным процессом на входе и выходным напряжением преобразующей части РТС:
N


z ( , t )  f1  , s ( , t ),   i (t )


(1.45)
Рис. 1.15 Модель радиосистемы
или соотношением, устанавливающим связь между информационными процессами на входе и выходе РТС:

N

ˆ  f 2  , s ( , t ),   i (t ) .


(1.46)
При исследовании РТС методами моделирования в итоге нас интересует
описание характеристик в форме (1.46). Однако их получение в аналитическом
виде обычно связано с большими математическими трудностями. Поэтому при
формировании математической модели РТС часто ограничиваются описанием
внешних характеристик в виде (1.45). Из этих соотношений непосредственно
следует структурная схема формирующей и преобразующей частей, а также
структурная схема всей модели РТС в целом.
28
Пример 1.7
Моделирование радиосигналов
Модель системы автоматической подстройки частоты (АПЧ)
Упрощенная функциональная схема супергетеродинного приемника, в котором
для стабилизации промежуточной частоты (ПЧ) используется система АПЧ, имеет вид:
Смеситель
УПЧ
ПГ
ФНЧ
К последующим каскадам
ЧД
Рис. 1.16 Упрощенная функциональная схема супергетеродинного приемника
Входной сигнал на частоте  C поступает на смеситель, где переносится на
ПЧ, усиливается в усилителе ПЧ (УПЧ) и поступает на последующие каскады
приемника (детектор, УНЧ). При отсутствии системы АПЧ взаимная нестабильность частот входного сигнала и гетеродина может привести к уходу ПЧ сигнала
за пределы полосы пропускания УПЧ и нарушению нормальной работы приемника. Система АПЧ устраняет эти явления. Работает она следующим образом.
Напряжение с УПЧ подается на частотный дискриминатор (ЧД). При появлении отклонения  ПЧ сигнала от номинального значения, совпадающего с
центральной частотой УПЧ, на выходе ЧД появляется напряжение, зависящее
от величины и знака  . Это напряжение, пройдя фильтр нижних частот
(ФНЧ), поступает на подстраиваемый генератор (ПГ) и изменяет его частоту, а,
следовательно, и ПЧ так, чтобы исходное рассогласование  уменьшалось.
В результате ПЧ поддерживается близкой к центральной частоте УПЧ, что позволяет существенно уменьшить влияние взаимной нестабильности частот передатчика и гетеродина, сузить полосу УПЧ, повысить качество приема.
Приведем соотношения, описывающие процессы, происходящие в системе АПЧ:
1) Преобразование частоты входного сигнала в смесителе:
 пр  C   Г , где  пр - ПЧ сигнала,  Г - частота гетеродина.
29
Моделирование радиосигналов
2) Отклонение ПЧ сигнала от ее номинального значения  пр 0 :    пр   пр0 .
3) При условии безынерционности УПЧ частоты на его входе и выходе совпадают.
4) Напряжение на выходе ЧД:
U д (t )  S д     (t ) , где S д - крутизна дискриминационной характеристики ЧД,
  пр  д - центральная частота ЧД,
 (t ) - случайный процесс, моделирующий шумы приемника.
5) ФНЧ, включенный на выходе ЧД, является линейным инерционным звеном:
U ф (t )  K ф ( p )  U д (t ) , где K ф ( p ) - коэффициент передачи ФНЧ.
6) Частота перестраиваемого гетеродина:
 Г   ГC  S р U ф , где  ГC - значение собственной частоты генератора при отсутствии управляющего напряжения, S р - крутизна регулировочной характеристики ПГ.
Полученные соотношения составляют математическую модель системы
АПЧ. В зависимости от задач исследования и условий работы системы она может усложняться.
Например, можно добавить модели нестабильности ЧД  и нестабильности частоты ПГ ГС :
  д  пр ;
0
ГС   ГС   Г 0   ГС  (С 0   пр0 ) , где  Г 0 ,С 0 - номинальные значения частот ПГ и
сигнала.
1.4 Метод статистических эквивалентов
Если в результате анализа РТС не удается получить ее описание в виде
(1.45), или, если описание или вытекающая из него структурная схема оказываются слишком сложными для реализации на ПК, то при исследовании РТС
ограничиваются отысканием некоторых осредненных статистических характеристик процесса z ( , t ) , используя которые, строят модель РТС в форме статистических эквивалентов.
30
Моделирование радиосигналов
Последовательность действий при построении модели методом статистических эквивалентов:
1. В результате анализа РТС в заданных условиях необходимо получить некоторые предварительные данные о характере процесса z ( , t ) . Статистические
характеристики процесса z ( , t ) можно получить либо усреднением выражения
z ( , t ) , полученного результате теоретического анализа РТС, либо посредством
статистической обработки результатов экспериментального образца. Если образец отсутствует, то можно использовать реализованные на ПК более сложные
модели РТС.
2. Выбирают и принимают условия статистической эквивалентности модели и
оригинала.
В общем случае необходимо, чтобы модель обладала характеристиками, которые с той или иной полнотой воспроизводили зависимость между информаци^
онным процессом  (t ) на входе РТС и его оценкой на выходе  (t ) .
Это означает, что модель должна правильно воспроизводить внешние характеристики РТС. Если учесть воздействие искажений и помех  i (t ) , то можно сказать, что эти характеристики носят статистический характер. Поэтому наиболее
полно они описываются многомерной плотностью распределения вероятности
процессов на входе и выходе РТС:
^
^
^


W  1 , 2 ,..., m , 1 , 2 , ..., m  , где i   (ti ) .


Всегда желательно иметь такую модель, которая воспроизводила эту многомерную плотность наилучшим образом. Тогда наиболее полный критерий, устанавливающий статистическую эквивалентность модели и оригинала, будет иметь
вид:
^
^
^
^
^
^




Критерий 1. W  1 , 2 ,..., m , 1 , 2 , ..., m   WМ  1 , 2 ,..., m , Э1 , Э 2 , ..., Э m  ,




где WM (...) - совместная плотность распределения вероятности процессов.
Для построения адекватной модели в этом случае необходимо иметь совместную плотность распределения вероятности процессов на входе и выходе оригинала, получить которую почти всегда затруднительно.
31
Моделирование радиосигналов
Для преодоления этой трудности можно перейти к более простом критериям
статистической эквивалентности: модель и оригинал считают статистически эквивалентными, если для одних и тех же входных воздействий  (t ) процессы на
^
^
выходе модели  Э (t ) и оригинала  (t ) имеют одинаковые k -мерные условные
распределения вероятности:
^
^
 ^ ^

 ^ ^

Критерий 2. W  1 , 2 , ..., k   WМ  Э1 , Э 2 , ..., Эk  , где k  m .




При моделировании РТС обычно ограничиваются значениями k , равными 1
или 2.
Иногда степень адекватности модели и оригинала оценивают критерием, требующим равенства лишь статистических характеристик процессов на выходе
^
^
модели  Э (t ) и оригинала  (t ) , например, математического ожидания и корреляционной функции:
^
^
^

^ 
^

^

Критерий 3. M  Э (t )  M  (t ) и M  Э (t1 )   Э (t 2 )  M  (t1 )   (t 2 ) .








3. Выбирают структуру эквивалента, т.е. вид функции z Э ( , t ) , аппроксимирующей процесс на выходе РТС z ( , t ) и, используя условия статистической эквивалентности, вычисляют параметры этой аппроксимирующей функции z Э ( , t ) .
32
Моделирование случайных величин
2. Моделирование случайных величин
2.1 Метод нелинейного преобразования,
обратного функции распределения
y
Пусть W ( y )   w( z ) dz – функция распределения вероятностей случайной

величины y , а W 1 x  - функция обратная W  y  . Тогда случайная величина
y  W 1 x  имеет заданный закон распределения W  y  , если случайная величина
x равномерно распределена от 0 до 1.
Пример 2.1
Пусть требуется получить алгоритм формирования случайной величины, имеющей закон распределения Релея:
y  0;
0,

W y   y
  y2 

, y  0;

exp
2 
 2
 2 

y
y
y
y
 z2 
 z2   z2 
 z2 
 y2 
z
W ( y )   w( z ) dz   2  exp   2 dz   exp   2 d  2    exp   2   1  exp   2  .

 2 
 2   2 
 2  0
 2 



Для получения обратной функции W 1 ( x) приравняем x  W  y  и выразим из полученного уравнения величину y :
 y2 
x  W ( y)  1  exp   2  ;
 2 
 y2 
exp   2   1  x ;
 2 
y2

 ln( 1  x) ;
2 2
y   2 2  ln( 1  x) .
Так как случайная величина x должна быть распределена равномерно от 0 до
1, то и случайная величина (1  x ) будет распределена так же, поэтому окончательно можно записать:
y     2  ln ( x)
К сожалению, не всегда существуют элементарные преобразования для
получения случайных величин с заданным законом распределения из равномерно распределенных случайных чисел.
33
Моделирование случайных величин
2.2 Метод Неймана
Метод используется для моделирования случайных величин, возможные
значения которых не выходят за пределы некоторого ограниченного интервала
(случайные величины с усеченными законами распределения), а также случайных величин, законы распределения которых можно аппроксимировать усеченными (рис. 2.1).
Рис. 2.1 Усеченный закон распределения случайной величины y
Суть метода заключается в выполнении последовательности действий:
1) из внутреннего датчика равномерно распределенных случайных величин
независимо выбираются пары чисел x1n и x2n ;
2) из них формируются другие случайные числа по следующим правилам:
x1n*  a  (b  a)  x1n ,
(2.1)
x2n*  Wm  x2n ,
(2.2)
где a , b - границы интервала определения случайной величины y ,
Wm - максимальное значение W  y  на интервале определения случайной
величины y (см. рис.2.1).
После преобразования x1n* становится равномерно распределена от a до b , а
x2n* - от 0 до Wm .
3) в качестве n -й реализации случайной величины y берется число x1n* из тех
пар чисел, для которых выполняется условие:
 
x2n*  W x1n* .
(2.3)
Пары, не удовлетворяющие этому неравенству, выбрасываются, и на шаге n
происходит возврат к первому пункту (новая выборка пары чисел x1n и x 2n ).
Пары случайных чисел x1n* и x 2n* можно рассматривать как координаты
случайных точек на плоскости, равномерно распределенных вдоль осей y и
W  y  внутри прямоугольника abcd (рис.2.2).
34
Моделирование случайных величин
Пары, удовлетворяющие неравенству - это координаты точек плоскости,
равномерно распределенных вдоль осей внутри той части abcd , которая расположена под кривой.
Рис. 2.2. К методу Неймана
Пример 2.2
Пусть требуется получить алгоритм формирования случайной величины, имеющей  -распределение:
0,

W ( y)  
p 1
q 1
c  y  (1  y ) ,
y  0, y  1;
0  y  1.
Из датчика равномерно распределенных от 0 до 1 случайных величин независимо выбираем два числа x1n и x 2n и производим их преобразование:
x1n*  x2n* (так как a =0, b =1);
x2n*  Wm  x2n (максимальное значение Wm необходимо заранее определить анали-
тически или численными методами).
Далее проверяем условие:
 
x n2*  W x1n*  c  (x 1n*) p1  (1  x1n* ) q-1 .
Если оно выполняется, то в качестве n -й реализации случайной величины y с
заданным законом распределения на шаге n принимаем значение x1n* , если нет,
то остаемся на шаге n и повторяем все с начала.
2.3 Метод кусочной аппроксимации
Пусть требуется получить случайную величину y с функцией плотности
распределения вероятности W  y  . Предположим, что область возможных значений величины y ограничена интервалом a, b , т.е. неограниченное распределение заменим ограниченным (усеченным).
35
Моделирование случайных величин
Разобьем интервал (a, b) на N достаточно малых подынтервалов (an , an1 ) ,
где n  0,..., N  1 ; a0  a ; a N  b ; таким образом, чтобы внутри каждого подынтервала распределение заданной случайной величины можно было аппроксимировать каким-нибудь более простым распределением, например, равномерным
(рис. 2.3).
Рис. 2.3 Разбиение отрезка ( a, b ) на N подынтервалов
Пусть Pn - вероятность попадания случайной величины y в каждый из
подынтервалов. Тогда получать реализации y с кусочно-равномерным распределением можно в соответствии со следующей схемой:
1) случайным
образом
с
вероятностью
Pn
выбирается
подынтервал
(an , an1 ) ;
2) формируется реализация случайной величины y nk , равномерно распределенной в подынтервале (0, an1  an ) ;
3) искомая
реализация
случайной
величины
y
получается
в
виде
y  a n  y nk .
Случайный выбор подынтервала (an , an1 ) с вероятностью Pn означает, по
существу, моделирование дискретной случайной величины, принимающей N
значений a n ( n  0,..., N  1 ) с вероятностью Pn (рис. 2.4).
Рис.2.4 Вероятности попадания случайной величины y в подынтервалы
36
Моделирование случайных величин
Моделирование такой дискретной случайной величины проводится следующим образом. Отрезок прямой от 0 до 1 разбивается на N подынтервалов
длиной Pn каждый. На шаге n берем реализацию случайной величины x n равномерно распределенной от 0 до 1, и сравниваем ее с порогами P1 , ( P1  P2 ) ,
( P1  P2  P3 ) ,… Если x n не превысила порог P1 , то реализация искомой случайной
величины y n будет находиться в первом подынтервале. Если x n превысила порог P1 , но не превысила порог ( P1  P2 ) , то - во втором и так далее.
Пример 2.3
Пусть требуется получить алгоритм формирования случайной величины, имеющей следующий закон распределения (нормальное распределение с выбросами
на концах):

0,
y  b  a;


W ( y)   ,
b  y  b  a;
2
a

 1 
 y2 
 , y  b.
 exp  

2 
 2 
  2
Рис. 2.5 Нормальное распределение с выбросами на концах
Разобьем интервал определения случайной величины (b  a, b  a) на 3 подынтервала: (b  a,b) , [b, b] , (b, b  a ) . Вероятности попадания случайной величины
y в крайние подынтервалы будут одинаковы и равны:
P1  P3 

2a
a 

2
.
Вероятность попадания в центральный подынтервал будет равна:
P2  1  P1  P3  1   .
37
Моделирование случайных величин
На шаге n берем реализацию случайной величины x1 n равномерно распределенной от 0 до 1 и сравниваем ее с порогами P1 и ( P1  P2 ) . Если x1 n не превысила порог P1 , то реализация искомой случайной величины y n на шаге n будет
находиться в первом подынтервале. Если x1 n превысила порог P1 и не превысила порог ( P1  P2 ) , то y n будет находиться во втором подынтервале. Если же x1 n
превысила оба порога, то y n будет находиться в третьем подынтервале.
Моделирование случайной величины y n в первом и третьем подынтервалах
производится с помощью алгоритмов формирования случайных величин с равномерным законом распределения, во втором - с помощью алгоритмов формирования случайных величин с нормальным законом распределения:
y 1n   b  a   a  x2 n ,
y n2     2  ln x2 n   sin 2  x3 n ,
y n3  b  a  x2 n ,
где x2 n и x3 n - случайные величины с равномерным от 0 до 1 законом распределения.
2.4 Типовые алгоритмы моделирования случайных величин с
наиболее распространенными законами распределения
Для всех законов распределения приводятся их аналитические выражения W ( y ) , статистические характеристики (математическое ожидание M y и дисперсия  y2 ) и алгоритмы формирования случайных величин.
Равномерный закон распределения
y  a;
 0,
 1
W ( y)  
, a  y  b;
b

a

y  b.
 0,
My 
ab
;
2
 y2 
b  a 2 .
12
(2.4)
(2.5)
38
Моделирование случайных величин
Рис. 2.6 Равномерный закон распределения
Такое распределение имеют:

ошибки квантования по уровню при аналогово-цифровом преобра-
зовании;

случайная фаза узкополосного шума.
Исходным материалом для формирования случайных величин с различными законами распределения служат равномерно распределенные в интервале от 0 до 1 случайные числа, которые вырабатываются на компьютерах встроенными датчиками. Так как ошибки моделирования случайных величин с различными законами распределения зависят от качества этих датчиков, то рассмотрим подробнее, как формируются эти случайные последовательности.
Исторически первыми использовались таблицы случайных чисел. Очевидно их неудобство при решении современных задач.
Позднее использовались физические датчики случайных чисел. Для их
реализации берется встроенный генератор шума и преобразователь напряжение-код. Такие генераторы используются редко, так как в них невозможно воспроизвести выборочную последовательность для повторения расчетов.
В настоящее время в основном используются программно реализованные
генераторы псевдослучайных последовательностей. Наибольшее распространение получил мультипликативно-конгруэнтный метод, основанный на использовании рекуррентного соотношения:
xn1  a  xn  c  mod m , n  1,
(2.6)
где m  2 t 1 , t - разрядность целых двоичных чисел;
a, c - целые, положительные, нечетные числа, на которые накладываются
следующие ограничения:
a mod 8  5 ;
39
Моделирование случайных величин
m
 a  m m;
100
(2.7)
c
1 1
 0.211132  
3.
m
2 6
Начальное значение x0 может быть выбрано произвольно.
Величина yn  xn / m будет иметь приближенно равномерное распределение.
Достоинством алгоритма является его простота и независимость от типа
компьютера. Однако этот метод требует тщательного подбора параметров,
определяющих свойства псевдослучайной последовательности.
Например, для 32-разрядных ЭВМ можно использовать следующие значения: a  16070093 ; c  453816693 ; m  2 31  2147483648
Рис.2.7 Случайные величины с равномерным законом распределения и
их гистограмма
Нормальный закон распределения
W ( y) 
  y  m 2 
;
 exp  
2

2

2  


1
M y  m ,  y2   2 .
(2.8)
(2.9)
Рис. 2.8 Нормальный закон распределения
40
Моделирование случайных величин
Такое распределение имеют большинство аддитивных ошибок измерения,
полученных при многократных измерениях.
На практике используют различные методы получения случайных величин с нормальным законом распределения. Наиболее часто используются следующие:
а)
Этот алгоритм вытекает из центральной предельной теоремы:
12 n
  ( xi  0.5) ,
n i 1
y
(2.10)
где xi - равномерно распределенные от 0 до 1 случайные числа.
12
Наиболее удобно использовать значение n  12 , т.е. y   xi  6 . Тогда слуi 1
чайная величина y будет иметь практически нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией
Однако этот алгоритм требует относительно больших затрат машинного
времени и дает хорошее совпадение с нормальным законом распределения
лишь при реализациях в тысячи отсчетов.
б)
Второй алгоритм основан на известном факте, что распределение произведения двух независимых случайных величин, одна из которых
имеет релеевское распределение, а другая распределена по закону
арксинуса, является нормальным. Это позволяет использовать следующий алгоритм:
y     2 ln x1  sin 2  x2  ,
(2.11)
где x1 и x 2 - независимые равномерно распределенные от 0 до 1 случайные
числа.
Тогда y будет иметь нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией  2 .
в)
Суть третьего алгоритма заключается в следующем:
1) Берутся два независимых равномерно распределенных от 0 до 1 случайных числа x1 и x 2 (эти числа определяют координаты случайных точек на
плоскости от 0 до 1).
2) Числа преобразуются следующим образом:
x1  2 x1  1;
x2  2 x2  1.
41
Моделирование случайных величин
В результате преобразования они оказываются равномерно распределены от -1
до 1 (теперь числа определяют координаты случайных точек на плоскости от -1
до 1).
3) Вычисляется величина d  x12  x22 (квадрат длины случайного вектора на
плоскости, определяемого координатами x1 и x 2 ).
4) Если выполняется условие d  1 (проверка, вписывается ли случайный
вектор в окружность с радиусом, равным 1), то вычисляется величина:
c
 2 ln d
.
d
Если нет, то происходит возврат к пункту 1.
5) Случайные величины y1  c  x1 и y2  c  x2 будут иметь нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
Достоинством алгоритма является то, что одновременно формируются два
нормально распределенных случайных числа y1 и y 2 .
Рис. 2.9 Случайные величины с нормальным законом распределения и
их гистограмма
Закон распределения Релея
y  0;
 0,

2
 y 
W ( y)   y
 exp   2 , y  0;
 2
 2 

My 

2
   1,25 ;


   2    2 .
2

2
y
(2.12)
(2.13)
42
Моделирование случайных величин
Рис. 2.10 Закон распределения Релея
Данный закон распределения имеет только один параметр  , который
определяет максимум функции W ( y ) .
Такой закон распределения используется для описания огибающей узкополосного случайного процесса (шума).
При моделировании в основном используют два алгоритма:
1)
Полученный исходя из нелинейного преобразования:
y     2 ln x ,
(2.14)
где x – случайная величина, равномерно распределенная от 0 до 1.
2)
Использующий свойство, что корень квадратный из суммы квадратов
двух независимых случайных величин с нормальным законом распределения, распределен по закону Релея:
y    x12  x22 ,
(2.15)
где x1 , x 2 - независимые нормально распределенные случайные числа с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
Рис. 2.11 Случайные величины с законом распределения Релея и
их гистограмма
43
Моделирование случайных величин
Обобщенный закон распределения Релея (закон Релея-Райса)
y  0;
 0,

2
2
 (y  a )   a y 
W ( y)   y
  I0 
 exp  
, y  0,
 2
2 2    2 


(2.16)
где I 0  - функция Бесселя нулевого порядка.
Рис. 2.12 Обобщенный закон распределения Релея (закон Релея-Райса)
Такое распределение используется для описания огибающей суммы сигнала и узкополосного шума. Распределение носит промежуточный характер
между распределением Релея и нормальным распределением. Если
параметр
a  0 , то случайный процесс y будет иметь распределение Релея, если a   ,
то нормальный закон распределения.
Алгоритм моделирования имеет следующий вид:
y
x1  a2  x22 ,
(2.17)
где x1 , x 2 - независимые нормально распределенные случайные числа с нулевым математическим ожиданием и дисперсией  2 .
Рис. 2.13 Случайные величины с законом распределения Релея-Райса и
их гистограмма
44
Моделирование случайных величин
Экспоненциальный (показательный) закон распределения
 0,

1
W ( y)  
 y
  exp(   y)   exp   ,


 

y  0;
y  0;
M y  1/    ;
 y2  1 /  2   2 .
(2.18)
(2.19)
Рис. 2.14 Экспоненциальный (показательный) закон распределения
Данный закон широко используется в теории массового обслуживания и
теории надежности для моделирования времени безотказной работы системы из
последовательно соединенных блоков, наработки «на отказ» и т. п.
При моделировании используют два алгоритма:
1) Полученный через нелинейное преобразование:
y
1

 ln x    ln x ,
(2.20)
где x – случайная величина, равномерно распределенная от 0 до 1.
2) Использующий свойство, что сумма квадратов двух нормально распределенных случайных величин распределена по экспоненциальному закону:
y  x12  x22 ,
(2.21)
где x1 и x 2 - независимые нормально распределенные случайные числа с нулевым математическим ожиданием и дисперсией  2 .
В результате y будет иметь экспоненциальный закон распределения с параметром  
1
2 2
.
45
Моделирование случайных величин
Рис. 2.15 Случайные величины с экспоненциальным законом распределения и их гистограмма
Логарифмически-нормальный закон распределения
y  0;
 0,

2
 ln y  m  
1
W ( y)  
,
 exp  
y  0;
2

  2  y
2




при m  0
M y  e   ;
 2
2
 y  e  (e  1)   .
(2.22)
(2.23)
Рис. 2.16 Логарифмически-нормальный закон распределения
Логарифмически нормальное распределение проявляется тогда, когда
многие случайные величины действуют мультипликативно, т.е. действие их на
изменение конечной величины пропорционально их изменению.
Алгоритм моделирования имеет следующий вид:
y  exp   x  m ,
(2.24)
где x - нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
46
Моделирование случайных величин
Рис. 2.17 Случайные величины с логарифмически-нормальным законом распределения
и их гистограмма
47
Моделирование случайных векторов
3. Моделирование случайных векторов
Задачи моделирования на ПК случайных векторов и случайных процессов, заданных на конечном интервале времени (0, T ) , в принципе не отличаются, так как дискретные реализации случайных процессов, ограниченных во
времени, можно рассматривать как выборочные значения N -мерных случайных
векторов ( N  T / t ) .
Существуют три основных метода моделирования на ПК случайных векторов с заданными многомерными распределениями.
3.1 Метод условных распределений
Этот метод позволяет моделировать многомерные случайные величины
(случайные вектора) с произвольно заданной многомерной функцией плотности
распределения вероятности W ( x1 ,, x N ) .
Рассмотрим сначала двумерный случай. Пусть случайный вектор задан
своей двумерной функцией плотности распределения вероятности W ( x1 , x2 ) .
Рис. 3.1 Двумерная функция плотности распределения вероятности
Тогда одномерная функция плотности распределения вероятности случайной величины имеет вид:

W ( x1 )   W ( x1 , x2 )dx2 .
(3.1)

Используя рассмотренные ранее способы моделирования случайных величин с заданными законами распределения, сформируем реализацию x1k случайной величины x1 с одномерной функцией плотности распределения вероятности (3.1).
Далее найдём условное распределение случайной величины x 2 :
48


W x2 / x1k 

W x1k , x2
W x1k
 

Моделирование случайных векторов
(3.2)
и произведём выборку x 2k случайной величины x 2 с функцией плотности рас-


пределения вероятности W x2 / x1k .
Полученная таким образом последовательность пар чисел x1k и x 2k будет
иметь совместную плотность распределения вероятности W ( x1 , x2 ) .
Аналогично получаем и для N -мерного случая. Например, для N  3 , будет:
 
W ( x1 ) 
 W x , x , x dx dx
1
2
3
2
3
;
(3.3)

 W x1 , x2 , x3 dx3

W x2 / x1k  


k

W ( x1k )


;
(3.4)
W x1k , x2k , x3
.
W x3 / x x 
W x1k  W x2k / x1k
k
1
k
2
  

(3.5)
Однако практическое использование этого способа связано с весьма громоздкими вычислениями, за исключением тех случаев, когда интегралы берутся в конечном виде. При больших значениях N способ практически не применяется.
3.2 Многомерный метод Неймана
Идея метода такая же, как и в одномерном случае, с той разницей, что
здесь имитируются случайные точки, равномерно распределённые не на плоскости под кривой, а в ( N 1 )-мерном объёме под N -мерной поверхностью.
Рис. 3.2 К многомерному методу Неймана
49
Моделирование случайных векторов
Пусть W  y1 ,..., yN  - N -мерная функция плотности случайного вектора y c
областью определения an , bn  случайных координат y n ( n  1...N ).
По аналогии с одномерным случаем вырабатывается ( N  1) случайных чисел x1 ..., x N 1 , равномерно распределённых в интервалах a1 , b1 ,..., a N , bN  и 0,Wm 
соответственно, где Wm - максимальное значение функции W  y1 ,..., y N  .
В качестве реализации случайного вектора y принимаются те значения
x1 , x2 ,...x N случайного вектора x , которые удовлетворяют условию:
xN 1  W x1 , x2 ,..., xN  .
(3.6)
Числа, не удовлетворяющие условию, отбрасываются и производится переход к 1-му шагу.
3.3 Метод линейного преобразования
Этот способ применим в тех случаях, когда достаточно обеспечить лишь
заданную матрицу корреляционных моментов случайных векторов. Это возможно в связи со следующими обстоятельствами:

случайные вектора, имеющие нормальную плотность распределе-
ния вероятности (нормальные случайные вектора), играющие очень важную роль в практических приложениях, однозначно задаются матрицей
корреляционных моментов, и, следовательно, моделирование их в рамках
корреляционной теории равносильно моделированию по заданным многомерным распределениям;

случайные вектора, имеющие плотность распределения вероятно-
сти, отличную от нормальной, часто появляются в результате некоторых
преобразований нормальных случайных векторов. Моделирование таких
случайных векторов сводится к моделированию нормальных случайных
векторов с последующим воспроизведением заданного преобразования,
для чего достаточно обеспечить лишь необходимые корреляционные связи исходных (нормальных) векторов;

многомерные законы распределения случайных векторов, не яв-
ляющихся нормальными, весьма трудно получить теоретически и экспериментально. Их корреляционные моменты обычно определяются значительно проще. Поэтому практически в этих случаях многомерные законы
50
Моделирование случайных векторов
распределения, как правило, неизвестны, а задача моделирования случайных векторов имеет смысл лишь в рамках корреляционной теории.
Основная идея метода линейного преобразования состоит в том, чтобы,
выработав N независимых случайных величин x1 ,..., x N , подвергнуть их такому
линейному преобразованию, после которого полученные величины
 y1 ,..., y N 
имели бы заданную корреляционную матрицу:
[ R] 
R11
R12

R21
R22
 R2 N



RN 1
RN 2  RNN
R1N
 M  yi  y j  .

(3.7)
Известно, что произвольное линейное преобразование N -мерного вектора X сводится к умножению его на некоторую матрицу:
Y   A X ,
(3.8)
где X   x1 , x2 ,..., xN  ; Y    y1 , y2 ,..., y N  .
T
T
Выберем матрицу A треугольной:
A 
a11
0

0
a21
a22

0




aN1
a N 2  a NN
.
(3.9)
Тогда можно записать:
y1  a11 x1 ;
y 2  a21 x1  a22 x2 ;

(3.10)
y N  a N 1 x1  a N 2 x2  ...  a NN x N .
Элементы матрицы A находятся из условий:
1, i  j;
1) M xi  x j    ij  
0, i  j.
(3.11)
2) M  yi  y j   Rij
(3.12)
Найдем математическое ожидание произведений:
51
 
 
 M x   a
Моделирование случайных векторов
M  y1  y1   M y  M a11 x1  a11 x1   a  M x  a  R11 ;
2
1
2
11
M  y1  y 2   M a11 x1  a21 x1  a22 x2   a11a21
 
2
1
2
11
2
1
a  M  x1  x2   a11a21  R12 ;
11 22
M  y 2  y 2   M y  M a21 x1  a22 x2   a21 x1  a22 x2   a  a  R22 ;
2
2
2
21
(3.13)
2
22

Из этих уравнений получаем:
a11  R11 ;
a 21 
R12
R
 12 ;
a11
R11
2
a 22  R22  a 21
 R22 
(3.14)
2
12
R
;
R11

Действуя, таким образом, можно получить все элементы матрицы A . Тогда алгоритм выработки случайного вектора Y  с заданной корреляционной
матрицей сведётся к умножению матрицы A на реализации вектора X  .
Отметим, что рассмотренный процесс моделирования позволяет получить
лишь необходимые корреляционные связи между координатами случайного
вектора. Законы распределения координат не принимаются во внимание, поэтому законы распределения координат исходного вектора могут быть произвольными, например, равномерными. Требуется только, чтобы случайные координаты x1 ,..., x N  удовлетворяли условию некоррелированности.
Если закон распределения координат исходного вектора нормальный, то и
искомый вектор будет нормальный (так как преобразования линейны).
К сожалению, этот способ при больших N становится неудобным, так как
требует большой и трудоемкой подготовительной работы.
Пример 3.1
Пусть требуется промоделировать случайный вектор с корреляционной матрицей следующего вида:
R 
Тогда из (3.14) следует:
1,0 0,9
0,9 1,0
.
52
Моделирование случайных векторов
a11  1,0  1,0;
a21  0,9 / 1  0,9;
a12  0;
a22  1 
0,92
1,0
 1  0,9  0,9 .
Алгоритм моделирования будет выглядеть следующим образом:
y1  x1;
y2  0,9  x1  1  0,9  0,9  x2 ,
где x1 и x 2 - независимые случайные величины.
53
Моделирование случайных процессов
4. Моделирование случайных процессов
Рассмотренные ранее методы моделирования случайных векторов можно
использовать и для моделирования случайных процессов. Однако при формировании реализации большой длины эти методы требуют большого количества
вычислений и трудоемкой подготовительной работы, что затрудняет их практическое использование. К сожалению, других более простых методов получения
неограниченных во времени дискретных реализаций случайных процессов с
заданным многомерным законом распределения W ( y1 , y2 ,) или заданной корреляционной функцией до настоящего времени неизвестно.
Однако на практике столь широко поставленные задачи моделирования
случайных процессов встречаются редко, чаще требуется моделировать случайные процессы, относящиеся к определенному, более узкому классу случайных процессов. Например, стационарный нормальный случайный процесс; стационарные процессы, не являющиеся нормальными, но порождаемые нормальными в нелинейных системах и т.п.
4.1 Моделирование нормальных случайных процессов
Для стационарных нормальных случайных процессов найдены весьма
экономичные моделирующие алгоритмы. В их основу положено линейное преобразование стационарной последовательности x n независимых нормальных
случайных чисел (дискретный белый шум - ДБШ) в последовательность y n ,
коррелированную по заданному закону, т.е. имеющую заданную корреляционную функцию (КФ).
При этом оператор линейного преобразования записывается либо в виде
скользящего суммирования:
n
y n   ck  xn k ,
(4.1)
k 1
либо как рекуррентное уравнение:
1
m
k 0
k 1
y n   ak xnk   bk xnk .
(4.2)
Вид получаемой корреляционной функции случайного процесса, моделируемого с помощью этих алгоритмов, определяется набором значений коэффициентов a k , bk , ck и их количеством, которое обычно невелико.
54
Моделирование случайных процессов
Алгоритмы отличаются простотой и позволяют формировать дискретные
реализации случайных процессов сколь угодно большой длины. Коэффициенты
a k , bk , ck определяются на этапе предварительной подготовки к моделированию.
Саму задачу цифрового моделирования с помощью скользящего суммирования и рекуррентных разностных уравнений можно рассматривать как задачу
синтеза линейного дискретного формирующего фильтра, который преобразует
белый шум на его входе в коррелированный дискретный случайный процесс с
заданными корреляционно-спектральными характеристиками на его выходе
(рис. 4.1).
Рис. 4.1 Изменение корреляционной функции
при прохождении случайного процесса через формирующий фильтр
Метод скользящего суммирования
Пусть задана исходная последовательность x n независимых случайных
чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией (нормированный ДБШ).
Корреляционная функция последовательности x n :
1, n  0;
Rn  M xk  xk n    n  
0, n  0.
(4.3)
В соответствии с выражением (4.1) сформируем из последовательности x n
новую:
yn  c1 xn 1  c2 xn  2    cN xn  N .
(4.4)
Чтобы получить следующий отсчет выходного процесса, необходимо воспользоваться следующим выражением:
yn 1  c1 xn  c2 xn 1    cN xn  N 1 .
(4.5)
55
Моделирование случайных процессов
Случайная величина yn получается путем взвешенного суммирования с
весами c1 ,, cN N независимых отсчетов входной последовательности xn , а
yn1
- суммированием отчетов, сдвинутых на единицу вправо (рис.4.2).
Рис. 4.2 Формирование случайных величин yn и yn 1
Таким образом, зависимость (коррелированность) между случайными величинами yn и y n1 обеспечивается за счет того, что в их образовании участвуют [N-1] общие случайные значения входной последовательности xn . При сдвиге последовательности на N отсчетов значения yn и yn N становятся некоррелированными (в их образовании нет ничего общего).
Характер корреляционных связей (вид КФ) процесса yn определяется
только набором коэффициентов c1 , c2 ,, c N и не зависит от закона распределения исходной случайной последовательности xn . Если xn распределена по нормальному закону, то в силу линейности преобразования последовательность yn
также будет иметь нормальный закон распределения.
Корреляционная функция выходного процесса при этом будет определяться соотношением:
R0  M yn  yn   c12  c22    c N2 ;
R1  M yn  yn1  c1c2  c2 c3    cN 1cN ;
(4.6)

RN 1  c1cN ;
R N  0.
Вычисление корреляционной функции по этим формулам можно свести к
перемножению матриц:
 R0   c1


 R1   c2
 ...    ...

 
 R  
 N 1   c N
c2
...
c N 1
c3
...
cN
...
...
...
0
...
0
cN   c 
  1
0   c2 
.

...   ... 
  
0   c N 
(4.7)
56
Моделирование случайных процессов
Если коэффициенты ck заданы, то вычисление корреляционной функции
случайного процесса, формируемого методом скользящего суммирования, не
представляет никакого труда. Гораздо сложнее решить обратную задачу определить значения коэффициентов ck по заданной корреляционной функции.
Возможные пути решения данной задачи:
1) Получение весовых коэффициентов путём решения нелинейной алгебраической системы уравнений (4.6).
2) Получение весовых коэффициентов путём разложения функции спектральной плотности в ряд Фурье.
G ( ) 
1/ 2

 R( )  e
 j
 d ; G ( )  G0  K ( j ) ;
2

 G ( ) 
K ( j )  
 .
 G0 
(4.8)
В качестве ck можно принять дискретные отсчеты импульсной характеристики:
1 
1   G ( ) 
h(t ) 
  K ( j )  e jt  d 


2 
2 0  G0 
ck  h(kt ) 
1  G ( ) 


2 0  G0 

1/ 2
 cos(  t )  d ;
1/ 2
(4.9)
 cos(  kt )  d.
3) Получение весовых коэффициентов методом факторизации. Если случайный процесс со спектром G ( ) получается в результате прохождения белого шума через фильтр с коэффициентом передачи K ( j ) , то
тогда будет справедливо следующее соотношение:
G ( )  G0 ( )  K ( j ) .
2
(4.10)
Рис. 4.3 Прохождение белого шума через фильтр с коэффициентом передачи K ( j )
Если дискретный белый шум является нормированным, то G0 ( )  1 . Тогда
спектр на выходе равен:
G ( )  K ( j )  K ( j )  K ( j ) .
2
(4.11)
57
Моделирование случайных процессов
Метод факторизации подразумевает разложение заданной спектральной плотности G ( ) на два сомножителя. Один из множителей будет
представлять собой передаточную функцию формирующего фильтра.
4) Если известно, что выходной процесс y n является результатом воздействия белого шума на линейную систему с заданной передаточной
функцией K  p  и импульсной характеристикой h(t ) , то при моделировании удобно использовать данную систему как формирующий фильтр.
При этом ck совпадают с hk  hkt  .
Если моделируемый процесс задан своей корреляционной функцией, а
энергетический спектр процесса неизвестен, причём вычисление его через
преобразование Фурье затруднительно, то целесообразно использовать первый метод.
Если процесс задан спектром или спектр легко находится через КФ, то
используется второй метод.
Третий метод целесообразно использовать тогда, когда процесс является
процессом с рациональным спектром, однако в этом случае, как правило, более
эффективны рекуррентные уравнения.
Четвёртый метод наиболее простой. Он используется тогда, когда известна импульсная характеристика.
Пример 4.1
Пусть требуется сформировать реализацию случайного процесса, корреляционная функция которого задается следующим образом:
R0  1;
R1  0;
R2  0,5.
Процесс задан своей корреляционной функцией, спектр неизвестен и вычисление его через преобразование Фурье затруднительно, поэтому в данном случае
целесообразно найти весовые коэффициенты через решение нелинейной алгебраической системы уравнений:
58
Моделирование случайных процессов
R0  c12  c22  c32  1;
R1  c1c2  c2 c3  0;
R2  c1c3  0,5.
Решением ее будут значения коэффициентов:
c1  0,5 ,
c2  0,
c3   0,5 ,
а алгоритм будет выглядеть следующим образом:
yn  0,707  xn 1  0,707  xn 3 ,
где x n - последовательность независимых случайных чисел.
Метод рекуррентных разностных уравнений
Алгоритмы моделирования, основанные на этом методы, используется
только для случайных процессов с дробно-рациональным спектром:
G ( ) 
G1 ( ) K1 ( j )  K1 ( j )

,
G2 ( ) K 2 ( j )  K 2 ( j )
(4.12)
где G1 и G2 - полиномы степени l и m  l соответственно.
Применение рекуррентных алгоритмов наиболее эффективно тогда, когда
корреляционная функция моделируемых процессов имеет невысокий порядок,
определяемый числом полюсов спектральной функции. В этих случаях моделирующие алгоритмы очень просты, не имеют методических погрешностей, и их
параметры удаётся выразить в явном виде через параметры корреляционной
функции.
Отсутствие методической погрешности понимается в том смысле, что дискретные реализации y n , полученные на ЭВМ, и последовательности ynt  выборочных значений процесса y (t ) в точности совпадают при любом t , если
считать исходные случайные числа x n строго независимыми и нормальными.
Параметры рекуррентных алгоритмов ( ak , bk ) получают методами:

факторизации;

дискретизации непрерывного формирующего фильтра.
59
Моделирование случайных процессов
4.2 Типовые алгоритмы моделирования нормальных случайных процессов с часто встречающимися корреляционными функциями
Здесь приводятся результаты применения описанных выше методов для
моделирования стационарных нормальных процессов с распространёнными
корреляционными функциями.
Во все алгоритмы заложен принцип преобразования последовательности
x n независимых нормально распределённых случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией (дискретный белый шум) в последовательность y n с заданной корреляционной функцией:
Rk  M { yn  ynk }  R{k  t} .
(4.13)
1) Случайный процесс с экспоненциальной корреляционной функцией
R( )   2  exp     ;
G( ) 
2 2


1
1 2 / 2
(4.14)

2 2  
.
 2  2
(4.15)
Рис. 4.4 Экспоненциальная корреляционная функция и спектральная плотность
случайного процесса
Такие случайные процессы получаются при прохождении белого шума через линейное инерционное звено первого порядка (ФНЧ).
Алгоритм моделирования:
yn    yn1    1  ρ 2  xn ,
(4.16)
где   exp    t  - коэффициент корреляции, определяет степень зависимости
(коррелированности) соседних отсчетов случайного процесса между собой.
60
Моделирование случайных процессов
Рис. 4.5 Сильно- (а) и слабокоррелированный (б) случайные процессы
Рис. 4.6 Случайный процесс с нормальным распределением и экспоненциальной корреляционной функцией: временная реализация и автокорреляционная функция (АКФ)
2) Случайный процесс с экспоненциально-косинусной корреляционной
функцией
R( )   2  exp      cos0   ;
G ( ) 
где x 
2 2


(4.17)
1  x 2  x02
,
2
2
1   x  x0   1   x  x0 



; x0  0 .




(4.18)
61
Моделирование случайных процессов
Рис. 4.7 Экспоненциально-косинусная корреляционная функция и спектральная плота)   0 ; б)   0 ; в)   0 ( 0  const )
ность случайного процесса при:
Такие случайные процессы получаются при прохождении белого шума через линейное инерционное звено второго порядка (ФНЧ 2-го порядка).
Алгоритм моделирования:
yn  a0 xn  a1 xn1  b1 yn1  b2 yn2 ,
(4.19)
где
a0     1 ; a1   
0
;   exp(   t );
1


b1  2   cos 0  t ; b2    2 ;  0     2  1  cos 0  t ;
1 
 2   22  4 02
2
; 2  1  4.
(4.20)
62
Моделирование случайных процессов
Рис. 4.8 Случайный процесс с нормальным распределением и экспоненциальнокосинусной корреляционной функцией (временная реализация и АКФ)
3) Случайный процесс с корреляционной функцией вида
exp α  τ  1  α  τ 
R( )   2  exp      1     ;
G( ) 
4 2


1  
1
2
/ 2

4 2   3
 
2
(4.21)
2
2

2
.
(4.22)


Рис. 4.9 Корреляционная функция вида R( )   2  exp      1    
 и спектральная
плотность случайного процесса
Алгоритм моделирования:
yn  a0 xn  a1 xn1  b1 yn1  b2 yn2 ,
(4.23)
где
a0     1 ; a1   
0
;   exp(   t );
1
b1  2  ; b2    2 ;
 0   3  1    t     1    t ;
1 
 2   22  4 02
2
;
 2  1  4  2    t   4 .
(4.24)
63
Моделирование случайных процессов
Рис.4.10 Случайный процесс с нормальным распределением и корреляционной функцией вида (4.21) (временная реализация и АКФ)
4) Случайный процесс с прямоугольным спектром и корреляционной
функцией вида sin(x)/x
R( )   2 
sin( 0  )
;
 0 
(4.25)
   2
,   0 ;

G ( )   0
 0,
  0 .
(4.26)
Рис. 4.11 Корреляционная функция вида sin( x) / x и спектральная плотность случайного
процесса
Алгоритм моделирования:
yn 
p
c
k  p
k
 xn  k ,
(4.27)
где
ck 

sin 0  k  t 

; 0  t   .
k
4  0  t
(4.28)
64
Моделирование случайных процессов
Суммирование производится до тех пор, пока коэффициенты ck не станут
пренебрежимо малы.
Рис.4.12 Случайный процесс с нормальным распределением и корреляционной функцией вида sin( x) / x (временная реализация и АКФ)
5) Случайный процесс с экспоненциальным спектром
R( ) 
2
;
1  02  2
G( ) 
(4.29)
 
  2
 exp    .
0
 0 
(4.30)
Рис. 4.13 Корреляционная функция вида R( ) 
2
и спектральная плотность слу1  02  2
чайного процесса
Алгоритм моделирования:
p
y n   ck  xn k ,
k 0
где
(4.31)
65
ck  2 
Моделирование случайных процессов
0  t
1

;
2

1  40  t 2  k 2
(4.32)
0  t  0,5.
Суммирование производится до тех пор, пока коэффициенты ck не станут
пренебрежимо малы.
Рис. 4.14 Случайный процесс с нормальным распределением, корреляционной функцией вида (4.29) и экспоненциальным спектром (временная реализация и АКФ)
6) Случайный процесс с треугольной корреляционной функцией
1
 2
  (1  0   ),    ;
0
R ( )  
1

0,
  ;

0
G ( ) 
где x 
(4.33)
4 2 sin 2 x
 2 ,
0
x
(4.34)

.
0
Рис. 4.15 Треугольная корреляционная функция и спектральная плотность случайного
процесса
66
Моделирование случайных процессов
Алгоритм моделирования:
yn 

N
N 1
  xn  k ,
(4.35)
k 0
где
 1 
N  trunc 
.



t
 0

(4.36)
Рис.4.16 Случайный процесс с нормальным распределением и треугольной корреляционной функцией (временная реализация и АКФ)
Первые три вида случайных процессов относятся к классу случайных
процессов с рациональной спектральной плотностью. Для их моделирования
наиболее удобно применение рекуррентных алгоритмов, не имеющих методических погрешностей. Для остальных трех процессов, которые не относятся к
классу процессов с рациональной спектральной плотностью, был применён метод скользящего суммирования. Алгоритмы их моделирования являются приближенными, однако при увеличении количества слагаемых при суммировании
методическая погрешность может быть уменьшена.
Методы, позволяющие расширить класс моделируемых стационарных
нормальных случайных процессов
Существуют два метода, которые позволяют значительно расширить класс
моделируемых стационарных нормальных случайных процессов путём несложных преобразований рассмотренных выше алгоритмов.
67
Моделирование случайных процессов
а) Известно, что при суммировании нескольких независимых стационарных нормальных случайных процессов образуется стационарный нормальный случайный процесс, корреляционная функция которого равна
сумме корреляционных функций слагаемых, т.е. R( )  R1 ( )  R2 ( )   Следовательно, если корреляционная функция является суммой двух или нескольких корреляционных функций из рассмотренных выше, то реализацию случайного процесса можно сформировать путём суммирования двух
или нескольких независимых реализаций случайных процессов, полученных по типовым алгоритмам.
Пример 4.2
Пусть требуется получить реализацию нормального случайного процесса, корреляционная функция которого имеет вид:
R( )   2  exp(   )  [cos(1  )  cos(2  )] .
Такой случайный процесс можно представить в виде суммы двух процессов:
yn  y1n  y2 n ,
где y1n - случайный процесс с корреляционной функцией:
R1 ( )   2  exp(   )  cos(1  ) ,
а y2 n - случайный процесс с корреляционной функцией:
R2 ( )   2  exp(   )  cos(2  ) .
Для моделирования таких случайных процессов можно воспользоваться типовым алгоритмом (4.19):
y1n  a01 x1n  a11 x1n1  b11 y1n1  b21 y1n2 ;
y2 n  a02 x2 n  a12 x2 n1  b12 y2 n1  b22 y2 n2 ,
где x1 n и x2 n - независимые между собой нормальные случайные последовательности с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Коэффициенты a01, a11, b11, b21 рассчитываются в соответствии с выражениями (4.20),
используя значения параметров корреляционной функции R1 ( )  и 1 , коэффициенты a02 , a12 , b12 , b22 рассчитываются в соответствии с выражениями (4.20), но
используя уже значения параметров корреляционной функции R2 ( )  и 2 .
68
Моделирование случайных процессов
б) Из теории случайных процессов известна следующая теорема:
Если y1 (t ) и y2 (t ) - два стационарных нормальных центрированных и независимых случайных процесса с корреляционной функцией R ( ) , то случайный
процесс:
y(t )  y1 (t )  sin(   t )  y2 (t )  cos(  t )
(4.37)
будет также стационарным нормальным центрированным случайным процессом
с корреляционной функцией:
R ( )  R( )  cos(  ) .
(4.38)
Это позволяет легко моделировать нормальные случайные процессы с
корреляционной функцией вида (4.38), если известен алгоритм для моделирования нормального случайного процесса с корреляционной функцией R ( ) .
Для этого надо выработать дискретные реализации двух независимых
случайных процессов y1n и y2 n с корреляционными функциями R ( ) , а затем в
соответствии с (4.37) преобразовать их:
yn  y1n  sin(   nt )  y2 n  cos(  nt ) .
(4.39)
Пример 4.3
Пусть требуется получить реализацию нормального случайного процесса, корреляционная функция которого имеет вид:
R( )   2  exp(   )  cos(1  )  cos(2  )] .
Заметим, что известен алгоритм для моделирования нормального случайного
процесса с корреляционной функцией R1 ( )   2  exp(   )  cos(1  ) (4.17). Чтобы
сформировать реализацию требуемого процесса, необходимо по типовым алгоритмам получить две независимые реализации случайных процессов с такой
корреляционной функцией:
y1n  a0 x1n  a1 x1n1  b1 y1n1  b2 y1n2 ;
y2 n  a0 x2 n  a1 x2 n1  b1 y2 n1  b2 y2 n2 ,
где x1 n и x2 n - независимые между собой нормальные случайные последовательности с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Коэффициенты a0 , a1 , b1 , b2 рассчитываются в соответствии с выражениями (4.20),
используя значения параметров корреляционной функции R1 ( )  и 1 . Для по-
69
Моделирование случайных процессов
лучения требуемой реализации остается только подвергнуть y1 и y2 нелинейному преобразованию (4.39):
yn  y1n  sin( 2  nt )  y2 n  cos(2  nt ) .
4.3 Моделирование случайных процессов с распределениями
плотности вероятности, отличными от нормальной
Случайные процессы с распределениями плотности вероятности, отличными от нормальной, задаются обычно своими многомерными законами распределения плотности вероятности. При небольшом числе дискретных точек задачу моделирования такого процесса можно решить как задачу формирования
реализаций случайного вектора по заданному многомерному распределению.
Для этого надо применить один из рассмотренных выше способов, например,
метод условного распределения плотностей вероятностей или многомерный метод Неймана. Однако при формировании реализаций большой длины эти методы использовать проблематично.
Поэтому на практике, как правило, рассматривается более узкая задача
моделирования «ненормальных» стационарных случайных процессов, а именно, моделирование процессов по их одновременно заданным корреляционным
функциям и одномерным законам распределения плотности вероятности. Эта
задача сравнительно легко решается путем специально подобранных нелинейных преобразований соответствующих нормальных стационарных случайных
процессов.
Пусть в качестве исходного выбран стационарный нормальный случайный
процесс x(t ) . Как известно, всегда существует такое нелинейное безынерционное преобразование y  f (x) , которое превращает нормальную функцию плотности распределения вероятности W0 ( x) в заданную W ( y ) .
Если исходный нелинейный процесс x(t ) имеет корреляционную функцию
R0 ( ) , то преобразованный y (t ) будет иметь корреляционную функцию R ( ) , отличающуюся от R0 ( ) и связанную с ней зависимостью R   ( R0 ) . Вид этой зависимости определяется нелинейным преобразованием y  f (x) (рис. 4.17).
70
Моделирование случайных процессов
Рис.4.17 Преобразование исходного случайного процесса
Для того чтобы при моделировании корреляционная функция преобразованного процесса была требуемой, нужно выбрать корреляционную функцию
исходного процесса равной R0   1 ( R) , где  1 - обратная функция от  .
Таким образом, подготовительная работа перед моделированием случайных процессов с распределениями плотности вероятности, отличными от нормальной, состоит из следующих этапов:
1) нахождение по заданной плотности распределения вероятности W ( y )
нелинейного преобразования y  f (x) ;
2) получение по заданной функции y  f (x) зависимости  ( R0 ) ;
3) решение уравнения R   ( R0 ) относительно R0 , т.е. определение корреляционной функции R0 ( ) исходного процесса x(t ) ;
4) подготовка алгоритма для моделирования нормального случайного
процесса x(t ) с корреляционной функцией R0 ( ) .
На этом подготовительная работа заканчивается, а моделирование сводится к формированию дискретных реализаций x n нормального случайного
процесса x(t ) с корреляционной функцией R0 ( ) и преобразованию этих реализаций:
y n  f {xn } .
(4.40)
Следует отметить, что подготовительная работа является довольно трудоемкой. Ее можно упростить, если использовать особенность функции  ( R0 ) и
применять отличные от описанных нелинейные преобразования, например,
наличие на входе не одного, а двух нормальных случайных процессов.
71
Моделирование случайных процессов
4.4 Типовые алгоритмы моделирования стационарных случайных процессов с распространенными одномерными
законами распределения плотности вероятности
Случайный процесс с равномерным распределением
Пусть требуется получить дискретную реализацию стационарного случайного процесса, равномерно распределенного на интервале ( a, a ) и имеющего
корреляционную функцию R ( ) .
Корреляционную функцию случайного процесса можно представить в виде:
R( )  my2   y2  r ( ) .
Для стационарного случайного процесса, равномерно распределенного на интервале ( a, a ) , математическое ожидание будет равно нулю ( m y  0 ), а дисперсия 
2
y
2
2


a  (a) 
2a 


.
12
12
Тогда можно записать
R( )   y2  r ( ) 
( 2a ) 2
a2
 r ( ) 
 r ( ) ,
12
3
(4.41)
где r ( ) - нормированная корреляционная функция.
Для получения стационарного случайного процесса y (t ) с равномерным
распределением из нормального x(t ) достаточно последний подвергнуть нелинейному преобразованию с характеристикой нелинейности типа «сглаженный
ограничитель» (рис. 4.18).
Рис. 4.18 Характеристика нелинейности типа «сглаженный ограничитель»
Точное выражение для функции f (x) в случае, когда процесс x(t ) является нормальным с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией,
будет иметь вид:
72
f ( x)  2a  Ф( x)  0,5 
Моделирование случайных процессов
x
2
2a
  e t / 2 dt ,
2 0
(4.42)
где Ф(x) - функция Лапласа.
Корреляционную функцию процесса, получаемого с помощью такого преобразования, удается выразить через корреляционную функцию исходного
процесса:
R( ) 
 r ( ) 
 arcsin  0  .

 2 
2a 2
(4.43)
Определяем отсюда r0 ( ) и с учетом (4.41) получаем:
  a2

 



r0 ( )  2 sin  2  R( )   2 sin  2   r ( )   2 sin   r ( )  .
 2a

6

 2a 3

(4.44)
Поскольку нормированная корреляционная функция не может превышать
по модулю 1, т.е. r ( )  1 , то аргумент синуса в (4.44) лежит в пределах от 
до 

6

6
, и его можно заменить аргументом, внеся несущественную погрешность:
r0 ( )  2 

6
 r ( ) .
(4.45)
Кроме того, в задачах, не требующих высоких точностей, можно считать, что:
r0 ( )  r ( ) .
(4.46)
Таким образом, «сглаженный ограничитель», превращающий нормальный
случайный процесс в процесс с равномерным распределением, не искажает
энергетический спектр исходного процесса, и корреляционные функции процессов на его входе и выходе будут равны.
Следовательно, алгоритм моделирования случайного процесса, равномерно распределенного на интервале ( a, a ) , сводится к формированию реализации
нормального случайного процесса с заданной корреляционной функцией R ( ) и
его преобразованию (4.42).
73
Моделирование случайных процессов
Рис.4.19. Случайный процесс с равномерным распределением и экспоненциальной
корреляционной функцией (временная реализация)
Случайный процесс с распределением Релея
Аналитическое выражение для плотности закона распределения вероятности и статистические характеристики случайного процесса с законом Релея
(математическое ожидание M y и дисперсия  y2 ) были уже приведены выше в
2.4:
 y2 
;
W ( y )  2  exp  
2 

2



y

my 
2


 y2   2 
 ;
(4.47)

2
  .
2
Случайный процесс с распределением Релея получается в результате
преобразования:
y(t )  x12 (t )  x22 (t ) ,
(4.48)
где x1 (t ), x2 (t ) - нормальные случайные процессы с нулевым математическим
ожиданием и дисперсией  2 .
Можно показать, что корреляционная функция случайного процесса y (t )
будет выражаться через нормированную корреляционную функцию исходных
нормальных случайных процессов r0 ( ) следующим образом:
2
  1 2 2

 1  4
R( )     1     r0 ( )  
  r0 ( )   .
2
 24 
  2 


2
(4.49)
С учетом того, что r ( )  1 , можно ограничиться двумя первыми членами
разложения в ряд:
74
Моделирование случайных процессов
  1 2 2 
R( )     1     r0 ( ) .
2
  2 


(4.50)
2
С другой стороны, корреляционную функцию случайного процесса можно
представить в виде R( )  my2   y2  r ( ) .
Подставив значения математического ожидания и дисперсии из (4.47),
получим
R( ) 




 4 

  2   2     2  r ( )    2  1 
 r ( )  .
2
2
2
4




Сравнивая (4.50) и (4.51) и принимая, что
(4.51)
4  1
 , получим:
4
4
r ( )  r02 ( ) .
(4.52)
Таким образом, исходные нормальные случайные процессы должны иметь
корреляционную функцию, равную
r0 ( )  r ( ) .
(4.53)
К сожалению, этот метод пригоден только для случаев, когда заданная
корреляционная функция не принимает отрицательных значений.
.
Рис. 4.20 Случайный процесс с распределением Релея и экспоненциальной корреляционной функцией (временная реализация)
Для моделирования случайного процесса с распределением Релея-Райса
можно использовать эти же алгоритмы, добавляя параметр распределения a в
нелинейное преобразование.
75
Моделирование случайных процессов
Случайный процесс с экспоненциальным распределением
Аналитическое выражение для плотности закона распределения вероятности и статистические характеристики случайного процесса с экспоненциальным законом распределения (математическое ожидание M y и дисперсия  y2 )
были уже приведены выше в 2.4:
y 

 exp  
;
2 
2
 2 
1
1
  2 ; m y  2 2 ;  y2  2  4 4 .
2

W ( y )    exp(   y ) 
1
2
(4.54)
Алгоритм, позволяющий получить случайный процесс с таким законом
распределения, выглядит следующим образом:
y(t )  x12 (t )  x22 (t ) ,
(4.55)
где x1 (t ), x2 (t ) - нормальные случайные процессы с нулевым математическим
ожиданием и дисперсией  2 .
Можно показать, что корреляционная функция случайного процесса y (t )
будет выражаться через нормированную корреляционную функцию исходных
нормальных случайных процессов r0 ( ) следующим образом:


R( )  4 2  1  r02 ( ) .
(4.56)
Подставив значения математического ожидания и дисперсии из (4.54),
получим:
R( )  my2   y2  r ( )  4 4  4 4  r ( )  4 4  1  r ( ) .
(4.57)
Сравнивая (4.56) и (4.57), получаем: r0 ( )  r ( ) .
Таким образом, исходные нормальные случайные процессы должны иметь
корреляционную функцию равную:
r0 ( )  r ( ) .
(4.58)
В отличие от случая с законом распределения Релея равенство здесь точное.
Алгоритм моделирования при этом будет состоять из формирования реализаций нормальных случайных процессов с корреляционной функцией r0 ( ) и
нелинейного преобразования (4.55).
76
Моделирование случайных процессов
Этот метод также пригоден только для случаев, когда заданная корреляционная функция не принимает отрицательных значений.
Рис. 4.21 Случайный процесс с экспоненциальным распределением и экспоненциальной корреляционной функцией (временная реализация)
Случайный процесс с логарифмически-нормальным распределением
Аналитическое выражение для плотности закона распределения вероятности и
статистические характеристики случайного процесса с логарифмиче-
ски-нормальным законом распределения (математическое ожидание M y и дисперсия  y2 ) были уже приведены выше в 2.4:
W ( y) 
 (ln y) 2 
1
;
 exp  
2 
2    y
 2 
(4.59)
m y  e   ;  y2  e  (e  1)   2 .
Алгоритм, позволяющий получить случайный процесс с таким законом
распределения, имеет вид:
y(t )  exp   x(t ) ,
(4.60)
где x(t ) - нормальный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и дисперсией  2 .
Можно показать, что корреляционная функция случайного процесса y (t )
будет выражаться через нормированную корреляционную функцию исходного
нормального случайного процесса r0 ( ) следующим образом:
R( )   2  exp r0 ( )  1 .
(4.61)
77
Моделирование случайных процессов
С другой стороны, нормированная корреляционная функция случайного
процесса с логарифмически-нормальным законом распределения может быть
выражена следующим образом:
r ( ) 
R( )  my2
 y2
 2  e r ( )1  e   2 e r ( )  1
.


e  (e  1)   2
e 1
0
0
(4.62)
Откуда корреляционная функция исходного процесса:
r0 ( )  ln 1  e  1  r   .
(4.63)
Так как аргумент логарифма не может быть отрицательным, поэтому алгоритм
может быть использован лишь в тех случаях, когда значения корреляционной
1
функции превышают значение  , т.е.
e
1
r ( )    0,37 .
e
(4.64)
Рис.4.22 Случайный процесс с логарифмически-нормальным распределением и экспоненциальной корреляционной функцией (временная реализация)
4.5 Моделирование многомерных нормальных случайных
процессов
Под многомерными случайными процессами будем понимать совокупность
N стационарных и стационарно связанных между собой случайных процессов.
Корреляционные связи между ними существуют как во времени, так и в пространстве.
78
Моделирование случайных процессов
 x1 
 x1 
 x1 
 x2 
 x2 
 x2 
        ,
 ... 
 ... 
 ... 
x
x
 N 1  N  2
 x N  M
(4.65)
где n  1N - размерность многомерного случайного процесса;
m  1M - индекс дискретного времени (номер отсчета).
Для упрощения записи в дальнейшем будем обозначать многомерный случайный процесс как  n m .
Многомерные случайные процессы используются при моделировании многомерных (многоканальных) систем.
Рис. 4.23 Некоррелированные (а) и взаимокоррелированные (б) случайные процессы X
иY
Задача моделирования многомерных случайных процессов по их заданной
многомерной плотности распределения вероятности достаточно сложная, поэтому рассмотрим здесь только моделирование многомерных нормальных стационарных случайных процессов.
Многомерный дискретный нормальный стационарный случайный процесс
однозначно задается своей корреляционной матрицей:
79
R[k ]  Rnl k n,l 1.. N
Моделирование случайных процессов
 R11[k ]  R1N [k ] 
  

  ,
 RN 1[k ]  RNN [k ]
(4.66)
На главной диагонали корреляционной матрицы (при n  l ) находятся автокорреляционные функции случайных процессов. Остальные элементы корреляционной матрицы (при n  l ) представляют собой взаимнокорреляционные
функции случайных процессов. Матрица R[k ] является симметричной.
Иногда многомерные случайные процессы задаются своей спектральной
матрицей Fnl z n ,l 1.. N . Корреляционная и спектральная матрицы однозначно связаны между собой через многомерное преобразование Фурье:
Ф
Fnl zn,l 1.. N 
Rnl k n,l 1.. N .
(4.67)
Задачу цифрового моделирования многомерных нормальных случайных
процессов сформулируем следующим образом. Пусть задана корреляционная
матрица случайного процесса. Требуется отыскать алгоритм для формирования
на ПК дискретных реализаций случайного процесса с заданными корреляционными свойствами.
Для решения этой задачи воспользуемся, как и ранее, идеей формирующего линейного фильтра. В данном случае речь идет о синтезе многомерного
формирующего
фильтра
(рис. 4.24).
N -мерный
линейный
формирующий
фильтр определяется как линейная динамическая система с N входами и N
выходами.
Рис. 4.24 Многомерный формирующий фильтр
Если X n m - входное воздействие, а Yn m - выходное, то связь между входом и выходом многомерного дискретного фильтра будет определяться выражением:
Yn ( z)  K nl ( z) X n ( z),
где
Yn (z) , X n (z )
(4.68)
- изображения выходных и входных сигналов в смысле дис-
кретного преобразования Лапласа ( Z -преобразования);
80
K nl (z)
Моделирование случайных процессов
- передаточная матрица дискретного многомерного фильтра.
Например, для двумерного случая она будет выглядеть следующим образом:
 K ( z ) K12 ( z ) 
K nl ( z )   11
,
 K 21 ( z ) K 22 ( z )
(4.69)
где каждый элемент матрицы является передаточной функцией одномерного
фильтра.
Если раскрыть (4.68), то получим следующее выражение:
Y1 ( z )  K11 ( z )  X 1 ( z )  K12 ( z )  X 2 ( z );
Y2 ( z )  K 21 ( z )  X 1 ( z )  K 22 ( z )  X 2 ( z ).
(4.70)
Рис. 4.25 Структурная схема двумерного формирующего фильтра
Фильтры K11 и K 22 обеспечивают автокорреляцию, а фильтры K12 и K 21 взаимную корреляцию случайных процессов, так как в образовании выходных сигналов Y1 и Y2 принимают участие одни и те же отсчеты входных сигналов X 1 и X 2 .
Пусть на вход N -мерного линейного формирующего фильтра подан N мерный белый шум, т.е. процесс с корреляционной матрицей вида:
 [k ]  0 
Rnl [k ]   nl [k        .
 0   [k ]
(4.71)
Такой случайный процесс будем называть многомерным белым шумом. Он
определен как совокупность N независимых между собой  -коррелированных
случайных процессов.
При воздействии многомерного белого шума на вход формирующего фильтра спектральная матрица на его выходе будет иметь следующий вид:
Fnl z   K nl z  K nl z 1 T ,
(4.72)
81
Моделирование случайных процессов
где z 1 - дискретное преобразование Лапласа.
Из этого выражения следует, что для получения многомерного случайного
процесса Y с заданной спектральной матрицей Fnl z  , необходимо пропустить
многомерный белый шум через многомерный формирующий фильтр с передаточной матрицей K nl z  .
Для получения передаточной матрицы K nl z  необходимо заданную спектральную матрицу представить в виде двух сомножителей, и такая процедура
называется факторизацией. Это процедура достаточно трудоемка.
Сама фильтрация осуществляется следующим образом:
1) Формируются реализации дискретного белого шума X 1 , X 2 , X 3 , ;
2) Пропускаются соответствующие реализации белого шума через одномерные фильтры с передаточными функциями K11, K12 , K 21 , ;
3) Реализации выходных сигналов образуются путем суммирования результатов прохождения белого шума через соответствующие одномерные
фильтры.
Пример 4.4
Пусть требуется получить реализацию двумерного нормального случайного
процесса с корреляционной матрицей следующего вида:
  12  exp( 1  )
   1   2  exp( 12  )
R( )  
.
 22  exp(  2  ) 
    1   2  exp( 12  )
Каждая составляющая случайного процесса на выходе многомерного формирующего фильтра будет представлять собой сумму:
y1k  y11k  y12 k ;
y2 k  y21k  y22 k ,
где
 y11k - результат прохождения белого шума через формирующий фильтр, позволяющий получить случайный процесс с экспоненциальной корреляционной
функцией R11 ( )  12  exp( 1  ) .
Такой алгоритм рассматривался ранее (4.16), он имеет вид:
y11k  1  y11k 1   1  1  12  x1k ;
82
Моделирование случайных процессов
1  exp( 1  t ) ;
 y12 k - результат прохождения белого шума через формирующий фильтр, позволяющий
получить
случайный
процесс
с
корреляционной
функцией
R12 ( )   1  2  exp( 12  ) .
Алгоритм будет иметь вид:
y12 k  12  y12 k 1   12  1  122  x2 k ;
12  exp( 12  t ) ,  12   1 2 ;
 y21k - результат прохождения белого шума через аналогичный фильтр, поэтому алгоритм формирования будет такой же, как и ранее (только обратите внимание, что входное воздействие – другое!):
y21k  12  y21k 1   12  1  122  x1k ;
 y22 k - результат прохождения белого шума через формирующий фильтр, позволяющий получить случайный процесс с экспоненциальной корреляционной
2
функцией R22 ( )   22
 exp(  2  ) .
Алгоритм будет иметь следующий вид:
y22 k   2  y22 k 1   2  1   22  x2 k ;
2  exp( 2  t )
Здесь x1 k и x2 k - независимые между собой нормальные случайные последовательности с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями.
Рис.4.26 Двумерный случайный процесс
83
Моделирование случайных процессов
4.6 Моделирование нестационарных случайных процессов
Нестационарным случайным процессом называется такой процесс, у которого хотя бы одна статистическая характеристика зависит от времени.
При моделировании различают следующие типы нестационарностей:

по математическому ожиданию (среднему);

по дисперсии (среднеквадратическому отклонению);

по корреляционной функции (спектральной плотности);

по виду плотности распределения вероятности;

сложные виды нестационарностей.
Моделирование нестационарности по математическому ожиданию
При моделировании нестационарности по математическому ожиданию
нормальный случайный процесс представляют в виде суммы:
y n  xn  a n ,
(4.73)
где a n - неслучайная функция времени;
x n - стационарный случайный процесс.
Функция a n является моделируемым (медленноменяющимся) математическим ожиданием (средним). Если x n рассматривать как помеху, а a n - как сигнал, то такая помеха будет аддитивной.
Рис. 4.27 Случайный процесс x n (помеха), полезный сигнал a n и
случайный процесс y n , нестационарный по среднему
84
Моделирование случайных процессов
Такая процедура возможна только для нормальных случайных процессов,
так как они не изменяют свое распределение при линейных операциях. Для
всех остальных законов распределения необходимо использовать зависимости,
определяющие связь статистических характеристик с параметрами распределения.
Моделирование нестационарности по дисперсии
При моделировании нестационарности по дисперсии для нормальных случайных процессов используют следующую зависимость:
yn  bn  xn ,
(4.74)
где x n - стационарный случайный процесс,
bn - неслучайная функция времени, обычно медленноменяющаяся.
Если x n рассматривать как помеху, а bn - как сигнал, то такая помеха
называется мультипликативной.
Рис. 4.28 Полезный сигнал bn и случайный процесс y n , нестационарный по дисперсии
Для законов распределения, отличных от нормального, необходимо использовать зависимости статистических характеристик от параметров распределения.
85
Моделирование случайных процессов
Моделирование нестационарности по корреляционной функции (спектральной плотности) и одномерной плотности
Процессы, нестационарные по спектральной плотности (корреляционной
функции), изменяют свои частотные свойства во времени. Они возникают в нестационарных линейных системах управления.
Процессы, нестационарные по плотности распределения, встречаются в
нестационарных нелинейных системах, когда нелинейные характеристики отдельных блоков зависят от времени.
При моделировании нестационарностей по корреляционной функции
(спектральной плотности) или одномерной плотности обычно используют кусочно-стационарные случайные процессы.
Рис. 4.29 Разбиение интервала моделирования на подынтервалы,
соответствующие стационарным случайным процессам
Процессы со сложными видами нестационарности
Процессы со сложными видами нестационарности трудно охарактеризовать общими свойствами. Они образуются в виде комбинации рассмотренных
выше видов нестационарностей.
86
Моделирование случайных потоков
5. Моделирование случайных потоков
Случайные потоки событий являются специфичным классом случайных
процессов. Они определяют случайные моменты времени t1 , t2 ,, tn , в которые
происходят некоторые события (рис. 5.1).
Рис. 5.1 Случайный поток
Случайные потоки широко используются в качестве математических моделей в задачах, связанных с исследованием систем массового обслуживания, в
задачах приема импульсных сигналов, в задачах надежности.
В общем случае случайные потоки задаются с помощью многомерной
плотности распределения вероятностей интервалов времени  n между двумя
соседними событиями:
W  1 , 2 ,, n  ,
(5.1)
где  n  t n  t n1 ; t0  0 .
При таком задании случайных потоков моделирование их сводится к формированию реализаций случайных векторов с законом распределения (5.1),
для чего могут быть использованы известные методы.
Моменты наступления событий при этом
определяются по простой ре-
куррентной формуле:
tn  tn1   n .
(5.2)
Случайные потоки столь общего вида встречаются в приложениях достаточно редко. Обычно рассматриваются так называемые потоки с ограниченным последействием, у которых интервалы  1 , 2 ,, n статистически независимы, т.е. многомерную плотность распределения вероятностей можно представить в виде произведения одномерных:
W  1 , 2 ,, n   W1 1  W2  2  Wn  n  .
(5.3)
В этом случае эти потоки задаются последовательностью одномерных законов распределения Wn  n  .
87
Моделирование случайных потоков
Случайные потоки, у которых одномерные плотности равны между собой,
т.е. W1  1   W2  2     Wn  n   W   , называются рекуррентными стационарными потоками. Они определяются только одним одномерным законом W   .
К таким потокам относится, в частности, широко распространенный пуассоновский поток, у которого закон распределения интервалов времени между
событиями экспоненциальный:
W      e  ,
(5.4)
где  имеет смысл интенсивности потока (интенсивность – количество событий
в единицу времени).
Математическое ожидание интервала времени между событиями является
величиной, обратно пропорциональной интенсивности потока:
M
1

.
(5.5)
Моделирование пуассоновских потоков осуществляется достаточно просто.
Для этого необходимо
1) получить реализацию случайной величины  n с экспоненциальным законом распределения (5.4):
 n    ln  xn ,

1
(5.6)
где x n - реализация случайной величины, равномерно распределенной от 0 до
1.
2) вычислить моменты наступления событий:
tn  tn1   n , t0  0 .
(5.7)
88
Моделирование случайных полей
6. Моделирование случайных полей
Случайными полями называются случайные функции многих переменных.
Обычно их четыре - x, y, z, t , где x, y, z – пространственные координаты, t – временная координата.
Обозначим случайное поле следующим образом:
 x, y, z, t    r, t  , где r  x, y, z T .
(6.1)
Примерами случайных полей являются электромагнитные поля, диаграммы вторичного излучения радиолокационных целей, на формирование которых
оказывают влияние множество случайных факторов, например, статистически
неровные поверхности, в частности, земная и морская поверхности.
Случайные поля могут быть скалярными (одномерными) и векторными
(многомерными). Если каждой точке поля соответствует какое-то одно значение, например, высота местности над уровнем моря, то такое поле называется
скалярным. Если каждая точка хранит два значения (например, амплитуду и
фазу переотражения), то такое поле является векторным.
В общем случае случайное поле задается своей многомерной плотностью
распределения вероятности. При   0 W 1 ,  2 ,,  n  .
Если статистические характеристики поля не зависят от начала отсчета
времени, а только от временного сдвига   t2  t1 , то такие поля называются стационарными. Если еще и перенос начала отсчета пространственных координат
не влияет на статистические характеристики поля, а зависят только от сдвига
  r2  r1 , то такие поля называются однородными по пространству.
Как и ранее, под задачей моделирования случайных полей будем понимать разработку алгоритмов для формирования на ПК дискретных реализаций
случайного поля  xi , y j , zk , tn  . При этом полагается, что исходным материалом
при моделировании случайных полей являются независимые случайные числа.
Совокупность таких чисел рассматривается как  -коррелированное случайное
поле или просто  -поле.  -поле является обобщением дискретного белого шу-
89
Моделирование случайных полей
ма на случай нескольких переменных. Моделирование такого поля осуществляется весьма просто: пространственно-временной координате xi , y j , z k , t n  ставится в соответствие выбранное значение x числа из датчика нормальных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
В общем случае, если известен многомерный закон распределения, случайное поле можно моделировать как случайный многомерный вектор, используя известные методы. На практике это оказывается достаточно трудоемко.
Упрощения можно добиться, если разработать алгоритмы для специальных
классов случайных полей. Рассмотрим здесь только моделирование стационарных однородных скалярных нормальных случайных полей.
Такие поля полностью задаются своими пространственно-временными
корреляционными функциями:
R(  , )  M  r, t    r   , t   .
(6.2)
Математическое ожидание предполагается равным нулю.
Пространственно-временная корреляционная функция связана со спектральной
плотностью случайного поля через четырехмерное преобразование Фурье
(обобщение Винера-Хинчина):
G ( s,  ) 
 
  R(  , )  exp  j sp   dpd ,
(6.3)

где s - пространственная частота;
 - обычная циклическая частота;

sp - скалярное произведение векторов s x , s y , s z

T
и  px , p y , pz  .
T
При моделировании случайных полей используют (как и при моделировании случайных процессов) методы скользящего суммирования и рекуррентных
уравнений.
6.1 Моделирование случайных полей
методом скользящего суммирования
Неограниченные дискретные реализации однородного стационарного поля можно сформировать с помощью алгоритмов пространственно-временного
90
Моделирование случайных полей
скользящего суммирования  -поля, аналогичных алгоритмам скользящего суммирования для моделирования случайных процессов.
Пусть задана импульсная характеристика пространственно-временного
фильтра (ПВФ)
h( r , t ) , формирующего из  -поля случайное поле с заданной
спектральной или корреляционной функциями.
Рис. 6.1 Формирование случайного поля с заданными характеристиками
из  - поля
Если она не задана, то ее можно найти через передаточную функцию ПВФ
K(js,jω) или заданную спектральную плотность случайного поля:
 
h( r , t ) 

1
1
   K ( js, j )  e j ( sp ) dsd     G( s,  )  cos( sp   )  dsd .
2 
 00
(6.4)
Также как и в одномерном случае, используется идея формирующего
фильтра, а сам процесс пространственно-временной фильтрации  -поля получается в виде:
  

 [i, j , k , n]  x  y  z  t      h[ p, q, l , m]  X  [i  p, j  q, k  l , n  m] ,
p q
l m 0
(6.5)
где X  [] - исходное  -поле.
Суммирование осуществляется по всем значениям p, q, l , m , при которых
слагаемые не являются пренебрежимо малыми или равными нулю.
Подготовительная работа и процесс суммирования упрощаются, если
функцию h( r , t ) можно представить в виде произведения:
h(r , t )  h1 ( x)  h2 ( y)  h3 ( z )  h4 (t );
h( p, q, l , m)  h( p)  h(q)  h(l )  h(m).
.
(6.6)
В этом случае корреляционная функция может быть представлена в виде
произведения:
R( x, y, z, t )  R1 ( x)  R2 ( y)  R3 ( z )  R4 (t ) .
(6.7)
91
Моделирование случайных полей
Это позволяет свести сложный процесс четырехкратного суммирования к
повторному применению однократного скользящего суммирования.
Пример 6.1
Пусть импульсная характеристика пространственного фильтра для формирования плоского скалярного поля имеет вид:
2
2
2
2
h( x, y)  e( ax) (by)   e( ax)  e(by) .
Тогда в соответствии с (6.5), получаем:




 [i, j ]  x  y   e ( ax)  e (by )  X  [i  p, j  q]  x  y   e ( ax)   e (by )  X  [i  p, j  q] 
2
2
p 0 q  0
p 0
2
2
q 0




2
2
 x   e ( ax)   y   e (by )  X  [i  p, j  q ] .
p 0
q 0


Заменяем двукратное суммирование двумя однократными скользящими суммированиями:

 1[i, j ]  y   e (by)  X  [i, j  q] ;
2
q 0

 [i, j ]  x   e ( ax)   1[i  p, j ] ,
2
p 0
где x  p  x ; y  q  y ,
p и q - номера отсчетов по осям x и y соответственно;
x - шаг дискретизации по оси x ;
y - шаг дискретизации по оси y .
Отметим, что при первом суммировании обеспечивается корреляция вдоль оси
y , а при втором – вдоль оси x .
6.2 Моделирование случайных полей
с помощью рекуррентных уравнений
Как и ранее при моделировании случайных процессов, рекуррентные
уравнения могут быть использованы только для тех случайных полей, спектральная
плотность
которых
может
быть
представлена
в
виде
дробно-
рациональной функции.
Моделирование в этом случае сводится к последовательному применению
одномерных алгоритмов фильтрации.
92
Моделирование случайных полей
Пример 6.2
Пусть требуется получить случайное поле, имеющее корреляционную функцию
вида:
R( x, y)  e  ax  e by .
1) Сформируем  -поле нужной размерности и заполняем его независимыми отсчетами с нормальным законом распределения X  (i, j ) .
2) С помощью алгоритмов моделирования случайных процессов (в данном случае с экспоненциальной корреляционной функцией) производим фильтрацию
вдоль оси x :
 '[i, j ]   x   [i  1, j ]  1   x2  X  [i, j ] ;
 x  e  ax  const .
3) Производим аналогичную процедуру фильтрации вдоль оси y :
 [i, j ]   y   [i, j 1]  1   y2   '[i, j ] ;
 y  e ay  const .
4) Делаем нормировку по математическому ожиданию и среднеквадратическому
отклонению.
6.3 Моделирование случайных полей с законами распределения, отличными от нормального
Моделирование таких случайных полей осуществляется путем соответствующего нелинейного преобразования случайного поля с нормальным законом распределения. Используются известные методы (см. моделирование случайных процессов с различными законами распределения), например, для
релеевского  [i, j ] 
1[i, j ]2   2 [i, j ]2
.
93
Лабораторный практикум
7. Лабораторный практикум
«Моделирование радиосигналов и радиопомех»
7.1 Описание
Лабораторный практикум состоит из 11 работ:

Моделирование радиосигналов методом несущей

Моделирование радиосигналов методом комплексной огибающей

Моделирование радиосигналов методом структурных схем

Моделирование случайных значений радиосигналов (радиопомех) с
различными законами распределения

Моделирование случайных значений радиосигналов (радиопомех) с
нормальным законом распределения и различными корреляционными (спектральными) характеристиками

Моделирование случайных значений радиосигналов (радиопомех) с
законами распределения, отличными от нормального, и различными
корреляционными (спектральными) характеристиками

Моделирование нестационарных случайных процессов

Моделирование многомерных случайных процессов

Моделирование случайных потоков

Моделирование случайных полей

Моделирование прохождения смеси сигнала с помехой через радиотехническое устройство
Рис. 7.1 Внешний интерфейс программы
94
Лабораторный практикум
Для выполнения работ студенты должны:
 иметь навыки работы с персональным компьютером, уметь работать в операционной системе Windows, знать особенности работы в локальной вычислительной сети;
 уметь программировать на алгоритмическом языке Pascal, используя интегрированную среду Borland Delphi;
 знать основные виды радиосигналов, их свойства, методы и технические
средства их формирования и обработки;
 иметь
представление
о
принципах
построения
основных
видов
радиоэлектронных устройств и функциональных узлов;
 знать
основы
схемотехники
аналоговых
и
цифровых
электронных
устройств;
 знать дифференциальное и интегральное исчисление, преобразования
Фурье и Лапласа, основы теории вероятности и теории случайных
процессов;
 владеть
понятиями
корреляционной
дискретной
функции,
свертки,
спектра,
иметь
плотности
вероятности,
представление
о
методе
формирующего фильтра.
Лабораторные работы выполняются студентами в компьютерных классах
университета.
Все работы начинаются с ввода учетной информации (рис. 7.2):

номера группы,

порядкового номера студента по списку в группе,

фамилии и инициалов студента,

фамилии и инициалов преподавателя, проводящего занятие.
При вводе осуществляется проверка правильности заполнения соответству-
ющих полей:
 Номер группы должен состоять из четырех символов и начинаться с «И»
или «I» в нижнем или верхнем регистре.
 Порядковый номер студента в группе должен состоять из двух символов.
95
Лабораторный практикум
Рис. 7.2 Окно ввода учетной информации
Учетная информация сохраняется в служебном файле и используется в
дальнейшем
при формировании
заданий
и
создании
текстовых
файлов-
протоколов работ.
После нажатия клавиши «Далее» происходит переход к следующему
экрану, на котором приведен перечень лабораторных работ практикума (рис.
7.3). Работы, имеющие задание для студента, выделены «бледным» цветом
(при первом запуске все работы имеют «яркий» цвет).
Рис. 7.3 Окно выбора выполняемой лабораторной работы
96
Лабораторный практикум
Здесь необходимо с помощью манипулятора «мышь» выбрать одну из работ и нажать кнопку «Далее». После этого случайным образом формируется задание на работу (если его не было) и создается текстовый файл-протокол, в
который записывается введенная учетная информация и задание на работу.
Если задание на работу было сформировано ранее, то оно заново не генерируется.
На следующем экране в режиме просмотра выводится текстовый файлпротокол, с которым студент имеет возможность ознакомиться. Пример файлапротокола приведен на рис. 7.4.
После этого по нажатию кнопки «Готово» происходит переход в среду
программирования Borland Delphi.
Рис. 7.4 Пример файла-протокола
97
Лабораторный практикум
В Delphi для облегчения работы студентов предлагается, так называемая,
шаблон-программа Lr?Data.pas. Программу в процессе выполнения работы требуется дополнить и отредактировать в соответствии со своим заданием. В нее
можно вносить любые изменения, вплоть до полного удаления и составления
своей программы.
Для демонстрационного запуска программы все константы и массивы в
ней заполнены произвольными значениями. Пример шаблон-программы приведен на рис. 7.5.
Рис. 7.5 Пример шаблон-программы
7.2 Примеры заданий и результатов
выполнения лабораторных работ
Лабораторная работа №1.
Моделирование радиосигналов методом несущей
Задание: с помощью метода несущей провести моделирование радиосигнала,
модулированного по амплитуде.
98
Лабораторный практикум
Закон изменения амплитуды:
A(t )  A0  1  ma  B(t ) ,
 t  n T
2  T , n  T  t  n  T  T / 2,
B (t )  
2  1  t  n  T , n  T  T / 2  t  (n  1)  T , n  0,1,2,,
 
T 
где ma = 0,6;
T = 2,2 мс;
A0 = 1,2 мВ.
Несущая частота 0 = 50 крад/с, начальная фаза  0 =180 град.
Время моделирования выбрать таким образом, чтобы в него вошло 2-3
периода модулирующего колебания. Интервал дискретизации по времени
выбрать самостоятельно.
После моделирования сигнала провести его обработку с помощью линии
задержки (задержка равна 2,2 мс).
Рис. 7.6 Радиосигнал, модулированный по амплитуде, до и после линии задержки
99
Лабораторный практикум
Лабораторная работа №2.
Моделирование радиосигналов методом комплексной огибающей
Задание:
с
помощью
метода
комплексной
огибающей
провести
моделирование радиосигнала, модулированного по амплитуде.
Время моделирования выбрать таким образом, чтобы в него вошло 2-3
периода модулирующего колебания. Интервал дискретизации по времени
выбрать самостоятельно.
Закон изменения амплитуды:
t  n T 

A(t )  A0  1  ma 
,
T 

n  T  t  (n  1)  T ,
n =0, 1, 2, ...,
где ma = 0,5;
T = 1,2 мс;
A0 = 4,9 мВ.
Начальная фаза  0 = 60 град.
После моделирования сигнала провести его обработку с помощью
амплитудного ограничителя (уровень ограничения равен 3,4 В).
Рис. 7.7 Квадратурные составляющие комплексной огибающей радиосигнала
100
Лабораторный практикум
Лабораторная работа №3.
Моделирование радиосигналов методом структурных схем
Задание: c помощью метода структурных схем разработать модель РЛС,
находящейся на подвижном носителе, и сопровождающей неподвижную цель.
Исходные данные:
X РЛС = -10 км, YРЛС = 75 км,
X Ц нач = 50 км, YЦ нач = 0 км,
Wx РЛС = 200 м/с, Wy РЛС = 0 м/с,
aX = 1 м/с2, aY = 0 м/с2.
Предполагается, что:

антенна РЛС направлена вверх вдоль оси Y ;

амплитуда сигнала обратно пропорциональна 2-ой степени D ;

максимальное значение амплитуды сигнала (при Dмин ) равно 1 мВ;

зависимость амплитуды сигнала от формы ДН можно не учитывать.
Требуется получить зависимости расстояния между РЛС и целью D(t ) и
амплитуды сигнала от времени.
Рис. 7.8 Зависимости амплитуды сигнала и расстояния от РЛС до цели от времени
101
Лабораторный практикум
Лабораторная работа №4.
Моделирование случайных значений радиосигналов (радиопомех) с
различными законами распределения
Задание: используя любой из методов моделирования случайных величин с
заданным
законом
распределения,
получать
случайные
значения
разработайте
сигнала
алгоритм,
(помехи),
позволяющий
распределенные
в
соответствии с W (x ) .
Треугольное распределение:
0, x  a;

 2  ( x  a)
W ( x)  
, a  x  b;
2
 b  a 
0, x  b.
где a  0,4 ; b  0,3 .
Рис. 7.9 Гистограмма случайных значений сигнала (помехи)
с треугольным законом распределения W (x )
Лабораторная работа №5.
Моделирование случайных значений радиосигналов (радиопомех) с
нормальным законом распределения и различными корреляционными
(спектральными) характеристиками
Задание:
произвести
моделирование
случайных
значений
радиосигнала
(помехи) с нормальным законом распределения (математическое ожидание M ,
102
среднеквадратическое
отклонение
S)
Лабораторный практикум
и
нормированной
корреляционной
функцией R (t ) .
R[0]  1 ; R[2]  0,5 ; R[ n]  0 ;
где n = 1, 3, 4, ...
t  1,5 ; M  14,2 ; S  85,9 .
Рис. 7.10 Результат выполнения задания: корреляционные функции (заданная и полученная) и гистограмма распределения значений радиосигнала
(радиопомехи) с нормальным законом распределения
Лабораторная работа №6.
Моделирование случайных значений радиосигналов (радиопомех) с
законами распределения, отличными от нормального, и различными
корреляционными (спектральными) характеристиками
Задание: произвести моделирование случайных значений радиосигнала (помехи) с законом распределения, отличным от нормального, и нормированной
103
Лабораторный практикум
корреляционной функцией R (t ) (интервал дискретизации по времени t , среднеквадратическое отклонение S ).
Закон распределения:
0, x  0;

W ( x)   x
 x2 
  2 , x  0.

exp
S2
 2S 

Корреляционная функция:
R(t )  exp    t   1    t  ,
2
где   0,206 .
t  0,7 ; M  8,7 ; S  6,9 .
Рис. 7.11 Результат выполнения задания: корреляционные функции (заданная
и полученная) и гистограмма распределения значений радиосигнала
(радиопомехи) с заданным законом распределения
Лабораторная работа №7.
Моделирование нестационарных случайных процессов
Задание:
произвести
моделирование
случайных
значений
(помехи), нестационарного по корреляционной функции.
радиосигнала
104
Лабораторный практикум
Закон распределения – нормальный.
Корреляционная функция: R( )   2  exp     .
Параметр корреляционной функции  меняется по закону:
 (t )   0  1  10  B(t ),
1, n  T  t  n  T  1 ,
B(t )  
0, n  T  1  t  (n  1)  T , n  0,1,2,,
где  (t ) - Параметр корреляционной функции  ,
 0 - его номинальное значение.
Математическое ожидание M = 70,6 мкВ, параметр  0 = 0,27 с-1.
Среднеквадратическое отклонение  = 24,1 мкВ.
Период дискретизации t = 0,9 с, время моделирования Tм од = 900 с.
Период T = 225 с, время  1 = 110 с.
Рис. 7.12 Результат выполнения задания
105
Лабораторный практикум
Лабораторная работа №8.
Моделирование многомерных случайных процессов
Задание: сформировать дискретные реализации помехи, поступающей на вход
радиотехнической системы, имеющей нормальный закон распределения с нулевым средним и корреляционную матрицу:
R11 ( )
R( )  R21( )
R12 ( )
R13 ( )
R22 ( ) R23 ( ) ,
R31 ( ) R32 ( ) R33 ( )
где R21( )  R12 ( ) ;
R13 ( )  R31( ) ;
R11( )  12  exp  1   ;
R21( )  0 ;
R31( )  31  1   3  exp  31    cos31   ;
R23 ( )  R32 ( ) ;
R22 ( )   22   ( ) ;
R32 ( )  0 ;
R33 ( )   32  exp  3   .
Исходные данные:
Время моделирования: Tм акс = 0,5 с.
Интервал дискретизации по времени: t = 0,0005 с.
 1 = 5 мкВ;  2 = 5 мкВ;  3 = 2 мкВ;
31  0,8427 ; 1 = 33,33 с-1;  3 = 20 с-1;  31 = 50 с-1; 31 = 157,08 с-1.
Рис. 7.13 Результат выполнения задания работы
106
Лабораторный практикум
Лабораторная работа №9.
Моделирование случайных потоков
Задание: сформировать случайный поток событий, имитирующих поступление
импульсных помех на вход радиоприемника и имеющего экспоненциальный закон распределения интервалов времени  между событиями:
W ( )    exp     .
 3t 
 .
Интенсивность потока I изменяется во времени по закону: I (t )  I макс  exp  
T
 мод 
Время моделирования Tм од = 60 с.
Интервал дискретизации по времени t = 0,02 с.
Максимальная интенсивность I м акс = 10 с-1.
Рис. 7.14 Случайный поток событий с экспоненциальным законом
распределения интервалов времени между событиями
107
Лабораторный практикум
Лабораторная работа №10.
Моделирование случайных полей
Задание: разработать модель случайного цифрового поля, имеющего нормальное распределение и корреляционную функцию вида
R( x, y)  D  exp(  X  x  Y  y)  cos(X  x)  cos(Y  y) .
Размерность поля N X  NY  90  90 .
Шаг дискретизации по пространственным координатам – 1 м.
Параметры распределения и корреляционной функции: математическое
ожидание M  3 , дисперсия D  1 ,  X  0.05 , Y  0.05 , X  2 / 30 , Y  2 / 30 .
Рис. 7.15 Случайное цифровое поле, имеющее нормальное распределение
и корреляционную функцию вида R( x, y)  D  exp(  X  x  Y  y)  cos(X  x)  cos(Y  y)
Лабораторная работа №11.
Моделирование прохождения смеси сигнала с помехой
через радиотехническое устройство
Задание: произвести моделирование прохождения смеси сигнала с помехой через
радиотехническое устройство
108
Лабораторный практикум
Аналитический вид сигнала: s(t )  A0  cos2  F (t )  t  0  ,
где F (t )  F0  F  t  n  T  / T , где n =0, 1, 2, ...
Параметры сигнала: амплитуда A0 = 4 В, начальная фаза  0 = 180 град, несущая F0 = 0,1 МГц, F = 0,05 МГц, период T = 200 мкс, интервал дискретизации
t = 1 мкс, время моделирования Tм од = 0,3 мс.
Помеха представляет собой нормальный белый шум с выбросами на концах.
Параметры помехи: дисперсия  2 = 16 В2, вероятность сбоев Pсб = 10 %, амплитуда сбойных отсчетов Aсб = 24 В.
Устройство обработки - ограничитель + избирательный усилитель.
Параметры устройства обработки: уровень ограничения U 0 = 3,2 В, максимальный
коэффициент усиления К макс  1000 , центральная частота Fр = 0,1 МГц, полоса
пропускания FУ = 0,01 МГц.
Рис. 7.16 Результат выполнения задания
109
Библиографический список
1.
Борисов Ю.П. Математическое моделирование радиосистем – М.: Радио и связь, 1976.
2.
Борисов Ю.П., Цветнов В.В. Математическое моделирование радиоэлектронных устройств и систем – М.: Радио и связь, 1985.
3.
Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. – М.: Наука, 1978.
4.
Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике
– М.: Сов. радио, 1971.
5.
Егоренков Д.Л., Фрадков А.Л., Харламов В.Ю. Основы математического моделирования. Построение и анализ моделей с примерами на языке MATLAB. Учебное пособие – БГТУ, СПб, 1994.
6.
Емельянов В.Ю. Методы моделирования стохастических систем управления. Учебное пособие для ВУЗов. – СПб, БГТУ, 2004.
7.
Иванов Ю.В. и др. Моделирование радиотехнических устройств и систем. Учебное пособие – Л.: ЛМИ, 1988.
8.
Моделирование в локации. Под ред. Леонова А.И.- М.: Сов.радио,1979
9.
Петрович М.Л., Давидович М.И. Статистическое оценивание и проверка гипотез на ЭВМ. – М.: Финансы и статистика, 1989.
10. Петров Ю.В. Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Математическое моделирование радиосигналов и радиопомех (DOS-версия)» – СПб.: БГТУ, 1995.
11. Полляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. – М.: Сов.радио, 1971.
12. Тихонов В.И. Статистический анализ и синтез радиотехнических
устройств и систем. – М.: Радио и связь, 1991.
13. Цифровое моделирование систем стационарных случайных процессов/
Е.Г.Гридина и др. – Л.: Энергоатомиздат, Лен.отд-ние, 1991.
14. Шалыгин А.С., Палагин Ю.И. Прикладные методы статистического моделирования. – Л.: Машиностроение, Ленинград. отд-ние, 1986.
110
Оглавление
Введение ........................................................................................................................... 3
1. Моделирование радиосигналов .................................................................................. 11
1.1 Моделирование методом несущей ......................................................................... 11
1.2 Метод комплексной огибающей ............................................................................ 13
1.3 Метод структурных схем ........................................................................................ 27
1.4 Метод статистических эквивалентов ..................................................................... 29
2. Моделирование случайных величин .......................................................................... 32
2.1 Метод нелинейного преобразования, обратного функции распределения.......... 32
2.2 Метод Неймана ....................................................................................................... 33
2.3 Метод кусочной аппроксимации ............................................................................ 34
2.4 Типовые алгоритмы моделирования случайных величин с наиболее
распространенными законами распределения ........................................................... 37
3. Моделирование случайных векторов ......................................................................... 47
3.1 Метод условных распределений ............................................................................ 47
3.2 Многомерный метод Неймана ................................................................................ 48
3.3 Метод линейного преобразования ......................................................................... 49
4. Моделирование случайных процессов ....................................................................... 53
4.1 Моделирование нормальных случайных процессов ............................................. 53
4.2 Типовые алгоритмы моделирования нормальных случайных процессов с часто
встречающимися корреляционными функциями ....................................................... 59
4.3 Моделирование случайных процессов с распределениями плотности
вероятности, отличными от нормальной ..................................................................... 69
4.4 Типовые алгоритмы моделирования стационарных случайных процессов с
распространенными одномерными законами распределения плотности вероятности
...................................................................................................................................... 71
4.5 Моделирование многомерных нормальных случайных процессов ...................... 77
4.6 Моделирование нестационарных случайных процессов ...................................... 83
5. Моделирование случайных потоков ........................................................................... 86
6. Моделирование случайных полей .............................................................................. 88
6.1 Моделирование случайных полей методом скользящего суммирования ............ 89
6.2 Моделирование случайных полей с помощью рекуррентных уравнений ............ 91
6.3 Моделирование случайных полей с законами распределения, отличными от
нормального ................................................................................................................. 92
7. Лабораторный практикум «Моделирование радиосигналов и радиопомех» ........... 93
7.1 Описание ................................................................................................................ 93
7.2 Примеры заданий и результатов выполнения лабораторных работ .................. 97
Лабораторная работа №1. Моделирование радиосигналов методом несущей .......... 97
Лабораторная работа №2. Моделирование радиосигналов методом комплексной
огибающей ................................................................................................................... 99
111
Лабораторная работа №3. Моделирование радиосигналов методом структурных
схем ............................................................................................................................ 100
Лабораторная работа №4. Моделирование случайных значений радиосигналов
(радиопомех) с различными законами распределения ............................................ 101
Лабораторная работа №5. Моделирование случайных значений радиосигналов
(радиопомех) с нормальным законом распределения и различными
корреляционными (спектральными) характеристиками .......................................... 101
Лабораторная работа №6. Моделирование случайных значений радиосигналов
(радиопомех) с законами распределения, отличными от нормального, и различными
корреляционными (спектральными) характеристиками .......................................... 102
Лабораторная работа №7. Моделирование нестационарных случайных процессов
.................................................................................................................................... 103
Лабораторная работа №8. Моделирование многомерных случайных процессов ... 105
Лабораторная работа №9. Моделирование случайных потоков .............................. 106
Лабораторная работа №10. Моделирование случайных полей ................................ 107
Лабораторная работа №11. Моделирование прохождения смеси сигнала с помехой
через радиотехническое устройство ......................................................................... 107
Библиографический список .......................................................................................... 109
Петров Юрий Витальевич, Иванов Вадим Аркадьевич,
Аникин Сергей Николаевич, Вишенцев Михаил Владиславович,
Рогожин Василий Александрович
Методы
математического моделирования
радиотехнических систем