Числовые закономерности музыкального строя

Числовые закономерности музыкального строя
Матвеева Ольга, 8 ФМ класс, Лицей
Научный руководитель: Похиалайнен М.В.,
учитель математики Лицей, г. Троицк
Знание рациональных чисел и многих закономерностей теории чисел
свидетельствуют о высокой культурной организации античной Эллады. Первая
попытка создать целостную концепцию мира предприняли философы ионийской
школы. Каждый из них пытался объяснить устройство Вселенной, принимая за основу
какую-то субстанцию. «Фантастические представления о природе ионийцы заменили
рациональным подходом, - пишет Моррис Клайд». Со времён Эллады считалось, что
все закономерности в мире имеют либо числовой, либо геометрический, либо
логический характер. Объектом научных изысканий в древней Греции были
арифметика (теория чисел), гармония (теория музыки), астрономия, геометрия и
софистика – искусство логического вывода. Причём все они были взаимосвязаны,
взаимопроникающие и взаимообогащающие.
Остановимся на связи между музыкой и иррациональными числами. Занимаясь
теорией музыки, Пифагор и его современники обнаружили, что высоты музыкального
тона струны или флейты, отличаются на октаву, квинту или кварту, если их длины
относятся, как 1:2, 2:3 или 3:4. Т. е. Пифагор, зажимая струну на середине, получил
звук, отличающийся от звука не зажатой струны на интервал – октаву. Т.е. интервал –
это промежуток между двумя различными звуками, он измеряется полутонами.
Следовательно, октава – это вид интервала, и в ней 12 полутонов. Чтобы получить
квинту, надо зажать две трети струны, и от звука пустой струны получится данный
интервал. Чтобы получить кварту, надо зажать три четверти струны.
Гамма – это определённый звукоряд, причём между каждыми двумя
последовательными звуками тон или полутон.
Во времена Пифагора гамма строилась с учётом того, что интервал измеряется
рациональным числом (например, октава 1:2), т.е. числом, которое можно представить
в виде дроби m:n, где m и n – натуральные числа.
Т. к. Пифагор впервые осознал, что существует отрезок, длину которого нельзя
выразить рациональным числом, то неудивительно, что он ввёл пифагорову
погрешность, которая сейчас у музыкантов называется коммой.
Подробней остановимся на мажорной гамме Пифагора. Она строилась так:
1
8:9
64:81
3:4
2:3
16:27
128:243
1:2
Чтобы получить первую ноту в гамме, надо сыграть пустую струну, т. е. интервал
– приму. Чтобы получить второй звук, надо зажать 8:9 струны, и получится звук,
отличающийся от звука не зажатой струны на интервал – секунду. Чтобы получить
третий звук, надо зажать 64:81 струны, это интервал, терция. Если также дальше
зажимать струну в пропорциях, то получатся интервалы: кварта, квинта, секста,
септима и октава.
Cекунду Пифагор определил отношением 8:9, и получил её отношением квинты
2 2
от квинты ( т. е. ноны ) с понижением на октаву ( * *2). Секста получилась
3 3
2 8
* ). Терция получилась построением квинты от
3 9
2 16
сексты с понижением на октаву ( *
*2). Септима определялась построением
3 27
64 2
квинты от терции ( * ).
81 3
Однако, этот строй является неравномерным. Неравномерный – это строй, в
котором один звук у Пифагора определялся двумя звуками, между которыми
расстояние меньше, чем полутон (1:9 секунды).
Вскоре Пифагор заметил, что гармония звуков пропадает в течение игры.
Почему это произошло? Дело в том, что единичный отрезок интервала, т.е.
полутон у Пифагора измеряется рациональным числом 243:256, что приблизительно
равно 0,9492.
После развития представлений об иррациональных числах, многие теоретики
музыки разработали равномерно темперированный строй, т.е. ту же самую гамму, но
только в ней интервал выражался иррациональным числом, а полутон выражался
12
2 , что приближённо равно 0,9438.
Для доказательства благозвучия в полученном строе Иоган-Себостьян Бах написал
«Хорошо Темперированный Клавир» с учётом того, что полутон выражается
иррациональным числом.
Но в определённой степени появлению шедевра мы обязаны Пифагору.
построением квинты от секунды (
Строй Пифагора.
Прима
1
Квинта
2:3
Секунда
8:9
Секста
16:27
Терция
64:81
Септима
128:243
Кварта
3:4
Октава
1:2
Равномерный строй.
Прима
1
Квинта
1: ( 12 2 )7
Секунда
1:( 12 2 )2
Секста
1: ( 12 2 )9
Терция
1:( 12 2 )4
Септима
1: ( 12 2 )11
Кварта
1: ( 12 2 )5
Октава
1: 2