Математическая карусель – это командное соревнования по

Математическая карусель – это командное соревнования по решению задач.
Задачи решаются на двух этапах – отборочном и зачетном. Очки начисляются только за
задачи, решенные на зачетном этапе.
На отборочном этапе команды получают задачу и начинают ее решать коллективно. После
того, как задача решена, представитель команды, имеющий номер 1 (перед началом игры
участники должны «рассчитаться»), предъявляет решение судье. Если оно верное, игрок №1
переходит в зачетный этап, где получает индивидуальную задачу, при решении которой будут
начислены очки всей команде. Члены команды, оставшиеся на отборочном этапе, получают
новую задачу, решив которую они смогут отправить в зачетный этап участника команды под
номером 2. Если участник команды на зачетном этапе верно решает несколько задач подряд,
то за каждую следующую задачу он получает на 1 балл больше, чем за предыдущую
(минимальное количество баллов за верно решенную задачу 3). Если же задача решена
неверно, то баллы, полученные за решение задач, фиксируются команде, а игрок
возвращается на отборочный этап, где снова решает задачи уже вместе с командой.
Побеждает команда, набравшая наибольшее число очков.
Члены команды, оставшиеся на отборочном этапе, получают новую задачу. Если участник на
зачетном этапе дает неверный ответ на задачу, то игрок возвращается на отборочный этап,
т.е. выходит из зачетной комнаты и заходит в комнату отборочного этапа под своим именем.
1. Из книги выпало несколько листов, идущих подряд. Первая страница выпавшего куска имеет номер 387, а номер последней состоит из тех же цифр, но записанных в обратном порядке. Сколько листов выпало из книги? (199)
2. Сумма двух натуральных чисел равна 1244. Если в конце первого приписать 3, а в
конце второго отбросить 2, то числа окажутся равными. Найти эти числа. (12 и 1232)
3. Найдите наименьшее натуральное число кратное 100, сумма цифр которого равна 100.
(19999999999900 - в числе 11 девяток.)
4. Футболисты команды «КГУ-Курган» провели три игры, в которых они забили три мяча, а пропустили один. Сколько очков они могли набрать в этих трёх играх? (За победу команда получает 3 очка, за ничью - 1, за поражение - 0) Укажите все варианты. (4,
5, 6 или 7 очков)
5. На параде солдаты выстроены в две шеренги одинаковой длины, причём в первой шеренге расстояние между соседними солдатами в 2 раза больше, чем во второй (между
соседними солдатами в одной шеренге одинаковое расстояние). Сколько солдат во
второй шеренге, если в первой шеренге 85 солдат? (169)
6. Напишите наименьшее четырёхзначное число, кратное 22 и начинающееся с цифры 5.
(5016)
7. Два невисокосных года идут подряд. В первом из них больше понедельников, чем
сред. Какой из семи дней чаще всего встречается во втором году? (вторник)
8. Малышу 1 января 2004 года подарили мешок шоколадных конфет, в котором было
223 конфеты. Каждый день Малыш съедал одну конфету. По воскресеньям к нему
прилетал Карлсон, и Малыш угощал его парой конфет. Сколько конфет съел
Карлсон? (1 января 2004 года - четверг). (50 конфет.)
9. В магазине «Зоомир» продают «Вискас» в пакетах по 3 и 5 кг. Всего на полке стоит 24
пакета. Вес всех пакетов по 5 кг равен весу всех пакетов по 3 кг. Сколько было пакетов по 3 кг? (15)
10. На сколько нулей оканчивается произведение 1·2·3·4·…·37? (8)
11. Окрашенный кубик с ребром 6 см. распилили на кубики с ребром 1 см. Сколько будет
кубиков с двумя окрашенными гранями? (48)
12. Разбейте число 186 на три попарно различных натуральных слагаемых, сумма любых
двух из которых делится на третье. (31+62+93)
13. В стране Тили-Мили-Трямдии денежными единицами являются фунтики, блюмзики и
сантики. За 2 фунтика дают 96 блюмзиков и 4 сантика. А за 1 фунтик и 8 сантиков
дают 208 блюмзиков. Сколько блюмзиков дадут за 3 фунтика? (240 блюмзиков.)
14. Пётр, Василий и Семён были на рыбалке. Пётр поймал 12 рыб, Василий - 9. Семён забыл дома удочку, поэтому ему пришлось отдать за уху, которую варили из всего улова, отдать 42 рубля. Как Пётр с Василием должны поделить эти деньги? (30 и 12)
15. Средний возраст семи гномов равен 284 года. Если к ним в гости приходит Белоснежка, то средний возраст компании становится равен 250,25 лет. Сколько лет Белоснежке? (14)
16. Питон длиной 16 м проползает через мост длиной 32 метра за 18 минут. Сколько минут ему потребуется, чтобы проползти мимо столба? (6 минут)
17. Молодой человек согласился работать с условием, что в конце года он получит автомобиль «Запорожец» и 2600$. Но по истечении 8 месяцев уволился и при расчёте получил «Запорожец» и 1000$. Сколько стоил «Запорожец»? (2200$)
18. Колобок катится от Бабки - к Медведю, от Медведя - к Волку, от Волка - к Зайцу, от
Зайца - к Лисе. Каждый раз при этом он пробегает половину оставшегося расстояния
и ещё 400 метров. Сколько метров пробежит Колобок, прежде чем окажется в пасти у
Лисы? (12 км)
19. Какой остаток от деления на 1547 даёт произведение всех нечётных натуральных чисел от 1 до 129 включительно? (0)
20. Три товарища: Петя, Толя и Витя подошли к стоянке автомашин и мотоциклов. Петя
сосчитал все транспортные средства. Их оказалось 45. Толя сосчитал все колёса. Их
оказалось 115. Витя заметил, что мотоциклов с коляской было в два раза меньше, чем
мотоциклов без коляски. Сколько на стоянке было машин и сколько мотоциклов? (6 -
А, 39 - М)
1.У мальчика столько же сестер , сколько и братьев; а у сестры его вдвое меньше сестер, чем
у братьев. Сколько всего братьев и сестер?
( 4 брата и 3 сестры.)
2.В саду живут куры и кролики. Число голов всех животных равно 50,а число ног-160.
Сколько в саду кур и сколько кроликов?
(20 кур и 30 кроликов.)
3.Стали вороны садиться по одной на березу- не хватило одной березы; стали садиться по две
одна береза оказалась лишней. Сколько было ворон и сколько берез.
(4 вороны, 3 березы.)
4.В феврале 2004 года было 5 воскресений. Какого числа было четвертое воскресенье?
(22 февраля.)
5.4 маляра окрашивают 6 комнат за 5 часов. За какое время 12 маляров окрасят 18 комнат?
(За 5 часов.)
6.Учитель предложил решить Саше 6 задач. За каждую нерешенную задачу учитель давал
ему 2 дополнительные задачи. В итоге Саше пришлось решать 14 задач. Сколько задач Саше
не удалось решить?
(4 задачи.)
7.Три поросенка Наф-Наф, Ниф-Ниф и Нуф-Нуф решили построить дом. Каждый из трех
поросят купил по 12 бревен и распилил их на 30 однометровых чурбаков. Длина каждого из
купленных бревен была равна либо двум, либо трем, либо четырем метрам. Сколько всего
распилов пришлось сделать трем поросятам?
(54 распила.)
8. Сколько существует двузначных чисел , представимых в виде суммы двух натуральных
чисел, каждое из которых кратно 11 или17.
(31 число.)
9. За новогодним столом сидят 20 человек, 16 из них носят имя Саша. В полночь они
рассядутся за круглым столом, и каждый загадает одно желание. Исполнится же желание
лишь у тех, кто будет сидеть между двумя Сашами.
Какое наибольшее число желаний может исполниться?
(15)
10.Барон Мюнхгаузен и его слуга Томас подошли к реке. На берегу они обнаружили лодку,
способную перевести лишь одного человека. Тем не менее они переправились через реку и
продолжили путешествие. Могло ли так быть?
(Да , они подошли с разных берегов реки.)
11. Шапокляк в 5 раз тяжелее Чебурашки и на 30 килограммов легче Гены. Сколько весит
Чебурашка, если они все трое вместе весят 140 килограммов?
(10 килограммов.)
12.Какова наименьшая сумма пяти различных современных российских монет (в копейках) ?
(166 копеек = 1 рубль 66 копеек.)
13.Сколько существует трехзначных чисел, цифры в которых расположены по возрастанию
слева направо?
(84 )
14.Сколько существует трехзначных чисел, цифры в которых расположены по убыванию
слева направо?
(120 )
15. Частное втрое больше делимого и вдвое больше делителя. Найдите делимое, делитель и
частное.
(2/9, 1/3, 2/3.)
1.Слова зашифровали с помощью цифр: ваза-3191, дед-565. Как зашифровали слово жаба?
(жаба-8121.)
2.Верно ли, что:
А) фигуру с равными площадями имеют равные периметры;
Б) фигуры с равными периметрами имеют равные площади?
Ответы обоснуйте.
(нет, например прямоугольник со сторонами 2 и 8 и квадрат со стороной 4.)
3.В саду растут яблони и вишни. Если взять ½ всех вишен и ¼ всех яблонь, то тех и других
будет поровну. Всего в саду 360 деревьев. Сколько яблонь и вишен в саду?
(Яблонь- 240; вишен-120.)
1.Чему равно значение выражения
КАНГАРОО + 10000 АРОО-10000КАНГ, если разные буквы обозначают разные цифры?
(АРООАРОО.)
2.От каждой вершины деревянного куба отпилили по одинаковому кусочку так, что место
спила имеет форму треугольника. Сколько вершин и сколько ребер у получившегося тела?
(24 вершины и 36 ребер.)
3.Ночью семья подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама за 2 минуты, дочь
- за 5 минут, а бабушка- за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост же выдерживает только
двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят мост двое, то они идут с меньшей
из скоростей. Двигаться без фонарика нельзя.)
(Первыми идут мама и папа- 2 минуты; затем папа с фонариком возвращается и передает его
бабушке 1 минута, бабушка идет с внучкой 10 минут; мама возвращается с фонариком- 2
минуты ;папа переходит мост вместе с мамой -2 минуты. Итого 17 минут.
1.Решите ребус: Б+БЕЕЕ=МУУУ.
(1+1999=2000.)
2.На прямолинейном участке пути расположено четыре остановки А, В, С, Д. Известно, что
расстояние между остановками А и Д равно 1 км, между В и С -2 км, а между С и Д- 5 км.
Определите расстояние между остановками А и С.
(6 км.)
3.4 коровы черной масти и 3 коровы рыжей масти за 5 дней дали такое же количество молока
, что и коровы черной масти и 5 коров рыжей масти за 4 дня. Какие коровы более
производительны- черные или рыжие?
( Рыжие.)
1.Решите ребус: КОЗА +КОЗА=СТАДО
( 8653+8653=17306.)
2.Нарисуйте 8 точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не пересекались , и каждая
точка была бы вершиной ровно 4 отрезков.
(Вариантов много)
3.Из пункта А в пункт В ведет единственная дорога длиной 15 км. В 9 часов 30 минут со
скоростью 4 км/ч из А в В отправился пешеход. На следующий день , выйдя в 11 часов, он
отправился в обратный путь со скоростью 5 км/ч. Оба раза пешеход перешагивал через
единственный ручей, пересекающий дорогу, в одно и то же время. В каком часу это было?
(12ч. )
Задача 1. Полученное число делится на 27?
Какую цифру нужно приписать к числу 97 справа и слева, чтобы полученное число делилось
на 27?
Удвоенная неизвестная цифра дополняет сумму известных цифр числа до
величины, кратной 9-ти.
Сумма известных чисел - четная (16). Удвоенная неизвестная цифра (a) - также
четная величина.
Следовательно, сумма цифр искомого числа - четная и равна 18-ти. (2a меньше или равна 18
и сумма цифр искомого числа не больше 34-х).
Итак, a = 1, искомое число - 1971.
Задача 4. Сколько этажей в доме?
Коля и Вася живут в одном доме, на каждой лестничной клетке которого 4
квартиры. Коля живет на пятом этаже, в картире 83, а Вася - на 3-ем этаже в
квартире 169.
Сколько этажей в доме ?
Если вести сквозной отсчет этажей, начиная с первого подъезда, то Коля живет на 21- м
этаже [83 : 4] = 20 (3).В своем подъезде Коля живет на 5-м этаже, поэтому в подъездах,
предшествующих Колиному, 16 этажей.16 делится лишь на числа, кратные 2-м, поэтому в
доме может быть либо 16 этажей, либо 8 этажей (вариант четырехэтажного дома исключаем,
поскольку Коля живет на 5 этаже).Вася живет на 43 этаже, считая от первого этажа первого
подъезда [169 : 4] = 42 (1).Значит в подъездах, предшествующих Васиному, 40 этажей. 40
делится на 8, но не делится на 16,следовательно, в доме 8 этажей.Замечание.
В процессе решения задачи мы определили числа этажей (16 и 40) в двух разных группах
подъездов.Число этажей в каждой группе подъездов кратно числу этажей в доме, оно равно
произведению числа этажей в доме на число подъездов в группе.Задача сводится к
нахождению общего делителя чисел 16 и 40 ( с уcловием, что делитель этот не меньше 5-ти).
Задача 5. Сколько автобусов и сколько мест ?
Для поездки с учениками за город школа заказала несколько одинаковых автобусов.115
человек поехали на озеро, 138 - в лес. Все места в автобусах были заняты, и всем хватило
места.Сколько было заказано автобусов и сколько мест в каждом автобусе
Поскольку мест в автобусах не осталось, число детей, выехавших в каждом из двух
направлений, кратно числу мест в автобусе.Следовательно, число мест в автобусе - общий
делитель чисел 115 и 138.Для отыскания общего делителя воспользуемся правилом : общий
делитель двух чисел является также общим делителем этих чисел и их разности.138 - 115 =
23. Всего автобусов с детьми было :(115 + 138)/23 = 11 автобусов.
Задача 1. Сколько человек работало на заводе?
В начале года число мужчин, работавших на заводе, составляло 40% от общей численности
работников завода. После того, как были приняты на работу еще 6 мужчин, а 5 женщин
уволилось, число мужчин и женщин на заводе сравнялось.
Сколько человек работало на заводе в начале года?
Число мужчин, работавших на заводе в начале года, было на 11 меньше числа работавших
там женщин. Процентная разность между числом женщин и числом мужчин составляла в
начале года 20%.Общая численность работавших на заводе в это время - 11:0,2 = 55 человек.
Задача 3. Как изменилась масса арбуза?
Влажность купленного арбуза составила 99%. В результате длительного хранения влажность
снизилась до 98%.Как изменилась масса арбуза?
Свежий арбуз на 99% процентов состотит из жидкости и на 1% - из сухой массы. В
результате усушки количество жидкости уменьшилось и составило 98% от новой, также
уменьшившейся массы арбуза.Количество же сухого вещества, оставаясь неизменным,
составило 2% от новой массы арбуза. Процентное содержание в арбузе сухого вещества (при
неизменной его массе) увеличилось вдвое.Следовательно масса арбуза в результате усушки
уменьшилась вдвое.
Задача 4. Сколько времени потребовалось второму путнику ?
Двое путников одновременно вышли из пункта А по направлению к пункту В.
Шаг второго был на 20 % короче, чем шаг первого, но зато второй успевал за то же время
сделать на 20% шагов больше, чем первый. Сколько времени потребовалось второму путнику
для достижения цели,
если первый прибыл в пункт В спустя 5 часов после выхода из пункта А ?
Шаг второго путника составлял 80% или 0,8 шага первого путника.На каждые 100 шагов
первого путника второй успевал сделать 120 шагов,т.е. за то же время второй путник успевал
сделать в 1.2 раза больше шагов, чем первый.Следовательно, расстояние, пройденное за
некоторое время вторым путником, составляло 0,8 * 1,2 = 0,96 расстояния, пройденного за то
же время первым. Путь, пройденный телом за некоторое время, прямо пропорционален
скорости движения.Поэтому, скорость второго путника составляла 0,96 скорости
первого.Время, которое затрачивает тело на прохождение определенного пути, обратно
пропорционально скорости движения.Поэтому, продолжительность движения первого
путника из А в В составляет 0,96 продолжительности движения второго путника на этой
дистанции.Для перехода из А в В второму путнику потребовалось 5 : 0,96 = 5,2 часа = 5ч 12
мин.
Задача 1. Вышел из срока
Чтобы сдать в срок книгу в библиотеку ученик должен был читать ежедневно по 40
страниц.Однако он читал каждый день на 15 страниц меньше и вернул книгу на 6 дней позже
срока.За сколько дней ученик должен был прочитать книгу?
Способ 1.
Для прочтения книги в сниженном темпе потребовалось дополнительно 6 дней сверх
установленного срока.За эти 6 дней ученик прочитал 25 · 6 = 150 страниц, накопившихся в
результате того, что в течение запланированного времени "задолженность" возрастала
ежедневно на 15 страниц. В соответствии с первоначальным планом срок прочтения книги
составлял 150 : 15 = 10 дней.
Способ 2.
Обозначим: x - намеченный срок прочтения книги.40x = 25(х + 6); х = 10 (дней).
2. Когда сравняются возраста ?
Матери 47 лет, троим ее сыновьям соответственно 10,12, и 15 лет. Как скоро сумма возрастов
сыновей сравняется с возрастом матери ?
Сегодня мать опережает сыновей по возрасту на величину 47 - (10 +12 + 15 ) =
10лет.Ежегодно мать становится старше на один год,а сыновья "стареют" совместными
усилиями на 3 года,сокращая на 2 года прошлогодний разрыв в возрастах.Для того, чтобы
"догнать" мать, сыновьям потребуется 10 : 2 = 5 лет.
Задача 1. Сумма и произведение одних и тех чисел - одинаковые
Представить число 203 в виде суммы нескольких положительных чисел так, чтобы их
произведение также было бы равно 203.
Поскольку сумма двух, или нескольких чисел (отличных от 1), всегда меньше их
произведения ( исключая случай 2 + 2 = 2 · 2), очевидно, что некоторое число множителей в
разложении должно быть равно 1.Используя такой прием, можно довести сумму
сомножителей до нужной величины, не меняя при этом их произведения.Итак, задача
сводится к разложению на множители числа 203. Поскольку ни один
из"табельных"признаков делимости (на 2, 3, 5, 11) данному числу не свойствинен,
поищеммножители, следуя правилу. Оно гласит: среди делителей составного числа
обязательно есть числа, меньшие, чем корень квадратный из этого числа.Корень квадратный
из числа 203 близок к 15, поэтому ищем делители среди простых чисел, меньших 15. Таких
чисел два - 7 и 13 (остальные были исключены после проверки).203 : 7 = 29, поэтому 203 =
29 · 7 · 1 · 1 ·... · 1 (всего 167 единиц).29 + 7 + 167 = 203. Число 203 имеет два простых
делителя, поэтому найденное решение - единственное.
Задача 2. Длина стороны прямоугольника делится на 5.
Из прямоугольных полосок со сторонами 1 см и 5 см сложен прямоугольник. Доказать, что
длина одной из сторон этого прямоугольника кратна 5.
Площадь каждой прямоугольной полоски равна 5 кв.см. Следовательно, пощадь
прямоугольника, составленного из этих полосок, кратна 5-ти.Но площадь прямоугольника
равна поизведению его сторон. Поскольку произведение кратно 5-ти, то по меньшей мере
один из сомножителей (т.е. длина одной из сторон) кратен 5-ти, что и требовалось доказать
Задача 3. Найти последние цифры.
Найти три последние цифры произведения: 1· 2 · 3 · 4 · ... · 17 · 18
В приведенном выражении число 5 трижды встречается как сомножитель: в числах 5, 10,
15.Поэтому произведение первых 18-ти натуральных чисел оканчивается тремя нулями.
Задача 2. Что я выпил в итоге - кофе с молоком или молоко с кофе?
От полного стакана кофе я отпил половину и долил столько же молока. Затем я отпил третью
часть получившегося кофе с молоком и долил столько же молока. Затем я отпил шестую
часть получившегося кофе с молоком, долил стакан молоком доверху и выпил все до конца.
Чего в итоге я выпил больше: молока или черного кофе?
Количество выпитого черного кофе равно первоначальному его количеству и составляет 1
стакан.Молока долили сперва полстакана, затем треть стакана, и, наконец шестую часть
стакана, т.е. в общей сложности 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 стакан.Следовательно, кофе и молоко
выпито поровну.
Задача 1. Каков средний рост пяти друзей?
Средний рост шести друзей - 1,2 м. Рост самого низкого из них - 1,1 м.
Каков средний рост остальных пяти?
Способ 1.
Суммарный рост 6-ти друзей равен 12,6 · 6 = 7,2 м. Суммарный рост пяти из них (исключая
самого низкого) : (7,2 - 1,1) = 6,1 м.Средний рост этих 5-ти друзей равен (6,1 : 5 ) = 1,22 м.
Способ 2.Рост самого низкого из друзей меньше среднего роста на величину 1,2 - 1,1 = 0,1 м.
Это значит, что каждый из друзей пожертвовал "коротышке " 0,1 : 5 = 0,02 м с целью
"подтянуть" его до среднего роста (при допущении, что остальные друзья одного
роста).Поэтому средний рост 5-ти друзей равен 1,2 + 0,02 = 1,22 м.
Задача 2. Каков рост нового игрока команды?
Средний рост пяти игроков баскетбольной команды - 2,04 м.После замены игрока, рост
которого равен среднему, средний рост команды увеличился до до 2,08 м.
Каков рост нового игрока?
Способ 1.
Суммарный рост 4-х игроков, оставшихся в команде, равен 2,04 · 4 = 8,16 м.
Суммарный рост 5-ти игроков после замены игрока равен 2,08 · 5 = 10,4 м.
Рост игрока, вошедшего в команду при замене, равен 10,4 - 8,16 = 2,24 м.
Способ 2.
Войдя в команду, новый игрок увеличил средний рост игроков команды на 0,04 м, в
результате чего "добавка " к суммарному росту 4-х оставшихся игроков составила 0,04 · 4 =
0,16 м.Рост нового игрока равен 2,08 + 0,16 = 2.24 м.
Задача 3. Как изменится средняя масса 5 арбузов?
Как изменится средняя масса пяти арбузов, если взамен арбуза, масса которого на 5 кг
меньше средней,добавить арбуз массой, превышающей среднюю на 10 кг?
Масса нового арбуза на 15 кг больше массы изъятого.Суммарная масса пяти арбузов
увеличилась на 15 кг, увеличение средней массы составило 15 : 5 = 3 кг.
Задача 1. Разберемся с местами в турнирной таблице.
В турнире по ручному мячу участвовали команды A, B, C, D и E.
Каждая команда сыграла с каждой ровно один раз. За победу в игре дается 2 очка, за ничью 1,
за поражение 0. При этом команда B, занявшая второе место, набрала больше очков, чем C, D
и E вместе. Отсюда следует, что
(A) А заняла первое место; (B) А выиграла у B; (C) B выиграла у C; (E) такой результат
невозможен.
Из того факта, что команда В набрала больше очков, чем С, D и Е, следует, что все эти три
команды - ниже в турнирной таблице.Следовательно, первое место может быть только у
команды А.Оценим очки каждой команды. Сумма очков, полученных в игре между собой
двух претендентов равна двум. Так как каждая команда играла с каждой, то общее количество
игр равно: 4+3+2+1= 10 игр. Общая сумма всех очков: 2 · 10=20. Три команды: С, D и Е
сыграли между собой 2+1=3 игры и "заработали" 6 очков. Следовательно, у команды В - как
минимум 7 очков. Тогда на долю команды А остается 20-7-6=7 очков. А это невозможно, так
как она должна быть на первом месте. Верный ответ - (Е).
Задача 2. Сколько серых мышей у Йозефа?.
У Йозефа 100 мышей, некоторые из них белые, некоторые - серые. Известно, что хотя бы
одна мышь серая, а из двух мышей хотя бы одна - белая.Сколько серых мышей у Йозефа ?
(A) 1; (B) 49; (C) 50; (D) 99; (E) невозможно определить
Вариант 1. Устроим перебор пар мышей так, чтобы одна мышь была серая (упомянутая в
условии), а другая - какая придется.Из условия следует, что все мыши, которых мы
присоединяем к серой - белого цвета.Ответ: серая мышь у Йозефа - одна. Правильный
ответ: (А)Вариант 2. Предположим, что имеются две, или более серых мышей.В этом случае
существует, по меньшей мере, пара мышей серого цвета, что противоречит
условию.Следовательно, предположение наше ошибочно и в хозяйстве Йосефа имеется лишь
одна серая мышь, факт существования которой оговорен условием.
Задача 1. Кенгуру ищет легкие пути
На дорожках стадиона расставлены барьеры (их число на каждой дорожке указано на
рисунке).
Кенгуру хочет пробежать от старта до финиша, перепрыгивая через наименьшее число
барьеров.
Сколько раз Кенгуру придется перепрыгнуть через барьеры?
(A)15; (B) 14; (C) 13; (D) 12; (E)11.
Разобьем весь стадион на треугольники. В каждом треугольнике
отбросим "невыгодную" сторону.
Ту, в которой число барьеров больше (или равно), чем
сумма барьеров двух других сторон (это дорожки с числами
барьеров 6, 3, 6, 7).
Теперь уже легко перебрать все варианты. 2+(6+4)=12, 2+5+(1+1+4)=13,
(3+2)+5+(6+4)=20, (3+2)+(1+1+4)=11.
Верный ответ - ответ (Е).
Задача 2. Считаем варианты
Сколькими способами можно расположить 4 шашки на нарисованной доске так, чтобы
никакие две из них не находились в одном ряду или одной колонке?
(A)64;
(B) 28; (C) 16;
(D) 8; (E)4.
Начнем перебирать варианты по столбцам слева направо:
1. Располагаем первую шашку в первом столбце – 2 варианта (шашка может лежать
или в верхней или в нижней клеточке) .
2. Располагаем вторую шашку во втором столбце – 3-1=2, (2 варианта) где 3 –
высота столбца, а 1- количество уже занятых строк.
3. В третьем – 4-2=2 (аналогично).
4. В четвертом – 5-3=2 (аналогично). Итого 2*2*2*2=16. Верный ответ - (С).
Задача 3. Считаем точки пересечения
Какое максимальное число точек пересечения могут иметь восемь окружностей ?
(A)16;
(B) 56; (C) 38;
(D) 44.
Две окружности могут пересечься в двух точках.
Третья окружность пересечется с каждой из имеющихся окружностей тоже в двух
точках, т. е добавятся еще 2 * 2 = 4 точки.
Добавление каждой следующей окружности увеличивает число точек на
величину,
равную удвоенному количеству уже имеющихся окружностей.
Итого : 2 + 2*2 + 2*3 + 2*4 + 2*5 + 2*6 + 2*7 = 2* (1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 + 7 ) = 56
Верный ответ (В).
Задача 1. Ищем след от плоскости
Куб пересечен плоскостью. На развертке пунктиром показана часть следа этого
сечения на поверхности куба. Какая фигура была в сечении?
(A) правильный треугольник; (B) прямоугольник, но не
квадрат; (C) прямоугольный треугольник;(D) квадрат; (E) шестиугольник.
Пронумеруем грани куба
и попробуем развертку снова свернуть в куб.
В качестве донышка возьмем грань 1.
Тогда, 2 - задняя стенка, 3 - крышка, 4 - левая боковая стенка, 5 передняя стенка, 6 - правая боковая стенка.
Куб будет иметь вид, указанный на рисунке.
Очевидно, в сечении куба плоскостью получается правильный треугольник. Стороны этого
треугольника - диагонали квадратов - боковых граней.
Верный ответ - (А).
Задача 2. Делим квадрат на три части
MNPQ - квадрат со стороной 6 см, А и В - две точки на его средней линии. Ломанные МАР и
МВР делят квадрат на 3 части одинаковой площади. Чему равна длина АВ ?
(A)3,6см;
(B) 3,8см;
(C)4см;
(D) 4,2см;
(E)4,4см
Восстановим перпендикуляры из точек А и В. Рассмотрим образовавшийся
зеленый прямоугольник.
Видно, что его площадь равна площади MBPA и следовательно, равна
одной трети плошади большого квадрата и равна (6 · 6) : 3 = 12 кв.см.
Высота зеленого прямоугольника равна 6 : 2 = 3 (см). Длина его второй стороны
АВ равна 12 кв.см : 3 см = 4 см.
Верен ответ (C).
Задача 1. Сколько времени придется трудиться малышу?
Котенок Малыш может облизать себя с головы до кончика хвоста за полчаса, а кот Тоша
может облизать Малыша за 5 минут. Себя Тоша способен помыть за 20 минут. Сколько
времени придется трудиться Малышу, чтобы помыть Тошу?
(A) 40 минут; (B) 60 минут; (C) полтора часа; (D) 2 часа; (E) 3 часа.
Малыш облизывает сам себя в 6 раз (30мин/5мин=6) медленее, чем его
облизывает кот Тоша.
Тоша облизывает себя за 20 минут.
Следовательно, Малыш оближет кота Тошу за 20мин*6=120мин=2часа.
Верен отвер (D).
Задача 2. Когда семья Васи выехала на дачу?
Семья Васи приехала на дачу на машине в 16.00. Если бы скорость, с которой они ехали,
была на 25% больше, то они приехали бы в 14.30.
В какое время они выехали из дома?
(A)8.00; (B) 8.30; (C) 9.00; (D) 10.00; (E)12.00
Увеличение скорости движения машины в 1,25 раза приведет к уменьшению
продолжительности движения в 1,25 раза или на 20% (1:1,25=0,8).
По условию задачи, выигрыш во времени при увеличенной скорости равен 1, 5
часа ( 16 - 14.30 =1.30 час).
Следовательно, реальное время в пути составит 7, 5 часа (1,5 часа : 0,2). Отправка машины
состоялась в 16.00 - 7.30 = 8.30.
Итак, семья выехала в 8 часов 30 минут.
Верен ответ (В).
Задача 3. Как насчет зрения в группе ребят?
В группе 40% ребят имеют плохое зрение. 70% из них носят очки, остальные 30% носят
контактные линзы. Общее число ребят в очках - 21.
Что верно: (А) 30 человек имеет плохое зрение; (В) 30 человек имеет хорошее
зрение; (С) всего в группе 100 человек; (D)10 человек носят линзы; (Е) ни один ответ не
подходит;
По условию задачи, в группе 21 человек ходит в очках. А это составляет 70% от
всех, кто плохо видит.
Следовательно, плохо видят 21/0,7=30 человек.
Здесь можно остановиться и предъявить ответ: верный ответ (А).
Знатоки решают дальше.
1. 40% ребят имеют плохое зрение, а это - 30 ребят, следовательно, всего ребят в группе:
30/0,4=75 человек а (С) - неверно.
2. У 30 человек - плохое зрение, следовательно, хорошее зрение имеют 75-30=40 чел. а (В) неверно.
4 Из 30 ребят с плохим зрением 21 человек носит очки, следовательно 30-21=9 человек контактные линзы. То есть (D) - неверно.
5. (Е) - неверно, т.к. есть ответ (А).
Задача 3. Длина всех окружностей
Центры всех 5 окружностей лежат на одной прямой.
Если радиус большой окружности равен R = 1, то суммарная длина всех пяти
окружностей равна:
(A)
; (B) 2 ; (C) 3 ;
(D) 4 .
Эта занимательная задача - одна из шести задач тренировочной игры ( перед олимпиадой
"Сократ") по математике .
Заходите в игру №1 и Вы получите в конце игры ответы и объяснения по задачам игры.
Хотите просто познакомиться с условиями всех задач игры по математике №1 (без ответов)?
Быстрый переход по задачам игры по математике № 1:
1 2 3 4 5 6
Задача 5. Строим из блоков параллепипед
Марк строит параллелипипед из трех блоков.
Два из этих блоков хорошо видны на рисунке справа.
А вот, третий - белого цвета, надо выбрать из блоков:
Задача 6. Ищем скорость течения реки
Пловец плывет против течения реки
и по пути встречает плывущую по течению пустую лодку.
Он продолжает плыть против течения еще 20 минут после момента
встречи,
а затем поворачивает назад и догоняет лодку в 2-х километрах от места встречи.
Скорость течения реки в этом месте равна:
(A) 1 км/час;
(B) 3 км/час;
(C) 4 км/час;
(D) 6 км/час;
Задача 5. Сколько автобусов и сколько мест ?
Для поездки с учениками за город школа заказала несколько одинаковых
автобусов.
115 человек поехали на озеро, 138 - в лес. Все места в автобусах были
заняты, и всем хватило места.
Сколько было заказано автобусов и сколько мест в каждом автобусе
Поскольку мест в автобусах не осталось, число детей, выехавших в каждом из двух
направлений, кратно числу мест в автобусе.
Следовательно, число мест в автобусе - общий делитель чисел 115 и 138.
Для отыскания общего делителя воспользуемся правилом : общий делитель двух чисел
является также общим делителем этих чисел и их разности.
138 - 115 = 23. Всего автобусов с детьми было :
(115 + 138)/23 = 11 автобусов.
Задача 5. Сколько автобусов и сколько мест ?
Для поездки с учениками за город школа заказала несколько одинаковых
автобусов.
115 человек поехали на озеро, 138 - в лес. Все места в автобусах были
заняты, и всем хватило места.
Сколько было заказано автобусов и сколько мест в каждом автобусе
Поскольку мест в автобусах не осталось, число детей, выехавших в каждом из двух
направлений, кратно числу мест в автобусе.
Следовательно, число мест в автобусе - общий делитель чисел 115 и 138.
Для отыскания общего делителя воспользуемся правилом : общий делитель двух чисел
является также общим делителем этих чисел и их разности.
138 - 115 = 23. Всего автобусов с детьми было :
(115 + 138)/23 = 11 автобусов.
Задачная база >> Разное >> Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 7
класс >> Математическая карусель >> Исходные задачи
Показать
решения
Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 7 класс. Математическая карусель. Исходные
задачи
Задача 1: Какие две цифры нужно поставить на место звездочек, чтобы пятизначное число
517** делилось на 6,7 и 8?
Задача 2: Два последовательных двузначных числа сложили и в их сумме переставили
цифры. В результате получилось большее из складываемых чисел. Какие это числа?
Задача 3: Проехав треть пути от Кирова до Набережных Челнов, Игорь лег спать и спал до
тех пор, пока ему не осталось проехать треть пути, который он проехал спящим. Какую часть
пути Игорь проспал в дороге?
Задача 4: Как разрезать фигуру по линиям сетки на три одинаковые части?
Задача 5: Камень весит 5 кг, еще треть камня и еще половину камня. Сколько весит камень?
Задача 6:
После 14 стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшилась вдвое. На сколько стирок
хватит оставшегося куска?
Задача 7: Сколько существует трехзначных чисел, у которых цифра сотен больше цифры
десятков?
Задача 8:
Цена билета на стадион была 20 рублей. После снижения цен на билеты, число зрителей на
стадионе увеличилось на 50 , а выручка с проданных билетов увеличилась на 14 . Сколько
стал стоить билет на стадион после снижения цен?
Задача 9: К числу 1989 припишите по цифре слева и справа так, чтобы полученное таким
образом шестизначное число делилось на 88.
Задача 10: Молочница на рынке торговала молоком из двух бочек, одна из которых вмещала
молока втрое больше, чем другая. Когда в маленькой бочке оставался 31 литр молока, а в
большой – 239 литров, молочница долила доверху маленькую бочку из большой. В
результате большая бочка оказалась наполненной ровно наполовину. Сколько молока
вмещали бочки?
Задача 11: Найдите наибольшее значение отношения трехзначного числа к сумме его цифр.
Задача 12: На дискотеку собрался почти весь класс – 22 человека. Лена танцевала с 7
мальчиками, Нина с восемью, Вера – с девятью и так далее до Ирины, которая танцевала со
всеми мальчиками из этого класса. Сколько мальчиков было из этого класса?
Задача 13: На мельнице имеется три жернова. На первом за сутки можно смолоть 60 мешков
зерна, на втором – 54, а на третьем – 48. Некто хочет смолоть 81 мешок зерна. За какое
наименьшее время он сможет это сделать?
Задача 14: Найдите все тройки простых чисел, в которых одно равно разности кубов двух
других.
Задача 15:
Из квадратного листа бумаги в клетку, содержащего целое число клеток, вырезали квадрат,
содержащий целое число клеток так, что осталось 124 клетки. Сколько клеток мог содержать
первоначальный лист бумаги?
Задача 16: Произведение двух целых чисел равно 217. Чему равны эти числа, если каждое из
них меньше 7?
Задача 17: Найдите натуральное число, которое делится на 11, а при делении на 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10 дает в остатке 1.
Задача 18: Сумма 13 различных натуральных чисел равна 92. Найдите все такие
натуральные числа.
Задача 19: Найдите все тройки простых чисел, в которых одно равно разности кубов двух
других.
Задача 20: Найдите наименьшее число n, обладающее следующим свойством: к любому
натуральному числу можно приписать справа такие n цифр, что полученное число будет
делиться на 39.
Задача 21: В трехзначном числе зачеркнули слева цифру, затем полученное двузначное число
умножили на 6 и получили исходное число. Найдите его.
Задача 22: Решите числовой ребус: ИЗ4 = ИКС² = БАЗИС.
Задача 23: Перед началом уроков классный руководитель заметил, что каждый учащийся его
класса поздоровался за руку с шестью девочками и восемью мальчиками. При этом
количество рукопожатий между мальчиками и девочками было на пять меньше числа
остальных рукопожатий. Сколько учеников в классе?
Задача 1: Найдите наибольший общий делитель всех девятизначных чисел, состоящих из
цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (без повторений).
Задача 2: Какое наибольшее количество месяцев одного года могут иметь по пять пятниц?
Задача 3: Треугольник разрезали на два многоугольника прямолинейным разрезом, один из
полученных многоугольников вновь разрезали на два и т. д. Какое наименьшее количество
разрезов следует произвести, чтобы общее количество вершин у полученных
многоугольников стало равным 2000?
Задача 4: В трех ящиках лежат орехи. В первом на 99 орехов меньше, чем в двух других
вместе, во втором – на 19 меньше, чем в первом и третьем вместе. Сколько орехов лежит в
третьем ящике?
Задача 5: Из пункта А в пункт Б и из пункта Б в пункт А одновременно выбежали два
спортсмена. Когда первоначальное расстояние между ними сократилось на 15 км, то первому
из спортсменов осталось бежать до пункта Б в три раза большее расстояние, чем было между
ними в это время, а второму – в полтора раза больше, чем он пробежал. Каково расстояние
между пунктами?
Задача 6: Все натуральные числа от 1 по 1000 разбиты на две группы: четные и нечетные
числа. Определите, для какой из групп сумма всех цифр, используемых для записи чисел,
больше, и на сколько?
Задача 7: В прямоугольном треугольнике наименьшая высота вчетверо короче гипотенузы.
Чему равны углы треугольника?
Задача 8: При умножении пятизначного натурального числа на девять получилось число,
записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите все такие числа.
Задача 9: В ящике лежат 1999 белых шаров, 2000 красных шаров и 2001 синий шар. Какое
наименьшее число шаров нужно взять из ящика, не заглядывая внутрь, чтобы среди взятых
шаров наверняка были шары всех цветов?
Задача 10: Найдите все натуральные числа, которые при удвоении записываются теми же
цифрами, что и квадраты этих чисел, только в обратном порядке.
Задача 11: Четверо бизнесменов участвовали в соревновании на звание самого лучшего.
Первый, четвертый и третий бизнесмены вместе заработали в четыре раза больше второго,
второй, третий и четвертый бизнесмены вместе заработали в три раза больше первого. И,
наконец, первый, второй и третий бизнесмены вместе заработали в два раза больше
четвертого. Кто на каком месте оказался в этом соревновании?
Задача 12: Квадраты натуральных чисел выписаны в ряд: 149162536... Какая цифра стоит на
1998 месте?
Задача 13: Какое наибольшее число элементов содержит множество А, если оно имеет
больше 19-элементных подмножеств, чем 98 элементных?
Задача 14: Поезд проехал переезд автотрассы шириной 5 метров за 5 секунд, а мимо перрона
длиной 200 метров за 15 секунд, двигаясь вдвое медленнее. Какова длина состава?
Задача 15: 15 одинаковых шариков можно сложить в виде треугольника, но нельзя сложить в
виде квадрата – одного шарика не хватает. Из какого количества шариков, не превосходящего
50, можно сложить как треугольник, так и квадрат?
Задача 16: Найдите наименьшее натуральное число, которое оканчивается на 13, делится на
13 и имеет сумму цифр, равную 13.
Задача 17: Сколько имеется прямоугольных треугольников, длины сторон которых
выражаются целыми числами, если один из катетов этих треугольников равен 15?
Задача 18: Найдите правильную дробь, которая увеличивается в 3 раза, если ее числитель
возвести в куб, а к знаменателю прибавить 3.
Задача 19: Найдите восемь последовательных целых чисел, сумма первых трех из которых
равна сумме остальных пяти.
Задача 20: Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы
получить трехзначное число, записываемое одинаковыми цифрами?
Задача 21: Первая цифра четырехзначного числа равна количеству нулей в этом числе,
вторая цифра равна числу единиц, третья – числу двоек, четвертая – числу троек. Найдите
все такие числа.
Задача 22: Трехзначное число начинается с цифры 7. Из него получили другое трехзначное
число, переставив эту цифру в конец числа. Полученное число оказалось на 117 меньше
предыдущего. Какое число рассматривалось?
Задача 23:
В кружках треугольника расставлены все цифры от 1 по 7 (каждое по одному разу), причем
сумма чисел вдоль каждого отрезка прямой одна и та же. Чему она равняется и какие числа
поставлены в вершины треугольника? (Приведите хотя бы один из вариантов расстановки)
Задача 24:
Найдите какое-нибудь решение числового ребуса:
***
***
-----****
***
--------aaaaa
Задача 1:
«Доказать, что
Какое целое число здесь пропущено?
(Жозеф Бертран)
Задача 2:
Лестница длиной 13 футов наклонно приставлена к стене, нижняя часть ее при этом удалена
от стены на 5 футов. Насколько спустится она по стене, если её основание отодвинуть ещё на
7 футов?
(рукопись Мюнхенского собрания)
Задача 3:
Какое число, будучи прибавлено к девяти, даст свой ушестерённый квадратный корень?
(Абен-Дреат)
Задача 4:
«Решить в натуральных числах систему:
этой системы?
.» Сколько всего решений у
(Лебег)
Задача 5:
Число состоит из трех цифр, сумма этих цифр равна 11, цифра единиц вдвое больше цифры
сотен. Если прибавить к искомому числу 297, то получается число, написанное теми же
цифрами, как у искомого, но в обратном порядке. Какое число имеет эти свойства?
(Луи Пьер Бурдон)
Задача 6:
Какое число следует прибавить к каждому из членов дроби 3/11, чтобы получить дробь,
равную 5/9 ?
(Желен)
Задача 7:
Некто согласился работать с условием получить в конце года одежду и 10 флоринов. Но по
истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во
сколько ценилась одежда?
(Христоф Рудольф)
Задача 8:
«Если число, делённое на 9, даёт в остатке 2, 5 или 8, то куб его, делённый на 9, даёт в
остатке ». Что?
(Авиценна)
Задача 9:
Найти последний член и сумму 20 членов прогрессии: 3, 7, 11, 15,
(Ал-Кархи)
Задача 10:
Разложить дробь
на сумму двух дробей вида
.
(Огюстен Луи Коши)
Задача 11:
Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлась 1/4 этой суммы, на долю
второго – 1/7, а на долю третьего – 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?
(Адам Ризе)
Задача 12:
Найти число, которое, будучи умножено на 3, а затем разделено на 5, увеличено на 6, после
чего из него извлечён квадратный корень, отнята единица и результат возведён в квадрат, даст
4.
(Парамадисвара)
Задача 13:
Один фонтан наполняет бассейн в 2½ часа, другой – в 3¾ часа. Во сколько времени оба
фонтана, действуя вместе, наполнят бассейн?
(Сильвестр Лакруа)
Задача 14:
Найти число, которое, будучи увеличено двумя третями самого себя и единицей, даёт 10.
(Бега Эддин)
Задача 1:
«Если диаметр круга единица, то длина нити, охватывающей окружность, выражается целым
с дробью:
ближение для π .
Определить до какого десятичного знака точно это при(Ибн-Эзра Авраам бен-Меир, трактат ``Книга о числе''.)
Задача 2:
Несколько купцов внесли в общее дело 100 раз столько рублей, сколько было купцов. Они
отправили в Венецию доверенного, получавшего с каждой сотни рублей число рублей, вдвое
большее числа купцов. Спрашивается: сколько было купцов, если доверенный получил 2662
рубля?
(Леонард Эйлер)
Задача 3:
Каким наименьшим числом гирь и какого веса можно отвесить на весах любое целое число
фунтов от 1 до 40 при условии, что при взвешивании гири можно класть на обе чаши весов?
(Баше де Мезирак)
Задача 4:
Решить уравнение:
13x² = x4 + 2x³ + 2x + 1
(Джироламо Кардано)
Задача 5:
Стая обезьян забавлялась: квадрат одной восьмой части их резвился в лесу, остальные двенадцать кричали на вершине холмика. Скажи мне: сколько было всего обезьян?
(Бхаскара)
Задача 6:
Дан треугольник со сторонами 9, 12, 15. Найти диаметр круга, вписанного в этот треугольник.
(Эпафродит)
Задача 7:
Семь старух отправляются в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несёт по семи мешков, в каждом мешке по семи хлебов, в каждом хлебе по семи ножей, каждый нож в семи
ножнах. Сколько всех предметов?
(Леонардо Фибоначчи)
Задача 8:
Эпитафия Диофанту: «Диофант провел шестую часть жизни в детстве, двенадцатую в юности; после седьмой части, проведенной в бездетном супружестве, и ещё 5 лет у него родился
сын, проживший в два раза меньше отца. После смерти сына Диофант прожил только 4 года.
Скольких лет Диофант умер?»
(Метродор)
Задача 9:
Найти три числа так, чтобы произведение любой пары их, увеличенное их суммой, равнялось
бы соответственно 8, 15, 24.
(Диофант Александрийский)
Задача 10:
«Квадрат хорды, перпендикулярной к диаметру, деленный на учетверённый любой отрезок
диаметра и сложенный с тем же отрезком, равняется ?» Чему?
(Брамагупта)
Задача 11:
Имеется 9 слитков золота и 11 слитков серебра. Их взвесили (золото – на левую чашу весов,
серебро – на правую), и весы остались в равновесии. После того, как слиток золота переложили на правую чашу, а слиток серебра – на левую, левая чаша стала легче на 13 ланов. Каков вес одного слитка золота?
(Китай)
Задача 12:
«Разделить сто мер пшеницы между 100 лицами так, чтобы каждый мужчина получил 3,
каждая женщина – 2, а каждое дитя – ½ меры. Сколько мужчин, женщин и детей?» Сколько
решений имеет эта задача?
(Алкуин)
Задача 13:
«Сколько раз пробьют часы в продолжение 12 часов, если они отбивают и получасы?" (Часы
– соответствующее число раз, а получасы – по разу).
(Луи Франкер)
Задача 14:
Дается радиус (4) вписанного в треугольник круга и отрезки 6 и 8, на которые точка касания
делит одну сторону треугольника. Найти две другие стороны.
(Лука де Бурго (Пачиоло))
Задача 15:
«Найти число, которое при делении на 17, 13 и 10 даёт соответственно остатки 15, 11 и 3.»
Найдите такое наименьшее натуральное число.
(Региомонтан (Иоганн Мюллер))
Задача 16:
«
ральные числа.
» Вставьте вместо многоточий нату-
Задача 4:
Камни лежат в трёх кучках: в одной – 51 камень, в другой – 49 камней, а в третьей – 5
камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного
количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?
(В. Клепцын)
Задача 2: Найдите значение выражения (x + 1)4 – (x – 1)4 при x = 1000.
Задач 1: Обычный лист бумаги представляет собой прямоугольник, у которого отношение
большей стороны к меньшей такое же, как у его половины. Найдите это отношение.
Задача 2: Фильтр очищает бак воды за 20 минут, а наполняет такой же бак чистой водой за 21
минуту. Какую долю бака с неочищенной водой занимали примеси, задержанные фильтром?
Задача 3: В параллелограмме ABCD точка E — середина AD. Точка F — основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую CE. Докажите, что треугольник ABF равнобедренный.
Задача 4: Барон Мюнхгаузен утверждает, что пустил шар от борта бильярда, имеющего
форму правильного треугольника, так, что тот, отражаясь от бортов, прошел через некоторую точку три раза в трех различных направлениях и вернулся в исходную точку. Могут ли
слова барона быть правдой? (Отражение шара от борта происходит по закону «угол падения
равен углу отражения».)
Задача 5: Имеется 201 гиря, веса которых (в граммах) — последовательные натуральные
числа от 1 до 201. Назовем гирю хорошей, если после ее удаления оставшиеся 200 гирь можно разделить на две группы, равные по весу и по количеству гирь. Докажите, что
а) гиря 101 г хорошая;
б) гиря 199 г хорошая.
Задача 2:
Есть 30 шаров красного, желтого и зеленого цвета. Петя выбирает 10 из них, затем Вася
выбирает 5 из этих 10-ти, а потом опять Петя выбирает 2 из этих 5-ти. Если оба окажутся
красными, Петя выиграл. При каком наименьшем количестве красных шаров Петя наверняка
может выиграть?
Задача 3: В треугольнике ABC угол A равен 30, а медиана BM равна высоте CH. Найдите
углы B и C.
Задача 4: Трем геологам надо было добраться до станции в 60 км от их базы за 3 часа.
Смогут ли они это сделать, если у них есть мотоцикл, на котором можно ехать не больше,
чем двоим со скоростью 50 км/час, а пешком они передвигаются со скоростью 5 км/час?
Задача 5: От натурального числа с суммой цифр 100 отняли натуральное число с суммой
цифр 99. Могло ли в результате получиться натуральное число с суммой цифр а) 16; б) 19?
Задача 6: В 2000 году телевидение Вишкиляндии начало показывать мультсериал
«Комариный рай», причем в каждом году, начиная с 2001-го, было показано либо на 40
больше, либо на 40 меньше серий, чем в предыдущем. Чтобы не наносить большого вреда
учебному процессу, ежедневно показывали не более двух серий. При просмотре 1230-й серии
зрители были глубоко опечалены гибелью главного героя в неравной борьбе с комарами, но
ровно через два года, в 2004 году были тронуты в последней серии клятвой его сына
отомстить за гибель отца. Сколько серий содержал этот замечательный сериал?
Задача 2: Можно ли разрезать квадрат 8 × 8 на части, из которых складывается
прямоугольник 5 × 13?
Задача 3: Разрежьте квадрат 7 × 7 на
а) квадраты 4 × 4, квадрат 3 × 3 и 4 равных прямоугольных треугольника;
б) один квадрат и 4 прямоугольных треугольника, равных треугольникам из (а);
в) Найдите размер квадрата в (б).
Задача 4: Даны 4 прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой c. Докажите,
что добавив к ним а) один квадрат со стороной c; б) два квадрата со сторонами a и b, можно
будет составить квадрат со стороной a + b.
Задача 5: (Теорема Пифагора) a² + b² = c².
Задача 7: Разрежьте квадрат а) на равные квадраты; б) на равные треугольники, из которых
составьте два различных квадрата.
Задача 8: Перекроите квадрат в 8 равных квадратов.
Задача 9: Перекроите квадрат а) в три квадрата; б) в три различных квадрата.
Задача 10: Разрежьте прямоугольник 1 × 5 на 5 частей, из которых сложите квадрат.
Задача 11: Перекроите квадрат в 5 равных квадратов.
Задача 12: Разрежьте квадрат на равные части, из которых сложите три различных квадрата.
Задача 13: Пусть каждая спичка имеет длину 1 дюйм. Сложите из 12 таких спичек одну
фигуру площади 4 кв. дюйма.
Задача 14: Перекроите квадрат в три равных меньших квадрата.
Задача 15: Пусть a² + b² = c². Перекроите квадрат со стороной c в два квадрата со сторонами
a и b (число частей не должно зависеть от a и b).
Задача 16: Перекроите квадрат в правильный треугольник.
Please shЗадача 1: Не находя суммы
52715223 + 71337651 + 53258554 + 633164334 + 71574116 + 4325988, выберите верный ответ:
а) 886375457; б) 886375478; в) 886375866; г) 86375942.
Задача 2: Некоторые семиклассники взяли из комнаты N0 фломастеры для стенгазеты. Из
них несколько мальчиков взяли по целой пачке из 6 фломастеров, несколько девочек забрали
по 8 фломастеров разных цветов, а восьми опоздавшим досталось по фломастеру синего
цвета. В конце смены Борис Юрьевич хочет собрать с семиклассников 155 фломастеров.
Сочтут ли школьники это требование выполнимым?
Задача 3: Каждый следующий день смены семиклассник получает в два раза меньше
комариных укусов, чем в предыдущий. Может ли он за два дня подряд получить 2000 укусов?
Задача 4: ЛМШонок Петя охотился на комаров. В первый день ему удалось убить только
двоих, но с каждым днем его квалификация повышалась и ему удавалось убивать вдвое
больше комаров, чем в предыдущий. Мог ли он в двадцать пятый день убить
33554434 комара?
Задача 5: Какие из утверждений верны:
а) если число при делении на 8 дает остаток 3, то при делении на 4 оно также дает остаток 3;
б) если число при делении на 4 дает остаток 3, то при делении на 8 остаток сохраняется;
в) если число при делении на 15 дает остаток 7, то при делении на 5 остаток не равен 3;
г) если число при делении на 15 дает остаток 3, то при делении на 9 остаток не равен 6?
Задача 6: Генерал построил солдат в колонну по 4, но при этом солдат Иванов остался
лишним. Тогда генерал построил солдат в колонну по 5. И снова Иванов остался лишним.
Когда же и в колонне по 6 Иванов остался лишним, генерал посулил ему наряд вне очереди,
после чего в колонне по 7 Иванов нашел себе место и никого лишнего не осталось. Какое
наименьшее количество солдат могло быть у генерала?
Задача 7: Дождь над Вишкилем начался в полночь и лил ровно 10000 минут. Могло ли
случиться, что сразу после этого выглянуло солнце?
Задача 8: На сколько нулей заканчивается число 2000!?
Задача 9: Найдите последнюю цифру числа а) 2001²ºº¹; б) 54949; в) 345673376543; г)
Задача 10: Найдите две последние цифры числа а) 1999
; б) 16
.
.
Задача 11: Докажите, что Александр Юрьевич должен отпраздновать свое 28-летие в такой
же день недели, в какой он родился.
Задача 12: В последовательности цифр каждая цифра, начиная с пятой, равна последней
цифре суммы четырех предыдущих. Последовательность начинается с цифр 1234096Может
ли в ней встретиться комбинация цифр 1999?
Задача 13: Найдите последнюю ненулевую цифру числа 2000!
Задача 14: Пушкин родился 6 июня 1799 года (по новому стилю). Какой это день недели
(учтите, что 1800-й и 1900-й годы не были високосными) ?
Задача 2: Некоторые семиклассники взяли из комнаты N0 фломастеры для стенгазеты. Из
них несколько мальчиков взяли по целой пачке из 6 фломастеров, несколько девочек забрали
по 8 фломастеров разных цветов, а восьми опоздавшим досталось по фломастеру синего
цвета. В конце смены Борис Юрьевич хочет собрать с семиклассников 155 фломастеров.
Сочтут ли школьники это требование выполнимым?
Задача 3: Каждый следующий день смены семиклассник получает в два раза меньше
комариных укусов, чем в предыдущий. Может ли он за два дня подряд получить 2000 укусов?
Задача 4: ЛМШонок Петя охотился на комаров. В первый день ему удалось убить только
двоих, но с каждым днем его квалификация повышалась и ему удавалось убивать вдвое
больше комаров, чем в предыдущий. Мог ли он в двадцать пятый день убить
33554434 комара?
Задача 7: Дождь над Вишкилем начался в полночь и лил ровно 10000 минут. Могло ли
случиться, что сразу после этого выглянуло солнце?
Задача 8: На сколько нулей заканчивается число 2000!?
Задача 9: Найдите последнюю цифру числа а) 2001²ºº¹; б) 54949; в) 345673376543; г)
Задача 10: Найдите две последние цифры числа а) 1999
; б) 16
.
.
Задача 1: Хозяин обещал работнику за год 12 рублей и кафтан. Но тот ушел через 7 месяцев.
При расчете он получил кафтан и 5 рублей. Сколько стоит кафтан?
Задача 2: Собираясь в Рио-де-Жанейро, Остап решил поменять все свои рубли на крузадо. В
российском банке курс 3000 рублей за крузадо, и еще надо заплатить 7000 рублей за право
обмена независимо от меняемой суммы. В бразильском банке курс 3200 рублей за крузадо, и
за право обмена берут 1 крузадо. Подсчеты показали, что Остапу все равно, в каком из банков менять деньги. Сколько у него рублей?
Задача 3: Страшила и Железный Дровосек отправились утром в Изумрудный город в один
день, по одной дороге и в одном направлении, причем вначале Дровосек находился на
28 миль позади Страшилы и на расстоянии 100 миль от цели. Оба идут с 8 утра до 8 вечера, и
скорость каждого в течение дня постоянна. В первый день Дровосек прошел 20 миль, во второй – 18, в третий – 16, и так далее, а Страшила в первый день прошел 4 мили, во второй – 8,
в третий – 12, и так далее. Где и когда они окажутся одновременно?
Задача 4: Истратив половину денег, я заметил, что осталось вдвое меньше рублей, чем было
первоначально копеек, и столько же копеек, сколько было первоначально рублей. Сколько
денег я истратил?
Задача 5: Бивис и Батт-Хед за ночь посмотрели три программы видеоклипов. Первая программа содержала в полтора раза меньше клипов, чем вторая, а всего в трёх программах было 200 клипов. Из всего просмотренного Бивису понравилась лишь пятая часть клипов первой программы и половина клипов второй программы. Батт-Хеду понравилось столько же
клипов, сколько и Бивису, в том числе все клипы третьей программы. Сколько клипов им не
понравилось?
Задача 6: После удачного налета атаман Рустам взял себе одиннадцатую часть всех захваченных пленниц, а остальных распределил между членами шайки согласно их заслугам. Косой, которому досталось меньше всех пленниц, затеял драку с атаманом и был побежден в
честном бою. Труп его достался шакалам, а пленницы – атаману, после чего у атамана оказалась одна восьмая всех пленниц. Доказать, что после драки у атамана осталось не больше
25 разбойников.
Задача 7: Аня и Таня весят вместе 40 кг, Таня и Маня – 50 кг, Маня и Ваня – 90 кг, Ваня и
Даня – 100 кг, Даня и Аня – 60 кг. Сколько весит Аня?
Задача 8: Коза и корова съедают воз сена за 45, корова и овца – за 60, а овца и коза – за
90 дней. За сколько дней съедят воз сена коза, овца и корова вместе?
Задача 9: 70 коров съели бы всю траву за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров съели бы всю траву за 96 дней (не забудьте, что трава равномерно подрастает!).
Задача 10: Для участников матбоя и членов жюри было приготовлено конфет столько же,
сколько булочек и стаканов чая вместе. Каждый школьник съел по конфете и выпил по стакану чая, после чего осталось стаканов чая и конфет вместе столько, сколько булочек.
Найдется ли стакан чая для заглянувшего к ним члена жюри?
Задача 11: По итогам математической олимпиады восемь победителей получили 97 книг. За
более высокое место давали больше книг. Известно, что все победители получили разное
число книг, причем за восьмое место книг было вручено не менее половины числа книг за
первое место. Сколько книг получил каждый из восьми победителей? Найдите все решения и
покажите, что других нет.
Задача 12: Трое крестьян – Игорь, Гоша и Ильдар – пришли на рынок с женами: Ларисой,
Екатериной и Ольгой. Известно, что каждый из шестерых заплатил за каждый купленный
предмет столько копеек, сколько предметов он купил. Каждый мужчина истратил на
48 копеек больше своей жены. Кроме того, Игорь купил на 9 предметов больше Екатерины, а
Гоша – на 7 предметов больше Ларисы. Определите, кто на ком женат.
Задача 13: Управдом Остап Бендер собирал с жильцов деньги на установку новых квартирных номеров. Адам Козлевич из 105-й квартиры поинтересовался, почему во втором подъезде надо собрать денег на 40 больше, чем в первом, хотя квартир там и тут поровну. Не растерявшись, Остап объяснил, что за двузначные номера приходится платить вдвое, а за трехзначные – втрое больше, чем за однозначные. Сколько квартир в подъезде?
Задача 14: Будильник был заведен на 8 часов, но Петя проснулся раньше и заметил, что часовая стрелка является биссектрисой угла между минутной и, показывающей на цифру 8,
стрелкой звонка будильника. Петя сообразил, что такое случилось в последний раз до звонка.
Когда проснулся Петя?
Взвешивание крупы
Имеется 9 кг крупы и чашечные весы с гирями в 50 г и 200 г. Попробуйте в три приема
отвесить 2 кг этой крупы.
Нужно развесить крупу на две равные части по 4,5 кг; затем развесить одну из этих
частей еще раз пополам, то есть по 2,25 кг, и от одной из этих частей отнять при помощи
двух имеющихся гирь 250 г. Таким образом, Вы получите вес в 2 кг.
Сколько страниц в книге?
При издании книги потребовалось 2 775 цифр того, чтобы пронумеровать ее
страницы. Сколько страниц в книге?
На первые 9 страниц требуется 9 цифр. С 10-й по 99-ю страницу (90 страниц) требуется
90х2=180 цифр. С 100-й по 999-ю страницу (900 страниц) требуется 900х3=2700 цифр
(по 300 цифр на каждую сотню страниц с трехзначной нумерацией). Следовательно, на
999 страниц необходимо 2700+180+9=2889 цифр. Мы перебрали (2889-2775)/3=38
страниц. Итого: 999-38=961 страница была в книге.