Элективный курс по алгебре «Проценты

Тема: Процентные вычисления в жизненных ситуациях.
Цель
курса:
математическая
квалификация
вопросов
на
проценты
и
выявление
словоупотребления
термина
«процент»
в
от
контекста,
показать
широту
применения
такого
простого
и
известного
математического
аппарата,
как
вычисления.
типичных
нормы
зависимости
в
жизни
учащимся
процентные
Программа курса: 1. Введение. Из истории процентов.
Понятие процента. Решение задач.
2. Вычисление количеств по процентам.
3. Вычисление процентов по количествам.
4. Нормативное и ненормативное сравнение процентов.
5. Процентные вычисления в жизненных ситуациях.
Распродажа.
6. Тарифы. Штрафы.
7. Банковские операции.
8. Голосование.
9. Заключение. Итог.
Процент. Основные задачи на проценты.
Справочный материал
1. Процентом называется сотая часть какого – либо числа. Процент
обозначается знаком %. Например, 5 %, 100%.
2. Если число принять за 1, то 1 % составляет 0, 01 этого числа, 25%
составляет 0,25 числа (или ¼ числа) и т. д.
Таким образом, чтобы число процентов выразить в виде дроби,
достаточно число процентов разделить на 100. Например, 125 % =
1,25; 2, 3% = 0, 023.
3. Нахождение процентов данного числа. Чтобы найти а % от
числа b, надо b умножить на а .
100
Например, 30 % от 60 составляют 60 · 30 = 18.
100
4. Нахождение числа по его процентам. Если известно, что
а % числа х равно b, то число х можно найти по формуле
х= b . 100.
а
Например, если 3 % вклада в сберкассу составляют 150 р., то этот
вклад равен ( 150) . 100 = 5000 р.
3
5. Нахождение процентного отношения чисел. Чтобы найти
процентное отношение двух чисел a и b , надо отношение этих
чисел умножить на 100 %, т.е. вычислить
a . 100 %.
b
Пусть, например, при плановом задании 60 автомобилей в день
завод выпустил 66 автомобилей, тогда он выполнил план на
66 . 100 %, т.е. на 110 %.
60
Упражнения с решениями.
Сберегательные банки вычисляют по вкладам ежегодно 2 % вклада.
Вкладчик внес в сберегательный банк 150 р. Какой станет сумма вклада через
2 года?
Р е ш е н и е. Вклад к концу первого года составит
150 + 150 · 1,02 = 150 · 1, 02 = 153 р., а к концу второго года
153 + 153 · 0, 02 = 153 · 1, 02 = 156 р. 6 к.
Вообще, имеет место формула сложных процентов:
N= а(1+ 0,01p)n, где а – первоначальная величина вклада, n – срок
вклада, N- величина вклада через n лет, p - число процентов.
1. РАСПРОДАЖА
Задача 1. Зонт стоил 360 р. в ноябре цена зонта была снижена на 15 %, а в
декабре - еще на 10 %. Какой стала стоимость зонта в декабре?
Решение: Стоимость зонта в ноябре составляла 85 % от 360 р., т.е. 360 · 0,85 =
306 (р.). второе снижение цены происходило по отношению к новой цене
зонта; теперь следует искать 90% от 306 р., т.е. 306 · 0,9 = 275, 4 (р.)
Ответ: 275 р. 40 к.
Дополнительный вопрос. На сколько процентов по отношению к
первоначальной цене подешевел зонт?
Решение. Найдем отношение последней цены к исходной и выразим его в
процентах. Получим 76,5 %. Значит, зонт подешевел на 23, 5%.
Задача 2. На осенней ярмарке фермер планирует продать не менее одной
тонны лука. Ему известно, что при хранении урожая теряется до 15 % его
массы, а при транспортировке – до 10 %. Сколько лука должен собрать
фермер, чтобы осуществить свой план?
Решение. Просчитаем худший вариант. Пусть нужно собрать х т лука. Тогда
после хранения может остаться 0,85 х т и на ярмарку будет доставлено – 0,9 ·
0,85 х т. составим уравнение 0,9 · 0, 85 х = 1,
откуда х ≈1,3.
Ответ: не менее 1,3 т.
Задача 3. На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь сначала на
24 %, а потом еще на 10 %. Сколько рублей можно сэкономить при покупке
кроссовок, если до снижения цен стоили 593 р.?
Решение. В реальной жизни часто вместо точных подсчетов удобно выполнять
прикидку. В нашем случае 593 р. – это примерно 600 р.; а 24 % - это
примерно ¼. Четверть от 600 р. составляет 150 р. Таким образом, после
первой уценки цена кроссовок снизилась на 150 р. и составила примерно 450 р.
После второй уценки новая цена кроссовок снизилась на 45 р. В итоге
кроссовки подешевели примерно на 195 р.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 4. Антикварный магазин приобрел старинный предмет за 30 тыс.р. и
выставил его на продажу, повысив цену на 60%. Но этот предмет был продан
лишь через неделю, когда магазин снизил его новую цену на
20 %. Какую прибыль получил магазин при продаже антикварного предмета?
Ответ: 8,4 тыс. р
Задача 5. На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350 р.
уценили на 40 %, а через неделю еще на 5 %. В другом магазине шарф такой же
стоимости уценили сразу на 45 %. В каком магазине выгоднее купить этот шарф?
Ответ: Выгоднее купить во втором магазине.
Задача 6. Во время распродажи масляные краски для рисования стоимостью 213
р. за коробку продавали на 19 % дешевле. Сколько примерно денег сэкономит
художественная студия, если она купит партию в 150 коробок?
Ответ: примерно 6 тыс. р.
2. Тарифы
Задача 7. В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость
отправления почтовой открытки составит 3 р. 15 к. вместо 2 р. 75 к.
Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом
году, который составляет 14,5%?
Решение. Разность тарифов составляет 0,4 р., а ее отношение к старому тарифу
равно 0,14545… Выразив это отношение в процентах, получим примерно 14,5 %
Ответ: да, соответствует.
Дополнительный вопрос. Сколько будет стоить отправка заказного письма, если
сейчас эта услуга оценивается в 5 р. 50 к.?
Ответ: 6 р. 30 к.
Задача 8. Тарифы для мобильных телефонов зависят от систем оплаты. В 2000
году тарифы оплаты по системам К и М были одинаковыми, а в следующие три
года последовательно либо увеличивались, либо уменьшались. Сравните тарифы
в 2003 г.
Таблица
Тарифы
Годы
2001
2002
2003
По системе К
Увеличен на 10 % Уменьшен на 3 % Уменьшен на 3 %
По системе М
Уменьшен на 5 % Увеличен на 3 %
Увеличен на 4 %
Решение. В 2003 г. тариф по системе К увеличился по сравнению с исходным
примерно на 3,5 %, а по системе М – на 1,8 5. Таким образом, тариф по системе К
стал выше примерно на 1,7 %.
Пояснение. Следует обозначить буквой х тарифы М и К в 2000 г., затем
последовательно выразить через х все последующие тарифы.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 9. В начале года тариф на электроэнергию составил 40 к. за 1 кВт.ч. в
середине года он увеличился на 50%, а в конце года – еще на 50%. Как вы
считаете, увеличился ли тариф на 100%, менее чем на 100%, более чем на 100%?
Ответ: тариф на электроэнергию увеличился более чем на 100%.
Задача 10. Стоимость проезда в городском автобусе составила 5 р. В связи с
инфляцией она возросла на 200 %. Во сколько раз повысилась стоимость проезда
в автобусе? Можно ли ответить на поставленный вопрос, не зная стоимости
проезда?
Ответ: в 3 раза (учащиеся сделают рисунок).
Задача 11. В этом году тарифы на услуги лодочной станции оказались на 20 %
ниже, чем в прошлом году. Можно ли утверждать, что в прошлом году тарифы
были на 20 % выше, чем в нынешнем году?
Ответ: нет.
Пояснение. Рисунок поможет убедиться, что в прошлом году тарифы по
сравнению с нынешним были выше на 25 %.
3. Штрафы
Задача 12. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в
сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15 – го
числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется
пеня в размере 4%. От суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется
заплатить родителям, если они просрочат оплату за неделю?
Решение. Так как 4 % от 250 р. составляют 10 р., то за каждый просроченный
день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р. Если родители просрочат
оплату на один день, то им придется заплатить 250 +10 = 260 (р.), на неделю –
250 +10 ∙7 = 320 (р.).
Задача для самостоятельного решения
Задача 13. За несвоевременное выполнение договорных обязательств сотрудник
фирмы лишается 25 % месячного оклада, и кроме того, за каждый просроченный
месяц к штрафу прибавляется 5% месячного оклада. Оклад сотрудника 10 тыс.р.
В каком размере он должен заплатить штраф при нарушении сроков на 5
месяцев?
Ответ: 5 тыс.р.
4. Банковские операции
Задача 14. За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8 % годовых.
Вкладчик положил на счет в банке 5000 р. и решил в течение пяти лет не снимать
деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете
вкладчика через год, через два года, через пять лет?
Решение.
Первый способ. Так как 8 % от 5000 р. составляют 400 р., то через один год на
счете окажется 5000 + 400= 5400 (р.) В конце второго года банк будет начислять
проценты уже на новую сумму. Так как 8 % от 5400 р. составляют 432 р., то
через два года на счете окажется 5400 +432 – 5832 (р.). вычисляя
последовательно, найдем, что через пять лет на счете вкладчика будет 7346 р. 64
к.
Второй способ. Через год начальная сумма вклада увеличится на 8%, значит,
новая сумма составит от первоначальной 108%. Таким образом, через год вклад
увеличится в 108 / 100= 1, 08 раза и составит 5000 ∙ 1,08(р.). Еще через год
образовавшаяся на счете сумма снова увеличится в 1,08 раза. Таким образом,
через два года на счете будет
(5000 ∙ 1, 08) ∙ 1,08 = 5000 ∙ 1, 082 (р.) аналогично через три года - 5000 ∙ 1, 083 (р.)
и т.д. Теперь видно, что вклад растет в геометрической прогрессии и через пять
лет сумма на счете вкладчика составит 5000 ∙ 1, 085 (р.), т.е. 7346, 64 р.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 15. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход
по которому составляет 12 %. Какая сумма будет лежать на его счете через год;
через два года; через 6 лет?
Ответ: 2240 р.; 2508 р. 80 к.; 3947 р.65 к.
Задача 16. Банк обещает вкладчикам удвоить их сбережения за пять лет, если они
воспользуются вкладом «Накопление» с годовой процентной ставкой 16 %.
Ответ: да, вклад увеличится в 1,16 5 раз, т.е. более чем в два раза.
Задача 17. В прошлом году Антон для оплаты своего обучения воспользовался
кредитом сбербанка, взяв сумму 40 тыс. р. с обязательством возвратить кредит (с
учетом 20% годовых) через три года. В этом году снижены процентные ставки
для кредита на оплату обучения в образовательных учреждениях: с 20% до 19 %
годовых. По этому у Бориса, последовавшего примеру брата, долг окажется
меньше. На сколько?
Ответ: примерно на 1700 р.
5. Голосование
Задача 18. Из 550 учащихся школы в референдуме по вопросу о ведении
Ученического совета участвовали 88% учащихся. На вопрос референдума 75%
принявших участие в голосовании ответили «да». Какой процент от числа всех
учащихся школы составили те, кто ответил положительно?
Решение: Выразим проценты дробями и вычислим число учащихся,
утвердительно ответивших на вопрос референдума: 550 ∙ 0, 88 ∙ 0,75 = 363
(чел.). Теперь найдем ответ на вопрос задачи: 363 : 550 = 0,66 – это 66 %
Дополнительный вопрос. Можно ли ответить на вопрос задачи, не зная числа
учащихся школы?
Ответ: да
Задача для самостоятельного решения
Задача 19. Собрание гаражного кооператива считается правомочным, если в
нем приняли участие 2/3 всех его членов, и вопрос считается решенным, если
за него проголосовали не менее 50 % присутствующих. В гаражном
кооперативе 240 человек. На собрание пришли 168, а за положительное
решение обсуждаемого вопроса проголосовали 86 человек. Какое принято
решение?
Ответ: положительное.
Из истории процентов
Слово «процент» происходит от латинского procentum, что буквально
означает «на сотню». В литературе возникновение этого термина связывается с
внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV в. Однако уже
«Дигестах Юстиниана» (так называется первая дошедшая до нас кодификация
римского права), датируемых V в., мы находим вполне современное
употребление процентов.
«Фиск (императорская казна) не уплачивает проценты по заключенным им
договорам, но сам получает проценты: например, от съемщиков публичных
уборных, если эти съемщики слишком поздно вносят деньги; также при
просрочке уплаты налогов. Когда же фиск является преемником частного
лица, то обычно он уплачивает проценты.
Если должники, платившие проценты в размере, меньшем чем 6 % в год,
стали должниками фиска, то они обязаны уплачивать 6 % годовых с того
времени, как требование против них перешло к фиску.
По – видимому, процент возник в Европе вместе с ростовщичеством как
предтеча десятичной системы счисления. Разрыв во времени заставляет
вспомнить современные теории о лишних веках в общепринятой хронологии.
Употребление термина «процент» в качестве нормы нашего
языка
начинается, вероятно с конца XVIII в. Об этом свидетельствует сравнительный
анализ текстов двух фундаментальных учебников по математике Ефима
Войтяховского (первое издание 1795 г.) и Т.Ф. Осиповского (первое издание
1802 г.). В обоих учебниках имеется по нескольку задач «на проценты по
вкладу», но Е. Войтяховский оперирует исключительно сотыми долями, тогда
как Т.Ф. Осиповский уже употребляет термин «процент». Мы воспроизводим
три задачи от Е. Войтяховского и Т.Ф. Осиповского
с сохранением
авторского языка в условиях.
Задача 1. Купец торговал положенными в торг 100 рублями с убытком, так что
оставшаяся сумма после первого года без 4/25 всего (начального) капитала, равна
оставшейся сумме после двух лет. Спрашивается: по скольку он получал убытка
от 100 руб. в каждый год?
Ответ: 80 или 20 руб.
Задача 2. Отдан в ломбард капитал а по р процентов; проценты сии в ломбард
оставляются, причисляя их к капиталу, и сверх сего вносится еще ежегодно по b
руб. Спрашивается: сколь велик весь капитал будет по истечении n лет?
Ответ: kn ∙ а + kn – 1
k–1
∙ b, где k= 1+ p
10
Задача 3. Положим, например, что отдан в ломбард капитал, состоящий из 10 000
рублей по 5 процентов, и ежегодно еще вносится по 800 рублей. Спрашивается:
после 12 лет сколь велик капитал сей будет?
Ответ: 30 692 руб. 26 коп.
Привычка к употреблению процентов в сфере денежных отношений
благоприятствовала быстрому их внедрению в развивающиеся технологии XIX в.
Так, в словаре Брокгауза и Ефрона читаем следующее: «По предварительным
данным переписи 1897 г., население Петербурга оказалось возросшим за 6 лет на
178 тысяч, из которых 150 тыс. приходится на прилив извне; из всего прироста
85 % падает на крестьян, составляющих теперь до 59 % всего петербургского
населения»
Как видно из этого отрывка, уже на рубеже XIX и XX вв. русскоязычное
контекстное понимание процентов максимально лаконизируется. В одном
предложении фигурируют две различные стопроцентные базы. В последующем
это становится нормой деловой речи и литературы.
Для удовлетворения возрастающих требований к точности исчисления малых
долей вместо кванта 1 % вводится квант 1 - так называемое промилле.
1000
промилле можно часто встретить на страницах книг по медицине и
фармакологии.
В операциях с ценными металлами используется другое название кванта 1 1000
проба. Так, золото 750 – ой пробы – это сплав с 75 – процентным содержанием
золота.
Понятие процента
Проценты употребляются для сравнения однородных положительных
количеств, и только для этого. Один процент - это, по определению, одна сотая:
1%= 1
100
соответственно, p %= p
100
Один процент от количества А - это, по определению, одна сотая часть
количества А:
1 % от А равен 1 ∙ А
100
Соответственно,
p % от А равен p ∙ А
(1)
100
где p - безразмерное число. Отметим, что предлог от часто опускается.
Вместо «В составляет р процентов от А» говорят еще: «Процент В от А есть
р». То есть слово «процент» может означать любое количество процентов, но
словосочетание «один процент» всегда означает именно одну сотую, так же как
словосочетание «двадцать один процент» всегда означает именно двадцать одну
сотую и т.д.
Как видно из формулы (1), процентом р задается коэффициент
к=р
100
перед данным количеством А. Говорят еще: «кА больше А в к раз».
Если кА - заведомое подмножество А, то говорят и так: «к есть доля кА в А»
Для дальнейшего важно запомнить, что процент всегда выступает в роли
коэффициента – сомножителя перед некоторым количеством.
Вычисление количеств по процентам.
Первая группа шаблон вопросов относится к той ситуации, когда количество А и
некоторый процент р. требуется найти количество, которое этот процент
выражает.
Вопрос К1.
Каково количество, составляющее р % от А?
Формула ответа: р ∙ А
100
Обсуждение. Здесь ключевое слово от.. то, что стоит за ним, принимается за базу
в 100 % и подвергается умножению на коэффициент к = р
100
Вопрос К1 может звучать в несколько другой форме, например, так:
найти р % от А;
или так
найти р % количества А.
Ключевое слово – предлог от – в последней формулировке вопроса К1
отсутствует. Однако его можно вставить искажения смысла вопроса, и причем
вставить в одно единственное место:
Найти р % от количества А.
Таким образом, и при явном и при неявном участии ключевого слова от в
формулировке вопроса К1 оно имеет свое, однозначно определяемое место.
Чтобы понять некоторый вопрос на проценты как вопрос К1, нужно это место
найти и следующее за ним количество принять за базу в 100 %.
Для быстрого ответа на вопрос К1 нужно знать, что:
5% = 1/20, 10 % = 1/10, 20 % = 1/5, 25 % = ¼, 50 % = ½, 75 %= ¾.
Задача 4. В городе N состоялись выборы в городскую думу, в которых приняли
участие 75 % избирателей. Только 10 % от числа принявших участие в выборах
отдали голоса партии «зеленых». Сколько жителей проголосовали за партию,
если в городе всего 1 миллион избирателей?
Решение. Здесь мы должны дважды применить формулу ответа на вопрос К1. по
условию, в выборах приняли участие 0,75 ∙ 1000 тыс. = 750 тыс. чел. От них 10% это 0,1 ∙ 750 тыс. = 75 тыс.
Ответ: 75 000.
Задача 5. Из 750 учащихся школы 80 % занимаются в различных кружках, из
них 5 % - в радиокружке. Сколько учащихся занимается в радиокружке?
Решение. Дважды применив формулу К1, получим
5 ∙ 80 ∙ 750 = 30
100
100
Ответ: 30
Задача 6. Длина дистанции трехдневной велогонки была 480 км. В первый
велогонщики проехали 25 % всего пути, а во второй день 55 % оставшегося пути.
Сколько километров проехали велогонщики в третий день?
Решение. Здесь нужно дважды применить формулу К1.В первый день
велогонщики проехали ¼ ∙ 480 = 120 км.
Оставшийся путь составил 480 – 120 – 360 км.
Тогда, по условию во второй день велогонщики проехали 55/100∙ 360 = 198 км. В
результате в заключительный третий день велогонщики проехали
480 – 120 – 198 = 162 км.
Ответ 162 км.
Вопрос К2.
Каково количество, р% от которого есть А?
Формула ответа: 100 ∙ А
р
Обсуждение. Вопросы К1 и К2 родственны. Пусть искомое количество ( в
данном случае – это стопроцентная база) есть х. Тогда мы находимся в ситуации
вопроса К1:
А = р ∙ х.
100
Отсюда получаем формулу ответа на вопрос К2.
Следует владеть и другим способом рассуждения при ответе на вопрос К2: если
на А приходится р %, то один процент от неизвестного количества есть
А
р
соответственно неизвестное количество (искомая стопроцентная база) есть
100 ∙ А
р
Задача 7. При помоле пшеницы получается 80 % муки. Сколько пшеницы нужно
смолоть, чтобы получить 480 кг пшеничной муки?
Решение. По формуле К2 искомое количество пшеницы есть 100 ∙ 480 = 600 кг
80
Ответ: 600 кг
Вопрос К3.
Каково количество, большее чем А, на р %?
Формула ответа:
1+ р
∙А
1 00
Обсуждение. Здесь ключевое слово чем.. То, что стоит за ним, принимается за
базу в 100 %. В данном случае стопроцентная база – это А. Разница между
неизвестным количеством и базой составляет, по условию, р% от А, что по
формуле ответа на вопрос К1 дает р/100 ∙ А. В результате искомое количество
есть А + р/100 ∙ А = (1+ р/100)∙ А. Вопрос К3 может звучать в несколько другой
форме, например: найти количество, превосходящее А на р%.
Ключевое слово – союз чем - в последней формулировке вопроса К3 отсутствует.
Чтобы понять некоторый вопрос на проценты как вопрос К3, нужно
переформулировать вопрос с участием союза чем и следующее за союзом чем
количество принять на базу в 100%.
Вопрос К4.
Каково количество, меньшее чем А,на р%?
Формула ответа: (1- р/100) ∙ А.
Обсуждение. Здесь ключевое слово чем. То, что стоит за ним, так же, как в
предыдущем случае, принимается за стопроцентную базу, и т.п.
Если ответ на вопрос К4 приведет к отрицательному числу, то искомое
количество следует считать несуществующим, а сам вопрос некорректным.
Приведенная выше задача 1 решается с помощью тройного применения вопроса
К4. в самом деле, пусть р - убыток купца от 100 руб. в каждый год. Тогда, по
условию, получим уравнение
(1 - р/100) ∙ А – 4/25 ∙ А = (1 – р/100)2 ∙ А
р2 – 102 ∙ р +16 ∙ 102 = 0
р = 50 ± 30.
Чтобы привить устойчивый навык быстрого разрешения вопросов К1 –К4,
можно предложить учащимся самостоятельно заполнить карандашом следующую
таблицу. Каждый засекает время и все действия производит в уме!
Тренинг – таблица К
р% А
5
10
20
25
50
75
90
150
Кол – во, составляющее
р% от А
Кол –во, р
% которого
есть А
Кол –во,
большее А
на р%
Кол – во,
меньшее
А на р%
80
60
120
36
42
12
90
30
Заполнив таблицу, учащийся сравнивает свой результат с таблицей ответов к
тренинг – таблице К и вычисляет процент своих правильных ответов. По этому
проценту и по продолжительности работы учащийся может сам себе выставить
оценку согласно следующей рейтинг таблице.
Рейтинг – таблица
20 %
40%
60%
80%
100%
5 мин
3
3
4
5
5+
10 мин
2
3
4
4
5
15 мин
2
2
3
4
5
20 мин
2
2
2
3
4
30 мин
22
2
2
3
4. Вычисление процентов по количествам.
Вопросов П 1.
Сколько процентов составляет А от В?
Формула ответа: А · 100%
В
Обсуждение. Здесь ключевое слово от. То, что стоит за ним, принимается за
стопроцентную базу и записывается в знаменатель.
Задача 8. В одном городе Канады 70 % жителей знают французский язык и
80% - английский язык. Сколько процентов жителей этого города знают оба
языка?
Алгебраическое решение. Исходим из того, что каждый житель города знает
хотя бы один из двух языков - английский или французский. Пусть х жителей
знают только английский, у – только французский, z – оба языка. Тогда можно
дважды увидеть вопрос П 1. и, применив соответствующую формулу,
получить
х + z = 0,8
y+z
= 0,7
x+y+ z
x+y +z
сложив оба части эти равенства, получим
1+
z
= 1 + 0,5
z
·100% = 50 %
x+y+z
x+y+z
что по формуле П 1 дает искомый ответ: 50 %
Геометрическое решение. Разместим всех жителей города на отрезке 100% так,
что знающие английский стоят на отрезке сплошняком слева, а знающие
французский – сплошняком справа. Тогда общая часть этих множеств есть
отрезок [30%, 80%] «протяженностью» в 50% .
Задача 9. Из 20 – процентного раствора поваренной соли испарилось 25 %
имеющейся в растворе воды. Найдите концентрацию получившегося раствора.
Решение. Пусть m – начальная асса раствора. По формуле К1 соль составляет с20 / 100 · m. Также по формуле К1 останется воды
b= 100 – 25 · (m-c) = ¾ (m – 1/5m)= 3/5 m
100
Теперь по формуле П 1 искомый процент равен
с · 100% = ¼ · 100% = 25 %
b+с
Ответ: 25%
Вопрос П2.
На сколько процентов А больше, чем В?
Формула ответа:
А – В · 100%.
В
Обсуждение. Здесь ключевое слово чем. То, что стоит за ним, принимается за
стопроцентную базу и записывается в знаменатель.
Задача 10. Цены на промышленные и продовольственные товары снизились на
25 %. На сколько процентов повысилась реальная заработная плата?
Решение. Мы сами должны догадаться смысле слова «реальная» применительно к
зарплате и сделать определенные предположения для того, чтобы задача
получила разумное решение. Представляется естественным считать, что:
- реальная заработная плата – это сколько товаров V можно купить зарплату,
составляющую S в денежном выражении;
- в денежном выражении заработная плата не менялась .
опираясь на сказанное, получим: до снижения цен S = V1: c1 ;после снижения цен
S = V2: c2, где с1, с2 – соответствующие цены.
По формуле П2 искомая доля есть
S - S
V2 – V1 = c2
c1 = c1 - c2 .
V1
S
c
c1
По формуле К4
с2 = (1 - 0, 25) · с1 = 3/4с1.
Поэтому искомый процент есть
V2 – V1 · 100% = c2 - ¾ с1 · 100% = 33 1 %.
V1
¾ с1
3
Ответ: 33 1
3
Вопрос П3.
На сколько процентов А меньше, чем В?
Формула ответа:
В_-А ·100%.
В
Задача 11. Во время предвыборной кампании социологический центр «ЗЕВС»
поднял цену социологических исследований на 30%. Но отсутствие спроса
заставило вернуться к прежнему уровню цен. На сколько процентов была
снижена цена?
Решение. Пусть а – первоначальная цена социологических исследований. Тогда
по формуле К3 цена после повышения станет равна (1+ 300/100)а = 4а. По
формуле П3 процент последующего снижения цены окажется равен
4а – а
4а
· 100 % = 75%
Ответ: на 75 %.
Можно предложить учащимся упражнение со следующей тренинг – таблицей П.
А
1
4
4
15
50
В
2
1
5
20
10
Сколько %
Сколько
На
На
На
На
составляет А
%
сколько сколько сколько сколько
от В
составляет
%А
%В
%А
%В
В от А
больше, больше, меньше, меньше,
чем В
чем А
чем В
чем А
5. Нормативное сравнение процентов
«Величины можно сравнивать двояким образом: или определяя, чем одна
больше или меньше другой; или определяя, во сколько раз одна величина
больше другой, или какую часть одна другой составляет.
Сравнение первого рода называется содержанием Арифметическим, а
второго рода содержанием Геометрическим».
Применяя такую классификацию сравнений к сравнению процентов с
процентами, получим два следующих модельных вопроса, выражающих
существо проблемы.
Модельный вопрос арифметического содержания:
На сколько 3% больше, чем 2 %?
Нормативный ответ: на 1 процентный пункт.
Модельный вопрос геометрического содержания:
На сколько процентов 3% больше, чем 2%?
Нормативный ответ: на 50%.
Большинство текстов, особенно деловых и научных, демонстрирует, как
норму, выражения « р% больше q % на р – q процентных пунктов» и « р%
больше q % на (р- q) / q ·100%».
Например:
«По отношению к ВВП доля налоговых доходов федерального бюджета по
принятому Думой федеральному бюджету на 2000 г. составила 12,6 %, что
выше доли, сложившейся по уточненному бюджету на 1999 г., на 2,24
процентных пункта, или на 22 %, и на 1,85 процентных пункта, или на 18%
выше ожидаемого исполнения федерального бюджета за текущий год»
« … снижение налогового коэффициента (отношение суммы налогов к ВВП)
на 10 процентных пунктов обусловливает ежегодный рост ВВП в пределах от
0,5 до 1 процентного пункта»
В США «доля личных сбережений снизилась в середине 80 – х гг. на два
процентных пункта, в то время как сбережения бизнеса выросли на один пункт
по сравнению с предыдущим десятилетием».
«…прирост уровня безработных на 1,5 процентных пунктах (скажем, с 6,0 до
7,5% ) обеспечивал ежегодное снижение инфляции на 1 %»
«Брак на предприятии составляет 5%. После ряда принятых технико –
экономических и организационных мер брак снизился до 1%. На сколько
процентов снизился брак?
Ответ: на 80%».
6. Ненормативное сравнение процентов
Ненормативное сравнение процентов объясняется недостаточно четким
различием Арифметического и Геометрического содержаний сравнения.
Задача 12. Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содержит 5 кг
чистой меди, а второй кусок – 4 кг. Сколько процентов меди содержит первый
кусок латуни, если второй содержит меди на 15 % больше первого?
Ответ: 25%
Решение. Если исходить из нормативного термина «проценты», постановка
задачи, очевидно, некорректна: 4 кг. не может быть больше 5 кг на 15 %!
Следовательно, предполагается какое – то ненормативное словоупотребление
термина «проценты». Какое именно, мы узнаем, попытавшись «исправить»
условие. Возможны два варианта.
1 вариант.
Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содержит 5 кг чистой
меди, а второй кусок – 4 кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок
латуни, если содержание меди во втором куске не 15% больше содержания
меди в первом?
Решение. Пусть первый и второй куски латуни имеют массы х и у
соответственно. Тогда, по условию, имеем систему двух линейных уравнений:
х + у = 30, ( 4/у)∙100% - (5/х)∙100% = 0,15
(5/х) · 100%
Решая систему , находим х = 17 9
13
откуда искомый процент есть (5/х) ∙ 100% = 28 6 %
23
2 вариант. Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содержит 5 кг
чистой меди, а второй кусок – 4 кг. Сколько процентов меди содержит первый
кусок латуни, если содержание меди во втором куске латуни на 15 процентных
пунктов больше, чем в первом?
Решение. Пусть первый и второй куски латуни имеют массы х и у кг
соответственно. Тогда, по условию, имеем систему двух уравнений:
Х + у = 30, (4/у) ∙1-- - (5/х) ∙100 =15
Решая эту систему, находим х = 20,
Откуда искомый процент есть (5/х) · 100% = 25%.
Ответ: 25%.
Таким образом, чтобы получить заявленный ответ, условие исходной задачи
должно быть исправлено именно по второму варианту.
Задача 13. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после
чего массовая доля растворенной соли уменьшилась на 10%. Сколько воды
содержал раствор и какова была в нем массовая доля соли?
Ответ: 160 г, 20 %.
Решение: Пусть m –первоначальная масса воды в растворе. Тогда
первоначальная доля соли есть d1 = 40
40 + m
После добавления воды получим долю соли, равную
d2 = 40
.
40 + m+200
Следовательно, доля соли уменьшилась на
имеем уравнение:
d2 – d1 = 0,1
d1
d2 – d1 · 100%. По условию,
d1
200 = 0,1 · (240 + m
Ответ: 160 г, 2
2
9
%
Попробуем «исправить» условие следующим образом.
К раствору , содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего
массовая доля растворенной соли (в процентах) уменьшилась на 10
процентных пунктов. Сколько воды содержал раствор и какова была в нем
массовая доля соли (в процентах)?
Решение. Пусть m – первоначальная масса воды в растворе. Тогда
первоначальная доля соли в процентах есть
d1% = 40
· 100%. После добавления воды получим долю соли в
40 + m
процентах, равную
d2 % = 40
. 100%.
40 + m+200
Следовательно, доля соли уменьшилась на d2 – d1 процентных пунктов. По
условию, имеем уравнение:
d2 – d1 = 10
40
· 100%. 40
. 100% = 10.
40 + m
40 + m+200
Решив это уравнение, получим «искомый» ответ: 160 г, 20 %.
Задача 14. В колбе имеется раствор соли Из колбы отливают 1/n в пробирку,
а раствор, оставшийся в колбе, выпаривают до тех пор, пока процентное
содержание соли не повысится вдвое. После этого вливают в колбу раствор из
пробирки. В результате содержание соли в растворе повысилось на р % по
сравнению с первоначальным. Определить процентное содержание соли в
первоначальном растворе.
Ответ:
n +1 · p
n –1
Решение. Пусть m – первоначальная масса раствора в колбе, s – масса соли в
растворе и w – масса воды, выпаренной из пробирки. Тогда, по первому
условию, имеем очевидное уравнение
n-1 · s
n
2s=
m = 2n
m
n–1 ·m–w
w
n –1
n
Если второе уравнение понимать ненормативно, то из него получим уравнение
s
= s
m –w
m
+p
100
s · 100 = (m/w –1) · p
m
Подставляя полученное выше значение m , получим «искомый» ответ.
W
При нормативном прочтении второго условия задачи соответствующее уравнение
примет вид
s
= (1
m –w
+p ) · s
100 m
(1 + p ) · ( 1 - w )
100
m
что вкупе с первым уравнением делает задачу в общем случае неразрешимой, так
как n и p оказываются функционально связанными.
Задачи для самостоятельного решения
1. Стоимость товара сначала снизили на 12%, а затем новую стоимость
снизили еще на 5%. Сколько процентов от первоначальной стоимости
составляет окончательная стоимость этого товара после двух
последовательных снижений и на сколько процентов в общем снижена
была стоимость товара?
Ответ: 83,6%, на 16,4%.
2. Некоторое число было уменьшено на 25%. На сколько процентов
увеличить получившееся число, чтобы получить первоначальное число?
Ответ: на 33 1/3 %.
3. Число увеличено на 25%. На сколько процентов нужно уменьшить
результат этого увеличения, чтобы получить первоначальное число?
Ответ: на 20%.
4. На сколько процентов увеличится площадь квадрата, если периметр его
увеличить на 10%?
Ответ: на 21 %.
5. Выразите в процентах изменение площади прямоугольника, если длина его
увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%.
Ответ: уменьшится на 9 %.
6. Цену на пылесос снизили на 10%, в результате чего он стоит теперь 38,7
руб. Сколько стоил пылесос до снижения цены?
Ответ: 43 руб.
7. Яблоки при сушке теряют 84% своей массы. Сколько надо взять свежих
яблок, чтобы приготовить 16 кг сушеных?
Ответ: 100 кг.
8. Антикварный магазин, купив две старинные вазы на общую сумму 360 руб.,
продал их, получив 25% прибыли. За сколько была продана каждая ваза,
если наценка на первую вазу была 50%, а на вторую – 12,5%?
Ответ: 180 руб., 270 руб.
9. Найдите относительную погрешность приближения (в процентах): 1) ла 1/3
числом 0,33; 2) числа 1/7 число 0,14.
Ответ: 1) 1%; 2) 2%.
10. Рабочий положил на хранение в сберегательный банк 5000 руб. По
истечении года к его вкладу были причислены процентные деньги, и в то
же время он увеличил свой вклад еще на 5000 руб., а по истечении еще
одного года попросил выдать ему накопленные процентные деньги.
Сколько процентов в год начисляет сбербанк, если рабочий получил 15 200
руб. процентных денег, оставив 10 000 руб. на новый срок?
Ответ: 80%.
11. В каких пропорциях нужно смешать 50 – процентный раствор кислоты и 70
– процентный раствор кислоты, чтобы получить 65 – процентный раствор
кислоты?
Ответ: 1:3
12. За пересылку денег по почте с отправителя взимают 2% переводимой
суммы. Какую наибольшую сумму денег можно перевести, имея на руках
ровно 100 руб?
Ответ: 98 руб. 3 коп.
13. Пусть цены на какие – то товары снижены на 20%. На сколько процентов
больше можно купить этих товаров по сниженной цене на отведенную для
них сумму?
Ответ: на 25%.
14. Число деталей, которое рабочий должен изготовить по плану, составляет
80 % числа фактически изготовленных деталей. На сколько процентов
рабочий перевыполнил план?
Ответ: на 25%.
15. Из 20 –процентного раствора поваренной соли испарилось 25% имеющейся
в растворе воды. Найдите концентрацию получившегося раствора.
Ответ: 25%.
16. В одном 250 машин, из них 24% составляет самосвалы, во втором
автопарке 150 машин, из них 8 % - самосвалы. Какой процент общего числа
машин в обоих парках составляют самосвалы?
Ответ: 18%
17. Вычислите массу сплава и массовую долю (в процентах) серебра в сплаве
с медью, зная, что, сплавив его с 3 кг чистого серебра, получат сплав,
содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90%
серебра, получат сплав с 84 – процентной массовой долей серебра?
Ответ: 3 кг, 80%.
18. Две шкурки общей стоимостью в 2250 тыс. руб. проданы на аукционе с
прибылью в 40%. Какова стоимость каждой шкурки, если от первой было
получено прибыли 25%, а от второй – 50%?
Ответ: 900 и 1350 тыс. руб.
19. Рабочий день уменьшился с 8 до 7 ч. на сколько процентов нужно
повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках
заработная плата взросла на 5%?
Ответ: на 20%.
20. На какое целое положительное число надо разделить 180, чтобы остаток
составил 25 % от частного?
Ответ: 11.
21. От двух кусков сплава одинаковой массы, но с различным процентным
содержанием меди отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных
кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное
содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Во сколько раз
отрезанный кусок меньше целого?
Ответ: 2.
22. Магазином продано в первый день 50% поступившего товара, а во второй
день 50% поступившего товара, а во второй день – 25 % остатка. Сколько
процентов поступившего товара осталось непроданным?
Ответ: 37,5%
23. В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одного и
того же число процентов. Найдите это число, если известно, что в начале
года завод выпускал 600 изделий, а в конце года стал ежемесячно
выпускать 726 изделий.
Ответ: 10%.
24. Палку длиной 364 см распилили на две части так, что первая из них
оказалась короче второй на 18%. Найдите длину каждой части.
Ответ: 164 см, 200 см.
25. Сосуд доверху наполнен 15 – процентным раствором азотной кислоты. Из
него отливают 6 л раствора и доливают 6 л воды. После перемешивания
снова отливают 6 л смеси и доливают 6 л воды. В результате в сосуде
оказался 2,4 – процентный раствор азотной кислоты. Найдите объем сосуда.
Ответ: 10 л.
26. Какое наименьшее число работников может в кооперативе, если известно,
что мужчины составляют в нем строго меньше 50%, но строго больше 40%?
Ответ: 9.
27. Мотоциклист равномерно преследует автомобиль. За первый час
расстояние между ними сократилось на 40%. На сколько % оно сократится
за второй час?
Ответ: на 66 2/3 %.
28. Мотоциклист равномерно преследует автомобиль. За второй час
расстояние между ними сократилось на 60 %. На сколько процентов оно
сократилось за первый час?
Ответ: на 37,5 %.
29. Мотоциклист равномерно преследует автомобиль. За два часа расстояние
между ними сократилось на 90 %. На сколько процентов оно сократилось
за первый час?
Ответ: на 45 %.
30. Мотоциклист равномерно преследует автомобиль. За первый час
расстояние между ними сократилось на 25 %. На сколько процентов оно
сократится за третий час?
Ответ: на 50 %.
31. Мотоциклист равномерно преследует автомобиль. За третий час
расстояние между ними сократилось на 90%. На сколько процентов оно
сократилось за первый час?
Ответ: на 32 1/7 %.
32. Через сколько лет остаток вклада под 200 % годовых превзойдет 16 000,
если стартовая сумма вклада 1000 и если вкладчик берет 800 в конце
каждого года?
Ответ: через 3 года.
33. Через сколько лет остаток вклада под 100% годовых превзойдет 2400, если
стартовая сумма вклада 1000 и если вкладчик берет 900 в конце каждого
года?
Ответ: через 4 года.
34. Сколько процентов долга осталось после того, как должник первые три
месяца выплачивал по 10% от остатка долга ежемесячно?
Ответ: 72,9 %.
35. Шварценеггер равномерно уходит от погони. За первый час расстояние
между ними увеличилось на 30 %. На сколько процентов оно увеличится за
третий час?
Ответ: на 18,75 %.
36. Шварценеггер равномерно уходит от погони. За три часа расстояние между
ними увеличилось на 90%. На сколько процентов оно увеличилось за
третий час?
Ответ: на 18,75 %.
37. Шварценеггер равномерно уходит от погони. За три часа расстояние между
ними увеличилось на 80%. На сколько процентов оно увеличится за второй
час?
Ответ: на 21 1/9 %
38. За А, В, С собираются голосовать 15%, 20%, 25% избирателей
соответственно. Остальные колеблются. Сколько процентов колеблющихся
должен привлечь А, чтобы не проиграть В и не проиграть С?
Ответ: не менее 62,5%.
39. За А, В, С собираются голосовать 25%, 35%, 25% избирателей
соответственно. Остальные колеблются. Сколько процентов колеблющихся
должен привлечь А, чтобы не проиграть В и не проиграть С?
Ответ: не менее 83 1/3 %.
40. Налог взимается в размере 10% от суммы до 1000 денежных знаков плюс
20% от превышения 1000 д.з. налогоплательщик заплатил 200 д. З. Налога.
Сколько д.з. у него осталось на руках?
Ответ: 1300 д. з.
41. Налог взимается в размере 10% от суммы до 8000 д.з. плюс 20% от
превышения 8000 д.з. какой налог заплатил налогоплательщик, если у него
осталось 9000 д. з.?
Ответ: 1250 д. з.
42. Из прямоугольной заготовки с отношением сторон 2 : 3 вырезали
прямоугольник максимальной площади с отношением сторон 1 : 2. Найдите
процент отходов?
Ответ: 25 %.
43. Из прямоугольной заготовки с отношением сторон 2 : 3 вырезали два
одинаковых квадрата максимальной площади. Найдите процент отходов.
Ответ: 25 %.
44. Из квадратной заготовки вырезали два одинаковых прямоугольника с
отношением сторон 3 : 2 максимальной площади. Найдите процент
отходов.
Ответ: 25 %
45. Из кольцевой концентрической заготовки с отношением радиусов 1 : 4
вырезали два круга максимальной суммарной площади. Найдите процент
отходов.
Ответ: 70 %.
46. Из прямоугольной заготовки вырезали равнобокую трапецию с
отношением оснований 5 : 2 максимальной площади. Найдите процент
отходов.
Ответ: 30 %.
Ответы к тренинг – таблице К
р% А
5
10
20
25
50
75
90
150
Кол – во, составляющее
р% от А
80
60
120
36
42
12
90
30
4
6
24
9
21
9
81
45
Кол –во, р
% которого
есть А
1600
600
600
144
84
16
100
20
Кол –во,
большее А
на р%
84
66
144
45
63
21
171
75
Кол – во,
меньшее
А на р%
76
54
96
27
21
3
9
- 45*
- 45* - формальный ответ есть неположительное количество, а проценты по
определению применяются для сравнения положительных количеств, то этот
вопрос в таблице К следует считать некорректным.
Ответы к тренинг – таблице П
А
В
1
4
4
15
2
1
5
20
50
10
Сколько %
Сколько
На
На
На
На
составляет А
%
сколько сколько сколько сколько
от В
составляет
%А
%В
%А
%В
В от А
больше, больше, меньше, меньше,
чем В
чем А
чем В
чем А
50
200
- 50
100
50
-100
400
25
300
- 75
- 300
75
80
125
- 20
25
20
- 25
75
133 1/3
- 25
33 1/3
25
- 33
1/3
500
20
400
- 80
- 400
80