doc, 55 кб

Решения задач очного тура олимпиады 8 класс
Докажите,
1.
что
медиана
треугольника
меньше
полусуммы
сторон,
выходящих из той же вершины.
Решение: Достроим треугольник до параллелограмма так, чтобы медиана стала
половиной диагонали. Из неравенства треугольника следует, что диагональ (равная
удвоенной медиане) меньше суммы двух соседних сторон параллелограмма. А поэтому
медиана будет меньше полусуммы сторон треугольника, выходящих из той же вершины.
Известно, что, a + b +с = 5, ab + ac + bc = 5. Чему может равняться a2 + b2
2.
+ c2 ?
Решение: Найдем квадрат трехчлена:
(a + b + с)2 = a2 + b2 + c2+2(ab + ac + bc)= 25. Учитывая, что
ab + ac + bc=5, находим a2 + b2 + c2 = 15.
При каких значениях a разность корней уравнения ax2 + x – 2 = 0 равна 3?
3.
Решение: Обозначим корни уравнения за x1 и x2 , получим:
x1 + x2 = 
x1 x2 = 
1
, (1)
a
2
, (2)
a
x1 – x2 = 3. (3)
Выражая x1 и x2 из уравнений (1) и (3) и подставляя в уравнение (2), получим после
упрощения уравнение 9a2 – 8a – 1 = 0.
Решая его, найдем a = 1; 
1
.
9
Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение
4.
золота к меди равно 1:2, а во втором 2:3. Если сплавить
1
5
первого слитка с
второго, то
3
6
в получившемся слитке окажется столько золота, сколько было меди в первом, а если
первого сплавить с
2
3
1
второго, то в получившемся слитке окажется меди на 1 кг больше,
2
чем было золота во втором слитке. Сколько золота было в каждом слитке?
Решение: Обозначим массу первого слитка за x кг, а y кг – массу второго слитка.
Тогда, учитывая условие задачи, в первом слитке будет
втором, соответственно,
2x
x
кг золота и
кг меди, а во
3
3
3y
2y
кг золота и
кг меди. Так как в первом сплаве получается
5
5
золота столько, сколько в первом слитке, то имеем уравнение:
1
x
5 2y
2x




.
3 3
6
5
3
так во втором сплаве получается меди на 1 кг больше, чем во втором слитке, то получаем
второе уравнение:
2 2x
1 3y
2y




 1 . Решая получившуюся систему
3
3
2
5
5
1
x
5
2y
2x





,

3
3
6
5
3
уравнений: 
находим: x = 3,6 кг, y = 6 кг. Тогда золота в
2
2x
1
3y
2y





 1,
3
2
5
5
 3
первом слитке было 1,2 кг, а во втором – 2,4 кг.
5.
В семье четверо детей. Им 5, 8, 13, 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера и
Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше
Бори и сумма лет Ани и Веры делится на три?
Решение: Найдем сначала возраст Бори. Так как в детский сад ходит девочка, то
это не Боря. Тогда Боре больше 5 лет.
Так как Аня старше Бори, то Боре не может быть 15 лет. Так как сумма лет Ани и
Веры делиться на три, то учитывая возраст детей в семье, это может быть в следующих
случаях:
1) одной девочке 5 лет, а другой 13 лет;
2) одной девочке 8 лет, а другой 13 лет. В обоих случаях одной девочке 13 лет.
Следовательно, Боре не 13 лет. Имеем: Боре не 5 лет, не 15 и не 13. Тогда Боре 8 лет.
Установим теперь возраст каждой девочки. Так как сумма Ани и Веры делиться на
три, а Боре – 8 лет, то возможен лишь один случай: девочкам 5 и 13 лет. А так как по
условию, Аня старше Бори, то Ане 13 лет. Тогда Вере будет 5 лет, Гале 15 лет.
6.
Квадрат несколькими сквозными разрезами, параллельными его сторонам,
разделили на прямоугольники. Оказалось, что сумма периметров этих прямоугольников в
100 раз больше периметра исходного квадрата. Какое наибольшее число прямоугольников
могло при этом получиться? Максимальность ответа докажите.
Решение: Пусть всего сделано x горизонтальных разрезов и y вертикальных. Длина
стороны квадрата равна a . Сумма периметров получившихся прямоугольников равна (2x
+ 2)a + (2y + 2)a. По условию (2x + 2)a + (2y + 2)a = 400a, откуда x + y = 198. Общее
число получившихся прямоугольников равно
(x + 1)(y+1) = (x + 1)(199 - x) = 199 + 198x – x2 и, как квадратичная функция от x,
достигает максимума при x 
равным 10 000.
198
 99 . Тогда число прямоугольников получится
 2  1